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关键路径（CPM）A O E 网（A c t i v i t y O n E d g e n e t w o r k）,即边表示活动的网络,与A O V 网相对应的是。它通常表示个工程的计划或进度。A O E 网是一个有向带权图：边：表示活动（子工程），边上的权：表示该活动的持续时间，即完成该活动所需要的时间；顶点：表示事件，每个事件是活动之间的转接点，即表示它的所有入边活动到此完成，所有出边活动从此开始。其中有两个特殊的顶点（事件），一个称为源点，它表示整个工程的开始，亦即最早活动的起点，显然它只有出边，没有入边；另一个称为汇点，它表示整个工程的结束，亦即最后活动的终点，显然它只有入边，没有出边。除这两个顶点外，其余顶点都既有人边，也有出边，是入边活动和出边活动的转接点。在一个A O E 网中，若包含有n个事件，通常令源点为第0个事件，汇点为第n-1 个事件，其余事件的编号（即顶点序号）分别为C n-2 对于一个A O E 网，待研究的问题是：（1）整个工程至少需要多长时间完成？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？图 1 A O E 网图 2关键路径1.求出关键路径的意义关键路径实际上就是从源点到汇点具有最长路径长度的那些路径，即最长路径。这很容易理解，因为整个工程的工期就是按照最长路径长度计算出来的，即等于该路径上所有活动的持续时间之和。当然一条路径上的活动只能串行进行，若最长路径上的任一活动不在最早开始时间开始，或不在规定的持续时间内完成，都必然会延误整个工期，所以每一项活动的开始时间余量为0,故它们都是关键活动。可通过加快关键活动（即缩短它的持续时间）来实现缩短整个工程的工期。但并不是加快任何一个关键活动都可以缩短整个工程的工期。只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到这个目的。2.事件的最早发生时间与活动的最早开始时间的关系在 A0E网中，一个顶点事件的发生或出现必须在它的所有入边活动（或称前驱活动）都完成之后，即只要有一个入边活动没有完成，该事件就不可能发生。所以：一个事件的最早发生时间是它的所有入边活动，或者说最后一个入边活动刚完成的时间。一个活动的开始必须在它的起点事件发生之后，也就是说，一个顶点事件没有发生时、它的所有出边活动（或称后继活动）都不可能开始，所以：一个活动的最早开始时间是它的起点事件的最早发生时间。3.求事件的最早发生时间对于源点事件来说，因为它没有入边，所以随时都可以发生，整个工程的开始时间就是它的发生时间，亦即最早发生时间，通常把此时间定义为0,从此开始推出其他事件的最早发生时间。例如，如图所示的AOE网中，明事件的发生必须在a 和 as活动都完成之后，而 a,和 a,活动的开始又必须分别在V?和V”事件的发生之后，5和 V，事件的发生又必须分别在ai和 a2活动的完成之后，因由和a?的活动都起于源点，其最早开始时间均为0,所以揶和az的完成时间分别为3 和 6,这也分别是 V2和 V,的最早发生时间，以及a,和 a8的最早开始时间，故 a,和 a8的完成时间分别为7 和7,由此可知Vs事件的最早发生时间为7,即所有入边活动中最后一个完成的时间。从以上分析可知，一个事件的发生有待于它的所有入边活动的完成，而每个入边活动的开始和完成又有待于前驱事件的发生，而每个前驱事件的发生又有待于它们的所有入边活动的完成，总之，一个事件发生在从源点到该顶点的所有路径上的活动都完成之后，显然，其最早发生时间应等于从源点到该顶点的所有路径上的最长路径长度。这里所说的路径长度是指带权路径长度，即等于路径上所有活动的持续时间之和。如从源点V,到顶点匕共有三条路径，长度分别为5、6 和 3,所以的最早发生时间为6。从 源 点%到 汇 点 片有多条路径，通过分析可知，其最长路径长度为1 0,所以汇点片的最早发生时间为10。汇点事件的发生，表明整个工程中的所有活动都已完成，所以完成图所对应的工程至少需要10天。如何从源点片的最早发生时间1 出发，求出其余各事件的最早发生时间。求一个事件Vk的最早发生时间（即 从 源 点 的 最 长 路 径 长 度）的常用方法是：由它的每个前驱事件V,的最早发生时间（即从源点v jv,的最长路径长度）分别加上相应入边i,k 上的权，其值最大者就是Vk的最早发生时间。由此可知，必须按照拓扑序列中的顶点次序（即拓扑有序）求出各个事件的最早发生时间，这样才能保证在求一个事件的最早发生时间时.，它的所有前驱事件的最早发生时间都已求出。4.事件的最迟发生时间与活动的最迟开始时间的关系事件的最迟发生时间：在不影响整个工程按时完成的前提下，一些事件可以不在最早发生时间发生，而允许向后推迟一些时间发生，我们把最晚必须发生的时间叫做该事件的最迟发生时间。