圆锥曲线练习题1(只是题目).pdf

圆锥曲线练习题三、世K H拣 佳41 .直线x t a ny +y=0的倾斜角是A.-B.-C.D.1 7 7 72 直线x c osa+V 3_y+2=0 的倾斜角范围是A E-,-)U (-,B 0,-u E ,J T )6 2 2 6 6 6C L 0,D 6 6 63.下列四个命题：经过定点P o(如州)的直线都可以用方程y州=左(XM)表示；经过任意两个不同的点尸1 (修，/)、(X 2，)的直线都可以用方程(应一Xi)(%X 1)=(乃一X1)(丁 一力)表示；不经过原点的直线都可以用方程+2=1表示；经过定点Z(0,b)的直线都可以a b用方程尸乙+6表示其中真命题的个数是A.O B.l C.2 D.34.(2006北京11)若三点4(2,2),B(a,0)(0,6)(/H 0)共线，则工+,的值等于_.a h5.过点A(2,l),且在x,y 轴上截距相等的直线方程是6.(2005北京东城检测)已知直线/i：一27+3=0,那么直线八的方向向量田为(注：只需写出一个正确答案即可)；，2过 点(1，1)，2的方向向量色,且。2=0,则，2的方程为四、经 的 敢 做 一 做【例 1】已知力比的三个顶点是/(4,一1)、B(0,3)、C(7,3),(1)求 A B 边的中线所在直线的方程；(2)求NC 的一平分线的方程.解(1)由中点公式得A B 中点D(2,1),中线CD 所在直线的方程为匕 1=匕士即 2x-5y +l =0.3-1 7-2-由两点间距离公式得|A C|=5,|B C|=7.设NC 的平分线与边A B 的交点为E,由三角形内角平分线的性质知E 分有向线段A B 所成的比人=|,由定比分点公式得E(g,|),由两点式方程得,直线CE 的方程为：x-2y T=0.7二/C 的平分线的方程为：x-2y-l=o(-x 200）.由经过两点的直线的斜率公式kpcx 200_30 _ x-800 x2xkA P B。一 x2x由直线PC到直线PB的角的公式得L 一 ianBPC=但11 k.k71 P R 八 P，1602x=64%x-800 x-640-x2-288x4-160 x6401 H-2x 2x64 -(x 200).x+-1-6-0-x-6-4-0-2_8o8ox要使tanBPC达到最大，只须x+世侬-288达到最小，由均值不等式XX+160 X640-288 27160 x640-288,X当且仅当X =160 x 640时上式取得等号,故当尸320时tanBPC最大，这时，点P 的纵坐标x.320-200 _y 为 y-=60.由此实际问题知，所以tanBPC最大时 P C 最大 故当此人距水平地面 60米高时，观看铁塔的视角NBPC最大.三、以及敢勾隹秣多1.(2005 北 京)机=g 是 直线(m+2)x+3my+l=0 与直线(m2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”的()A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.三直线a x+2 yl SR,4 x+3 y=1 0,2 x y=1 0相交于一点，则a的 值 是()A.-2 B.-l C.O D.l3 .直线 x+y1=0 到直线 x s i na+yc os a-1=0 (VaV)的角是A.a 三 B.a C.a D.a4 4 4 44.(2006春上海)已知圆C:(x +5)2+/=八&o)和直线/：3 x +y+5 =0没有公共点，贝卜的取值范围是.5.已知点P是直线/上的一点，将直线/绕点P逆时针方向旋转角a (0 a 轴上截距的变化范围.解：(I)C的焦点为F(l,0),直线1的斜率为1,所以1的方程为y=x-l.将y=x-l代入方程y2=4 x,并整理得x2-6 x+l=0.设 A(x i,y D,B(X 2,y 2),则有 X|+x2=6,X|X2=l,0.5 5 =(x i,y i)(x2,y 2)=X|X2+y i y 2=2 x i X 2-(X|+x 2)+l=-3.O A O B =Jx；+y；Jx；=x,x2x,x2+4(x,+x,)+16 =Tcos 成防=g吃 OA OB 35/4141所以为与茄夹角的大小为万-arccos封叵.41解：（由题设知港=/1万 得：（X2-l,y2尸入（l-xi,-yi）,即.?由（2）得 y22=x 2yi2,Vy12=4xi,y22=4x2,/.x2=X 2X|.（3）联立（1）解得x2=X .依题意有X 0.,田（人,2万）或取人,-271）,又 F（l,0）,得直线1的方程为（入-l）y=27I（x-l）或（入-l）y=-2VI（x-l）当人引4,9 时，1在 y 轴上的截距为一亚或迈由 普=W l+/,可 知 当 在%句上是递减的,3 J 277/4 4 12“，34-2-1 -3 3-2-1 4直线/在y 轴上截距的变化范围是 ffu?