数学数列模块(答案版).pdf

1 (2 0 0 9浙江文)设S 为数列 “的前项和，Sn=k n2+n9 n eN*,其中攵是常数.(I)求q及%;(I I)若对于任意的m w N*,am,a2 m,4,”成等比数列，求女的值.解(I )当=1,3 =*=Z +1,n 2,an=Sn-Sn_=k 2+/?-n k(n-1)2+(-1)=2对-k (*)经验，n =1,(*)式成立，z.an=2 k a Z +l(1 1 )a”,，a2m,a4 l成等比数列，,a2 m2=am.a4m,即(4 k 一而+1-=(2 左 一觥+1)8A(加+1),整理得：m(A:-1)=0,对任意的m w N *成立，k=。或攵=12 (2 0 0 9北京文)设数列 凡 的通项公式为%=p n +4(w N*,P 0).数列 2定义如下：对于正整数如 鬣是使得不等式a.2机成立的所有中的最小值.(I )若 p =g,q =一；,求“；(I I)若p =2,q=1,求数列 篇 的前2勿项和公式；(I I I)是否存在0和0,使得“=3 2 +2(机N*)?如果存在，求0和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.解(I )由题意，得a 解得“2型.“2 3 2 3 3.一3成立的所有中的最小整数为7,即a=7.2 33(I I)由题意，得a“=2一1,+1对于正整数，由4 2加，得 2 .2根据超的定义可知当?=2左一1 时，b,=k(k G N )；当加=2 4时，b,“=k +l(k G N)二年+4+%”=(仇+/+%1)+仅2 +&+,+%)=(1+2+3H-F/M)+2+3+4H-+m(m +3),=-+-=m-+2m.22（I l l）假设存在。和g满足条件，由不等式0 +42机及得 2二二幺.P=3机+2（加w N*）,根据耙的定义可知，对于任意的正整数）都有3 m+l -3 m +2,即一 2 p-q W（3 p-l）机 一0-q对任意的正整数都成立.P当 3 p l0 （或 3 p-l 0）时，得 用（一上土Z （或？_2P+,）,3/7-1 3/7-1这与上述结论矛盾！1 2 1 2 1当 3 p =0,即=一时，得-q 0-q,解得 q 3 3 3 3 3:.存在夕和g,使 得 九 二3 m+2（加 N*）；1 2 12和g的取值范围分别是p =,q 0),则在定义域上有(l+a)(l+x)11 +a a f(x)g(a)=2a+aa=1,0 a 1故对n e N*,bn+l 2 g(a)恒成立.乂 电=亮 了 注意到0 g -J i-2 g q l-g(a)+712g(a)l-g(a)+Jl-2 g(a)_g(a)-g(a)取 八 匕 g正1g叵 ，即有lflnd 2,注意到d w O,整理得q=-2(3)证明：由题设，可得。“=/i,贝ij$2“=%+4 4 +/4 2+T2n-a2q+a3q-得，S2 n T2n=2(a2q+a4q3+,+得，S 2 n +72“=aq+aq2+%-闯式两边同乘以q,得以52+“)=2(q9+。3口+-+。2_|/-2)所以(1 q)S2“-(1+q)T,=2d(q+q3+y 20T)=2d：可)l-q(3)证明：G-2 =(%-4)仇 +(%,-4 )%+(”%)么=(kljd 1+伙斤闷+珈 囱 一/“M I因为d wO,4中0,所以-=(%1 4)+(左2 ，2)g+电a b若攵工ln 取i=n,若&=小取i满足A jW/j,且 号=/,i+1 (/由(1)(2)及题设知，1三 九，且 2 (%-/)+(七 一，2 M+C l b 当 左 /j 时，kt l j -L 由夕 ki-4时，同理可得幺二包4一1,因此G c,*0 .g 综上，ci w c26（2009辽宁卷文）等比数列 的前n项和为4,已知S3,S2成等差数列（1）求 的公比q；（2）求 一%=3,求,解：（I）依题意有%+（a+aq）=2（a+aq +aq2）由 于q。