数值分析第五版课后习题答案(李庆扬等).pdf

第 一 章 绪 论(12)1、设x 0,x的相对误差为S,求I nx的误差。解 设X*0为X的近似值，则有相对误差为；(x)=3,绝对误差为*(x)=a*,从而I nx 的误差为 *(l nx)=|(l nx*)(x)=Sx*-5,相对误差为 ；(I nx)=&n*x)=*I nx I nx2、设x的相对误差为2除 求x的相对误差。解 设x*为x的近似值,则有相对误差为；(x)=2%,绝对误差为*(x)=2%k,从而xn 的误差为 *(l nx)=|(xn),|_ .(*)=|n(x*)-|2%|x*|=2n%-|x*|,相对误差为：(I n x)=2H%O3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是儿位有效数字：X；=1.10 21,x；=0.0 31,x；=38 5.6,x；=56.430,x；=7x1.0。解x；=1.10 21有5位有效数字；x；=0.0 0 31有2位有效数字；x；=38 5.6有4位有效数字；x；=56.430有5位有效数字；x；=7x1.0有2位有效数字。4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中x：,x；,无;,x；均为第3题所给的数。(1)X；+X；+X；e*(X；+x；+x；)=三 (匕)=(x：)+(x；)+(x；)解 小 氏”.=-xl 0-4+-xl 0-3+-xl 0-3=1.0 5x10-32 2 2(2)x；x；x；*/*、e(X1X2X3)=2JA-l(x；)=(X；X；)(X：)+(x；x；)(X；)+(x*x*)(X；)=(0.0 31x38 5.6)-xl 0-4+(1.10 21x38 5.6)-xl 0-3+(1.10 21x0.0 31)-xl 0-3；2 2 2=0.59 768 x10-3+212.48 48 8 x10-3+0.0 170 8 255x1()-3=213.0 9 9 64255x10 =0.2130 9 9 64255(3)%；/x；。e*(x；/x：)=4=1(x；)=-4 (x；)+7 7 (x：)X4(乙)解=x 1 1 0-356.430 256.461(56.430)2+3 x lx l0(56.430)2 2x l x l O-3 0.8 8 654xl O-5256 46 1,X1X1 0-3(56.430)2 25、计算球体积要使相对误差限为现，问度量半径R允许的相对误差是多少？4 ”(%(R*)3)解 由 1%=；(乃(R*)3)=-可知，3 8*)34*G%(R*)3)=l%x g (R*)3=：%(/?*)3/(R*)=4乃(A)x/(R*),3从而 *(/?)=l%x，R*,故；(8)=(/)=l%x，=o3 R 3 30 06、设 公=2 8,按递推公式匕=匕1-高(=1,2,-一)计算到几0，若取V 78 3 27.9 8 2(五位有效数字，)试问计算丫项将有多大误差？解 令匕表示，的近似值，e*亿)=匕-%,则e*(y0)=O,并且由匕=匕 t 一 焉*2 7 9 8 2，=J 一 击x国可知，匕一匕=匕 t 一%一一击 x(27.9 8 2-778 3),即e*(y)=e*(%T)一击 x(27.9 8 2-778 3)=e*(27.9 8 2-778 3)=，从而/(/10 0)=e*(4)一(27.9 8 2-77)=778 3-27.9 8 2,f f i|V 78 3-27.9 8 2 “满足递推关系y“=10 y,i-1(=1,2,)，若光=血a 1.4 1(三位有效数字)，计算到必0时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解 设歹”为纥的近似值，Z(y)=y -y ,则由卜。=后 与J”=10%T-1y=14 1 1二。可知，*(0)=升1。/，工-%=IO(%T-1)，即口=10%.1 2 (“)=1。*(九_ )=10 *(九)，从而*(乃0)=10 1*(汽)=10隈 呆1 0-2=9 1 0 8,因此计算过程不稳定。12、计算/=(及-1尸，取 血。1.