空间向量与立体几何-2021年高考数学(理)一轮复习.pdf

考点3 3 空间向量与立体几何修:考克解篌利用空间向量求线面角、二面角是高考理科数学解答题的必考题型，我们必须掌握其方法.i.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识整合,_/一、空间直角坐标系及有关概念1.空间直角坐标系定义以空间一点。为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：X 轴、)，轴、Z 轴，建立了一个空间直角坐标系。-肛 Z坐标原点点。坐标轴x 轴、y 轴、z 轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向)，轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.X0y2 .空间一点M的坐标(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y 叫做点例的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.(2)建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.3 .空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(X 1,y,Z ),B(x2,y2,z2)为空间两点，则 A,B 两点间的距离|A B|=-x2)2+(y,-y2)2+(z,-z2)2.设点P(x,y,z),则点P(x,y,z)与坐标原点。之间的距离为|O P|=y lx2+y2+z2.(2)中点公式设点P(x,y,z)为 4 a,y,Z|),鸟(工2，%，2 2)的中点，则 y=24 .空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量单位向量长度(或模)为1 的向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量二、空间向量的有关定理及运算1 .共线向量定理对空间任意两个向量m 加的)，a 的充要条件是存在实数人使得牢记两个推论：(1)对 空 间任意一点。，点P在 直 线A B上 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 使 9=(1-。砺+f 丽 或9=x+y 砺(其中 x+y =l).(2)如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线，那么对空间任意一点。，点 P在直线/上的充要条件是存在实数6 使 而=d+柩，其中向量。叫做直线/的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式.2 .共面向量定理如果两个向量a，力不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.牢记推论：空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使/=x +y*；或对空间任意一点。，有 丽=O X +x 而+y*.3 .空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组 x,y,z ,使得p=x a+.W+z c.其中，a,b,c 叫做空间的一个基底，a,b,c 都叫做基向量.注意：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成基底.(2)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.(3)0 不能作为基向量.4 .空间向量的运算(1)空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.夹角O l夹角乙”阳 称为向址a与b的 夹 角.id作 如 /O Wa 6(a -Z =-y a l 64数置积a b=|a|b c o sa b运算律结合律：(入 a)力=a (b)=入(a b)交换律：a ,b=b a3分配律:a (b+c)=a,b+a c（2）空间向量的坐标运算设a =（4,4 2,4），方=（仿也,4），则a b =（q 4,仇,。