0,故2 q 2 +q =g又q w O,从而q=一；5分（I D由已知可得由-%（-!=31 2故q =44（1 （一1尸）从而s=-f =-（1-（一一）n）10 分1-（-）J 227（2009重庆卷文）（本小题满分12分（I）问3分，（II）问4分，（111）问5分）已知 q =l,a,=4,a“+2 =4。“+|+4，4=也,代*.(I )求可也 也 的值;(H)设c.=。也“”S.为数列%的前项和，求证：S 1 7 ；(i n)求证：瓦 一 切2 1 64 1 7 217 72解：(I );出=4,%=1 7,g=7 2 ,所以 4 =4力2 =,/?3=(II)由 4+2 =4”,川+。“得&=4 +4 即%=4 +；%+1”,所以当 2 2 时，bn 4 于是G =2也=1 7 c =1 也+1 =他+1 1 7 (“2 2)所以 S =cx+C2+。2 1 7(III)当 =1 时,1 17结论区-仇|=石成立1 1 U _ 1当22时、有历+口=1 4 +-!-4二1=1一 bn-bn.I1,1 1 b 如m 一 1 7 w 至统*1 1 -p z r也 一4 1 y (2)所以 鬼 -2 IW bn+i-bn+h+2 -b“+I +b2 n-%I1 1 ,+()+()2-21 7 1 71 1-29（2008江西卷）数列 4 为等差数列，a“为正整数，其前几项和为S，数列 为等比数列，且6=3,4=1,数列也 是公比为64的等比数列，优2=64.求a“也;(2)求证 J-+-L+-LS S2 Sn3b =(6+d )g =64由(6+d)q =64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d =2,q =8故=3 +2(-1)=2 +1,=8”(2)S“=3 +5-1-F(2 n+1)=n(n+2).1 1 1111 1.+=-+-+-+-S2 Sn 1 x 3 2 x 4 3 x 5 n(n+2=(1 +-)2 2 n+1 n+2 41 0 (2 0 0 8湖北).已知数列 4和 ,满足：2%=%，+-4也=(1)(%3 +2 1),其中;I 为实数，n 为正整数(I )对任意实数九，证明数列仅“不是等比数列；(II)试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；(III)设0。(仇S “为数列 的前项和.是否存在实数X,使得对任意正整数，都有4 S“b?若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.(I )证明：假设存在一个实数入，使&是等比数列，则有羌=a ,即2 4 4 41/1一3)2=/1(/1 4)=3/1 2-4/1 +9=/1 2-4/1 =9=0,矛盾.所 以 4不是等比数列.2(H)解：因为昨尸因 1 严 a i 3(/r l)+2 1 =(-1严(=&b 2/M4)327=(T)”,(a-3/?+2 1)=-b 33又打尸(人+1 8),所以当入=-1 8,4=0(GN*),此 时 儿不是等比数列:当 入#一 1 8 时，6 尸(入+1 8)W 0,由上可知4#0,上士=一4 (GN ).bn 32故当入#-1 8 时，数 列 ,)是 以 一(入+1 8)为首项，一一为公比的等比数列.3(I I I)由(I I )知，当入=-1 8,4=0,5=0,不满足题目要求.2：.X -1 8,故知 b=-(X+1 8)-e-)e,于是可得33 2 一5=-1(2+1&1一要使a S 6 对任意正整数n成立，3 2即 a -(X+1 8)1 ()勺 b (WN*)5 3得-=+1 8)()=i-(-2),则当为正奇数时，1 人)4*；当为 正 偶 之 数/励i,3 9./()的最大值为f(l)=3,/()的最小值为A 2)=3 95 3 3于是，由式得 a -2(A+1 8),二匕。