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？一(3-2 V 2)3,99-7 0 7 2 o(V 2 +1)6(3 +2 V 2)3廨 因 为/=9叱所以对于(V 2 +1)6e*()=|讣*(1.4)=前MXIO T=6.5 4 x KT,1 *10-2,有一位有效数字;2对于2 =(3 -2/)3,e*()=e*a.4)=6(3-2 xl.4)2 x；xl()T =0.12 xl()T|x l 0-1,没有有效数字；.-1对于力=(3 +2扬 e*()=A e*(L 4)=-x 1 x ItT4=2.6 5 x 10 _ 1、10 ，有一位有效数3 3(3 +2 x14)4 2 2字；_._ _ _ t 1 1对于=99 7 0立，e*()=e*(1.4)=7 0 xj xl()T =3 5 xl 0-i xl 0 ,没有有效数字。13、/(x)=l n(x-yl x2-1),求/(3 0)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式I n a-T 7二T)=-l n(x+V 7=I)计算，求对数时误差有多大？解 因为,3()2 _I =顺=2 9.983 3 (六位有效数字)，*(x)=-x 10-4,所以2e*(/i)=(/：)*e*(x)=-1.x-x l O(3 O-/3 O2-1)23 0-2 9.983 3 2X、10-4 =0.2 994 x10-2e*（3 2）T（/2 ）e*（x）-X 10-42-!-x x 10-4 =0 83 3 6 x10-63 0 +2 9.983 3 214、试用消元法解方程组x+1Ol ox=IO1012，假定只有三位数计算，问结果是否X 1+工2 =2可靠?解 精 确 解 为 玉=1 A1 0 1 A1 0 _ 7T ，2=二。当 使 用 三 位 数 运 算 时，得到10 -1 2 10,-1x=l,x2=1 ,结果可靠。15、已知三角形面积，=,出!1。，其中c为弧度，0c（工，且测量a,b,c2 2的误差分别为An,证明面积的误差A s满 足 四4Nabb4-Ac+a 解 因为|A(s)|=Z6 df)|=1 b sin c/a1 a2+si n c +/c o s c|Ac|,2Z?si n c|A|1H tz si n c2+-abcosc2所以1 absincAc+A/?b+Acta n c-（X-X“T）。.一!一 .一!匕（X o，X|,x“T，x）=n n（x,r）n（xr）证明 由 六 可得求证。j=o2、当x=l,-1,2时,/（x）=0-3,4,求/（x）的二次插值多项式。L(x)=%(X X )(X-X2)(X。-x1)(x0-x2)(x-X o X x-x?)(X|一/)(七-x2)(X-Xo)(X-X|)(X2-Xo)(x2-X|)解=O x(x+l)(x 2)(1+1)(1-2)+(-3)x(x-1)(尤 2)(-1-1)(-1-2)+4 x(x-l)U+l)(2-1)(2 +1)-(x2-3 x+2)+(x2-1)=x2+x-2 3 6 2 33、给出f M=In x的数值表用线性插值及二次插值计算l n 0.5 4的近似值。X0.40.50.60.70.8In x-0.916 2 91-0.6 93 14 7-0.5 10 82 6-0.3 5 7 7 6 5-0.2 2 3 14 4 解 若取 4=0.5 ,%,=0.6 ,则 y0=/(x0)=/(0.5)=-0.6 93 14 7，y,=/(%,)=/(0.6)=-0.5 10 82 6，则L,.(x)、=y-X-X-|-+,y.-X-X-Q-=-0.6 93 14 7 x-x-0-.-6-0.5c1i0n8o2o6x x-X-0-.-5-1%一/X i/0.5-0.6 0.6-0.5 ,=6.93 14 7(x-0.6)-5.10 82 6(%-0.5)=1.82 3 2 U-1.6 0 4 7 5 2从而 L,(0.5 4)=1.82 3 2 1 x 0.5 4 -1.6 0 4 7 5 2 =0.984 5 3 3 4 -1.6 0 4 7 5 2 =-0.6 2 0 2 186。