3 士仇），2a=(Aa,Aa2,2a3)(2 e R),a b-ahi+a2b2+a3h3,a b=b=b、=Aat,b-=Aa2,b3=Aa3(A e R),a b a-b-aby+a2b2+a3h3=0 ,|a|=后=1a；+a；+a；,c o s(a,b)=a bq 4 +a2b2+4 4同 网 J a；+a；+d y/b；+b；+b；三、利用空间向量解决立体几何问题1.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，记作/,显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线/La,则该直线/的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作a,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为a =（x,y,z）.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a=,a2,a3),b=,b2,b3),根据定义建立方程组，得至心(xa=O,通过赋值，取其中一组解，得a b =Q到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线/,小的方向向量分别为，机，平 面 的 法 向 量 分 别 为a,6.(1)线线平行：若/加，则/2 O/=/l/n(；le R)；线面平行：岩I l l a,则1，a o/-a =0；面面平行：若a/，则a4 o a =S(/le R).(2)线线垂直：若/1 in,则，机=0；线面垂直：若/J _ a,则/a =/=4 a(/le R)；面面垂直：若a J_,则a_L/7=a =().3.利用空间向量求空间角设直线I,m的方向向量分别为1,m,平面a,的法向量分别为巧,人.(1)直线/,加所成的角为8,则计算方法：cos6=上*；2 14网(2)直线/与平面。所成的角为8,则0 夕(工，计算方法：sinO=E a;2|帆(3)平 面 所 成 的 二 面 角 为8,则0。兀，如图，AB,CD是二面角a-/一 的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小9=丽,而 .如图，/I1,%分别是二面角a-L p的两个半平面a,i的法向量，则二面角的大小0满足|cos=In.-nA，二面角的平面角大小是向量m与2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点4（3,加4）,BO2,%/2）为空间两点，则4,5两点间的距离|A B|=|A B|=J（%了+巴 一%了 +一?2）?.（2）点到平面的距离如图所示，已知A B为平面a的一条斜线段,“为平面a的法向量,则B到平面a的距离为|B 01=.了0点考向.考向一空间直角坐标系对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组（即坐标）表示出来，通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题（形）与代数问题（数）的结合.典例引领典 例1如图，以长方体A6CO-A5 GA的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若。瓦的坐标为（4,3,2）,则 祠 的 坐 标 为.【答案】（Y,3,2）【解析】如图所示，以长方体的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系，因 为 函 的坐标为（4,3,2）,所以A（4,0,0）,G（0,3,2），所以 更 =（-4,3,2）.变式拓展1.在四面体ABC）中，ABAD，AB=AD=B C C D l,且平面ABD_L平面BC，M 为 AB中点,则线段CM的长为（）A.0C.B.V3D.叵2考向二共线、共面向量定理的应用1.判断两非零向量a,。平行，就是判断。=劝 是 否 成 立，若成立则共线，若不成立则不共线.2.证明空间三点P、A、B共线的方法：而=4万Q GR）；对空间任一点O,OP=OA+tAB（teR）.对空间任一点 O,OP=xQ 4+yA5（x+y=l）.3.证明空间四点尸、M、A、B共面的方法：讲=x +y疏；对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB；对空间任一点。，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=l）；PM/AB（或 PA/MB 或 PB/AM）-典例引领典例2如图所示，在正方体A8CQ-A由IG QI中，E在4 9上，且 砧=2而；F在体对角线4 c上，且 2 二FC.