一/?一1 2 -3 -1 .9 5 5当 a 3 4 3 a 时，由一e1 8 =-3 a-1 8,不存在实数满足题目要求；当於3 a 存在实数X,使得对任意正整数n,都有a S 2时,S,一a=S1-=（1；”）0.故 S,b.若4=4,则S“=2+若2f .当 N 2时,S -b=S,-=）,故对于 eN+，当W9时,S“2;当=1 时,S“=d；当 N1 时,S“A”.13（2009龙岩一中）设正整数数列伍,J满足：6=2,%=6，当 2 2时，有,2.1I。“一。”一1。+/5%一1 ,（I）求3、%的值；（H）求数列 4 的通项；9-4T91解（I）时，1%-由已知q =2,4 =6,得 136-2%11，因为小为正整数，所以。3 =1 8,同理%=5 4.2分（II）由（I）可猜想：3分证明：=1,2时，命题成立;假设当=攵-1与时成立，即4=23 1%=23 2。4分于是卜,整理得：吟f弓5分由归纳假设得：12 3*-%J,n 2 3*,am 2 3+,2 2 26分因为4+1为正整数，所以知+1=23 ,即当=k+l时命题仍成立。综上：由知知对于X/n w N*,有a,=2台 4成立.7分(HD证明：由2(=122 32n2d-1.-+4-3 322 I2 22,(-1)2,2得 刀 广 可+3+亍 一 +34 3 5式减式得Tn=1 +H-F2 一 1n23 1 34 T 1 35+系+2-3 2M-1n2-+3 i-3 3”9分式减式得生=1+9 3 322(1尸3“T 3n2H-3,+111分，“1 1 1、-1+2 lfr-4-7 r+-+r)-3 32 3,_|(IP3+=-1+2.3，田 1(一1)23n2H-r3n+lT +3 一 击 一(23+4=2-3M2(*-3”+6)3+i 213分9-4 2且 e N*).14分=，E LS“=S,i+a,i+g,删 帆(1)求%的通项公式;(2 )求证：数列 4“为等比数歹1 J；(3)求 也 前项和的最小值.解：由2 S =2 S T+2 a,T+D 2 a.=2 a“T+l,an-an_,=2 分*a”=+(H-l)d =A 2 -.4 分 3 a,-%=，.bn=；%+，,1,1 1 1 1,1 1 1 I 3、一/=3i，n-,+3n 2n+4=3b，6，1 +4=3b，2f l+4：,1 1 ,1 3b-=+-由上面两式得=_ L,又 仇-=_ U 2=_3O344数列 bn-a 是以-3 0为首项，1为公比的等比数列.8分(3)由(2)得4 an=-3 0 x(1)-,；.bn=a-3 0 x(手=l -l-3 0 x 一=；-；-3 0 x(；)T _；(”_ 1)+；+3 0 x g)-2-1 +3 0 x(I)-2(1 -1)=1 +2 0 x(I)-2 0，.2是递增数列.1 1 分1 1 9 3 5 1 0当时，h,=-0；当=2 时，h7-1 0 0；当 77=3 时，仇=-0,所以，从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.S.S,=-(1 +3 +5)-3 0-1 0-=-41 .1 3 分3 4 3 1 21 5(山东省潍坊市2 0 0 72 0 0 8学年度高三第一学期期末考试)已知数列%是 首 项 为%=士 公 比 的 等 比 数 列，设b +2 =3 1 o g,an(n e N*),数列4 4-%满足C=%也。(1)求证：仍“是等差数列;(2)求数列 c“的前n项和S“；(3)若C,4,m2+6一 1对一切正整数门恒成立，求实数m的取值范围。4解(1)由题意知，*=(；)(e N*：.1分=3 1 q a“g2,=3 1 q%名2 =14 4.2+1一a=3 1 9 ,+i g-3 1 Q%妻3 1 Q2=31 q q=g4 4 4 a n 4数列g“是 喻=1,颂 d釜 的 等 差数列.4分(2)由(1)知，%=(；),，=3一2(e N*cn=(3 -2)x ()”,(n w N*.5 分A S=l x l +4 x(l)2+7 x(l)3+.