（反比例函数综合-解答题）（20题）2021中考数学压轴题（解析版）.pdf

2021中考数学压轴题必杀专练300题专练03（反比例函数综合-解答题）（20道）1.（2021 山东济南市九年级一模）已知：如图，双曲线y=（左H 0）与直线y=mx（m丰0）交于3）、x3两点，将 直 线 向 下平移个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C,点。是x轴上一动点.（1）求双曲线和直线的函数表达式；（2）连接A O,当点。是线段AO中点时，求 的值；（3）若点E是双曲线上任意一点，当口4组 是以AE为斜边的直角三角形，且ND4E=3O时，求点E的坐标.【答案】（1）双曲线的表达式为了 =之 叵，直 线 的 解 析 式 为 =岳；（2）=-；（3）点E的坐标为x 2E(3 有,1)或 E(-6,-3).解：（1）双曲线y=（左。0）与直线y=wx（mHO）交于A（、瓦3）、3两点,X_ k 厂*-3=,解得 k=3V3，3=V3m，解得=6，二双曲线的表达式为y=地，直线4 2的解析式为y=g x；X（2）将直线4 8 向下平移”个单位，得直线y=直线y=J ir w 与双曲线y=2 叵 交于点C,x过 点/作A M x轴交x 轴于点M,过 C 作C N I x轴交x 轴于点N,：.A MHC N,：.A A M D s C N D,；C 为力。的中点，.CN DN DC即N为MO的中点，CN -AM ,2./w +V 3,3 ,2 2 2r-厂 3 36将 c（竺 了,|）代入了=乎 得，5=记近,解得m=3 V 3，经检验：2 =3 6 是原方程的根，且符合题意,2即C(2 6)，2将0(2 6,3)代入3/=氐 _ 得3=石*2 6-，2 29解得=一；2(3)当点E在第一象限时，如下图，过点A作AHVx轴交x轴于点H,过点E作EPLx轴交x轴于点P,A(VJ,3),OH=5 AH=3,：DADE是以A E为斜边的宜角三角形，且NZM=30,/.AD=y/3DE，ZADH+ZEDP=9Q,加 山 轴,EP_Lx轴,Z.ZADH+NHAD=90。,NAHD=NEPD=9。,二 ZEDP=ZHAD,：.AAHDSADPE,.AH HD AD _ ADP PE DE设点 0(?，0),则一OH=z-百，.n p AH r-HD 鬲-3 DP=r=-=5/3,PE=r=r=-,A/3 A/3 3 E(m+V 3,m3)3:.正 g=上与，解得3m+v3m =2 V J或 根=2 /3(舍去),二 E(3百,1),当点E在第三象限时，如下图,同理可证/H OSA)P ,AH HD ADDPPEDE 一设点 0(,0),则=0 0 +0 =6-根，.加=华=吟 平=2，垂 逝 3.3 =3 c,解得加=26(舍 去)或加=一2月，3 团+6 (-A/3,-3),综上所述，点E的坐标为E(3 x/3,1)或E(-V 3,-3).2.(2021广东佛山市九年级其他模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形。钻 C 的顶点3 的坐标为(4,2),OA、0 c 分别落在落在轴和)轴上，0 8 是矩形的对角线.将口0A B 绕点。逆时针旋转，使点3 落在)轴上，得到D O D E,。与 C B相 交 于 点/，反比例函数y=(x 0)的图像经过点口，交AB于点G.X(1)填空：Z 的值等于；(2)连接E G,图中是否存在与 BEG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说4明理由；(3)在线段OA上是否存在这样的点P,使得 用；是等腰三角形.请直接写出。户的长.【答案】(1)Q2；(2)存在，AAO Bs BFG；(3)4-J H 或 或8 2解：(1)；四 边 形 为 矩 形，点 8的坐标为(4,2),A Z O C B=Z O A B=Z A B C=90,0 C=A B=2,0 A=B C=4,：O D E 是 0/8 旋转得到的，B|J：/OD E m A OA B,：.4 C O F=NA OB,：.4C O FSAAOB,.CF PCA BO A CF 2 ,2 4C F=1,点尸的坐标为(1,2),y (x 0)的图象经过点F,x/.2=y-,得 k=2；(2)存在与 8 F G 相似的三角形，比如：AOBSBFG.卜面对进行证明：,:点G在上，.点G的横坐标为4,2 1对于y=，当x=4,得 歹=一,x 2二点G的坐标 为（4,g）,2 A G=一，2：B C=O A=4,C F=t 4 8=2,:B F=B C-C F=3,3BG=AB-AG=一，2A。