求证：瓦 3三点共线.3【解析】设荏二a而=。，丽=c_ 2 一:砧二2前A尸二尸C，_,2_ 2 _ 2 _ 2 _k_,2 _ 2 2 2.&E=-A1D1=-b,AF=AC=(AC-AA)=(AB+AD-AA=-a-b c.55 5 5 5 5 5 5_ _ _ 2 4 2 2 2:.EF=A,F-A,E=-a-b-c=-(a-b-c).“5 15 5 5 3_ _ 2 2又 说=EAArAAB=-b-c+a=a-y b-c,一 2 一EF=-E B.5 E,F,8三点共线.变式拓展2.已知E，F，G,，分别是空间四边形ABC。的边AB，B C，CD,0A的中点.求证：E，F,G,H四点共面;(2)求证：B D 平面E F G H ；(3)设M是E G和F H的交点，求证：对空间任一点。，有 两=(丽+丽+花+而).4考向三利用向量法证明平行问题1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.2.证明线面平行：(1)该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.典例引领典例3如图，已知长方体A B C Q-A B iG d中,E、M、N分别是BC、AE,C 的中点,AO=A4=a,AB=2a.求证：MN平面AQCiAi.【解析】以。为坐标原点，分别以0 4、D C、。为无轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,xN分别为AE、C 9的中点,3a；3 aM(i,c i,O),N(O,c i,).*.M N =(c i,0,).4 2 4 2取”=(0,1,0),显然”,平面 AQ D4,且 丽 =(),又 平面 AD D i Ai,；.M N平面 AD D i At.变式拓展3.如图所示，在正方体AB C。-44GA中，。为底面AB C。的中心，P是。口的中点，设。是CG上的点，问：当点。在什么位置时，平面0B Q平面P 4。？考向四利用向量法证明垂直问题1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.典例引领典例4如图,已知正四棱锥I M B C。中,E是V C的中点，正四棱锥的侧面Y B C为正三角形.求证:平面V64 C，平面E BD.【解析】如图，以V在底面A B CD内的射影O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-x y z,z设 y8=VC=8C=2,在 R tV O C 中,丫0=/2 一 c02=V4a2-2a2=或出B 6二 V(0.0.V2a)(V2,0,0),C(-V2,0,0),(0,企“,0),。(0,-企”,0),E(-“,0,a),2 2则 屁=(-a、近 a、a),BD=(0,-2V2a,0),KC=(-V2fl,0,-V2a).2 2.亦 记=2+0-=0,丽 记=0,：.D E-LVC J D A-VC,DELVC,BDA.VC.,；D E C BD=D,VC_L 平面 E BD.又VC U平 面VAC,平 面VACJ_平面EBD典例 5 如图所示，在四棱锥 P-ABC D 中,PA_L底面 ABC D,AB AD AC 1 C D,ZABC=60,P A=AB=BC,E 是 P C的中点.求证:(1)4E_LC;(2)PDJ_ 平面 ABE.【解析】易知A 8HD 4P两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.EBCxD y设 幺=4 8=8 C=1,则 4(0,0,0),8(1,0,0)/(0,0,1).ZABC=60,/.A BC为正三角形,1 J 3 1 x/3 12 2 4 4 2设 (),0),由/1 C C D,W/l C-C D=0,B J(-,旦)d w 冬0)=0,解得疗竽2 2 2.)(0,1,0).3C D=(，,0).2 6又 荏=(；3.：)，4 4 2二 荏 而=x :+3 x+0=0,2 4 6 4二 荏，而,即A E L C D.(2)方法一：由(1)知 丽=(0.2叵,一1),3；荏 丽=0+x +-x(J )=0,4 3 2.而 J版，即 P D L A E.,:荏=(1,0 0),，而 泡=0,：.PD AB.又 ABC AE=A,：.P/)_L 平面 ABE.方法二：由知荏=(1,0,0),=(-,4 4 2x=0设平面A B E的 法 向 量 为 ，则荏=0,/荏=0,得 1 拒 令尸2,则 z二 倔工平面A B E的一个法向量为w=(0,2,-73).:同=(0,3 叵,-1),显然而=更，3 3丽 ”，.,.