+(3/7-5)x(l)n-|+(3 n-2)x(l r,于 是:S“=1 x (；/+4 x +7 x (；尸 +(3 5)x (；)+(3 2)x (；)向两式相减得一S=F 3 )f +(+()(3 -2)x ()/,+|4 4 4 4 4 4=!一(3 +2)x(3+12 45-=-2 -1-M-9-8 x(.-1),.1 (z e N、一*.8 分八(3)c“M _%=(3 +1)(；)田 _ (3 _ 2)(；)4N*当时当1-4Cn-_一-C吐-即-.当n=l时，c“取最大值是一又c“4 4即 7 7 7 2+4/7 1 5 0得巾 1 或？-512分16(武汉市2 008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列他“的前n项和5 =(1)(2 2 +4 +1)1,n e Ne*。(1)求数列%的通项公式a ;(2)记b =e3-,求数列出 前n项和T,an解(1)数列 4的前 n 项之和 s.=(1)(2/+4 +1)1在 n=时，q =S =(-1?(2 +4 +1)-=-8在时，=S“%=(-1)(2 2+4 7 2 +l)-(-l)n-,2(n-l)2+4(rt-l)+l=(-l)-4 n(n+l)而 n=l 时,%=8 满足氏=(一1)4 (+1)故所求数列 为 通项4=(1)4 (+1).(7分)d=一)an 4 (+1)4 n +1因此数列 b 的前n项和Tn=-(1 匚)=也).(12分)4 +1 +117(全国卷I第2 2题)已知数列 中 =2,。,川=“5-1)(,+2),=1,2 3 ,.(I )求 q的通项公式；(H)若数列%中仇=2,4+1=某/n=L2 3 ,证明：V2 +(V2-2)t.由已知 an+i=(V2-l)a+2(回-1)比较系数得”-夜.a+1-V2 =(V2-l)可-即数列卜”一 码 是 心-行=2兽 反，公A=V2 +V2(V2 -l)z,(ne N+)(I D解 法1：用数学归纳法证明.(i)当=1时，因 亚2,=2,所以母 b W 4 ,结论成立.(i i)假设当时，结论成立，即 发 4忘%*_3，琬-It的为 0也即0%-&W a4 b 3一6.当=攵+1时，b z a=也4 6k+2 hk+3；(3-2五)4+(4-3扬2%+3_(3-2何4-0)一 U，2%+3又 一,一 =3-2后，2%+3 2 V2 +3所以矶-0 =(3-2/岫 一行)(3-2 (4-扬W (V2-1)4(4 A._3-V2)-。-V2.4*+1也就是说，当=k+l时，结论成立.根 据（i）和（ii）知 y/2 bn W 为“-3，=1，2 3,.解法2：由“+3%+4 得b2bn+3 得 n+l3%+4 5(3-2 痣)。“(-行)+3 2b +3于是12b,+3(3+2扬2/?+3)bn+l-V2(3-2V2)&(-V2)bn-V2(3+2 行)2 L-+2(3+2V2)%-叵令 一=c“,得%+|=(3+2 叵 V+2(3+2行)bn-叵有c”+i+孝=（3+2后）2 C”+?）+也=+立=1+迪4 b-V2 4 4数列+也!是 以 首 项 为1 +迪，公 比 为（3+2近）2的等比数歹人4 4?=空(3+2 2 rbn=-F V2c”2V2(3+2扬2“-1一 +V2-12V2(V2+l)4,-2-l+V25/2.又“4“.3=后（后 I）4、+后，二要证明为V2+1 +1-72=2,综上所得血 为18在 数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作（,，再令a“=lg，n L(I)求数列 q 的通项公式;(H)设a =tan a-tan an+l,求数列也,的前n项和Sn.解：(I)设/小,。