4空 蛰，方=屋 BG q 3,.AO AB fBF BGZO AB=ZFBG=90,:OABSAFBG.（3）设点尸（m,0）,而点尸（1,2）、点 G（4,-）,29 45 1则 E G 2=9+-=,P F2=（m-I）2+4,P G2=（OT-4）2+-,4 4 4当时，即 竺=（z-l）4 4,解得：w=2 V 2 9 （舍去负值）;4 2当P R u P G时、同理可得：加=匚；8当GF=PG时，同理可得：m=4-而；综上，点尸的坐标为（4-而，0）或（葭，0）或（2+产,0）,:.OP=4-而或3或2+3.3.(2021 广东九年级其他模拟)如图，点 Z(1,6)和 8(,2)是一次函数j，i=f c r+b的图象与反比例函数J，2=(x 0)的图象的两个交点.X6(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)设点尸是y 轴上的一个动点，当 8 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)从下面a 5 两题中任选一题作答.4 在(2)的条件下，设点。是坐标平面内一个动点，当以点N,B,P,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点。的坐标.B.设直线Z 5 交j 轴于点C,点 M 是坐标平面内一个动点，点。在 j 轴上运动，以点4 C,Q,M 为顶点的四边形能构成菱形吗？若能，请直接写出点。的坐标；若不能，说明理由.-2 x+8；(2)(0,5)；(3)4点。的坐标为（2,1）或（-2,9）或（4,3）；B.能；点。的坐 标 为(0,8+75)或(0,8 -正)或(0,4)或(0,【详解】m解：(1)将点4的坐标代入反比例函数表达式得：6=丁,解得?=6,故反比例函数表达式为y=9，X当=9=2时，x=3=n,即点8的坐标为(3,2),x6=k+b将点/、3坐标代入一次函数表达式得：,2 =3%+。解得k=-2b =8故一次函数表达式为y=-2 x+8：(2)作点4关于y轴的对称点G (-1,6),连接B G交y轴于点P,则点P为所求点,rAB X理由：/X P A B 的周长=/尸+P8+4 8=G P+P8+/1 8=8 G+/8 为最小，由点8、G的坐标，同理可得：B G的表达式为y=-x+5,故点尸的坐标为（0,5）；（3）能，理由:A：由（1）（2）知，点 人B、尸的坐标分别为（I,6）、（3,2）、（0,5）,设点。的坐标为（s,/）,当4 8是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到8,同样点P（。）向右平移2个单位向下平移4个单位得到。，贝l 0+2=s,5-4=，或0-2=S,5+4=7,当 是 对 角 线 时,由中点公式得：1（1+3）4(5+0)、,1 Z(6+2、)=1 /(5+力、,2 2解得s=4t=38故点。的坐标为（2,1）或（-2,9）或（4,3）.B,由 直 线 的 表 达 式 知，点C（0,8）,由点/、C的坐标知/G=5,设点。的坐标为（0,m）,点M的坐标为（s,/）,当/C为边时，则/C=C Q 或/C=/。，即 5=（m -8）2 或 5 =1+（?-6）2,解得,=8士6或8 （舍去）或4,即?=8&或 4；当/C是对角线时，则AM=AQ且AC的 中 点 即 为 的 中 点,则(5-l)2+(Z-6)2=l +(/n-6)2g(l +O)=*+O)J(6 +8)=J(m +f)解得 0）X的图象分别交矩形N5OC的两边NC,N 5 于 E、F两 点（E、尸不与N 重合），沿着E尸将矩形N5OC折叠使“、。两点重合.（1）AE=（用含有k的代数式表示）；（2）如图2,当点O 恰好落在矩形Z5OC的对角线8 c 上时，求 CE的长度；解：（1）:四 边 形 4 8 0。是矩形，且 力（4,3）,：.AC=4,OC=3.10.点E在反比例函数产七上,X.k:E（一,3）,3/.Jf=4.3故答案为：4；3(2)如图2.(4,3),：.AC=4,48=3,.AC 4.-=一,AB 3k，点厂在产一上，xk：.F(4,一)，4,kA ri 4-.A E_ 3 _4 -=一AF 3_ k 3 4.AE AC 4 -=-=一.AF AB 3Z J=Z J,/AEF/ACB,ZAEF=ZACBf:EFBC,：./FED=/CDE,连 接 交 石 尸 于M点,:/AEM=/DEM,AE=DE,，NFED=/CDE=NAEF=/ACB,：.CE=DE=AE=AC=2；2(3)过。