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第四章平面向量问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学.中以数学工具的形式出现，它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用.一 利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果1,72是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量G ,有且只有一对实数A I,入 2使5=A I。+入 202，平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量.【例 1】如图,平面内有三个向量。4,OB,0 C,其中0A与。8 的夹角为120。，OA与。C 的夹角为30。，且|Q4|=2,|OB|=g,|OC|=2百，若 OC=A+OB(/l,eR),则()B.3 2A.A=4,=22=-,ju=-2 3【小试牛刀】【2 0.1 6 届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在 AABC中，若点。满足丽=2反，则彳5=（）A.1 -2 1,-A C+-A B3 35 *2 kB._ A B A C3 3C.2 1,1 -A C A B3 32 1,1 -D.A C 4 A B3 3二 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题.【例 2 1 2 0 1 6 届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量O A,O B 满 足 同 =O B =1,O A O B,O C=4Q4+e R）若 M 为 A 3 的 中 点,并 且=1,则 4 +的最大 值 是（）A.1 .B.1 +/2 C.fs D.1 +s/3【小试牛刀】如图,在正方形A B C D 中,E为 A B 的中点,P为以A为圆心,A B 为半径的圆弧上的任意一点,设向量元=/I 怎+丽 贝。+的 最 小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.D、CPA E B三 三点共线向量式设A,8,C是共线三点，。是平面内任意一点，则。8 =4 0 4 +(1 2)O C,其特征是“起点一致,终点共线，系数和为1”，利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值.【例3】如图所示，已知点G是A A B C的重心,过G作直线与A B、A C两边分别交于M、N两点,且A=xAB,A N =y A C,则一父二的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.x+y3 1【小试牛刀】若点M是A A B C所在平面内一点，且满足：A M =-A B +-A C.4 4(1)求 A B M与 A B C的面积之比.(2)若N为A B中点,A M与C N交于点0,设B D =x B M+y B N,求 的 值.四、平面向量基本定理在解析几何中的应用2 2【例4 H 2 0 1 6届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线二4 =1 (。0。0)的a b右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线/交两渐近线于4 8两点,与双曲线的其中一个交点为2P,设坐标原点为0,若O P =m O A +n O B(m,n R),且加及=5，则该双曲线的渐近线为)A.y=i-x4B.y=4C.y=+-x2D.y=x3【小试牛刀】【2 01 6 届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知A是双曲线=-4=1a b（a0,。0）的左顶点，耳、耳分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心,若GA=/IP 耳，则双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.与;I的取值有关【迁 移 运 用】1 .如图，在平行四边形A B C。中，AB=a,AD =b,而?=3 标，则 8 N=（）（用I 表示）D 3 T 1 ：D.-ab4 4D 3；Lu*ba4 42 .设 向 量。=(c os2 5,si n2 5),Z?=(si n2 0,c os2 0)，若 c =(t R),=则(c)?