+2构成等比数列，其中4=1，4+2=1 0,则I,=4 2+1%+2T,“+2 4 +1 12 4X 并利用 f,4+37=(tn+2=1 2,(止 j 1.(I I)由题意和(I)中计算结果，知bH=t an+自)t(a/2+8)属 1另一方面，利用t al=rt a%卅 1)(-)=t a 攵 由 1)(t ak i1 -1 a Z:-fi 1)2)满 足 何 出=1(A=1,2,.,1)，数列 A 为 E数列,记 S(A“)=q+%.(I)写出一个满足q=4 =0,且S(4)。的 数列A“；(H)若%=12,n=2000,证明：E数列A”是递增数列的充要条件是=2011：(III)对任意给定的整数n(n 2),是否存在首项为0的E数列A“，使得S(A“)=0?如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解(1)0,1,2,1,0 是一具满足条件的E 数列A5。(答案不唯，0,1,0,1,0 也是一个满足条件的E 的数列A5)(II)必要性：因为E 数列A5是递增数列，所 以%+i%=1(左=1,2产、1%所以As是首项为1 2,公差为1 的等差数列.所以 a2(o=12+(2000 1)x 1=2011.充分性,由于 320()0Hioool2200010001a2a 1所以 a2000aS 19999,即 a2oooWa+1999.又因为 3|=12,2(X)0=2011,所以 a2()oo=ai+1999.故。+1 一%=1 0(*=1,2,1)卿从是递增数列.综上，结论得证。(III)令 q =ak+-ak-1 0(攵=1,2,-1)则q ,=1.因为。2=。+C+。1 =。+G+c2an=a+C1 +C2+.+g+i，所以S(A“)=n +(-d)c,+(几一2)C2+(n-3)c3+,+*=l-(q)1)+(1-。2)0,数 列 满足 a,=b,a =%(2)%+2 -2(1)求 数 列 q的 通 项 公 式；h+l(2)证 明：对 于 一 切 正 整 数n,a +1.“2 +1解(1)法一：工 姐 I，得“+)+2.纥1n _ i +2(n-l)an b%b b an_t7 7 2 1设 一=勿，则=工也一+7(2 2),an b b(i )当时，是以g为首项,L为公差的等差数列,2即。=F (n 1)x =n,a =2“2 2 222 2(i i)当时:设2+之=工 应i+4),则么1),b b b2 1 1 1 2 1令1)=一，得4 =(+)52 2),b b 2-b 2-b b l 2-b知bn+是等比数列，：.bn+=(仇 +又b,2-b 2-b 1 2-b b 1 b法二：(i)当时，2是以;为首项，；为公差的等差数列，即/?=+(-1)x =，/.a=2 2 2 2 (i i)当时，%=b ,a22 b2 _ 2 b 2(“2)_ 3/_ 3 63 s-2)b +2 b2-22%-b2+2 b +4 P-23猜想a,S-2),下面用数学归纳法证明:bn-T当=1时，猜想显然成立；假设当=时，4 =?一?,则bk-2k_/+l)b q _(k+l)b&bk(b-2)_.+l)W S-2)ak+2(n-l)kbk(b-2)+2kbk-2k)M+1-2k+所以当 =k+l时，猜想成立，.nbn(b-2)由知，w N*,a=-.。-T+i(2)(i)当时，。=2=2+1，故时，命题成立；(ii)当时，b2n+22 2护.22n=2,川 y ,h2n-2+h-22-2y/h2-22=2+lbn,，bn+i-2-+bn-2+2护.22=2+b,以上 n 个式子相加得b2n+/T.2+b+-2-+-2,+1+-+h-22-1+22 n-2n+b,2+bn-2)(b2,+i.2)+(bn-2+-22n+l)bn+,田也 i 人的 4-=-:-r+1 .