点作当班 4 0时，如图3,有乙4M90。1 3AN=BN=AB=一,2 20：.ND4N+NZW=90。.,NDAN+NAFM=90。,：./ADN=/AFM,AE 4/.tan ZADN=tan/AFM=-=，AF 3.AN 4 -=一.DN 33:AN=一,2129：.DN=-89 3 23 3：.D(4-),即。(一，8 2 8 2AF 3AN 4=-,AD 54 4 c 12 AN=-AD x 3=f5 5 512 3:.BN=3-AN 3 =.5 53 3 12 9:D N=-A N=-x =一，4 4 5 59 3 11：.D(4-),即。(一，5 5 5当 48=8。时，AEFQXDEF,：.DF=AFf:DF+BF=AF-BF,K P DF+BF=AB,:DF+BF=BD,此时。、F、5 三点共线且厂点与4 点重合，不符合题意舍去,:AB羊BD,23 3 11 3综上所述：所求。点坐标为（一，-）或（一，-）.8 2 5 55.（2021 江苏扬州市九年级一模）如 图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作UOABC,点。（2,y）和边AB的中点O都在反比例函数y=：（x0）的图象9上，已知口。8的面积为一2图1（1）求反比例函数解析式；（2）点P（a,0）是x轴上一个动点，求|PC-PQ|最大时。的值图2（3）过点。作x轴的平行线（如图2）,在直线/上是否存在点Q,使AC。为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）J =；（2）6；（3）存 在.点Q的坐标为-或或 或工I 4乙）今乙）I ，乙）（2-2713 3、14解：（1）当x=2时，y=七,2.O4BC 中，B C/O A,kQ Q是边AB的中点，即：O R,），作C E J_x轴于点E,D F k x轴于点F，图1则 SAOCD=S梯 形C O F E=5（I+/）（4 2）.反比例函数解析式为：y=.X（2）在口PCD 中，|尸。一尸4 =士伏*0)于点C(3,)抛物线y =a v 2+x +c(a#O)过点.且与该双曲线交x 2(2)若点尸为该抛物线上一点，点。为该双曲线上一点，且P,。两点的纵坐标都为-2,求线段PQ的长.(3)若点M沿直线从点N运动到点C,再沿双曲线从点C运动到点D.过点M作MNLx轴，交抛物线于点N.设线段MN的长度为，点M的横坐标为胆，直接写出 的最大值，以及“随，的增大而减小时m的取值范围.【答案】(i)y =-U,丁 =一 _1/+3%1；(2)%或 拉 叵；(3)。的最大值 是 ，一1 机 0,-x -2 2 2 2 8-m 3,3V 2 4时、d随加的增大而减小.2解：(1)令y =0,贝i j-x 1 =0,解得了=一1,令x =0,则 丁 =一1,所以，点 A(1,0),3(0,-1),%=3时，y =-3-l =-4 ,所以，点C(3,4),k设双曲线解析式为y =(%w 0),x则4=4解得 =12,12所以，双曲线解析式为=，x ,点。的纵坐标为-3,解得x=4,点0(4-3),3 抛物线y=加+；x+c过点3、D，c=-l16+x4+c=-3，2解得 二-2,c=-l 抛物线的解析式为y=1 59/+3耳一1：I 3(2)当 y=-2 时，x 4 X 1 =-2,2 2整理得，X2-3X-2 =01解得疗呼士呼，点P的坐标为(二 叵，2)或(3二,-2),-2X解得 =6,二点。的坐标为(6,2),M ,3+后 9-后 需 2 /3-V17 9+V17/.PQ=6-=-或 PQ=6-=-：(3)点”在A 5上时，-1V根0,d=MN=(-zn-l)-(-m2+m-1)=AH2 m=(m-)2-,2 2 2 2 2 2 8.d随m的增大而减小，点M在5 c上时，。根3,18a,=M.八N，=(,1n,f +3 八,(-/n-1)=1 m2 +5 m =I,(m5)。H-2 5-,2 2 2 2 2 2 85 25二根=一时，d有最大值为二2 8?m 3时，d随机的增大而减小，2点M在。上时，3加4,d,=MN =(,1w,+3/Z 1，)、(/-1 2)、=1 m 2+-m3 -1-2-1,2 2 m2 2 m山图可知，d随优的增大而减小，25 5综上所述，d的最大值是一，-l m 0,-m 3,3，0)过点A(4,3),直线A C与x轴交x于点C(6,0),过点C作x轴的垂线B C交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标；(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所 有D点的坐标.