若取 x 0=O4,$=0.5,x2=0.6 ,则%=f(X o)=/(0.4)=-0.916 2 91,y)=/(x,)=/(0.5)=-0.6 93 14 7,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.5 10 82 6 ,贝U,、(x-x.X x-x J ,(x-x0)(x-x2)(x-x0)(%-%)L,(x)=y()+y(+y2(x0-X)(x0-x2)(x(-%0)(%(-x2)(x2-x0)(x2-x j=-0.916 2 9 l x(x-S5)(x-0-6)+(0 6 93 14 7)X(一 4)。-0-6)(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)+(-0.5 10 82 6)x(X-84)(X-0-5)(0.6-0.4)(0.6-0.5)=-4 5.814 5 5 x(%2-1.l x+0.3)+6 9.3 14 7 x(x2-x +0.2 4)-2 5.5 4 13(r -0.9x+0.2)=-2.0 4 115 x2+4.0 6 84 7 5 x-2.2 17 0 97从而 L2(-54)=-2.0 4 115 x 0.5 42+4.0 6 84 7 5 x 0.5 4-2.2 17 0 97=-0.5 95 1993 4 +2.196 97 6 5-2.2 17 0 97 =-0.6 15 3 19844、给出c o sx,0 4 x4 90 的函数表，步长力=1=(1/6 0),若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x近似值时的总误差界。解 设插值节点为/X0 九)-+(月一必)-cos j2与一/X,-Xo(x-x0)(x-x,)+(y0-y0)X%l+(y 1-%,J e(x o，x jX|一X。|R(X)K|C O S久X -X o)(x-X j)|+|y0-y01 +M-%Q Xr|x-x0,从而 5 (x _ XQ)(X _ X)+x 1 07J2 1 4 4 0 0 2-+-X 1 0-51 s-5+x l O x-2%)-x0=-x 6.94 x l Q-5 4-lxW5=3.4 7x 1 0-52 4 22 25、设占=%()+肽，k -1,2,3 ,求 ma x ,(x)|。ma x|/9(x)|x0 xx3ma x（一%0）（一七）（一七）X0XA-3(2 _%0)(%2-Xj)(X2 一九3)解=ma x而，必3(x-x0)(x -x0-/?)(%-x0-3/z)(2h)h(h)=y ma x|(x -x0)(x -x0-h)(x-x0-3/z)|2 XQWXW*/(x)=(九 一 x0)(x-x0-/?)(x 一 -3 6)令，则x (3/+4/7)厂+(3 x j+8 尤 0人 +3h，)x (x；+4/zx j+3h)f(x)=3 x 2 -2(3X0 +4%)X+(3 x；+8x0/z +3h2),从而极值点可能为_ 2(3 x0+4/)也(3/+4/2)2 -1 2(3 x；+8/力 +3%2)6,又因为(3%+4)士历 4 V7,=-=xn H-h3 34 V7 4 V7 1 V7 5 V7 I/”E 3f(xn+-h)=-h x-h x-h=(1 4 V7-2 0)/z,3 3 3 3 2 74 +V7 zx 4 +V7 7 1 +V 7,V 7-5,1 一 不13/(x0+-h)=-/zx-h x-h -(2 0 +1 4 V7)/?3,3 3 3 3 2 7显然/Uo+-h)=(y-x)k,则左侧是/(1)=(y-x)的n阶拉格朗日多项式,令y=x,即得求证。7 设/(x)且/(a)=/(b)=0 ,iiE ma x|/(x)|-a)2 ma x|/w(x)|0 解 见补充题3,其中取/（幻=/3）=0即得。