令.A.梃炼总给“，卿1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意x、y 的系数中一个为零的情况的讨论。2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两直线垂直的情况。点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、点在线上、最小值等内容。同步炼灯 7.2两条直线的位置关系【选择题】1.（2004全国IV）过 点（一1,3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（）A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0C.x+2y5=0 D.x2y+7=02.在坐标平面内，与点Z（l,2）距离为1,且与点8（3,1）距离为2 的直线共有（）（A）1 条（B）2 条（C）3 条（D）4 条3.A4BC中,a、b、c 是内角/、B、C 的对边,且IgsinJ,IgsinS,IgsinC成等差数列，则下列两条直线/i：（sin2v4）x+（sirt4）ya=0,6：（sin*）x+（sinC）yc=0 的位置关系是（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.重合【填空题】4.过点尸（5,-2）,且与直线x尹5=0相交成4 5 角的直线/的方程是.5.（2006上海）已知圆/4 x 4+/=o 的圆心是点P,则点P 到直线x y 1=0 的距离是;6.（2006福 建 12）对于直角坐标平面内的任意两点Z（x“乂）1（X2,%），定义它们之间的一种“距离”：|叫|=,2-再|+|%讯给出下列三个命题：若点c 在线段AB上,则 w q+归邳=w 耶在 MBC 中,若 NC=90,则|4C+|C5|2=|四2;在“s c中，M q+|c训|阳卜其中真命题是【解答题】7.直线/被两条直线4 :4 x+y+3=0和4 ：3 x-5 y-5=0截得的线段中点为P(1,2),求直线/的方程8 .求满足下列条件的直线/的方程.在y轴上的截距为-3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6与直线2x-y+4 =0的夹角为4 5,且交点在x轴上点评：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数.【探索题】(2005上海)已知函数/(x)=x +Z的定义域为(0,+8),且/(2)=2+也.设 点 尸 是x2函数图象上的任意一点，过点尸分别作直线y =x和夕轴的垂线，垂足分别为M、N.(1)求。的值；(2)问：是否为定值？若是，则求出该定值,若不是，则说明理由；(3)设。为坐标原点，求四边形O A/P N面积的最小值.备选题1.已知 N8 C的两条高线所在直线的方程为2%3尹1=0和x+y=0,顶点Z (1,2),求:(1)8 C边所在直线的方程；(2)/8 C的面积.2.在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(原点除外)上给定两点(0,a)、B(0,b)(c f b0).试在x轴的正半轴(原点除外)上求 点C,使N N C 8取得最大值，并求出这个最大值.y x1.(2006天津)设 变 量x、y满 足 约 束 条 件 3 x-6()A.2 B.3 C.4 D.92.(2006广东)在约束条件，x 0”0 x +y 5y+2 x 4下，当3 4 s 4 5时,目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是A 6,15 B.7,15 C,6,8 D.7,83.（2006湖北9）已知平面区域D 由以A（1,3）、B（5,2）、C（3,1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上 有 无 穷 多 个 点（x,y）可 使 目 标 函 数 z=x+my取得最小值,则 m=（）A.-2 B.-1 C.1 D.44.不等式|x-l|+|y-l 区2表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 等 于；5.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料.B 分别为小 4 千克，生产乙产品每千克需用原料 A和原料B分别为外、4 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为4、4 元.