的最小值为（)A.V 2 B.1 C.D.2 23.【2 01 6 届广西武鸣县高中高三8 月月考】直线/过抛物线j ：=2pxQ;0）的焦点，且交抛 物 线 于 两 点，交其准线于。点，已 知d产=4.3 =3族，则P=（）A.2 B.C.D.43 34.已知。4,03是两个单位向量,且。40 3=0.若点C在N A 0 B 内，且N A 0C=3 0,则Y iOC-mOA +nOB（m,n e R）,贝（j （）mA.B.3 C D.5/33 35 .在A A B C 中,M为边B C 上任意一点,N为 A M 中点，AV=入AB+u AC,贝!|X +u的值为（）1 1 IA.-B.-C.-D.12 3 46.已知 =（一1,、6）,赤=2 4,为=1+3,若入4。8是以。为直角顶点的等腰直角三角形，则M O B的面积是（）A.73 B.2 C.2A/2.D.47.过坐标原点0作单位圆x2+/=l的两条互相垂直的半径。4、OB,若在该圆上存在一点C,使得OC=aQ4+O8（a、b e R），则以下说法正确的是（）A.点P（a,。）一定在单位圆内B.点尸（a,。）一定在单位圆上C.点。（凡力）一定在单位圆外D.当且仅当。2 =0 时，点尸（。力）在单位圆上8.在平面上，而 上 万?亦 R 酝U 1,莪=壶 +万？若 少 1 I -【例 3】已知向量。4 与O B 的夹角为e ,O A=2,O B=l,O P=t O A,OQ =(1T)OB,P(在力时取得最小值，当0 /。6 0）,作直线/交椭圆于P,Q 两点，M为线段P Q 的中点，。为坐标原点，设直线/的斜率为占，直2线 0M 的斜率为2 2,1=_(.(1)求椭圆C的离心率；(2)设直线/与x 轴交于点 (-V3,0),且满足丽=2QD,当O PQ的面积最大时,求椭圆C的方程.【小试牛刀】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线f=4 y的焦点，离心率等于 W.5(I)求桶圆C的方程；(I I )过椭圆C的右焦点F作直线/交椭圆C于 A,B两点,交y 轴于M 点，若M 4=4 A 产,M S=43/，求证4+%为定值.二、利用向量垂直的充要条件，巧妙化解解析几何中的垂直问题两个非-零向量。,力 垂直的充要条件是g。：。，如a =(X i，X),匕=(,%)，则a b xlx2+yy2=0.x【例 2】设 F 邑分别是椭圆二+y?=l 的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且4P F P F z,则点P的横坐标为()A.1 B.-C.27 2 D.皂 53 3【小试牛刀】【20 16 届广西武鸣县高中高三月考】己知椭圆C:Y+匕=1(0 加1)的左m顶点为A ,M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关 于 点 对 称.(1)若点p的坐标为，与 3),求相的值；(2)若椭圆C上存在点M ,使得以线段PM 为直径的圆过原点，求”的取值范围.三、利用向量平行的充要条件,灵活转换解析几何中的平行或共线问题b与非零向量。平行的充要条件是存在唯一实数力，使得b =4。，若a =(%,x),匕=(%,%)，则a/匕02%X2 V2【例 3】如图，已知椭圆C:=+J=l,(a h O)的左、右焦点为片、乃，其上顶点为A.a b已知M A E 是边长为2 的正三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)过点0(T,O)任作一动直线/交椭圆C 于M,N两点,在线段M N上取一点R,使得胆 乌=粤,试判断当直线/运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直|0V|RN线,若不在请说明理由.【小试牛刀】设椭圆C ：二 +2-=1(。0)的左右焦点分别为耳、居，A是椭圆C上的一a 2点，A F2 FtF2=0,坐标原点。到直线AF,的距离为。用.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆。上的一点，7 V(-l,0),连接Q N的直线交y轴于点M ,若=2QN求直线/的斜率.四、利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题两个非零向量a,6夹角范围为 0,扪，由数量积定义可以推出当。力 0(6。0)时，夹角为锐角；当。为 0),尸为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点“过 A作抛物线准线/的垂线,垂足为Q .(1)若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A ,且N P Q F =9 0,求抛物线方程；(2)设点M(?,0)在x轴上,若要使NM 4尸 总为锐角，求利的取值范围.