8、在-44x44上给出/(x)=的等距节点函数表，若用二次插值求e 的近似值，要使截断误差不超过I O ,问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设x使用节点/z,再，/=西+力 进 行二次插值，则穴2(X)=/产(X -X o)(X -西)(x -X2)插值余项为，k-U,-h)(x -xt)x -(x+/?),G(X0,X2)o令 f M =x-(x-h)(x-x)x-(x+h)=x3-3xx2+(3 x；-h2)x +(x,2-h2),则/(%)=3 x2-6X X +(3 x：一 心，从 而y(x)的 极 值 点 为x =x1 h ,故I/.z J V3 ,n V3 V3.,2 V3 3 而ma x /(x)=h (1 +)h-(1 -)h =h ,而eq 3 3 3 9|/?2(x)|ma x|/(x)|件f=(一】)曲；=0 JJ j=0 JJ解=(-1)H+(O+(T)2(：卜+2 +(-1)(；卜M +(T)(:卜 =2,+4-4 x 2,+3+6 x 2,+2-4 x 2,+|+2=1 6x 2 -3 2 x 2 +2 4 x 2 -8x 2 +2 =2=E4(u (4,、吐 方=24(M,4j、)n+2-jJ=0 JJ J=0.JJ(-1)俳+2+(4、i y.+i+(T)2 Y +(一1)34、4 3 plT+(T)#-2=2n+2-4 x 2n+l+6x 2 -4 x2nl+2 T=1 6 x 2n-2-3 2 x 2-1+2 4 x 2-2-8 x 2-2+22=2-21 0、如果 x）是 m 次多项式,记儆（无）=尤+力）一/（尤）,证 明/（x）的 k 阶差分N f（x）（0 4&4 加）是m 人 次多项式，并且A/（x）=0 （1 为正整数）。证明 对 k 使用数学归纳法可证。1 1、证明（，&）=fkgk+于 以。证明Mfk gJ=fk+i gk+fk gk =fk+i Sk+i-fkgM+fk gk+i-fk Sk=(A+i-fDgk+i +fk(gk+gk)=&gk+i +ftAgk.一 I1 2、证明 X 力 助,=f.g“-fo go-gk+i 收k。k=O A=O 证明 因为1 一!一!f N k+g k+N k =E(f M+g k+i 颂)t=人。k=O,故得证。，一！.一!=E k(g*+1 -g D +g k+i d+t )=(gk+l fk+l -fk Sk)=fnSn-fo Sok=O k=On1 3 证明：二y 一 Ay。j=o?一!证明 X x=Z(4+i 一 划)=).一 为。j=o j=o1 4、若f(x)-a0+“|X +a“_/T+%x 有 n 个不同实根x”/，怎，证明 *_JO,0 k =n(x.-x,.)六。立 区-七)证明1)=CL-=t/X o，X i，,X,i=0(尸(X j)=n(x7-x,.)on(x7.-x,.)i=0 i=0M j Mj六。口(X j f)/=0H j=/工0，*，,X,+g X o，X|,X,1 6、/(x)=+4+3 x +i,求2 ,2：,2 7,/2 ,2：,2 8=/画，=。.8!8!解/2,2 ,-,27 =q=1,/20,2 ,-,28 o1 7、证明两点三次埃尔米特插值余项是&(x)=/(4 C)(x 乙)2 3-|)2 /4!,1 e(4，x*+J,并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。Q解见P 3 0与P 3 3,误差限为以/0 +/i m a x E|。2 7 0女“11 8、X X X X X X X X X X.1 9、求一个次数不 高 于4次的多项式P(x),使它满足P(O)=P (O)=O ,p =p)=l,P =1。解 设 P(x)=a4x4+a3x3+a2x2+ax +aQ,贝ij P(x)=4 a4x3+3a3x2+2a2x +%,再由尸(0)=P (0)=0,尸=P )=1,尸=1可得：f O =P(O)=a =O=P 1 O)=q =f l|z9 1 =2=。4+%+。2+。1 +。0 解得 0 0时，8.(x)在L 上一致收敛到/(x)。s u p /(x)+i n f f(x)解 令/(x)=3当 产 亘 一，/=1,2,3,*2 1、设/*)=1/(1 +/)，在 5WxW5上取”=1 0,按等距节点求分段线性插值函数，(x)，计算各节点中点处的，(x)与/(X)的值，并估计误差。解 由题意可知，h =l,从而当x e x*,x*+J时，+也+1)2 Xk+l-xk-r-(X -X,.