月初一次性购进本月用原料 A、B各 公 2千克.要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z=4x+&y最大的数学模型中，约束条件为;x+y46.（2006北京）已知点尸（x j）的坐标满足条件l于,最大值等于.x-y-2 08.不等式组x+2+l 0 表示的平面区域的面积等于 ol|x-2|3四、经 典 例 敢 做 一 做x-4j -3【例 1】设 x,y满足约束条件l为整数）的最大值，最小值。解：（1）先作出可行域，如图所示中AA6C的区域，且求得 A(5,2),B(1/),C(1，M)作出直线Lo：6x+10y=0,再将直线Lo平移当 Lo的平行线过B 点时，可使z=6x+10y达到最小值当 Lo的平行线过A 点时，可使z=6x+10y达到最大值所以 Zm in=16；Zmax=50(2)同上，作出直线Lo：2x-y=0,再将直线Lo平移，当 Lo的平行线过C 点时，可使z=2x-y达到最小值当 Lo的平行线过A 点时，可使z=2x-y达到最大值_ 12所以 Zmin=-16；Zmax=8(3)同上，作出直线Lo：2x-y=0,再将直线L。平移，当 Lo的平行线过C 点时，可使z=2x-y达到最小值-上当 晚的平行线过A 点时，可使z=2x-y达到最大值8但由于暂不是整数，而最优解(x,y)中，x,y必须都是整数所以可行域内的点C(l,三22)不是最优解当 Lo的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z=2x-y达到最小值所以 Zmin=-2.儿个结论：(1)、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。(如：上题第一小题中z=6x+10y的最大值可以在线段AC上任一点取到)(2)、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的儿何意义一 在 y 轴上的截距或其相反数。3、线性规划的实际应用【例 2】某人上午7 时，乘摩托艇以匀速unmi/e/h(4v2 0)从港出发到距50 nm i/e的8港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30WwW100)自8 港向距300 km 的。市驶去,应该在同一天下午4 至 9 点到达。市，设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh(1)作图表示满足上述条件的x、歹范围；(2)如果已知所需的经费p=100+3X(5-x)+2X(8-y)(元)，那么v、卬分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元？分析：由p=100+3X(5x)+2X(8一p)可知影响花费的是3x+2y的取值范围解：(1)依题意得片处,y4WvW20,30WwW100 x由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至1 4个小时之间,即 9 W x t y W 1 4 因此，满足的点（x,y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）1 0 0+3 （5 x）+2 （8-y）,.3x+2y=3p设1 3 1一 斗，那么当最大时最小,在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为一|的直线3底2尸左中，使左值最大的直线必通过点（1 0,4）,即当 l O,y=4时，p最小此时，v=1 2.5,w=3Q,P的最小值为9 3元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的儿何意义【例3】某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：（表中单位:百元）资 金单位产品所需资金月资金供应量空调机洗衣机成 本3 02 03 0 0劳动力:工资51 01 1 0单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，P=6 x+8 y,由题意有3 0 x+2 Q yW 3 0 0,5 x+l Q y1 1 0,x，0,yO,x、y 均为由图知直线产一1X+P过（4,9）时，纵截大值尸m ax=6 X 4+8 X 9=9 6 （百元）.总 利 润 是P，则整数.距最大.这时P也取最故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 6 0 0元.