【小试牛刀】已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线4 :x y 2行=0相切(1)求直线4：4 x 3 y +5 =0被圆C所截得的弦A B 的长.(2)过点G(l,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N求直线M N 的方程(3)若与直线L垂直的直线1 与圆C交于不同的两点P,Q,若N P 0 Q 为钝角，求直线1 纵截【迁移运用】1.【2016 届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】已知两个动点A、8和一个定点(七，%)均在抛物线。：/=20匹(0 0)上(4、3与M 不重合).设尸为抛物线的焦点,。为其对称轴上一点，若(Q A +g A 8)-A 8 =(),且|在川、|F M h|五例成等差数列.（I ）求。的坐 标（可用/、%和 口 表 示）;若B两点在抛物线C的准线上的射影分别为 B”求四边形A B 4 A面积的取值范围.2.【2016 届贵州省贵阳市六中高三元月月考】如图，已知椭圆C的方程为2 2 2 2+=1（。0）,双曲线7-与=1的两条渐近线为/1、4,过椭圆C的右焦点F 作a b a b直线/，使/_ L 4,又/与4交于点P,设/与椭圆C的两个焦点由上至下依次为A,B.（1）若4 与4的夹角为6 0,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程;（2）若 茂=（行 一1）而,求椭圆C的离心率.%2 y23.【2016 届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆：/+会=1(。匕0)内一点 A(0,l)的动直线/与椭圆相交于M,N两点，当I平行于x 轴和垂直于x 轴时，/被椭圆r所截得的线段长均为2 0.(1)求椭圆的方程；(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点4(0,1)的动直线/都满足1 8 M|.|/W|=|A M|-|B 7 V|?若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.4 .【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】椭圆C:工 +与=1（。0）的左、右焦点分别是耳，鸟，过月斜率为1的直线/与椭圆C相交于A,B两点,且A耳=3耳3 .（1）求椭圆的离心率；（2）设点P（O,-1）,|P 4|=|P 5|,求椭圆C的方程.5 .己知片，居分别是椭圆宏+/=1（。6 0）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N,并且满足耳鸟=2衍,|鸟|=2.设A、B是上半椭圆上满足NA=九N B的两点,其中2H（1）求此椭圆的方程;（2）求直线A B的斜率k的取值范围.6 .已知椭圆C：三+方=1(。)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y +1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆的方程.(2)设P为椭圆上一点,若过点用(2,0)的直线/与椭圆E相交于不同的两点S和T ,且满足 赤+而=/而(0为坐标原点)，求实数f的取值范围7 .已知点尸是椭圆;上w+y?=1(。0)的右焦点，点M(加,0)、N(0,)分别是x轴、yi +a轴上的动点，且 满 足 丽 标=0.若点P满 足 丽 =2而+沔.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设过点f任作一直线与点P的轨迹交于A、8两点,直线。4、与直线x=-a分别交于点S、T(。为坐标原点)，试判断内 /是否为定值？若是，求出这个定值；若不是,请说明理由.8 .已知A、B是椭圆5+y 2=上的两点，且 看=九 丽 其中F为椭圆的右焦点.(1)当2 =2时,求直线A B的方程;5*（2）设点”（工0）,求 证:当 实 数 变 化 吐 恒为定值.49 .平面内动点P（x,y）与两定点A（-2,0）,B（2,0）连线的斜率之积等于-,，若点P的轨迹4为曲线E,过 点 Q（-：,0）直 线/交曲线E 于 M,N 两点.（I）求曲线E 的方程,并证明：Z M A N 是一定值；（I I ）若四边形A M BN 的面积为S,求 S的最大值io .如图，椭圆G：+=i m。）