考研数学重点归纳辅导笔记及概率易错知识点总结.pdf

数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射1.集 合2.映 射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章 数列极限1.实 数系的连续性 2.数列极限 3.无穷大量 4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章 函数极限与连续函数 1.函数极限2.连 续函数3.无 穷小量与无穷大量的阶4.闭区 间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章 微 分 1.微 分和导数 2.导 数的意义和性质 3.导 数四则运算和反函数求导法则 4.复 合函数求导法则及其应用 5.高 阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章 微分中值定理及其应用 L微分 中值定理2.L，H os pit a l 法则 3.插 值多项式和T a y lor公式 4.函 数的T a y lor公式及其应用 5.应 用举例 6.函 数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的T a y lor 公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L H os pit a l法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章 不定积分 1.不定积分的概念和运算法则 2.换元积分法和分部积分法 3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章 定积分（1 一 3）1.定积分的概念和可积条件 2.定积分的基本性质 3.微积分基本定理第七章 定积分（4 一 6）4.定 积分在几何中的应用5.微 积分实际应用举例 6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿一莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章 反常积分1.反 常积分的概念和计算 2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章 数项级数 1.数项级数的收敛性2.上 级限与下极限 3.正项级数 4.任意项级数5.无 穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章 函数项级数 1.函数项级数的一致收敛性 2.一致收敛级数的判别与性质 3.累级数4.函 数的惠级数展开5 .用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握毒级数的性质，会熟练展开函数为幕级数，了解函数的基级数展开的重要应用。第 十 一 章 E uc lid 空间上的极限和连续 1.E uc lid 空间上的基本定理2 .多元连续函数3 .连续函数的性质本章教学要求：了解E uc lid 空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章 多元函数的微分学（1 5）L 偏导数与全微分2.多元复合函数的求导法则 3.T a y lor 公式4.隐函数5.偏导数在几何中的应用第十二章 多元函数的微分学（6 7）6.无条件极值 7.条件极值问题与L a g r a ng e 乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章 重积分1.有 界闭区域上的重积分2.重 积分的性质与计算3.重 积分的变量代换4.反 常重积分 5.微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章 曲线积分与曲面积分 1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 3.G r e e n公式，G a us s 公式和S t oke s 公式 4.微分形式的外微分 5.场论初步本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握G r e e n公式，G a us s公式和S t oke s公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出G r e e n公式，G a us s公式和S t oke s公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章含参变量积分1.含 参变量的常义积分 2.含参变量的反常积分 3.E ule r 积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握E ule r积分的计算。第十六章 F our ie r级数 1.函数的F our ie r级数展开 2.F our ie r级数的收敛判别法 3.F our ie r级数的性质 4.F our ie r 变换和 F our ie r 积分 5.快速F our ie r变换本章教学要求：掌握周期函数的F our ie r级数展开方法，掌握F our ie r级数的收敛判别法与F our ie r级数的性质，对F our ie r变换与F our ie r积分有一个初步的了解。试题一、解答下列各题1、2、3、4、i-t a n x-t a n 2求极限 lim-.7 s inln(x-1)求+l)3 e d x.