【例4】某矿山车队有4辆载重量为1 0 /的甲型卡车和7辆载重量为6 7的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运3 6 0 /矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次,甲型卡车每辆每天的成本费为2 5 2元，乙型卡车每辆每天的成本费为1 6 0元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低？分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x+y91 0 x6 x+6 x8 y 2 3 6 0Vx 4,xeNy|,y&Nz=252x+160y,作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线/o：2 5 2 x+1 6 0=0,把直线/向右上方平错,+y=95x+4尸30使其经过可行域上的整点，且使在y轴 上 的 截 距 最 小.观 察 他 畛 见 当 直 线2 5 2%+1 6 0尸t经过点（2,5）时，满足上述要求.此时，z=2 5 2 x+1 6 Q y 取得最小值，即 x=2,尸5 时，zmi n=2 5 2 X 2+1 6 0 X 5=1 3 0 4.答：每天派出甲型车2 辆，乙型车5 辆，车队所用成本费最低.廨邀口嬷用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系）（x,歹）=/的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.五，梃炼总给。名卿1.二元一次不等式表示的区域，线性规划等；2 解线性规划问题的步骤：（1）设:先设变量，列出约束条件和目标函数；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（4）求：通过解方程组求出最优解；（5）答：作出答案。同步练习 7.3简单线性规划【选择题】1.下列命题中正确的是A.点（0,0）在区域内 B.点（0,0）在区域x+y H 2 x 内 D.点（0,1）在区域 一尹1 0 内x-y+l 02.（2 0 0 6 安徽）如果实数x、夕满足条件 0 ，那么2 x-歹的最大值为（）x +y +1 0,3.（2 0 0 6 浙江）在平面直角坐标系中，不 等 式 组 x-y +2 2 0,表示的平面区域的面积是x 0）仅在点（3,1）处取得最大值，则。的取值范围为 o6.（2 0 0 5湖北）某实验室需购某种化工原料1 0 6 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为1 4 0 元；另一种是每袋2 4 千克，价格为1 2 0 元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解答题】7.实系数方程/(x)=/+。、+2 6=0的一个 根 在(0,1)内，另一个 根 在(1,2)内，求:上 的 值 域;a-1(2)(a-l)2+(b2)2的值域；7(3)a+b-3 的值域解：由题意知 b=O B/(0)0,/(1)0 n 6 0,a+h+l如图所不.A(3,1)、B (2,0)、C(1,V 0,Q+力+2 0.a+b=-2 Q)又由所要求的量的几何意义知，值 域 分 别 为(1)1)；(2)(8,1 7)；(3)(-5,-4)8画出以Z (3,-l)B(-1,1)、C(1,3)为 顶 点 的 的 区 域(包 括 各 边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3 x 2的最大值和最小值分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点/、B、C,则直线4 8、B C、G 4所围成的区域为所求 N 8 C区域直线A B的方程为x+2 y 1=0,B C及C A的直线方程分别为x-y+2=0,2 x+y 5=0在4 B C 内取一点 P (1,1),y|分别代入 x+2 y 1,x y+2,2 x+y 5 L/得x+2 y 1 0,x-y+2 0,2 x+y-5 0因此所求区域的不等式组为x+2 y 1 2 0,xy+2 0,5 1 22x+y5x+3y21x 0,y 0,x,y e N，z=x+2y,作出可行域，得人与。的交点为A(|，为、当直线z =x +2丁过 点A时z最小，但A不、是整点，而在可行域内，整 点(4,8)和(6,7)都使z最小，且zm i n=4+2 x 8=6+2 x 7=2 0,所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7张，能满足要求.