而_ 1 _ 平面ABE,即 PD_L平面ABE.-x-y+Z =14 4 2变式拓展4.如图，正方形AOEF与梯形ABC。所在的平面互相垂直，AD C D AB/C D,AB=AZ)=2,CO=4,M为CE的中点.(1)求证：B M平面A D E F；(2)求证：BCJ_平面BD E.考向五用向量法求空间角1.用向量法求异面直线所成的角(1)建立空间直角坐标系；(2)求出两条直线的方向向量；ACBDACBD(3)代入公式求解，一般地，异面直线AC,8。的夹角的余弦值为cos=2.用向量法求直线与平面所成的角(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3.用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.典例引领典例 6 如图，在五棱锥 P-ABCDE 中/4，平面 ABCDE,PA=AB=AE=2BC=ID E=2NEAB=NABC=90.(1)求二面角尸。石一4的大小；(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.【解析】由题可知，以A&AE,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则 A（0,0,0）,E（0,2,0）,0（1,2,0）,P（0,0,2）,C（2,1,0）.设平面PDE的法向量为n=(x,y,z),又 方=(1,0,0),即=(0,-2,2).n-ED=x=0由一.n-EP=-2y+2z-Q，得 x =0y=z令尸 1,得=(0,1,1).由于PA L平面A8C D E,则平面A DE的一个法向量为而=(0,0,2),_ n-AP 2、5于是c EQ=j二京所以=4 5。，则二面角P E A的大小为4 5。.(2)由于方=(2,1,-2),.PCn 2x0+lxl+(-2)xl 无所以 co s=I-I ,=-/-=PCJ M 3 x V 2 6故PC与平面PDE所成角的正弦值 为 立6典例7如图，在五面体A 5 C D E/中，必_L平面A8C D,AD/BC/FE,A B L A D,M为EC的中点，A F=(1)求异面直线8尸与。E所成角的大小；(2)证明：平面A M。，平面C O E；(3)求二面角A-CD-E的余弦值.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A-x)，z.设 A B=1,依题意得仇 1,0,0),C(l,l,0),力(0 2 0),(0,1,1),尸(0,0,1),，1,-).2 2 丽=(T,0,l)，丽=(o，-U).于是co s (F F，屁 而漩。+。+月 制 砺 亚四一王所以异面直线B尸与。E所成角的大小为6 0。.(2)由 宿=(1,1,-),屈=(一1,0,1),而=(0,2,0),可得请宿=0,CEADO.2 2因此，C E LAM,CEAD.又 A 6 1 A M=A,故C E _L平面A M D而C E u平面CDE,所 以 平 面 平 面CDE.u-C E=0 f-x +z=0(3)设平面COE的法向量为“=(x,y,z),则 一 ,于是 八u-D E =0+z =0令x=l,可得又由题设，可知平面A C D的一个法向量为v-(0,0,1).所以 c o s“，v u v 0 +0 +1 -3.丽 G x l V因为二面角A c。一E为锐角,所以其余弦值为Y 3.3变式拓展5.直三棱柱ABC-4 g G 中，A5=AC=A4,N8AC=60。，则 异 面 直 线 和 A&所成角的余弦值为()6.四棱锥P ABCO中，平面A 3 C O,底面A 3C D 是平行四边形，NZM5=60。,P A =A B =A D =2,点 E 是棱 P C 上一点.(1)求证：平面PA CJ_平面B D E；(2)当E 为 P C 中点时，求二面角A BE。的余弦值;(3)若直线B E与平面P A C所成的角为45时，求 C E.考向六用向量法求空间距离1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因求向量的模.2.求点尸到平面a 的距离的三个步骤：(1)在平面a 内取一点4,确定向量方 的坐标.(2)确定平面a 的法向量”.(3)代入公式d=必创求解.n此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为典例引领典例8如图，已知长方体ABC D-ABC D 中,44=548=12,则直线BC 到平面ABC D 的距离是A.560C.13【答案】C【解析】.,丹。