的离心率为更，了 轴被曲线G：y=x 2-6截得的a b 2线段长等于G的短轴长.G 与 y 轴的交点为M,过坐标原点的直线1与c2相交于点4、B,直线分别与G相 交 于 点E(I )求6、c2的方程;(II)求证：(III)记的面积分别为百、S),若*=/1,求”的取值范围.11.已知椭圆C:5 +/=1(。b 0)的离心率为卓，过顶点A(0,1)的直线L与椭圆C相交于两点A 8.(1)求椭圆C的方程；(2)若点M在椭圆上且满足。+走。6,求直线L的斜率k的值.2 21 2.设 耳 分 别 是 椭 圆3 +2=1的左，右焦点.若 P是椭圆在第一象限上一点,且尸耳2玛=一：，求尸点坐标；(2)设过定点(0,2)的直线/与椭圆交于不同两点A,3,且NAO8为锐角(其中。为原点),求直线/的斜率左的取值范围.13.己知点A (-1,0),B(1,-1)和抛物线.C：y2=4 x,0为坐标原点，过点A的动直线1交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.(1)证明：OM-OP为定值；5-*1 *(2)若aPOM的面积为一，求 向 量 与O P的夹角；2(3)证明直线PQ恒过一个定点.第22题问题四 高考题中向量数量积的若干种求法平面向量的数量积是向量知识.中的重要内容，考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题,是高考题的热点和重点,那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述，以期给同学们启发.一、利用“定义”求平面向量数量积a b=|o|cos仇 根据几何或代数关系求非零向.量的模和夹角是前提.【例 1X2 015 四川绵阳市高三一诊】如图，正六边形A BC D EF 的边长为1,则A D DB=()(A)百 (B)一6 (C)3 (D)-3D【小试牛刀】【2 0 1 5 江西南昌】若等腰A B C 底边B C 上的中线长为1,底角B 60,则BA -AC的 取 值 范 围 是.二、利用“坐标”求平面向量数量积设。=(玉,y),b=(x2,y2),则a力=玉9+乂%，用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系,把向量坐标化,特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果.【例 2 X 2.0 1 5 河南八校】在a A B C 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,sin=,a=b=3,2 3点 P是边A B 上的一个三等分点，则CP C8+C PC 4 =()A.0 B.6 C.9 D.1 2【小试牛刀】【2 0 1 6届辽宁省大连市八中高三1 2 月月考】已知。是坐标原点，点A(-Ll),x+y2若点(x,y)为 平 面 区 域=l 上的一个动点，则Q4-0M的取值范围是()A.-1,0 B.0,1 C.0,2 D.-1,2三、利用“分解转化法”求平面向量数量积利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示,在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果,这种方法应予以重视.【例 3】【2 0 1 6届福建省上杭县一中高三1 2 月考】如图，BC、OE是半径为1 的圆。的两条直径，BF=2FO,则ED EE的 值 是（）【小试牛刀】【2 0 1 5 湖南娄底市】在边长为1 的正三角形A B C 中，BD=xBA,CE=yC 4,x 0,y 0,且 x+y =l,则 CO BE 的 最 大 值 为（）【迁 移 运 用】L【2 0 1 6届广西河池高中高三上第五次月考】在A48C中，。为中线A 上一个动点，若A M=2,则OA （OB+OC）的最小值是（）A.2.B.-1 C.-2 D.-42.在M BC中，已知ZBA C=90,=6,若。点在斜边BC上，CD=2DB,则的 值 为（）A.4 8B.2 4C.1 2D.63.1 2 0 1 5四川成都】已知函数f （x）=s in（2Rx+6）的部分图象如图所示，点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则（幻 瘗 ）5 C的值为（）D.24.1 2 0 1 5山东胶州】在R t Z X A B C中，N C=90 ,N A=3 0 ,B C=1,D为斜边A B的中点，则A B C D=()A.1 B -1 C.2 D.-25.1 2 0 1 5山东胶州】A B C中，点M在线段A C上，点尸在线段5 M上,且满足器=黑=2漳网=2,冈=3,NBAC=9O。,则 赤 前 的 值 为（）A.1|4D-46.1 2 0 1 5吉林摸底】如图，平行四边形ABCD中，43=2,4）=1,44=60，点M在A B边上，且AM 则。