【答案】(1)攵=12,3(6,2)：(2)(4,1)或(4,5)或(8,-1)k解：(1)把点A (4,3)代入尸-(x 0),得xk=x y=3 x 4=1 2,故该反比例函数解析式为：y=.x.点 C (6,0),B C L x 轴，把x=6代入反比例函数y=,得x12y=6.2则 B (6,2).综上所述，k的值是1 2,B点的坐标是(6,2)(2)A (4,3),B (6,2)、C (6,0),B C=2,过A作B C的平行线，在这条平行线上截取A D尸B C,A D2=B C,此时 D i (4,1),D2(4,5),过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于5,过点A作AM L B C,垂足为M,过D 3作D j N _ L B C,垂足为N,；.A C=B D 3，ZA C M=ZD B N,A A A C M A DJBN(A A S)A D3N=A M=6-4=2,C M=B N=3,/.D3 的横坐标为 6+2=8,C N=3-2=1A D a(8,-1).符合条件的所有D点的坐标为(4,1),(4,5),(8,-I).8.(2020贵州贵阳市)在平面直角坐标系中，反比例函数y=人和一次函数y=ax+b的图象经过点A(LX5)和点 B(n,1).(1)求反比例函数和一次函数的表达式；k(2)点 M 是线段AB下方反比例函数)，=一图象上的一动点，过 点 M 作 x 轴的垂线，与一次函数y=ax+bx的图象交于点P,连接OP、O M,求口尸QA1的面积的最大值.20y【答案】(I)y=二，y=-x +6；(2)3Xk解：(1);反比例函数y=的图象经过点A(1,5)和点B(n,I ).x：.I x5=nxl=5/.k=5,n=5.反比例函数的表达式为y=-X 一次函数y=a+Z?的图象经过点A(1,5)和点B(5,1)a+b=55a+b=la=b=6m/.PM=-m+6-mS =/(一 加 +6-工)乙 z1 2 5 SPOM=-m-+3 m-1、，S OM=-(/n-3)-+2 (1 m 5)V-1 0)分别交于点4xD.A (AB 0)交线段8 c于点E,交反比例函数y=&(x 0)图象于点尸.x(1)当 8 c=5 时：求反比例函数的解析式.若5 E=3 C E,求点尸的坐标.(2)当 B E：C Z)=1：2时，请直接写出 与，”的数量关系.9 t-9 石 9 6(4/n +1【答案】(口 二一；F (2 亚,竺)；(2)k=-Tx 1 0 (4 m+3)3解：(1)针对于宜线y=x+6,令x=0,则y=6,4：.A(0,6),.OA=6t223令y=0,则 0=-x+6,4.,.x=8,:D(8,0),8=8,4D=10,YBC=5,:,AB+CD=AD-BC=5,:AB=CD,5:A B=一，2过点8 作 8G Ly轴 于 G,ZAGB=90Q=ZAO DfZBAG=ZDAO,：.ZBGs/OO,.AG_BGAB二.一 OAODAD5：.AGBG.2,6-三-103：.A G=,BG=2,29：.O G=O A-A G=-,29：.B(2,-)2.点8 在 反 比 例 函 数(x 0)图象匕x,9,=2 x-=9,29 反比例函数的解析式为y=一x；8C=5,：.BE+CE=5,:BE=3CE,1 5：.BE=42 5.AEAB+BE4过点E 作轴于H,：.ZAHE=90=NAOD,：ZHAE=ZOAD,：.AHAESAOAD,.AH EH AE 0A OD AD2 5/.AH _BG,工一守一而1 5 八:.AH=，BG=5,49：.OH=OA-A H=,49：.E（5,-）,49直线OE的解析式为y=x,9y =一x联立J :，解得,y =_ 2 69 7 5 （舍）或l y 二-i-o-y=2小975 y 1 0：.F（2/5 .地）：1 0（2）,:BE：CD=：1,:.B E=a,则 CD=2a,:AB=CD=2a,：.AE=AB+BE=3a,过点E作轴于H,同（1）的方法得，HAESOAD,24.AH EH AEOAODAD.AH EH 3aa(=f6 8 1 09 1 2:.AH=-a,EH ctf5 59：.OH=OA-A H=6-a,5.1 2 9.E(a,6 -ci)95 51 2 9将点E 坐标代入直线y=?