8C,且 3 1 G z 平面4 8 c me u 平面A iB C D d iG 平面4 8c,从而点8 i到平面M B C D 的距离为所求距离.方法一:过点 Bi 作 BiE_L4B 于点 平面 4 A 8 S,且 BiEu 平面乂 8仃 148=及，81：_1_平面4|8 8.AAB.xB.B 12x5 60在 R tA 4.B 严 中.=一-=衍法=石，直线BiCi到平面4 8 c d 的距离为.13故选C.方法二：以D为坐标原点万尢瓦，西 的 方 向 分 别 为 x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0.12,0),Di(0,0,5),设 B(X,12,0),8I(X,12,5)(J#0),平面 Ai BC D i 的法向量为 n=(a,b,c),由上 1.近,得炭=(力,c(-x,0,0)=ar=0,，4=0,D；=(a,/;,c(0,-1 2,5)=-12b+5c=0,.b=c,令 c=1 2,则 b=5,1 2.”=(0,5,1 2)为平面4BCQ 的一个法向量.B.B-n 6()又8遂=(0,0 5),；.点 B 到平面 4BCG 的距离 -1 =.1 1 1 3故选C.典例9如图，直三棱柱A B C A g G 中,AC=B C=l A4 i=3,/4 C B=90。,。为 CG 上的点，二面角A-A.B-D的余弦值为-立6求证:C O=2;(2)求点A 到平面A.B D的距离.【解析】以 C为坐标原点，分别以C A,C 8、CG 所在直线为x轴、)，轴、z 轴建立空间直角坐标系C-肛z.则 A(l,0,()、8(0,1,0)、A (1，()，3).设 0(0,0,。).,*=(1.1,0)是平面A/B的一个法向量，设=(x,y,z)是平面A BO的法向量.西=(1,0,3 也),丽=(0 ,由 可 ”=(),而 =(),得 x+(3-a)z=0,y-az=0.取 x =3 a，得 y =a,z =-=(3 a,-a,-1).I/i m-n 3-2a、6、E由题设，知 cos伽,)=卜 昌=J /=|-1=，解得a=2或a=1 nn 及 x j(3-4+/+1 6 6所以DC=2或 0 c=1.但当D C=l时，显然二面角A-A,B-D为锐角，故舍去.综上,OC=2.由，知=(1,2-1)为平面A.B D的一个法向量,又 丽-0,0,3),所以点4 到平面A.B D的距离d=AR n|=旦2变式拓展7.如图所示，平行六面体ABC。一A BC。中,A4_L 平面 ABC。，A B A.A C,M，N 分别为 C B,C C 的中点，A B =A C =A A =1.求证：M/V平面A C D；(2)求证：C D _L平面AC。；(3)求点B到平面A C D 的距离.考向七用向量法求立体几何中的探索性问题1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在.2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量.典例引领典 例 1 0 如下图所示，三棱柱ABC-AIBIG中人4 平面ABC,BC_LAC,BC=4C=2,A4=3,O为 AC的中点.(1)求二面角G-B D-C的余弦值；(2)在侧棱A 4 i上是否存在一点P,使得CP,平面8 D G?并证明你的结论.【解析】(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，则 G(0,0,0),8(0,3,2),C(0,3,0)4(2,3,0),(1,3,0),所 以 播=(0,3,2)m=(1,3,0).设 =(x i,z i)是 平 面 的 法 向 量，则1n,&=0,(n C j D =03 y.+2 z.=Q所以 c c ,%+3 _ y,=0令xi=1,得”=(1,-)是平面BDCi的一个法向量,3 2易 知 京=(0,3,0)是平面A B C的一个法向量，所以 c o s =：=77-=-1同由2 x 3 7而二面角G-B A X C为锐角，故其余弦值为2.7假设侧棱A4上存在一点P(2,y,0)(0与0 3),使得C P J _平面BDCi.因 为 标=(2,y-3,0),而 瑟=0 1 3(y-3)=0所以而 前=0 2 +3(-3)=0 7得 y=3 且 y=7,所以方程组无解.则假设不成立，即侧棱44上不存在一点P,使C P J _平面BDC.典 例11已知四棱锥P-A 8 C C的底面是直角梯形,ABDC,ND4B=9 0。，P。1底面ZBCD，月.P D =L M =CD=2AB=2,M点为P C的中点.