例OB等 于（）3D.17.【2 0 1 5吉林摸底】A4BC中，Z B A C =120,A B =2,A C=L,D是边BC上的一点（包括端点），则A D B C的取值范围是（）A.1 ,2 B.0 ,1 C.0,2 D.-5,2 8.【2 0 1 6届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】在AABC中，AB=3,AC=5,若。为ABC外接圆的圆心（即满足OA=OB=O C），则A0-8C的值为9.12 0 16 届河南省信阳高中高三上第八次大考】如图在平行四边形AB CO 中，已知A B =8,A O=4,。2=3。,”82=2.,则 4 8 4。的值是10.12 0 16 届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12 月考】在边长为1 的正三角形A BC 中，设B C =2BD,C A =3 C E,则 A D B E=，11.【2 0 16 届中国人大附中高三上期中检测】在等腰梯形A BC D 中，己知A B O C,2=2,B C=1,Z A B C=6 0,点 E和点F 分别在线段BC 和 C D 上，且 B E =,3D F =-D C,则 A E-A F 的值为.12.12 0 15 湖北省重点中学】已知在直角三角形Z 8C中，乙4cB=90。,Z C=8C=2,点产是斜边48上的一个三等分点，则 在 赤+而归=第五章数列问题一：等差数列、.等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.一：利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常 采 用 的 两 个 式 子%=和。“+1 -%=4有差别,前者必须加上“22”，否则=1 时旬无意义；在等比数列中一样有：2 2 时，有3=夕（常数q H0）；e N*时，有 理=q（常数q/O）.【例 1】【2 0 16 届广西河池高中高三上第五次月考】在数列 为 中，6 =l,2 a,1+l=（l +-）2a （n eN+）.n（I ）证明数列 叁，成等比数列，并求 a,的通项公式；（I I）令d=an+l-j a,求数列也,的前项和5,.【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列 a,满足(1)求证-1 ,为等比数列，并求出%的通项公式;an,(2)若b 二求 也 的前n项和5“.运用等差或等比中项性质%+%+2=2%+i o 4 是等差数列，anan+2=a+12(a*0)o a,J是等比数列,这是证明数列 4 为等差(等.比)数列的另一种主要方法.【例2】正数数列 a“和也 满足：对任意自然数，%,bn,alt+i成等差数列，b,an+i,成等比数列 证明：数列 历 为等差数列【小试牛刀】设数列 a,的 前 项 为 己 知4=1,4=6 0 3=1 1,且(5n-8)S,I+1-(5/2+2)S=An+B,n=1,2,3,，其中 A,8 为常数.(I)求 A 与 3 的值；(I D 证明数列 4 为等差数列.三：反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑.如:【例 3】设 4 ,是公比不相等的两等比数列，cn=an+bn.证明数列匕不是等比数列.【小试牛刀】设 a j 是公比为g 的等比数列.（I）推导 a 的前项和公式；（II）设 7W1,证明数列%+0 不是等比数列.四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列【例 4】若 5,是数列 4 的前项和，5.=/,则 4 是()A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列利用常规结论，证明或判断等差(等比)数列若数列 风 是公比为q的等比数列，则(1)数列(2为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若数列 是公比为/的等比数列，则数列 6，是公比为q q 的等比数列；(3)数列是公比为，的等比数列；l J q(4)数列,.|是公比为|同的等比数列；(5)在数列 4中，每隔&(A e N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qi；(6)4+%+,a,-q+生+%+%+/，+4+/，等都是等比数列；(7)若利，“，p(m,n,eN*)成等差数列时，am,an,4,成等比数列；(8)S“，52-S,?S 3,S?