超维点度:在可行域内找整点最优解的方法是：(1)打网格，描整点，平移直线，找出整点最优解；(2)分析法：由 于 在A点z =1 9.5.,而 比1 9.5大的最小整数为2 0,在约束条件下考虑x +2 y =2 0的整数解，可将y =1 0-1代入约束条件，得44x46,又x为 偶 数,故x =4或6.三、敢双敷的 1i H多1.（2006陕西）设直线过点（0,a）,其斜率为1,且与圆*2+=2 相切，则 a 的值为（）A.士啦 B.2 B.2啦 D.42.（2005北京）直线x+VJy-2=0被圆（x-l）2+/=i 所截得的线段的长为（）A.1 B.V2 C.V3 D.23.（2005北京）从 原 点 向 圆/+/一 12、+27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）A.B.2 彳 C.4 D.6 万4.M（XO，M）为圆，+/=0）内异于圆心的一点，则直线*0%+义卜=a与该圆的位置关系为（）A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交5.（2006全国H）过点（1，夜）的直线/将圆（x-2）2+V=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线/的 斜 率 左=.6.自点/（-3,3）发出的光线/射到x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆f十/一以一切+7=0 相切，则光线/所在直线的方程是.B简答提示,1-4.BCBC；5.26.圆（x2）2+Cy2）2=1 关于x 轴的对称方程是（%2）2+（j+2）2=1.设/方程为、-3=左（x+3）,由于对称圆心（2,-2）到/距离为圆的半径1,从而可得自=j,e=-y.故所求/的方程是3x+4y3=0 或4x+3y+3=0.四、经 典 倒 敢 做 一 做【例 1 求经过点A（5,2）,B（3,2）,圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；（2）一圆与y 轴相切，圆心在直线x3尸0 上，且直线尸x 截圆所得弦长为277,求此圆的方程.解:2xa%3=0(1)设圆心P(xo,yo),则有 25y+(汽-2=6-3)2+(汽-2解得 x()=4,y0=5,半径 r=V10,，所求圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上,故设圆方程为(x-36)2+Q=9b-又因为直线尸x截圆得弦长为277,则有(*1+(6 2=9%解得6=1.故所求圆方程为(x-3)2+(-1)2=9(x+3)2+(y+1)2=9.提 炼 方 法.(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2)待定系数法；(3)尽量利用几何关系求“、6、r或。、E、F.【例2】已知。的半径为3,直线/与。0相切，一动圆与/相切，并与。0相交的公共弦恰为。0的直径，求动圆圆心的枕迹方程。解：取过0点且与/平行的直线为x轴，过0点且垂直于/的直线为y轴，建立直角坐标系。与0 M的公共弦为，AB,OM 与/切于点 C,贝=。的直径，M 0垂直 卜Xl M)平分 AB T-Oo-/*由勾股定理得 一|M4|2=MOf+AO2=2 +/+9*-x2+y2+9=|y+3|2即：/=6 x这就是动圆圆心的轨迹方程【例3】已知圆M：2x2+2y28x 8yl=0和直线/：x+y-9=0,过直线 上一点A作ABC,使NBAC=4 5,A B过圆心M,且B,C在圆M上。当A的横坐标为4时，求直线A C的方程；求点A的横坐标的取值范围。解：依题意 M(2,2),A(4,5),kAM-1，解得 k=-51+”或4 =；,故所求直线A C的方程为5x+y25=0或x5y+21=0；圆的方程可化为(x2)2+(y2)2=(浮,设A点的横坐标为原 则纵坐标为9a；当a#2时，左相=之，设A C的斜率为左，把NBAC看作A B到A C的角，则可得k=一直线 AC 的方程为 y(9a)=-(xa)即 5x(2tz9)y2a2+22（kx、+3）（Ax2+3）+匹/=0,(k2+l)x,x2+3左(X +X2)+9=0.(左 ,2+1)(13)+3h3-k2k3-k2+9=0,即存在人士当符合要求.A.梃炼总转”名帏1.求圆的方程：主要用待定系数法，可以用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；或是利用圆的一般方程求出系数D、E、F 的值。2.已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。3.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。4.解析儿何中与圆有关的问题，应充分运用圆的儿何性质帮助解题.