求极限l i m-1 0,:+1 0叶1.i Z+O.l l +0.0 lx+0.0 0 1设y =x2 s in2 tdt,求y匆(x)=,5、x2-x +L x 0.2x-x,x 16、r2-I求极限l i m .it I n国7、8、设求Ay =(3 x +l)l n(3 x +l),求y,dx.Jl -x?9、设 y(x)=x 3 e-2,求心仁.10、求由方程*+j=屋(常数。0)确定的隐函数y=y(x)的微分由11、设y =y(x)由 x =(1 +)和 =(1一5 2)%所确定,试求.dx12、13、14、15、设y =y(x)由方程y =e x所确定，求y，若x 0,证明x?+l n(l +x)2 2x求十L五d百xT走 f 2 dx求L百二d x16、二、(x +1)(厂+1)解答下列各题求J1、要做一个圆锥形漏斗其母线也生以要使其体积最大问其高应为多少?2、求曲线y =2-/与丁=区所围成的平面图形的面积.3、求曲线y =/和y =/在 0上所围成的平面图形的面积.三、解答下列各题证明方程r 5-7x =4在区间(1,2)内至少有一个实根.四、解答下列各题判定曲线y =(x +3)&在(),+8)上的凹凸性第二部分(1)课程名称：微分几何(2)基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；F r e n e t标架与F r e n e t公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。二、讲授纲要第一章三维欧氏空间的曲线论1曲线曲线的切向量弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。2主法向量与从法向量曲率与扰率教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。3 Frenet 标架 Frenet 公式教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。4曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。5曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。6平面曲线的一些整体性质6.1关于闭曲线的一些概念6.2切线的旋转指标定理6.3凸曲线*6.4等周不等式*6.5四顶点定理*6.6 Cauchy-Crofton 公式*教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式。7 空间曲线的整体性质7.1球面的Crofton公式*7.2 Fenchel 定理*7.3 Fary-Milnor 定理*教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的 Crofton 公式，Fenchel 定理与 Fary-Milnor 定理。第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何 1 曲面的表示切向量法向量1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数表示1.5例1.6单参数曲面族平面族的包络面可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。2 曲面的第一、第二基本形式2.1曲面的第一基本形式2.2曲面的正交参数曲线网2.3等距对应曲面的内蕴几何2.4共形对应2.5曲面的第二基本形式教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量一一曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。3 曲面上的活动标架曲面的基本公式3.1省略和式记号的约定3.2曲面上的活动标架曲面的基本公式3.3 Weingarten 变换 W3.4曲面的共朝方向渐近方向渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共趣方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。4 曲面上的曲率4.1曲面上曲线的法曲率4.2主方向主曲率4.3 Dupin 标线4.4曲率线4.5主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率4.6曲率线网4.7曲面在一点的邻近处的形状4.8 Gauss映照及第三基本形式4.9总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理5.1曲面的基本方程5.2曲面论的基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。6 测地曲率测地线6.1测地曲率向量测地曲率6.2计算测地曲率的Liouville公式6.3测地线6.4法坐标系测地极坐标系测地坐标系6.5应用6.6测地扰率6.7 Gauss-Bonnet 公式教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用L i o u v i l l e公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理 解（局部）G a u s s-B o n n e t公式。7 曲面上的向量的平行移动7.1向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分7.2绝对微分的性质7.3自平行曲线7.4向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示7.5沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。