(1)求证：BM平面P A D .(2)在平面P A D内找一点N,使M N 1平面P B。.【解析】因 为P O J _底面ABCD,CD/AB,CDA.AD,所以以。为坐标原点,建立空间直角坐标系。-肛z(如图所示).由于 PD=CD=DA=2AB=2,所以 D(0,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),所 以 丽=(-2,0,1),反=(0,2,0).因 为 反_ L平面PAD,所以反是平面P A D的法向量，又 因 为 比 前=0,所以由平面PAD,所以8 M/平面PAD.设N(x,0,z)是平面P A D内 一点，则 丽=(x,-l,z-1),DP=(0,0,2),DF=(2,1,0),若 MN_L平面PB。,则-DP=0DB=01x=2,z=1所以2(z-l)=01 )，叫2 x-l=0所以在平面P A D内存在点N(；,0),使得MN,平面PBD.变式拓展8.如图，在四棱锥P-A 8 C。中，平面P 3 C _ L平面A B C D APBC是等腰三角形，且PB=PC=3.在梯形A 5 C O 中，A B/D C,AD 1 D C.A 8 =5,A D=4,D C =3.(1)求证：4 3/平面PDC；(2)求二面角A-PB-C的余弦值；(3)在线段AP上是否存在点H,使得次/_!_ 平面A D F?请说明理由.、.5点冲关 上1.在空间直角坐标系中，已知点A(4,3,5),8(2,1,7),则线段AB的中点坐标是()A.(2,-2,-2)B.(1,-1-1)C.(1,1,1)D.(2,2,2)2.已知向量 =(3,1,2),石=(-6,2/),且/B，则 =()A.1 0 B.-1 0C.4 D.-43.若直线/的方向向量为1=（1。2）,平面。的法向量为3 =（2 ,1）,则（）A.11 /a B.I LaC./u a或/a D./与a 斜交.1 _4.如图，在四棱锥PA B C。中，底面A B C。是平行四边形，已 知 丽=,而=正=,=)1 -3r 1 -A.a b+c2 2 21 -3r 1 -C.d H-D H-C2 2 2D.-ab+c2 2 25 .在三棱锥 S A B C 中，平面&4C,平面 A B C,S 4 J.A C,B C L A C,S 4 =6,AC=0T，B C=8,则SB的长为（）A.8 B.9C.1 1 D.1 26 .如图，在单位正方体A B C。A4G。中，以。为原点，DA，反，函 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面4 8 c l 的法向量是（）A.(1,1,1)C.(1,-1，1)7.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是8C和4 G的中点，则MN与AG所成角的余弦值为（）Vio回5Violo-3丽208.在棱长为2的正方体ABC。A 4 G 2中，点E,尸分别是棱8C,CC1的中点，P是侧面8CC内内一点，若A P平行于平面AEE，则线段4 P长度的最小值是（）A.3734372 7 C.3y/3 rD*9.在三棱锥ABC 中，A B =B C =2 O,ZM=OC=AC=4,平面 A D C,平面 A B C,点 M 在棱 B C上,且OC与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 二 二，则4W=（）4A.V 5 B.yjioC.2 6 D.1A/2610.在直三棱柱ABC-A4 G中，底面是等腰直角三角形，N A C B =9 0 ,侧棱4 4=2，D,E分别是C G与A3的中点，点E在 平 面 上 的 射 影 是 八45)的重心G，则点4到平 面 阳D的距离为()A 遥 R 2#33C.D.巫3311.在空间直角坐标系中，若三点 A(l,-1,a),B(2,a,0),C(l,a,-2)满足：-2 A C)_ L BC，则实数a的值为.12.己知 =(4,一 2,6),&=(-1,4,-2),2=(4,5,4),若 Z，B，三向量共面，则 4=.13.在长方体中，A A,=A B =2,AD=1,点F,G分别是A B,C G的中点，则点口 到直线G F的距离为.14.在三棱锥 P-A 8 C 中，P A _ L底面 A B C,A B 1 B C,PA=3,A B =6,B C =2,若 E,F 是 P C的三等分点，则异面直线4 E与所成角的余弦值_ _ _ _ _.15.如图，在大小为45。的二面角A所 一。中，四边形AME,C D 都是边长为1的正方形，则8,。两点间的距离是AB16.