均不为零时，则S“，52-S,邑 邑”成等比数列；(9)若 lo g,可 是一个等差数列，则正项数列 qj是一个等比数列.若数列 4是公差为d等差数列，则(1)依,+打 成等差数列，公差为kd(其中kr O,k,b是实常数)；(2)%+.%,(eN,为常数)，仍成等差数列，其公差为/d；(3)若 础,bn都是等差数列，公差分别为4,d2,则 伍+bn是等差数列，公差为4 4；(4)当数列 q是各项均为正数的等比数列时，数列1 gan是公差为lg q的等差数列；(.5)m,n,p(m,n,eN*)成等差数列时，am,an,成等差数列.【小试牛刀】已知正数数列 a 对任意0,0 CN+,都有a，+=a+a”若a 2=4,则麴=()A.6B.9C.1 8D.20五：运用数学归纳法力+2【例 5】数列%的前项和记为5“，已知4=1,+1=S（n=l,2,）.证明：数 列 是 等 比 数 列.【小试牛刀】已知数列刀“满足S+an=2 n+l.（I）写出4，%，%，并推测的表达式；（II）用数学归纳法证明推测的*结论.【迁移运用】1 .已知在正整数数列 a j中，前项和S“满足：=:（&+2）2,则&为（）数列.OA.等差 B.等比 C.常数列 D.可能是等差数列也可能是等比数列2.等差数列 4 的前项和为3 0,前2项和为1 0 0 则它的前3项 和 为（）A.1 30 B.1 7 0 C.21 0 D.26 03.已知数列&的前项和S=3 2,G N*,则（）A.4 是递增的等比数列B.a.是递增数列，但不是等比数列C.a 是递减的等比数列D.&,不是等比数列，也不单调4.等差数列 为 的公差d w O,ane R,前项和为S“，则对正整数加，下列四个结论中：正 确 的 是()(1)S,“,S 2,“-S”,S 3,”-S 2m成等差数列，也可能成等比数列；(2)sm,S2m-Snl,S3 m-S 2m成等差数列，但不可能成等比数列；(3)S,“,S 2m，S 3,“可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)S,“,S 2m，S 3,“不可能成等比数列，也不可能成等差数列；A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)5 .已知数列 a,J 的前八项和为S“，4=1,anan+l 其中4为常数.(I )证明：%+2-4=九；(JI)当见为何值时，数列 4 为等差数列？并说明理由.6 .设数列 4 的前项和为5“，已知q=l,5“=为 一 (1),其中e N*.(I)求证：4 是等差数列；(II)求证：anan+x l 时,an-1a n-1+4 an-l15且(1)求证：数列 d 为等差数列；an(2)试问aa是否是数列 a.中的项.如.果是，是第几项；如果不是，说明理由.1 1.2 0 1 6 届黑龙江省哈尔滨师大附中高三1 2 月考】已 知 数 列 的 前 项 和 为 S“，若4%(富 7)级 畔 十口(e N )，且 q=1.(I )求证：数列力,J 为等差数列；1(H)设松一，数列也的前项和为乙,证明：丁(二(w N).福 庭1 2.1 2 0 1 6 届山东省枣庄市三中高三1 2 月月考】已知数列%的各项均不为0,其前n 项和为 5,且满足 q=a,2 S“=anan+.(1)求生的值；(2)求证 4“是等差数列；(3)若a =-9 ,求数列 a,的通项公式4，并求5“问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与S,有关的最值、求满足数列的特定.条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.一：求数列的最大项n【例 1】已知数列 2 的 通 项 公 式 为,求%的最大项.n+156【小试牛刀X2015-2016学年湖南省常德石门一中高二上期中】已知等差数列 4 的前项和为S,若 84210,5541 5,则的最大值为一.二：的最值问题【例 2】已知数列 a.的前项利$=-/?+初(其中AG N+),且 S 的最大值为8.(I)确定常数k,并求a*(II)求数列 2 的前n项 和T,.【小试牛刀X2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量a=。,2),b=,凡(一 十 y,若 a。，设数列 4 的前项和为S”，则 S”的最小值为三：求满足数列的特定条件的“最值【例 3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列%是等差数列，若 也 -1,且它的前n 项和S“有最大值，那么当S,取得最小正值时，n 等 于()A.1 7 B.1 6 C.1 5 D.1 4【小试牛刀】已知数列 氏 的前项和S“=a“+2 一1,数列 满足3-bn+1=(+1)%陷,，且4=3(I )求2,4；(H)设7；为数列 的前项和，求 7；,并求满足7；恒成立，则常数m所 能 取 得 的 最 大 整 数 为.