工(m 0)中，解 得 不 加=6 -a,1 0:a=-,4 m+3将点E 的坐标代入反比例函数y=七(x 0)中，x1 2 9 3 6 3 6 1 0 1 0 96(4 m +l)解得，k a(6-)=a(10-3a)=x(10-)5 5 2 5 2 5 4 m+3 4 m+3 (4 z +3)【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直线和双曲线的交点坐标的求法，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形，求出点E 的坐标是解本题的关键.10.(2020江苏泰州市九年级一模)如图，点 A 是坐标原点，点 D 是反比例函数y=9(x 0)图象上一X点，点 B 在 x 轴上，A D=B D,四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=-(x 0)图象于点E.X(1)平行四边形ABCD的 面 积 等 于,(2)设 D 点横坐标为m,试用m 表示点C 的坐标；试用m 表示点E 的坐标.(要有推理和计算过程)(3)求CE：E B的值.(4)求EB 的最小值.【答案】(1)12；(2)C(3 m,),E(鬲+加，m解：(1)如图，作 DH_LAB 于 H,设 D(m,n).V DA=DB,DH1AB,AH=BH=m,.点D 在 y=9 上，X.mn=6,AS 平 行 四 边 形 ABCD=ABDH=2mn=12.故答案为12.(2)由题意D(i n,),其中m0m由(1)可知AB=2m,四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=2m,.6C(3 m,).m6 方(2m,0),C(3 m,一),m设直线B C 的解析式为y=kx+b将点B 和点C 的坐标代入，得0=2mk+h,6 个 j=3mk+b)；(3)&.(4)276-273tn26解得：m二直线BC的解析式为y=2x -U,m my由/2 +)m 2m /2 -1(4),?CEBE=y/2，1.B E=7=A D,V 2 +1要使得BE最小，只要AD最小,VAD=r+5+1 2，AAD的最小值为2 百，.二 B E的最小值为呼=2遍-2/3 .42+1【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握反比例函数比例系数的几何意义、平行四边形的性质、三线合一、利用待定系数法求一次函数解析式、联立方程求交点坐标和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.11.(2020江苏连云港市一)如图1,直线y=x-l交 x 轴、y 轴于A、B 点，点 P(L a)a l)交射线B A 于 E,交双曲线厂一 于 F,将直线X 向右平移4 个单位长度Xk1 0后交射线于,交双曲线y=一于 广，若 EF=m+g 求 m 的值.x5【答案】(1)k=-6；(2)m 3.5(I)：直线=%1交 x 轴、y 轴于A、B,令尤=0,则 丁 二 -1；令 y=0,则 =1；A A(1,0),B(0,-1),V P(1,。)，28 PAOB,由题意：(卜=3.5,2解得。=-6，-6),.双曲线y=或经过点P,X 左 二 6；(2)由(1)知双曲线的解析式为：y=-,X6 6由题意得：E(机，m-1)F(机，-),(?+4,m+3),F(m +4,-).m m+4二 EF=/+3-1-=m+,I m+4)5整理得：加=3.5,经检验，加=3.5是原方程的解，也符合题意，m-3.5.【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，梯形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.m12.(2020常熟市第一中学九年级二模)如图，已知反比例函数v=(x 0)的图象经过点A(4,2),x过 A 作 AC_Ly轴于点C,点 B 为反比例函数图象上的一动点，过 点 B 作 BD Lx轴于点D,连接A D,直线 BC与 x 轴的负半轴交于点E,(1)若 B D=3O C,求ABDE的面积;(2)是否存在点B,使得四边形A C E D 为平行四边形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)6；(2)存在，B 的坐标为8(2,4).