同样，在不影响整个工程按时完成的前提下，一些活动可以不在最早开始时间开始，而允许向后推迟一些时间开始，我们把最晚必须开始的时间叫做该活动的最迟开始时间。AOE网中的任一个事件若在最迟发生时间仍没有发生或任一项活动在最迟开始时间仍没有开始，则必将影响整个工程的按时完成，使工期拖延。若 用 v k 表示顶点/事件的最迟发生时间，用 l i 表 示 X的一条入边 j,k 上活动a i 的最迟开始时间,用dut(j,k )表 示 的 持 续 时 间,则 有 1 i =V i k -dut(j,k )因 a：活动的最迟完成时间也就是它的终点事件外的最迟发生时间，所 以 a：的最迟开始时间应等于Vk的最迟发生时间减去a i 的持续时间，或者说，要比Vk的最迟发生时间提前a,所需要的时间。5 .求事件的最迟发生时间为了保证整个工程的按时完成，把汇点的最迟发生时间定义为它的最早发生时间，即V.n=V o n Vlo其他每个事件的最迟发生时间应等于汇点的最迟发生时间减去从该事件的顶点到汇点的最长路径长度，或者说，每个事件的最迟发生时间比汇点的最迟发生时间所提前的时间应等于从该事件的顶点到汇点的最长路径上所有活动的持续时间之和。求一个事件明的最迟发生时间的常用方法是：由它的每个后继事件X的最迟发生时间分别减去相应出边 j,k 上的权，其值最小者就是v j 的最迟发生时间。由此可知，必须按照逆拓扑有序求出各个事件的最迟发生时间，这样才能保证在求一个事件的最迟发生时间时，它的所有后继事件的最迟发生时间都已求出。6 .根据A 0 E 网中每个事件的最早发生时间和最迟发生时间计算出每个活动的最早开始时间和最迟开始时间。设事件V i 的最早发生时间为V j ，它的一个后继事件网的最迟发生时间为V k ,则边k 上的活动a,的最早开始时间e i 和最迟开始时间1 i 的计算公式重新列出如下：e i =V j l i =V,k -dut j,k 根据此计算公式可计算出A O E 网中每个活动a,的最早开始时间e i ,最迟开始时间l i 和开始时间余量有些活动的开始时间余量不为0,表明这些活动不在最早开始时间开始，至多向后拖延相应的开始时间余量所规定的时间开始也不会延误整个工程的进展。如对于活动a 5,它最早可以从整个工程开工后的第3 天开始，至多向后拖延1 天，即从第4天开始。有些活动的开始时间余量为0,表明这些活动只能在最早开始时间开始，并且必须在持续时间内按时完成，否则将拖延整个工期。我们把开始时间余量为0的活动称为关键活动,由关键活动所形成的从源点到汇点的每一-条路径称为关键路径。挣值管理分析 概念1 挣值管理是一种综合了范围、时间、成本绩效测量的方法。通过与计划完成的工作量、实际挣得的收益、实际的成本进行比较，可以确定成本、进度是否按计划进行。挣值管理可以在项目某一特定时间点上，从达到范围、时间、成本三项目标上评价项目所处的状态。2挣 值 管 理 是 以 项 目 计 戈 作 为 一 个 基 准 线 来 衡 量：已 经 完 成 的 工 作，花费的时间（是超前还是滞后），花费的成本（是超支还是节约）.二关键值1 计 划 值（PV）相 当 于（BCWS）：即根据批准认可的进度计划和预算到某一时点应当完成的工作所需要投入的资金。这个值对衡量项目进度和费用都是一个基准，一般来说，P V 在项目实施过程中应保持不变，除非预算、计划或者合同有变更。2 实 际 值（AC）相 当 于（ACWP）：即到某一时间点已完成的工作实际花费或消耗的成本。3 挣 值（EV）相 当 于（BCWP）：根据批准认可的预算，到某一时点已经完成的工作应当投入的资金。三 常用的尺度（注意：这些取值都在同一时间点上，相当于定一个检查日期进行偏差分析）1 成本偏差CV=EV-AC 结果：大于0成本节约状态小于0成本超支状态2 进度偏差SV=EV-PV 结果：大于0进度超前状态小于0进度滞后状态3 成本绩效指标CPI=EV/AC 结果：大于1 成本节约小于1 成本超支4 进度绩效指标SPI=EV/PV 结果：大 于 1 进度超前结果：小 于 1 进度滞后四 举 例 说 明某项目计划工期为4 年，预算总成本为800万元。在项目的实施过程中，通过对成本的核算和有关成本与进度记录得知，在开工后第二年年末的实际情况是：开工后二年末实际成本发生额为200万元，所完成工作的计划预算成本额为100万元。与项目预算成本比较可知：当工期过半时，项目的计划成本发生额应该为400万元。试分析项目的成本执行情况和计划完工情况。由已知条件可知：PV=400万元 AC=200万元 EV=100万元CV=EV-AC=100-200=-100 成本超支 100 万元SV=EV-PV=100-400=-300 进度落后 300 万元SPI=EV/PV=100/400=25%二年只完成了二年工期的25%,相当于只完成了总任务在1/4.CPI=EV/AC=100/200=50%完成同样的工作量实际发生成本是预算成本的2 倍。