同步练习 7.5圆的方程【选择题】1.(2005辽宁)若直线2 x-y+c=0按向量3=(1,-1)平移后与圆，+/=5 相切，则 c 的值为()A.8 或一2 B.6 或一4 C.4 或一6 D.2 或一82.(2005全国卷I)过点(-2,0)的直线/与圆/+/=2 有两个交点，贝蝌率k 的取值范围是()A.(-272,272)B.(-V2,V2)C.也 乌 D.4 4 8 83.已知圆A/:(x+cos6)2+(y-sin。)？=1,直线/：=任，下列命题正确的是()A.对任意实数左和区直线/和圆”相切；B.对任意实数人和区直线/和圆M交于两点；c.对任意实数e,必存在实数左，使得直线/和圆/相切；D.对任意实数上，必存在实数。，使得直线/和圆/相切.【填空题】4.(2005湖南)已知直线ax+by+c=0 与圆O：一十二1相交于A、B 两点,且|AB|=Vi,贝 加 砺=.5.(2005年春考北京卷理11)若圆/+/+加丫一_ 1=0 与直线歹=7相切，且其圆心在y 轴4的左侧，则加的值为.6.求过直线2x+y+4=0和圆2+/+2 4y+l=0的交点，且面积最小的圆的方程.简答提示:1-3.ABD；4.-；5.73；26.解由2x+y+4-0 x2+y2+2x 4y+l=0得交点A(-ll/5,2/5),B(3,2),利用圆的直径式方程得：(x+ll/5)(x+3)+(y-2/5)(y-2)=0,化 简 整 理 得(x+13/5)2+(y-6/5)2=4/5【解答题】7.已知圆C 的圆心在直线x y T=0 上,并且通过两圆Cl:x2+y2-4x-3=0和 C2:x2+y2-4y-3=0的交点,(1)求圆C 的方程；(2)求两圆3 和 C2相交弦的方程，解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2-4x-3+X (x2+y2-4y-3)=0,即(1+入)(x2+y2)4x 4 入 y 3 X 3=0,由于圆心在直线X y 4=0上，.-4=0,解得 X -1/31 +2 1 +2所求圆的方程为：x2+y2 6x+2y 3=0.(2)将圆C.和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程.点评：学会利用圆系的方程解题.8.已知圆 C：(%1)2+(歹 一 2)2=2 5,直线/：(2/M+1)x+(ZM+1)yJm4=Q(w G R).(1)证明：不论加取什么实数，直线/与圆恒交于两点；(2)求直线被圆。截得的弦长最小时/的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.(1)证明：/的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.O R J 2x+y-7=9，f x=3,即/恒过定点Z(3,1).圆心 C(l,2),14cl=石 5(半径)，.点/在圆。内，从而直线/恒与圆。相交于两点.(2)解：弦长最小时，由自c=工，2：./的方程为2xy5=0.9.(2005江 苏)圆 O1与圆02的半径都是1,OQ 2=4,过动点P 分别作圆0|、圆。2的切线PM、PN(M、N 分别为切点)，使得PM=g/W 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：如图，以直线GO,为x轴，线段002的垂直平分线为N轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分另I 为q(-2,0)0 (2,0).设尸(x,y),则PM2=OyP2-OM2=(X+2)2+/-1,同理P N 2=(x _ 2)2+y 2 _ PM=&PN,，(x+2)2+V-1 =2Kx-2)2+/-l ,即X2-12X+/+3 =0,即(X-6)2+/=3 3.这就是动点P 的轨迹方程.10.如图，已知。M：x2+(y-2)2=l,Q是x 轴上的动点，Q A,QB分别切。M 于 A,B 两点,如果|/8|=半，求直线MQ的方里求动弦AB的中点P 的轨迹方程(用(用解：解(1)由|/切=殍 可 得_ fc Q *M|=J“|2 _(苧 =7=(由射影定理得 I A|2 =|A*I.I MQI 得 I M Q|=3,在 R/AMOQ 中，|O Q|=7 l A/0 12-M O 2=,3 2 -2 2 =V 5 ,故。=石或。=-石，所以直线AB方程是2x+岛-26=0或2x-岛+26=0;连接MB,M Q,设尸(x,y),0(4,0),由点M,P,Q在一直线上，得二-=2 二,(/)一 a x由射影定理得|MB 产=|MP|M。即 7x2+(y-2)2-+4=1,(5)7 1把(A)及(B)消去a,并注意到y b=2 2(V 2 -1).