五：实际问题中的最值【例 5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1 0 0 0 辆校车.其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车1 0 辆，以后每月的新购量比上一月增加5 0%；乙省采取的新购方案是:本月新购校车4 0 辆，计划以后每月比上一月多新购m辆.（I ）求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（I I）若两省计划在3 个月内完成新购目标，求 m的最小值.【小试牛刀】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【迁移运用】1 .设 a.=3/+1 5 -1 8,则数列 a 中的最大项的值是（）.1 6 1 3A.-B.-C.4 D.0O O2.等差数列 aj中，a,0,S”是前n项和且S g=S 1 8，则当=()时，S。最大.A.1 2 B.1 3.C.1 2 或 1 3 D.1 3或 1 43.等差数列 a,的前项和为S,已知d =1 3,W=S,当 S最大时，的 值 是()A.5 B.6 C.7.I).84 .数列 a 满 足 覆=1,I o g 2 a“+i =l o g 2 a+l (G N*),它的前项和为S”则满足$1 0 2 5的最小值是().A.9 B.1 0 C.1 1 D.1 25.在数列 a,中，a =Q W萼，则该数列前1 0 0 项中的最大项与最小项分别是n-2 0 1 4()A.Q.j H 5 0 B.3i f 5.1 4 C.345 D.c f c o6.1 2 0 1 6 届重庆市南开中学高三1 2 月月考】已知函数 x)=x 2+(a +8)x+a 2+a 1 2,且 了(/-4)=2 4-8),设等差数列应 的前“项和为5 ,(6%*)若 5,=/(”储 则JV-4/上7的最小值为()A2 7 35 1 4 376 8 3 87.在正项等比数列 d 中，a s=g,a6+a 7=3.则满足,a+a 2 H-F a A a i a；a 的最大正整激的值为一.8 .2 0 1 6 届江苏省盐城市盐阜中学高三上1 2 月月】等差数列 a,J 的前n项和为S.,已知S i =0,8=2 5,则 n S 0 的 最 小 值 为.9.2 0 1 6 届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列。“满足为=1 5 ,%一 =2 ,n则”的最小值为.n1 0 .已知等差数列 4 满足：4=2,且,%,%成等比数列.(I )求数列。“的通项公式；(H)记 S“为数列%,的前项和，是否存在正整数，使得S“6 0”+8 0 0?若存在,求的最小值；若不存在，说明理由.31 1.已知首项为5 的等比数列 a 不是递减数列，其前项和为S(G N*),且 S+的S+&成等差数列.(1)求数列 4 的通项公式；(I I)设 A=S9(GN),求数列“的最大项的值与最小项的值.W+a s,1 2.1 2 0 1 6 届上海市七校高三上1 2 月联考】公差不为零的等差数列 a j 中，a I、a2比数列，且该数列的前1 0 项和为1 0 0.(1)求数列 a j 的通项公式；(2)若 b=a -1 0,求数列瓜 的前n项和T n 的最小值.a s成等1 3.1 2 0 1 5 北京理2 0】己知数列 凡 满足：“w N*,q,3 6,且2 册,册,18,an+2。”-3 6,。18(H=1,2,),记集合M=a“|e N*.(1)若q=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素时3 的倍数，证明：M的所有元素都是3 的倍数;(3)求集合M 的元素个数的最大值.14.12015四川理16 设数列 4 (=1,2,3,)的前项和5“满足S,=2 a“一且 q,a2+l,4 成等差数列.(1)求数列 4 的通项公式；(2)设 数 列 的 前 项 和 为 骞，求使.得|7；-“一成立的”的最小值.an1000问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项.一：用累加法求数列的通项【例 1.】【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】在数列 4,中，,an+l-an 二p则该数列的通项公式4=.【小试牛刀】在数列 a j 中，已知国=1,当2 2 时，有 a“=a”-i+2 l(2 2),求数冽的通项公式；二：利用累乘法求数列的通项【例 2】设%是首项为1 的正项数列，且(+1)匕 *+an+an=0(G N*),则【小试牛刀】在数列 a j 中，已知&=1,则数列 4 的通项公式为.