投资控制某投资项目预测的净现金流量见下表(万元)，设资金基本贴现率为10%,则该项目的净现金 值 为()万元年份012345678910各年末净现金流量-5006010010010010010()100100100100解：本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起介绍，然后解题年金，是指一-定时期内每次等额收付款的系列款项，通常记作A。如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄等等。年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。一、普通年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。1.普通年金现值公式为：P =AX(1 +i)T +AX(1 +i)-2 +AX(1 +i)Y T)+AX(1 +i)-=AX i式中的分式匕 D 一 称作 年金现值系数”，记 为(P/A,i,n),可通过直接查阅“1z元年金现值表”求得有关的数值，上式也可写作：P=A (P/A,i,n).2.例子：租入某设备，每年年末需要支付租金1 2 0 元，年复利利率为1 0%,则 5年内应支付的租金总额的现值为：p =A x 1 -(1 +1 0二=1 2 0 x +=2 0 x 3.79 0 8 4 5 5 (元)i1 0%二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而隔若干期(假设为S 期，S 1),后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。1.递延年金现值公式为：P=Ax 1 +”-1-Q+D =AxP/A,i,n)-(P/A,i,s)(1)i i J1 _/I I或 P =Ax ；吐 2-x(l +i)-=Ax(P/A,i,s)x(P/F,i,s)(2)i上 述(1)公式是先计算出n期的普通年金现值，然后减去前s期的普通年金现值，即得递延年金的现值，公 式(2)是先将些递延年金视为(n-s)期普通年金，求出在第s期的现值，然后再折算为第零期的现值。2.例子：某人在年初存入一笔资金，存满5年后每年年末取出1 0 0 0 元，至第1 0 年末取完，银行存款利率为1 0%。则此人应在最初一次存入银行的钱数为：P=Ax I T 一1 -(1+D =Ax(P/A,i,n)-(P/A,i,s)i i=1 0 0 0 xl-(l +1 0%)-1 0 l-(l +1 0%)-51 0%1 0%=1 0 0 0 x (P /A,1 0%,1 0)-(P /A,1 0%,5)=1 0 0 0 X (6.1 4 4 6-3.79 0 8)g2 3 5 4 (元)1 _/I 1 y x-(-5)或尸=A x 二2-x(l+i)-=A x(P/A,i,n-s)x(P/F,i,s)ii _(i +i o%r(l 0-5)二1 0 0 0 x 二-x (1 +1 0%尸=1 0 x (P /A,1 0%,1 0-5)x(P/F,1 0%,5)i=1 0 0 0 X 3.79 0 8 X 0.6 2 0 9=2 3 5 4 (元)三、本例的分析及解答：从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第2年开始到第1 0 年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定义，那么从第2年到第1 0 年的每年年末的净现金流量的现值要按递延年金来计算。第 0年的年末净现金流量为-5 0 0,说明是第1 年年初一次性投入5 0 0 万元，第 1 年年末的净现金流量为6 0 万元，按复利现值的公式来计算。从本例中，建设期为0年，经营期为1 0 年，年利率为1 0%,那么本例的投资的净现值计算为：N JI-PNPV=y y-W(I+R严 e(i+/?尸=60 x(l+10%)-|+100 x一N-x(l+10%)-1-500i=60 x(P/F,1O%,1)+100 x(P/A,10%,10-l)x (P/F,1O%,1)500=6 0 X 0.9 0 9 1+1 0 0 X 5.75 9 0 X 0.9 0 9 1-5 0 0=5 78.0 9 6 6 9-5 0 0 78.0 9 6 6 9 (万元)四、其他年金普通年金L终值公式为：FF -AA-d-+-0-1-i式 中 的 分 式 DX 称作年金终值系数”，记 作 为(F/A,i,n),可通过直接查阅i“1 元年金终值表”求得有关的数值，上式也可写作：F=A (F/A,i,n)例：假设某项目在5 年建设期内每年年末从银行堡1 0 0 万元，借款年利率为1 0%,则该项目竣工时就付本息的总额为:.=00X(1 +10%)二 1=1 0 0 义(F/A,1 0%,5)=1 0 0 X 6.1 0 5 1=6 1 0.5 1 (万元)10%2 .年偿债基金的计算(已知年金终值，求年金A)偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。