故当时，命题成；2n+(b-2)2+综 上(i )(i i )知命题成立.2 1已知数列 而 的前项和为S”，且满足：a=a(a 0),an+-rSn(n e N,(I)求数列 端 的通项公式；(H)若存在Ar e N*,使得S&+i,Sk,S*+2成等差数列，是判断：对于任意的me N*,且m2 2,a“+i,a,a“+2是否成等差数列，并证明你的结论.解 析：(I)由 已 知%+=电可 得an+2=电+i，两 式 相 减 可 得%+2一4+1 =r(S +S )=m“+i，即 a“+2 =(r +l)“+i，X a2=ral=ra,所 以 当r=0时，数 列%为2,0,0，0,n-2n+1 bn(b-2)(b2n+b2n-2+-+b-22-1+22)-bn-2(b-2)d-K-2n+bn-2)2+i(bn-2)_ 竺+户1.2+b.22T+2?)()2)/-2S 2)2+(b-2)(h2n+i-22n+)-bn+-T+b-2+ir e W 1).当rw O/。一 1时，由已知a w O,所 以%wO,仅 川),于是由%+2-4+i=r af t+，可 得&乜=r+1，所以。2，%，。”，成等比数列，%+】当之 2 时，an=r(r+1)，；2 a。a,n=1r(r+1)a,n 2(I I)对于任意的m w N*,且，用必“，册+2是否成等差数列，证明如下：当 r=0 时，由(I),知 见=卜 一,0,n2故对于任意的z n e N*,且，区用,+27成等差数列；当 三0 -1 时，.S2=S*+%+i+%+2，4+|=跖+%+1。若存在kw N*,使得&+i，S*,1+2成 等 差 数 列,则 加+S*+2=2S2sL+2%+i+%+2=2sA,即%+2=一 2%i，由(I),知 a2,生，a”，的公比厂+1 =2，于是对于任意的m w N*,且，am+i=-2 am,从而+2=4%,。,“+1 +*2 =2 a即 am+l,am,am+2成等差数列。综上，对于任意的机G N*,月.，。.用,4,“+2成等差数列。22 已知两个等比数列”“,/?“,满足 q =a(a 0),乙 一 q =Lb2-4 =2,%-%=3(1)若。=1,求数列%的通项公式；(2)若数列 6 唯一，求a 的值.（1）设 a.的公比为 g,则4由 与 向 也 成 等 比 数 列 得（2”=2（3+/）W/什2肛 解 将q产2+V T,g/2-a所以（a j的通项公式为w j（2 4 2）i或a/（2 f/T）T.（2）设 a j的公比为如则由（2叫尸（1M）（3.7,），得气-4%+3a-l=0（）由a0得S-4J+4G0,故方程（）有两个不同的实极由 4 唯一，知方程（）必育一根为0,代入（）得=/.”.A-0 一 八 *2 3 已知等差数列 斯 满足。2=0,恁+。8=-10（I）求数列 狐 的通项公式；（I I）求 数 列 券 的前项和.解：见 +d 0,（I）设等差数列 凡 的公差为d,由已知条件可得,2。1 +12 d 10,故数列%的通项公式为%=2-.5 分（I I）设数列 2 I 的 刖 顽 和 为Sn,即Sn=%+-+2 合,故S =1S a,a2-=-1-2 2 4一十 T-.2 所以，当7 2 1 时,a.-a,+-L2%一%千?一1an2 2-n2)4 2 -1 1-1 _ ._|-nT所以s“=一一n.a v综上，数列 罚 的 前 顼 和Sn=号.12 分2 4 等比数列 4 的各项均为正数，且 2%+3 电=I,%?=9。2。6.(I)求数列 4 的通项公式.(I I)设 bn=l o g,ax+l o g,a2+l o g 3%,求数列 的前 n 项和.曲 J解：(I )设数列 的公比为q,由 嫉=9/4得 W=9a：所以/=由条件可知c 0,故 q=；。由 2 q+3 2=1 得 2 q+3a2q=1,所以 4 =；。故数列%的通项式为“=(H )d =l o g 3q+l o g 3 a 2+l o g 3，=(1+2 +)+1)2由 1 2 J 1、故=-=-2(-)hn (/i+l)n +11 1 1 51、A 1、A 1 、2n+=-2(1-)+(-)+.