三：用构造法求数列的通项 例 3 2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考】已知数列满足q =3 a,i+2,且at-2,则 a“=.【小试牛刀】【2016届云南师范大附中高考适应性月考】已知数列/,4 满足q%+b,=l,/+=*?，n eN”,则打=一四.利 用 S,与 4 的关系求数列的通项【例 4】设数列&的前项和为S”数列 的前 项和为北，满 足 0=2 5 4,p e f T.(I )求&的 值；(I I )求数列 a 的通项公式.【小试牛刀】【20 1 6 届贵州市兴义市八中高三上第四次月考】已知数列 4 的前几项和5“满足 l o g 2(S+1)=，则。二.五：递 推 公 式 为”+2=p q 田+的，(其 中 j 均 为 常 数).【例 5.数列 an：3 a“+2-5 an+i+2 an=0(n 0,ne N),a=a,a2=b ,求数列%的通项公式.【解 法 一】(待定系数一一 迭 加 法)：【解 法 二】(特 征 根 法)：【小试牛刀】已知数列 4 满足q =L%=3,an+2=3 an+l-2a(n e T V*).(I)证明：数列 a,用一a“是等比数列；(ID求数列 ,的通项公式；(I I I)若数列 bn满足44=(an+1 卢(G*),证 明 也 是等差数列.【迁移运用】1 .已知&=1,a =+i a”)(N*),则数列&的通项公式是()A.2/7-1 B.(巴里)a C.n D.nn2.【20 1 6届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】数列 4中，q=2,4=3,q=詈(M G N*,7 2 3 ),则 4ou=.3.数列 4 的首项为3,伉 为等差数列且4=a+L a(N Q.若 也=-2,d)=1 2,则徐=()A.0 B.3 C.8 D.1 14,正项数列&满足：3 1 =1,&=2,2*=a 3 +a L(N*,22),则 田=.5.在数列 4 中，a i =l,白品=；&一】+；(22),则 4 的通项公式为.6 .已知数列 a 中，a =3,万，则其通项公式为.7 .已知数列 a 满足：a =l,(/?1)an=nX2nan-(/?G N,22),则数列&的通项公式为.8.在数列仅“中，4=1,4+2 4+3%+a,=ga“+1(e N)则数列 4的通项通项an=9 .【20 1 6届重庆市第一中学高三1 2月月考】已知数列 q的前n项和为5 ，且S-l=3(a-l),z7eZ+.(1)求出数列/的通项公式：(2)设数列 2 满足4川=4)册，若。对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.1 0.【20 1 6 届.江苏省盐城市盐阜中学高三上1 2月月，测】已知 a)的前n项 和 盆 a.0且a 2+2a=4 S+3(1)求 a n 的通项公式；(2)若 b,.=，求 b j 的前n 项和T.an an+l【201 6 届河南省信阳高中高三上第八次月考】已知数列区 的前n项和为S”,且 a 尸1 n+12*an+l Tan-(1)求 a.的通项公式；(2)设h=n (2-S),n CN*.若 b W 入，n N*恒成立，求 实 数 X的取值范围.(2-S )o(3)设 C产：一”，n W N*，T“是数列&的前n项和，证明n (n+1)41 2.1 201 6 届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列 4 的首项q =1,且满足(%+i 1)。“+4向=0(e N*)(1)求数列 为 的通项公式；(2)设=,求数列 c,J的前n项和S”.1 3.1 201 5 湖南文1 9】设数列 4 的前项和为S“，已知q=1,4=2,且%=3 S,i-S,+3,(e N)(1)证明：4+2=3。；(2)求 S .1 4.1 201 5 浙江文1 7 已知数列%和 也 满足，q=2,伪=1,=2,(w N*),瓦+；瓦+，勿=2+|l(e N*).2 3 n 求 “与 也;记数歹I J 4 的前项和为北，求Z,.问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解.一公式法公式法是数列求和的最基本的方法.也是数列求和的基础.其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论.例1 设 为等差数列，Sn为数列 a“的前力项和,已知 7 =7 ,1=7 5 ,T”为S数列 4的前项和，求力,.n【小试牛刀】【201 6届河北省衡水二中高三上学期期中】i+a+1）+