习题：1 .证明推论2.3.1,2 .设X,丫为B a n a c h空间，x ）:口,句f X是连续抽象函数，对有界线性算子T:X-Y,证明：在 a,句上R 一可积，并且 以）=丁 ，4。Ja Ja3 .设C a向 到C a,切中的算子7由（公）=（1 +/）口（5）2本给出，7在任一元素x处是否尸一可导？若答案肯定，求高算子F（x）。4.设/是R到R中 的 一 个 映 射。证明：/在 与 e R 处沿方向 R 的G一微分力（%；）等于gradf（xo）h,这里gra4=（言，畀，畀，畀）”=（瓯为也）；ox ox2 ox3 dxn在/1（/;,3）=%X 2+X/3 +X-1 Z 和力=（1,2,3,0,0,0,1）,%0=（,一1 一,3,2,1）的情况下计算4（%0；/1）,又问：/在x e H 处的F 导数是什么？当f（x）=xt+%2 +石+x：时求/（X）。5 .设f R3 由 T（羽y）=（x 2 2,个2+3 y,4x +5 y）定义,求T 在（一1,2）处沿方向（1,1）的G 微分。解：写V2 2 、x -yxy2+3y,知 T 4x +5 ytT-244xy)2xy24-2 y、2xy+3,故所求G 微分为5 ,-4-151-1，25.-176.设x、丫 是赋范线性空间,T：X-丫 由 7 k=A r+m V x e X 定义，其y Y 9 AGB(X r),证明7在V xsX处尸一可微，且求其尸一导算子。解：Vx e X,V G X,T(x+h)T(x)=A(x+/z)+yo (Ax+yo)=Ax+Ah+yo-Ax-yo=Ah+0 ,由于 A e B(X Y),且|例%=0f 0,(|网-0),7 在 x处是产一可微的，且T (x)=A。7.设 7:内 f R2 由 T(x,y,z)=(3-2 y，V +2*)e/?2,X7(x,y,z)e W 确定，求 T在(1,2,1)处的尸一导数。9yz,苫;2 2,故T在y 十 n人/j3解：采用列向量表示，T将y应是变换T的J a co bi矩阵变换成6 x -2 02z 2 y 2x处的尸一导数，在(x,y,z)=(l,2,1)处，此矩阵为6 -2 0、2 4 2,在列向量表示下，T在(1,2,-1)处的/一导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：h2A6-2-240、2,hh2,V h2 右端即6/?1 2h,2/ij+4/t,+2h、故7在(1,2,1)处的尸导数就是将V(%,生,4)变换为(6%-2饱,-2%+42+2为)的线性变换。备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。备注2：当T:R f R2表示为T3 x2-2yy2+2xz X、e/?2,V ye*,我们可得3yT在3y处的尸一导数是:Ty6x-2 02z 2y 2x，即T yh2=zz从力3,6x-22 z 2y02xE R，,h.f f l X仇)故T 221 h2b+4/Z 2 +2/2 3(hA|,V h,e R3或 厂(2 Y l =/06._一；9 n：，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表第三部分1.高等代数基本定理设K为数域。以Kx 表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果/(x)=g/+/x T +.+a“cKx ,(a o。0),则称为/(x)的次数，记为 d e g /(x)o定理(高等代数基本定 理)C田的任一元素在C中必有零点。命题 设/(%)=4%+.+。“,(。0。0,是 C 上一个次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为4的-1次多项式q(x),使得f(x)=q(x)(x -a)+f(a)证 明 对“作数学归纳法。推 论 与为/(X)的零点，当 且 仅 当 为/(X)的因式(其中d e g/(%)l)o命 题(高等代数基本定理的等价命题)设/(x)=4 x +/x T+a”(%w0,2 1)为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数a 1,4，.a”，使/(x)=a0(x-a1)(x-a2)(r-a)证明利用高等代数基本定理和命题1.3,对作数学归纳法。2.高等代数基本定理的另一种表述方式定 义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式aoxn+a1x/,-l+.+an_lx+an=0(其中4,6,K,称为数域K上的一个次代数方程；如果以x =ae K带 入(1)式后使它变成等式，则称a为方程(1)在K中的一个根。定 理(高等代数基本定理的另一种表述形式)数域K上的(2 1)次代数方程在复数域C内必有一个根。命 题 次代数方程在复数域C内有且恰有个根(可以重复)。命 题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定C上两个次、加次多/(X)=a0+/x +.+anx(an。0)g(x)=b0+bx+bmxm(b,“。0),如果存在整整数/,/N m及/+1个不同的复数月，色,也,月+i，使得/()=g(a=u,/+1),贝 l j/(x)=g(x)。1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性设/(x)=4%+”R i +4,其中4&小力0。设/(x)=0的复根为%,七,，区，(可能有重复)，则/(x)=n(x _ a)=(x-a)(x a,)(x-a)期%r=xn-(,+a2+)x,1 +axa2 a“.所以a.=(一1)(,+%+4)；。0=(-D2 z%；=(-1)。