(1):反比例函数y=%(X 0)的图象经过点4 4,2),X.m=8,Q反比例函数y=-(x 0).X.AC_Ly轴，4(4,2),.OC=2,;BD=3OC,:.BD=6,Q B)_ L x轴，4B(,6),b=2设直线8C的解析式为y=H+b,则有I 4，k+b=613k=3解得()的图象经过线段0 5 的中点O,x并与矩形的两边交于点E 和点尸，直线/：尸3+8 经过点E 和点尸.(1)写出中点。的坐标,并求出反比例函数的解析式；(2)连接OE、O F,求AOE尸的面积；(3)如图，将线段0 5 绕点。顺时针旋转一定角度，使得点5 的对应点H 恰好落在x 轴的正半轴上，连接5/7,作 O M _L5,点 N 为线段OM上的一个动点，求 M V+go/V 的最小值.(1)在矩形 ABCO 中，0A=BC=4,0C=AB=3，6(3,4).OD=DB,3?.(-,2).2k 3二尸一经过Q(一,2),x 2/.k=3,3 反比例函数的解析式为尸一.xS OE F=S 矩 形4 8c o -S OE -S OC F 一品尸8=1 2 x 4 x -X 3乂 -x 3 x(3 -)=.2 4 2 2 4 8(3)如图中，作 N J _ L8。于 J.HKLBD T K.32由题意OB=OH=5f：.CH=OH-0C=5-3=2,:上 立 八 仁+5=+2 2 =2逐，：.sinZCBH=.BH 5：OMLBH,：.NOMH=/BCH=90。.Z MOH+Z OHM=90,Z CBH+Z 076=90。,J ZMOH=ZCBH.*：OB=OH,OM_LBH,：.ZMOB=ZMOH=Z CBHfA sinZJO/,5 NJ=ONsin ZNOD=&ON,5.NH+0N=NH+N，5根据垂线段最短可知，当 J，N,共线，旦与“K 重合时，HN+好O N的值最小,最小值=HK的长.5V OB=OH,BCOHf H K 10B,:,HK=BC=4,，“N+正 CW是最小值为4.5【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.14.(2020河 南 九 年 级 一 模)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点/(a,0)为 x 轴上一动点，点 M(1,-1)、点 N(3,-4),连接4M、M N,点 N 关于直线N M 的对称点为N，.(1)若 0=2,在 图 1 中画出线段M N 关 于 直 线 的 对 称 图 形(保 留 作 图 痕 迹)，直接写出点M 的坐标;k(2)若”0,连接V、A N ,当点/运动到NNNN=90。时，点”恰好在双曲线y=一 上(如 图 2),求xA的值；(3)点 4 在 x 轴上运动，若N N M N=9 0。,此时“的 值 为.【答案】(1)(-2,1)；(2)2 0；(3)-4 或二解：作图如图1所示，解(-2,1).-r T-r -I/图1故答案为(-2,1).(2)如图2,过4 M分别作y轴平行线8E,C D,过N,V分别作x轴平行线，交 BE,C D于点D,B,C.34图2J NB=NE=Z D=Z C=90,A Z H Z 3=90,NN4N=90。，AZ2+Z3=90o,AZ1=Z2又 AN=AN,:,AABN乌ANEA(44S),：.BA=ENf BN=EAA(m 0),M(1,-1),N(3,-4),:BA=EN=a-3,BN=EA=4,DM=2,DM=3.V (a-4,a-3),由轴对称性质可知 M N=M N=个DN?+DM?=V13，.NC=a-4-1 =a 5,CM=a3-(-1)=a-2CN2+CM2=MN2=U,：.(a-5)2+(a-2)占 13,：.a2-7a-8=0,:.k=(a-4)(a-3)a2-la+2(a2-la-+20=20.故答案为：20；(3)如下图中，将线段用 绕点例逆时针旋转90。得到N，(4,1),作线段NV的垂直平分线交x 轴于4二 直 线 的 解 析 式 为 y=5x-19,1 4二线段MV的中垂线的解析式为y=gX-，可得4(-4,0).将 线 段 绕 点 M 顺时针旋转90。得到N(-2,-3),作线段W M的垂直平分线交x 轴于，同法可得直线y=5x-6,A(0).5.a-4 或色.故答案为-4 或彳.【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.k15.(2020江苏泰州市九年级其他模拟)已知直线j=2x+与反比例函数j，=的(k 0)图象交于点4x过点N 作轴于点5,点。为线段Z C 的中点，8。