，所求方程为2 (后-1)刀2+2后(V 2-1)y2=l.法2:(点差法)由办1+1 =1,办2+勿2=1相减得21s2 1 =gA J J E L,即 一1 =一 且2=一.血4=加/.下同法 1.须一/by1+y2 by0 b提 炼 方 法设而不求，即设出Z(X”%)，B(应，”)，借助韦达定理推出6=后a.再由O A L O B得刀用+7必=0,转换出a,b的又一关系式，2.点差法得6=后a.x2 v2【例2】(2 0 0 5湖南)已知椭圆C：+=1 (a b Q)的左.右焦点为西、乃，离心率a b为e.直线,/：y=e x+a与x轴.y轴分别交于点2、B,V是直线/与椭圆。的一个公共点，P是点B关于直线/的对称点，设 前=入方.(I )证明：X -l-e2；(II)若2 =士，自出的周长为6；写出椭圆。的方程；(理科无此问)4(III)确定人的值，使得是等腰三角形.(I )证法一：因为/、8分别是直线/：y =ex+。与x轴、y轴的交点，所以4、8的坐标分y=ex+a,y2 得，+1所以点M的坐标是(-c,Q).a别是(-?,0),(0,a)由2x=-c,_ _ _ _ _ _F 这里c =Ja 2+-.歹=一.-*Z7由 NAZ =c +)=2(-,a).e a e即！a-ce =a解得4 =I e2证法二：因为/、B分别是直线/：y =ex+a与x轴、y轴的交点，所以2、8的坐标分别是(-,0),(0,a).设M的坐标是(x0 J o),由 而=/l还得(X。ea、“Q 、+,为)=2(,。),e e所以x，(fey0=加因为点在椭圆上，所以2Xj+龙=1h2，(A-l)2,2即+(Ma2 b2一 所 以 亨+/=1.64 2（1%）/+（1 4）2 =0,解得 e2=1-A 即2 二1一/.3 i（I I ）当4 =2 时，c =上，所以a=2c.由的周长为6,得2a+2c =6.4 2所以a=2,c =l,=。2 -c?=3.椭圆方程为二+匕=1.4 3（I I I）解法一：因为P Q _ U,所以/尸万/2=90 +/氏4为钝角，要 使 乃 为 等 腰 三 角形，必有|=|乃|,即:|/=c.设点为到/的距离为d，由P G|=1=匡 率 2卫=隼 空=c,2 VI +e2 V1+e2得 上 幺=之 所 以 于 是 4 =1 e2=2.7 1 7 7 3 37即当4 =”寸,丛PFF为等腰三角形.解法二：因为P Q _ U,所以乙4 尸2=90 +N B/Q为钝角，耍使尸Q三为等腰三角形,必有|=四三|,设点P的坐标是（X。，为）,为 0；1则 /+0,yo+O -_ ex0-c2 2+a.xo =解得 =e2-3e2+lC，2(l-e2)ae2+l由 丹|=甲国|得 e/+2（l；e-）“=4 c 2,e+1 e+1两边同时除以4/,化简得竺二D t =e 2.从而 2=2.e2+l 3于是21=1-e2=*.即当4 =4时，尸 QB为等腰三角形.3 3【例 3】（2005 春上海）（1）求右焦点坐标是（2,0）,且经过点（-2,-0）的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆。的方程是=+口 =1（/0）.设斜率为的直线/,交椭圆。于4、5 两点,Z 8 的 中 点 为 .证 明：当直线/平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；（3）利 用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.解：（1）设椭圆的标准方程为+E=1,a b 0,a2 b22 2./=+4,即椭圆的方程为-+5=1,b2+4 b2.点（-2,）在椭圆上，一+4=1,b2+4 b2解 得/=4或/=-2（舍），由此得，=8,即椭圆的标准方程为片+己=1.8 4（2）设直线/的方程为歹=&+加，与椭圆C的交点4（西,为）、B（X2 9乃），y=k x+m则 有 一/-4-=1a h-解 得（b2+a k ）x +2 a2k mx+a2m2-a2b2=0，1 A 0,m2 b2+a2k2,即 -yj b2+a2k2 m y/b2+a2k2,2 a2 k mb2+a2k2yy+y2=k xA+m+k x2+加=2 b2 mh-+a2k2“中点例的坐标为卜p*b2 mb2+a2k2贝Ix,+x2=-.线 段 的 中 点M在过原点的直线b2 x+a2 k y=0 1.（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于/、8和C、D,并分别取Z8、8的中点四、N ,连接直线MV；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于4、&和G、3,并分别取4为、G3的中点M、N ,连接直线M M，那么直线脑v和 峪 的 交 点。