式中的分式一-一称 作“偿债基金系数”，记 为(A/F,i,n),可通过直接查阅“偿(1 +0 -1债基金系统表”或通过年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=F(A/F,i,n)或者 A=F 1/(F/A,i,n)例：假设某企业有一笔4 年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%,则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：A=1000 x-=1000X 0.2154=215.4(万元)(1+10%)4-1或 A=1000X l/(F/A,10%,4)1=1000X(1/4.6410)=215.4(万元)3.年资本回收额的计算(已知年金现值P,求年金A)式中的分式-称 作“资本回收系数”记为记为(A/P,i,n),可通过直接查1-(1+j)-n阅“资本回收系统表”或通过年金现值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=P (A/P,i,n)或者 A=P 1/(P/A,i,n)例：某企业现在借得1000万元的贷款，在 10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为：A=1000 x-=1000X 0.17 7 0=17 7 (万元)1-(1+12%)-10或 A=1000X 1/(P/A,12%,10)=1000X (1/5.6502)=17 7 (万元)即付年金即付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金，它与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。1.由于付款时间的不同，n 期即付年金终值比n 期普通年金的终值多计算一期利息。因此，在 n 期普通年金终值的基础上乘上(1+i)就是n 期即付年金的终值。口.(1+)一1/一、4(l +i严-1i _ z式中称 作“即付年金终值系数”，它是在普通年金终值系数的基础上，i期数加1,系数值减1 所得的结果。通常记为(F/A,i,n+1)-1,这样，通过查阅“一元年金终值表”得到n+1期的值，然后减去1 便可得对应的即付年金终值系数的值。上式也可写作：F=A (F/A,i,n+1)-1例：某公司决定连续5 年于每年年初存入100万元作为住房基金，银行存款利率为10%。则该公司在第5 年末能一次取出本利和为：F=A (F/A,i,n+1)-11=100X (F/A,10%,5+1)-1=100X (7.7 156-1)=67 2(万元)2.由于付款时间的不同，n 期即付年金现值比n 期普通年金的现值少折现期。因此，在 n 期普通年金现值的基础上乘上(1+i)就是n 期即付年金的现值。1 _ /I I式中 ”+1 称 作“即付年金现值系数”，它是在普通年金现值系数的基础i上，期数减1,系数值加1 所得的结果。通常记为(P/A,i,n-1)+1,这样，通过查阅“一元年金现值表”得到n-1期的值，然后加上1 便可得对应的即付年金现值系数的值。上式也可写作：P=A (P/A,i,n-1)+1永续年金永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的例子。也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。公式为:例：某人持有的某公司优先股，每年每股股利为2 元，若此人想长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票投资进行估价。这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。P=A/i=2/10%=20(元)五、名义利率与实际利率的换算当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。公 式:i=(l+r/m),-l式中：i 为实际利率，r 为名义利率，m为每年复利次数。例：某企业于年初存入10万元，在年利率为10%,半年复利一次的情况下，到 第 10年末，该企业能得到多少本利和？依题意,P=10,r=10%,m=2,n=10则:i=(l+r/m)-l=i=(l+10%/2)-l=10.25%F=P(l+i)=10X(1+10.25%)=26.53(万元)这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不便于查表。可以把利率变为r/m,期数相应变为m X n,则有：F=P(l+r/m)n,Xn=10X(l+10%/2)2=10X(F/P,5%,20)=26.53(万元)