交 y 轴于点E,(1)若 4=8,且点N 的横坐标为1,求的值；(2)已知BEC的面积为4,则 A的值为多少？(3)若将直线旋转，A=8,点 E 为ZBC的重心且O E=2,求 直 线 的 解 析 式.36【答案】(1)6=6；(2)k=8；(3)直线/C的解析式为y=2 x+4.解：(1)由题意，A(1,8),把/(1,8)代入y=2 x+6 得到 6=6.k(2)设/(?，),则 8 (?，0),mk k把 力(w,)代入y=2 x+b得到6=-2 mfm mk直线/C的解析式为y=2 x+2 m,m令y=0,得至 ,2 i n；A D=D C,.nD z -k-,k)，4 m 2 nl设直线B D的解析式为歹=Kx+Z Amkr+b=0则有/k,k(m-)k+b=-4m 2mk=解得b=-22m直线BD的解析式为y=-2 x+2 m,：.E(0,2 m),；OE=2 m,B C=OC+OB=2 m:SECB=4,BCEO=4,2,1 x k 乂 2.加=4.,2 Im/.A=8.(3)连接Z E,延长4E 交 8C 于/由(2)可知，E(0,2/n),：OE=2f:.2m=2f/w =1,k、：.C(1-0),B(1,0),A(1,k),2，直线4 E 的解析式为:y=(4-2)%+2,2令 y=0，得至ijx=-,2-kY E 是A 48C 的重心,解得=6 或 0（舍弃），直线4 c 的解析式为y=2x+4.【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.3816.（2020江苏九年级其他模拟）已知直线尸2x+Z与反比例函数产白的（A0）图象交于点4过点Nx作 无 轴 于 点 5,点。为线段4 c 的中点，5。交 j，轴于点E.若A=8,且点Z 的横坐标为1,求 b 的值；（2）已知BEC的面积为4,则 A的值为多少？（3）在（2）的条件下，已知点E 为NBC的重心，且 O E=2,求直线NC的解析式.【答案】（1）46；（2）A=8；（3）y=2 x+Q解：（1）则反比例函数解析式为 旷=,将点A的横坐标 =1代入解析式,x解得y =8,故A点坐标为（1，8）,再将点A代入一次函数解析式得8=2+匕，解得。=6；（2）过点A作 A F l y 轴与点,AC交 了 轴于G,则有AF/BC,二 ZF A C =Z B C A,A3 c为直角三角形，且点。为中点,/.D C=D B ,即 2DCB=Z.DBC,二 N F A C=/D B C,ZFAG=NOBE在 DAFG 和BOE 中 =5述知识解决下列问题:（1）已知直线y=A x-2和抛物线-2 x+3,当A=4 时，求直线与抛物线的交点坐标；当A 为何值时，直线与抛物线只有一个交点？(2)已知点/(a,0)是 x 轴上的动点，B(0,4 加)，以4 5 为边在4 B 右侧做正方形45CZ),当正方形ABCD的边与反比例函数j，=述 的 图 象 有 4 个交点时，试求a的取值范围.X【答案】(1)(1，2),(5,1 8)；4=-2 2&(2)。的取值范围是。2或-1 6 a 2 时，正方形46。与反比例函数的图象有4 个交点;(L)当边力。与双曲线有一个交点时，过点。作 E O L x 轴于点V Z B A O+Z D A E=90 ,/D A E+/A D E=9 0。,：.N A D E=N B A O,:A B=A D,N A O B=/D E A=9 0。,：./A OB /D E A(44S),：.E D=A O=-a,A E=O B=4 y/2，故点。(a+4 0 ,a),由点/、。的坐标可得，直线力。的表达式为：y=a(x-a),8联立4。与反比例函数表达式并整理得：ax2-a2x-16=0,=(一。2)2 _ 4 (16)=0,解得：a=-4(不合题意值已舍去)：(1)当边8 c 与双曲线有一个交点时，同理可得：a=-16,所以当正方形/8C。的边与反比例函数的图象有4 个交点时，a 的取值范围为：-1 6 a 2 或-16 a 0)相交于点4、B,点C在x轴正半轴上，点。(1,2),连接。4、OD、DC、A C,四边形A O Z 5C为菱形.(1)求4和，”的值；(2)根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；(3)设点P是y轴上一动点，且S OA P=S菱 形OAC，求点尸的坐标.【答案】-=2；(2)x l或无0：(0,8)或(0,8).