+(-)=-b b2 bn 2 2 3 几 +1 +11 2 所以数列 士 的前n 项和为-二bn +12 5 (本题满分14 分)已知公差不为0的等差数列 凡 的 首 项/为 a (a e R ),设数列的前n 项和为S“，且,，,成等比数列%4。4（1）求数列伍“的通项公式及s“（2）记 A=-1-1-F.4-，B-1-1-F.H-9 当 2 2 时，试比S S2 S3 Sn a a2 a 吩 旬较A”与纥的大小.（I）解：设等差数列 4 的公差为d,由题意可知（-5-）2 =-!-!-a2 a a4即（a1+d）2=ax（q+3d）,从而 ad=d2因为d w 0,所以d=故通项公式an=na.（II）解：记/=-+-H-F 一,因为。=2n a出盯 ain所以7；1 1 1 11 2(1-(2)l：-0时，Tn .当a 0时,-k%i26（2009湖北卷理）（本小题满分13分）（注 意：在 试 题 卷 上 作 答 无 效）已知数列 的前n项和S“=-（1），-1+2（n为正整数）。（1）令2=2 4，求证数列也 是等差数列，并求数列 4 的通项公式；n+1 5/7（H）令c“=a,Tn=C+c2+.+c j试比较7；与-的大小，并予以证n 2n+1明。解析：在 S“=a七 严+2 中，令 n=l,可得 5=%l+2=q,BU,=-当“2 2 时，S.-=-a_.-（1 r2+2）%=S“S,i=-a.+%+（夕-，.2.=%+（；严,即2%=2%,1+1；b.=2 a,b,=%+1,即 当 岫 2b n-%=1.又4=2%=1,.数列 是首项和公差均为1的等差数列.n于是2=1+(l)=2a,，an.(II)由(I)得,“=吐)“=(+1)(3，所以n 27；=2 x l+3x(i)2+4 x(i)3+K+(+l)(i)n2 2 2 2=2 x(I)2+3 x(I)3+4x(I)4+K+(+l)4)w+l2 2 2 2 2由-得,=1+5+(权+1 +(1 _(+l)(g 严i 3小-H-:-(H-r 1M -)-,1 2 2 2,1+l1-2.,工=3-叱”2丁 5 _3 +3 5n _(+3)(2-2 -1)2 +1_ 一_T-2M4-1-2(2 +l)于是确定7；与二吆一的大小关系等价于比较2 与2/2+1的大小2 +1由 2 2x1+1鬻 2x2+1 2 2x3+1 2 2x4+1 2 2(2人 +1)=4女 +2=2(女 +1)+1 +(2后一1)2(女 +1)+1所以当 =k+l时猜想也成立综 合(1)(2)可 知，对一切 2 3的正整数，都有22 +1.证法2：当“N3时2=(1+1)=C：+C：+C；+K+C,；i +C：2 C：+C,；+C+C：=2+22 +1综上所述，当”=1,20寸7；上 匚，当 2 3时7；一 -27(2009陕西卷文)(本小题满分12分)已知数列 4“满足，q=2=2,a (I)令b“=a”+a”,证明：2 是等比数列；(II)求 q,的通项公式。证明:当时，bn=,+|-an=”=一（凡一-）=一；I,所以 是以1为首项，一3为公比的等比数列。（2）解 由（1）知 勿=an+i-an当时，C ln=4 +-Q 1）+（。3 ）+（%一1）=1 +1 +22 8 （2 0 0 9四川卷文）（本小题满分14分）5 2,J3 3 2J 5设 数 列 4“的前项和为S“，对任意的正整数，都 有a“=5 S“+l成立，记（I）求数列 6与数列出 的通项公式;（I I）设数列&的前n项和为Rn,是否存在正整数k，使得R“2 4人成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；22.【解析】（I）当=1 时，6 =5SI +1,6?1 又=55”+1,。