2018年海南高考理科数学真题及答案.pdf

2018 年海南高考理科数学真题及答案注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的11 2i12i243Ai552已知集合AA943Bi5534Ci5534Di55x，yx y23，xZ Z，yZ Z，则A中元素的个数为B8C5D4exex3函数fx的图像大致为x24已知向量a a，b b满足|a a|1，a ab b 1，则a a(2a a b b)A4B3C2D0 x2y25双曲线221(a 0,b 0)的离心率为3，则其渐近线方程为abAy 2x6在ABC中，cosA4 27为计算S 1By 3xCy 32xxDy 22C5，BC 1，AC 5，则AB 25B30C29D2 5开始N 0,T 0i 1是1ii 100否11111，设计了右侧的程序框图，23499100则在空白框中应填入Ai i1Bi i 2Ci i3Di i 4N N T T S N T输出S结束1i 18 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是 A112B114C115D1189在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为1A5B56C55D2210若f(x)cosx sin x在a,a是减函数，则a的最大值是A4B2C34D11已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1 x)f(1 x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)A50B0C2D50 x2y212已知F1，F2是椭圆C：221(a b 0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在ab过A且斜率为A3的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，则C的离心率为6B23121C3D14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13曲线y 2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_x 2y 5 0，14若x,y满足约束条件x 2y 3 0，则z x y的最大值为_x 5 0，15已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_SB所成角的余弦值为16 已知圆锥的顶点为S，母线SA，7，SA与圆锥底面所成角为 45，8若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 7，S3 15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回2，17）建立模型归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1，30.413.5t；2，7）：y根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1，9917.5t建立模型：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12 分）设抛物线C：y2 4x的焦点为F，过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8（1）求l的方程（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20（12 分）如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值POBMAC21（12 分）已知函数f(x)exax2（1）若a 1，证明：当x 0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 2cos，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数y 4sin 方程为x 1tcos，（t为参数）y 2tsin（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数f(x)5|x a|x 2|（1）当a 1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围绝密启用前绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1D7B2A8C3B9C4B5A6A12D10A11C二、填空题13y 2x三、解答题17解：（1）设an的公差为d，由题意得3a13d 15由a1 7得d=2所以an的通项公式为an 2n922（2）由（1）得Sn n 8n (n4)1614915121640 2所以当n=4 时，Sn取得最小值，最小值为 1618解：（1）利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30.4 13.519 226.1(亿元)y利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 9917.59 256.5(亿元)y（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很y 30.4 13.5t上下好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据 9917.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的建立的线性模型y变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理 说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y k(x 1)(k 0)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由y k(x1),2y 4x得k x(2k 4)xk 022222k2 4 16k 16 0，故x1 x22k24k24所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)k24k248，解得k 1（舍去）由题设知，k 12k因此l的方程为y x1（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y 2 (x3)，即y x5设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则y0 x05,x03,x011,2解得或(y0 x01)2y 6.y 216.00(x01)2因此所求圆的方程为(x3)(y2)16或(x11)(y6)14420解：（1）因为APCP AC4，O为AC的中点，所以OP AC，且OP 2 32222连结OB因为AB BC 且OB AC，OB 2AC，所以ABC为等腰直角三角形，21AC 22由OP2OB2 PB2知POOB由OP OB,OP AC知PO平面ABCuu u r（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyzuu u r由已知得取平面PAC的法向量OB(2,0,0)uuur设M(a,2 a,0)(0 a 2)，则AM(a,4 a,0)设平面PAM的法向量为n n (x,y,z)uu u ruuu r2y2 3z 0由APn n0,AM n n0得，可取n n (3(a 4),3a,a)，ax(4a)y 0uu u r所以cos OB,n n 2 3(a4)2 3(a4)3a a222uu u r3由已知可得|cos OB,n n|2所以2 3|a4|2 3(a4)23a2a2=34解得a 4（舍去），a 23所以n n (8 3 4 34,)333又uPCuu r(0,2,2 3)，所以cosuuPCu r,n 34所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34解：（1）当a 1时，f(x)1等价于(x21)ex1 0设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex当x 1时，g(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减而g(0)0，故当x 0时，g(x)0，即f(x)1（2）设函数h(x)1ax2exf(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点（i）当a 0时，h(x)0，h(x)没有零点；（ii）当a 0时，h(x)ax(x2)ex当x(0,2)时，h(x)0；当x(2,)时，h(x)0所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增故h(2)14ae2是h(x)在0,)的最小值h(2)0，即a e2若4，h(x)在(0,)没有零点；若h(2)0，即a e24，h(x)在(0,)只有一个零点；若h(2)0，即a e24，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x 0时，ex x2，h(4a)116a316a316a31e4a1(e2a)21(2a)41a 0所以21故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点e2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a 422解：x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为1416当cos0时，l的直角坐标方程为y tanx 2 tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x 1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t 8 0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t2 0又由得t1t2 4(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率13cos2k tan223解：2x4,x 1,（1）当a 1时，f(x)2,1 x 2,2x6,x 2.可得f(x)0的解集为x|2 x 3（2）f(x)1等价于|x a|x2|4而|x a|x2|a 2|，且当x 2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4由|a2|4可得a6或a 2，所以a的取值范围是(,6U2,)