【详解】解：(1)如解图，连接AD，与x轴交于点E,V D(l,-2),Z.OE=,ED=2,/四边形AQ DC是菱形，:.AE=DE=2,EC=OE=,：.A(l,2),将4(1,2)代入直线y =w+l,得加+1 =2,即m =L44将A(l,2)代入反比例函数y=已得k=2；X(2)由图象可知：反比例函数的值小于2时x的 取 值 范 围 为 或%即 OP-OE=4 ,设尸(O,p),则g x刨x l =4,即|p|=8,解得 P I =8,p2=-8.则点尸的坐标为(0,8)或(0,-8).1 9.(2 02 0山东济宁市九年级一模)定义：点P(a,)关于原点的对称点为P,以P P为边作等边则称点C为尸的“等边对称点”；(1)若 尸(1,百)，求点尸的“等边对称点”的坐标.2(2)若P点是双曲线)=一 (x 0)上一动点，当点尸的“等边对称点”点C在第四象限时，x 如 图(1),请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由.如 图(2),已知点”(1,2),B(2,1),点G是线段Z 5上的动点，点尸在轴上，若以“、G、八C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标八的取值范围.6【答案】(1)(3,y/3)；(2)是，y=-(x 0)；y W -6 或-3V y W -2x解：(1),:P(1,y/3)，：.P(-1,-g),，PP=4,设 C(m,)，工等边尸尸C,：.PC=PC=4f e yj(m I)2+(H /3)2=J(m +1)2+(+G)2 _ 4，.m=-y/3 ，(-指 -1)?+(-6)2=16.解得n=C或一.m=-3 或 m=3.如 图 1,观察点C 位于第四象限，则 C(-3,6).即点尸的”等边对称点”的坐标是(3,百).2(2)设尸(c,一)，c2：.P(-c,)，C设 C(s,f),PC=PC=2C2+4，J(S-C)2+-，)2=J(S+C)2+(f+=2/2 ,2t s=-,c,t2=3c2f*t=i-3 c,.c(-述，6c)或 c (亚，-6 c),c c，点 C 在第四象限,O O,-7 3 c),c46令，273x=-Cy=-y/3c6.xy=-6,即 丁=-(x 0)；x当/G为平行四边形的边时，G与8重合时，为一临界点通过平移可求得。(1,-6),_ 6；当/G为平行四边形的对角线时，G与8重合时，求得C(3,-2),G与/重 合 时，C(2,-3),此 时-3庶-2,综上所述：-6或-2.图【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键.20.(2020山东济南市九年级一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O 与坐标原点重合，点 C 的坐标为(0,3),点 A 在 x 轴的正半轴上，直线y=x-l 交边AB、OA于 点 D、M,反比例函VY!数)=-(%0)的图象经过点口，与 BC的交点为N.X(1)求 BN 的长.(2)点 P 是直线DM上 的动点(点P 不与点D、点 M 重合)，连接PB、PC、M N,当4B C P 的面积等于四边形ABNM的面积时，求 点 P 的坐标.(3)在(2)的条件下，连接C P,以CP为边作矩形CPEF,使矩形的对角线的交点G落在直线DM上,请写出点G的坐标.41 31【答案】(1)I (2)(7,6)(3)(一，)10 10解：(1).(7(),3),正方形 OABC二 点 A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(3,3).当 x=3 时，y=x-1=2,.点D 的坐标为(3,2).m m将 D(3,2)代入y=,得：2=一，解得：m=6,x3二反比例函数解析式为 丁=9.X当 y=3 时，=3,解得：x=2,x工点N 的坐标为(2,3),.B N=3-2=L(2)当 y=0 时，x-1=0,解得：x=l,点M 的坐标为(1,0),/.AM=2,1,9S 臂用=(BN+AM)-AB=.2 2如 图 1,设点P 的坐标为(x,x-1)(xl,x/3),139BCP=-B G 3-yP l=-|4-x h-,解得：m=1(舍去)，Z =7,，点 P 的坐标为(7,6).48如图2所 示.设 点F的坐标为（n,n -1）.点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（7,6）,尸。2=（0 7）2+（3-6=58,CF2=（n-0）2+（n-l-3）2=2n2-8/?+16,