即为椭圆中心.例 4V2 v2 6 江 西)如图，椭圆。：/+方=1(。6 0)的右焦点为F(c,0)，过点F 的一动直线m绕点、F转动,并且交椭圆于4、B两点,P 为 线 段 的 中 点.(1)求点尸的轨迹的方程；(2)若在。的方程中，令=1+(，+411/=5皿外0。巧.确 定 6 的值,使原点距椭圆。的右准线/最远.此时设/与x 轴交点为。，当直线机绕点厂转动到什么位置时,三角形28。的面积最大？解：如图2 2(1)设椭圆0:点+方=1上的点/(4 凹)、5(2 为)?又设尸点坐标为P&J)，则b2x；+a2y=a2 b2 .b2x1+a1=a2b2.1 当 不 垂 直 x轴时,上产三2,由一得b2(x1-x2)2x+/(必-y2)2y=0,.f 二 心 二.,.一 一2.，x-x2 a y x-cb2x2+cry1-b2cx=0,.(*)2。当 ZB垂直于x轴时，点尸即为点尸，满足方程(*).故所求点尸的轨迹”的方程为：b2x2+2/-b2cx=0.2 2因为，椭圆。右准线/方程是x=2,原点距椭圆0 的右准线/的距离为第,_ rr由 于=0 2-6 2M2 =i +c os O+s i n。,/=s i n(0、兀、则一二 f，=2 s i n(十 ).c J l+c os，2 4当e*时，上式达到最大值，所以当e=时，原点距椭圆Q的右准线i最远.此时 a 2=2,b 2=l,c =l,Z)(2,0),|Z)F|=1.设 椭 圆0:5+,=1上的点Z(x j)、B(x2y2),/8 O 的面积5 =；|乂|+；|%|=3|乂_ 闾.r2 v2设直线机的方程为x=0+l,代 入 与+匕=1中，得(2+k2亚2+2 _ 1 =0.由韦达定理得弘+%=一/，必 为=一 占，Z I K 乙 I K4 s2=(乂 一 y2 A =(凹 +歹2 一 4必 先8(公+1)令2+1“得4 s 2 包=2,当，=1,%=0取等号.4，因此,当直线加绕点F转动到垂直x轴位置时，三 角 形 的 面 积 最 大.松健醪注意这种直线方程的设法,适用于“含斜率不存在，而无斜率为零的情况”.【研讨.欣赏】(1)已知点尸的坐标是(-1,-3),E是椭圆(+.=1的右焦点，点。在椭圆上移动，当|0 A +g|PQ取最小值时，求点。的坐标，并求出其最小值。(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在X轴上，离心率为e 若,已知点p o,到这个椭圆上的点的最远距离是77,求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是V 7的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知。=4,6=2百，则c=2,e =g,椭圆的右准线方程为x=8过点。作I于点0,|叫=*0，|明+%。|=5。例+闸)易知当尸、。、0在同一条线上时，即当。.与P 点重合时，|。0|+|尸。|才能取得最小值，最小值为8-(-1尸9,此时点Q的纵坐标为-3,代入椭圆方程得X=2 o因此，当Q点运动到(2,-3)处时，尸|+；归 取最小值9.(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是=+4=1(“6 0).g,解得2 ,设椭圆上的点a,切到点P的距离为d.4 a 2则/=/+-3 尸 2+4/+3其 中 一 Wb,如 果 则 当 产-6 时取 得 最 大 值 历=b +|J解 得 6=疗-3 工 与 矛 盾，故必有6 2 工 当y=-工 时/取 得 最 大 值，2 2 2 2 22(V7)2=4 b2+3 解得b=l,a=2 所求椭圆方程为亍+/=1.由y=；可得椭圆上到点P的距离等于V 7 的点为-百 厂,(百,.A.提 炼 总 给。名师1.椭圆定义是解决问题的出发点，一般地，涉及。、6、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d 及焦半径的问题行急需处理虑第二定义；2 .求椭圆方程，常用待定系数法,定义法，首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；(2)两种标准方程中，总有。力0,c 2=a 2 _*并且椭圆的焦点总在长轴上；3 .要正确理解和灵活运用参数a,b,c e的几何意义与相互关系；4 .会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法”及其结论。同步练习 8.1椭圆方程及性质【选择题】丫21.(2 0 0 4 全国7)椭圆丁+/=1 的两个焦点为.、出,过乃作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个 交 点为P,则|。工|（）八7A.B.V