已知如图，P A,P B、P C互相垂直,D且长度相等，E为A 8中点，则直线C E与平面P A C所成角的正弦值为_ _ _ _ _ _17.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面A 3 C O J 平 面 活 动 弹 子”,N分别在正方形对角线A C,B E上移动，则MN长度的最小值是18 .如图，长方体A B C。一4月。1。中，AB =2，B C =CC,=1,若在C。上存在点E，使得4后，平面 A8Q.(1)求O E的长;(2)求 平 面 与 平 面 夹 角 的 余 弦 值.1 9.如图，四边形A 3CO是边长为2的菱形，ZABC=60,四边形PAC。为矩形，PA=1,且平面P4CQJ_平面ABCD.(1)求B P与平面A C Q P所成角的余弦值;(2)求二面角B-PQ-D的大小;求 点C到平面B P Q的距离.2 0.如图，E 为矩形A8CO边 C O 的中点，沿 砥 将(?把向上翻折至AFB E，使得二面角C 3 E 尸为6 0,且 AB=V 8 C，FG=2GC.D/-(1)证明：A E平面BG E；(2)求直线BG与平面ABF夹角的正弦值.2 1.已知如图，在菱形ABCD中，NA=6()。且 A 6=2,AD=。得到如图所示的四棱锥A BCDE.A E _DB C B图(1)求证：平面A B E L平面A B C；(2)若尸为A C 的中点，求二面角P 的余弦值.BE 为 A D 的中点，将A 3 E 沿 座 折起使AC图2 2.如图，在四棱锥P-A B C D中，H)_L底面ABC。，底面ABC。是边长为2的正方形，PD=D C,尸，G分别是依，AD的中点.求证：GQJ_平面PCB；(2)求平面R 46与平面PCB夹角的余弦值；(3)在A P上是否存在一点M，使得。M与P C所成角为60?若存在，求出点坐标，若不存在,请说明理由.直通高考.1.【2018新课标全国I I理科】在长方体ABC。4月。中，4 5 =BC=1,州=百，则异面直线A。与 所 成 角 的 余 弦 值 为,1RV55 6C.D.交5 22.【2019年高考全国I卷理数】如图，直四棱柱A BC Z)-4BiC Q的底面是菱形，A4i=4,A8=2,ZBAD=C0o,E,M,N分别是8C,BB,4 0的中点.(1)证明：MN平面CQE；(2)求二面角A-M A-N的正弦值.3.【2019年高考全国n 卷理数】如图，长方体ABCD-AIBIGOI的底面4BC。是正方形，点 E 在棱A41上,BELECi.(1)证明：B E,平面E B G；(2)若 AE=AiE,求二面角B-EC-Ci的正弦值.4.【2019年高考全国III卷理数】图 1 是由矩形AOEB,RMABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=,BE=BF=2,NFBC=60,将其沿AB,BC折起使得BE与 B F重合，连结。G,如图2.(1)证明：图 2 中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCJ_平面BCGE；(2)求图2 中的二面角B-C G-A的大小.5.120 18 新课标全国I理科】如图，四边形A3 C D 为正方形，分别为ARBC 的中点，以。F 为折痕把折起，使点C 到达点P的位置，且班(1)证明：平面P 斯，平面ABE D：(2)求 O P与平面ABFD所成角的正弦值.6.120 18 新课标全国H 理科】如图，在三棱锥P/1B C中，AB=BC=2。PA=PB=PC=AC=4,O为 AC 的中点.(1)证明：平面A 8 C；若点用在棱BC 上，且 二 面 角 B 4-C 为30。，求 PC 与平面R4 V 所成角的正弦值.7.【2018新课标全国HI理科】如图，边长为2 的正方形AfiCD所在的平面与半圆弧8 所在平面垂直，M是C)上异于C，的点.(1)证明：平面平面BMC；(2)当三棱锥例-A8C体积最大时，求面M A B与面例8 所成二面角的正弦值.8.【2020年高考全国I 卷理数】如图，。为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，他 为底面直径,A E =AD.AABC是底面的内接正三角形，P 为 D O 上一点，PO =DO.6(1)证明：R4_L平面尸BC；(2)求二面角8-P C-E 的余弦值.9.2020年高考全国IJ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-AiSG的底面是正三角形，侧 面B B C C是矩形,M,N分别为BC,B iC i的中点，P为A M上一点，过B iG和尸的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明：AAt/MN,且平面 AiAMN，平面 EBiGF；(2)设。