,用=5S“+|+1二数列 6是首项为%=_；,公比为q =-；的等比数歹U,4+（-r，b“=-（w N*）i-（-4）n43分（I I）不存在正整数k,使得R“2 44成立。证明：由（I）知a4+(-7)色=4+5,。5 5 0 5 20 c 1 5x 1 6 4-40 o6 2A i +b*=8 4-1-57 =8 H T-7-=8-7-7-8.21 2&(4)21 _1 (7产 _1 1 6*-1 1 6*+4(1 6*1)(1 6*+4).当n为偶数时，设=2/（me N*）R=(4+%)+(&+d)+(%”T+b2m)Sm=4n当n为奇数时，设=2机-1（机 N*）二 R“=(4+&)+(4+4)+(%-3+&M-2)+b2m7 8(m-l)+4=8 m-4 =4n.对于一切的正整数n,都有R“4k不存在正整数上,使得R“2 4人成立。.8分(I I I)由=4+5得5 5 1 5x 1 6 1 5x 1 6 1 5x 1 6 1 5-1-=-=-=-42 n-1 42-+1 (1 6 -1)(1 6 +4)(1 6n)2+3x l 6n-4(1 6n)2 1 6 3,1 3 4乂 b.=3,b),.Q，3 33当=1时-，T.-,2当时，4 CU 1 1 、4 cu+25 x H-H +-)=一 +25 x3 1 63 1 6 31+25 x3苫 _6 9 3-T=-0由 az+aT=1 6.得 2%+7d=1 6 由%q=55,得(6+24)(%+5d)=55 由得 2%=1 6 -7d 将其代入得(1 6 -3d)(1 6 +3d)=220。即 256 9d?=220d1=4,又J W h/=2,产1an=1 +(-1)，2=2 -1b(2)令4 =才，则有c+c2+.+cl l,al l+l=c,+c2a“+i -4,=C“M，由御 q=1,a“+a”=2两式 相减得.%+=2,c,=2(N 2),即当日电2又当好土鼠a=2 q=2,(2,(=1)b =2)于是 S“=4+&+么=2+23+24+.+2-i_4=2+2一 6,即5“=22_630 （20 0 9上海卷文）（本题满分1 8分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知 4 是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若an-3 n+l,是否存在加,“e N*,有+q“+=%?请说明理由；（2）若b n=a q （a、q为常数,且aq H O）对任意m存在k,有 超 也”+=4，试 求a、q满足的充要条件：（3）若 氏=2+1也=3试确定所有的p,使数列也 中存在某个连续p项的和式数列中 ,的一项，请证明.【解】（1）由4+4+Lak,得 6 m+6 +3左 +1,4整理后，可得上2加=一，3,/m .k N ,k -2 m 为整数不存在“、kw N*,使等式成立。（2）当机=1 时，则 b .%=瓦,：.a2，q 3 =a q”：.a =qj,即a：中,其中c是大于等于 2的整数反之当a=q 时，其中c是大于等于-2的整数，则2=/+,，显然 bm-0+i=q n+C=q2 m+l+2 c=bk,其中左=2加+1 +ca.q满足的充要条件是a=/,其中c是大于等于-2的整数设%i+%2+%=6当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，.当为偶数时，（*）式不成立。由（*）式得3m+1（l-3z，）1-3=2 k +l,整理得3间（3 1）=4 +2当p=l时，符合题意。当，p为奇数时,3p-l=（l+2）/,-l=Cj+C；,-2+Cj-22+-+C；-2/,-l=C2i+C；+C 2。=2（C；+C；.2+C2PT）=22（C；+C；-22+-+C；-2 ）+p由 3山（3/-1）=4女+2,得3叫2（C；+C；2?+2-2）+p=2k+当p为奇数时，此时,一定有加和女使上式一定成立。，当为奇数时，命题都成立。.