%a 我们记cr0(al,cz2,-,a/l)=l；a“)=%+a2+；n 4%；all(ai,a2,-,all)=aia2(0,(7称为%,火,a“的初等对称多项式)。于是有定理 2.5(韦达定理)设/(X)=4X0+4XT+4,其中 a,WK,4HO。设/(x)=0的复根为4,4,%。则命 题 给定R上次方程%-=(-1)2CT2；aoaj=(-l)cT“(,外,%).ao如果a =a+b i是方程的一个根，则共枕复数万=。-万也是方程的根。证明由已知，aoxn+a/7 +.+an_x+%=0,a。w 0,ana+axa+.+an_ia+an=0.两边取复共车厄，又由于a。,。1,./in e R,所以0a+ayan+.+an_xa+an=Q.高等代数试题设并且 a,a(a),，c fi(a)都不等于零，但 c r“a)=O,证明：a,c r(a),，b i(c)线性无关答案：按线性无关的定义证明2、令心团表示一切次数不大于的多项式连同零多项式所成的向量空间,c r：/(x)l f(x),求(T关于以下两个基的矩阵:(1)1,x,X2,x,(2)1,x-c,，()9 c w F2!！一0 1 0o-0 1 0 0 0 0 2 00 0 1 0答：.(2)0 0 0 n0 0 0-10 0 000 0 0 03、F4表示数域F上四元列空间取-1-1 5 -f11 -2 3A=对 于&C尸二令b)=AJ3 1 8 11 3 -9 7 _求 d im(k er(c r),d im(I m(c r)解：R(A)=2,取人的一个基(如标准 基)，按列排成矩阵B,矩阵A B的列向量恰是这个基的象。又同工0,所以 R(AB)=R (A)=2所以d im(I m(b)=2d im(k er(c r)=解空间的秩=4 一 A)=24、设尸上三维向量空间的线性变换b关于基的矩阵是的矩阵1 5 -1 1 5A=2 a l +3%+%2 0 -1 5 8,求关 于 基 丹=3%+4%+%_ 8 -76A =ax+2 a 2 +2 a 3一1f23 rB=T-XAT=2 T=3 4 23 L11 25、令b是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件4=。，证明：(1)k er。)=4一e V (2)V =k er。)I m。)证 明:(1)Ve-cr(e V,则b(o)=-b)=b -c r2 =T()-b =0,a s Ker(a)反之，P e Aer(c r),c r(/?)=0,=尸-(7(4)G 4一。(酒 G v 于是 k er =&一 e VV a e V,a=-a()+a(),即 V =k er(c r)+I m(c r)设 e k er(c r)c I m(c r)由 e I m(c r),W v e V ,使得6、设b(u)=,。2(上)=b(),因c r2=c r,所以c r(L)=c r(/?)又(3 e k er(c r),所以cr(/?)=0,于是c r(=0 ,即 p=Q 所以 k er(c r)c I m(r)=0-4 6 0-A=-3 -5 0 ,求心-3 -6 1解：特 征 值4=4=1,=-2特 征 向 量。=(0,0,1)7 2=(-2,1,0)3=(-U，1)TP=(未 全 殳)则 PAP=A,A1 0=PP-概率易错知识点总结(原创)1、“非等可能”与“等可能”的区别如果一次随机实验中可能出现的结果有N 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/N；如果其中某个事件A包含的结果有M 个，则事件A 的概率为M/N。2、互斥与对立对立一定互斥，但是互斥不一定对立。不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A,B 互斥则P(A+B)=P(A)+P(B),必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，如果A,B对立则满足两个条件(1)P(A B)=空集；(2)P(A+B)=lo3、互斥与独立不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A,B 互斥则P(A+B)=P(A)+P(B),事件A(或者B)是否发生不影响事件B(或者A)发生的概率，则 A 和B 独立。此时P(AB)=P(A)p(B)；概率为0 或者1的事件与任何事件都独立，如果两个事件存在包含关系，则两个事件不独立；如果0(P(A)(1,0(P(B)1,如果A,B 互斥则不独立，如果A,B独立则不互斥(注意条件)。4、排列与组合这一点还是比较简单的，不过还是有部分同学不太清楚。排列与顺序有关，组合与顺序无关。还有一点要注意；同类相乘有序，不同类相乘无序。5、不可能事件与概率为0 的随机事件这两者之间的关系为：不可能事件的概率P()=0,但是反过来，概率为零的随机事件A 未必是不可能事件，也就是说，由P(A)=0推不出A=，例如连续型随机变量在任何一点的概率都为0o6、必然事件。与概率为1的事件即必然事件的概率为1,但是概率为1的事件未必是必然事件，即由P(A)=1推不出A=。，对于一般情形，由P(A)=P(B)同样不能推得A=B即A=B仅仅是(A)=P(B)的充分条件。7、有关条件概率，一般记为P(A|B)表示B事件的发生条件下A 发生的概率，这里我要说明的是如果B是 A 的子集 那么P(B|A)=P(B)是不对的，按推导P(B|A)=P(AB)/P(A)只有当P(A)=1时原式才等于P(B);同样可以理解P(A|B)=1如果我写出P(A|B)=1那么会有一半多的朋友会认为B 是A 的真子集，其实这是一道93年的真题，事实上这是一道错题，错就错在“B 是 A 的真子集”是 P(A|B)=1的充分条件，而不是必要条件，举个例子P(A|B)=P(AB)/P(B)(这里P(AB)是服从01分布的在区间为(0,1/2)的概率，P(B)是服从01分布的在区间为 0,1/2 概率，他们的比也是1但是A 不是B 的真子集