为4 5。的中心，若AO平面E B iG F,且A O=A 8,求直线囱E与平面4A M N所成角的正弦值.10.2 0 2 0年高考全国HI卷理数】如图，在长方体A8CD-4 4 G R中，点E,尸分别在棱3 0,网 上，且2DE=E R ,BF=2FB,.(1)证明：点G在平面AE尸内;(2)若 A3=2,A D=,例=3,求二面角4-所-4的正弦值11.【2020年高考天津】如图，在三棱柱ABC A 4 G 中，CC1，平面A B C A C，8 c A e =5 C =2,C G=3,点、D,E 分 别 在 棱 和 棱 上，且 4。=1,支=2,加 为 棱 4 月的中点.(I)求证：C,M B,D；(1【)求二面角8-8 E 一。的正弦值；(III)求直线A B与平面D BXE所成角的正弦值.12.【2020年新高考全国卷】如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，P。，底面A BCD.设平面外力与平面 PBC的交线为I.证明：LL平面PCC；(2)己知PZ)=AO=1,。为/上的点，求 P 8 与平面。C。所成角的正弦值的最大值.考答案,变 式 拓 展1.【答 案】c【解 析】如图所示，取5。的 中 点。，连 接Q4,OC,；A B =A D =B C =C D =1,C.O A L B D,O C L B D.又 平 面M。_1_平 面88,，平面。(0,0,0),A 0,0,2，B 0,22B C D,0 A 1 0 C.建 立 空 间 直 角 坐 标 系.乂ABLA。,.0 8 =0.Jc 后 0 1/应 rd4 4）1 2 J流十字字孝卜函=等1+图+序2=等,故 选C.2.【答 案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解【分 析】（1）根据向量的加法几何应用得的=前+而，由共面向量定理的推论可证E，F，G ,”四点共 面；（2）利 用 中 位 线 证E H 即，根据线面平行的判定定理可证或平面E F G H；（3）根据向量的几何应用可 得 而=（赤+旃）、O E =-（O A +O B）,诟=（反+而）即可证2 2 2O M =(O A +O B+O C +O D)【详 解】(1)如图，连接8GA则 的=丽+而=而+!(而+而)=丽+而+丽=丽+丽由共面向量定理的推论，知E，F,G,”四点共面厂.A8。中E，”分别是边AB，OA的中点，即E 为中位线EH/BD.乂 EH u 面 EFGH,BDu 面 EFGH：.BD平面 EFGH(3)由 知 由=，8万，同理=方2 2-EH=F G 即四边形EFGH是平行四边形.对角线G，FH交于一点M且“为它们的中点，乂 E，G分别是AB，CO的中点空间中任取一点。，并连接OM，OA,OB，OC，OD,OE,0G，如图所示A故，在AOEG中0麻=；（0万+而）=；庞+；加在 AOB中 酝=；（砺+砺）；在 COO中 丽 =g（反+而）；OM=x （0A+0月）+X（+OO）=（0A+OB+OC+OD）.【点睛】本题考查了共面向量定理的推论，利用中位线证线线平行，线面平行判定的应用，以及根据平面向量的几何应用证明几何图形中各边代表的向量间的数量关系.3.【答案】当。为CG的中点时，平面8。平面PAO.【分析】分别以D 4、D C、所在直线为工、丁、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，计算出平面PAO的 一 个 法 向 量 并 设 点Q（O,1）（OW/W1）,由平面。/Q平面P A O,得出 8,8 c _ L O E 即可.【详解】:平面 A D E E L 平面 A B C。，平面 A O E F C l 平面 A 8 C O=4。，AD 1.E D,E Q u 平面 A O E F,，E)_ L 平面 A B C Duuu uum UUUI以。为坐标原点，Z M,O C,O E 分别为X 轴，y 轴，Z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则 0(0,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),一(2,0,2)(1)：M 为 E C 的中点，2,1)则 的=(-2,0,1),A D=(-2,0,0),A F =(0,0,2)：.B M =A D+A F ,故 而，而，森共面又 B M U 平面 AD E F,