+|)+-5-(X -X,)h(+k2y M i+a +i)2 k2 2、求/(x)=/在 a上的分段线性插值函数4(x),并估计误差。解 设 将 划 分 为 长 度 为h的小区间a =Xo4$4 4x,=8,则当左=0,1,2,一1 时,f I f I v2 X _ 4+i 浸 Xf xl+l(X-Xk)-X 1(X-Xk+l)/%(x)=/J*+/*+i=x*+X*+1=X(Xk+l-+Xk+iXk Xk+Xk _/.y r 丫人 4+1 T 4 4+1”从而误差为&（x）Xk=（X_ x）（x_Xk+）=（X_ 4）（x-x+i），力2故|&（幻|=|（%一九）。一 乙+1）|23、求/（x）=/在L，上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解 设 将 划 分 为 长 度 为 h 的小区间。=x（）W$4 4 x“=/?,则当xw 民,x%+J,&=0,1,2,，一 1 时,/%(X)=fkak+fk+iak+l+f k0k+fk+Pk*l()4.居3 -X-X-,.-+-|,.3 X-Xk/、(x-xk)+4xk+i-*_%)(x*-x*l+l-xk)r(4)从而误差为 R x)=-(x-xk)2(x-x/,+l)2=(x-xk)2(x-xk+l)2,4!故 网 =|(X X*)2(X-Xg|)2归 正。24、给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数S（x）,并满足条件:1)S(0.25)=1.00005(0.53)=0.6868；2)S(0.25)=S(0.53)=0。解 由=0.30-0.25=0.05,hj=0.39-0.30=0.09,h2=0.45-0.39=0.06,h h,h,=0.53 0.45=0.08,及(8.10)式儿=L,；=,(/=1,-1)5+勺 hM+hJ由(8.1 1)式勺+(j=1,”-1)可知,可知，4=4 _ 0.099,%=h2 _ 0.062-,5+/Z|0.05+0.09-14/?1 +儿 0.09+0.060.08 44-一 ,h2+h30.06+0.08 70.05 _ 5%0.09 _ 31%+4-0.05+0.09-14“2-h+九2-0.09+0.06-5 h.0.06 3LL.=-0.06+0.08 7 g =3(4 小。，xJ+4 K D=/,区)-)14 X j-xQ 14 x2-Xj3*0.5477-0.50000.30-0.25+2 x0.6245-0.547714 0.39-0.30.,9 477 5 768、3 x(x-1-x-)14 500 14 900192797000=2.7541g2=3(22/x1,x2+/2/%2,x3)=32/(X2)-/(X,)3/(X3)-/(X2)-1-5 x2-x 5 x3-x21c3 xz(_2 x_0_._6_2_4_5_-_0_.5_4_7_7_ _3_ x_0_.6_7_0_8_ _ 0_._6_2_4_5)、5 0.39-0.30 5 0.45-0.393x(2x 遑+，幽)5 900 5 6004x256+3x4631000=2.413g3=3(/l3/x2,x3+/3/x3,x4)=34/5）-/区）+3/。4）-/氏）7 x3-x2 7 x4-x3=3x0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708、x-+-x-)0.45-0.39 7 0.53-0.45o 从而=3x463 3 472、x-1 x-)=600 7 8004x463+9x118 1457 汽 八-=-=2.081414007001）矩阵形式为:2250514247035m2机3292.7541-X 1.0000142.41332.0814-x 0.686872.1112=2.413,解得1.7871m1m2m30.9 0 7 80.8 2 7 8 ，从而 S(x)=),&+(x)。0.6 5 7 0 1 7=02)此为自然边界条件，故8=3仆=3/a)7(H)=3 x叱7 7-。.5 1。*3乂 见=2.8 6 2；x,-x0 0.3 0-0.2 5 5 0 0g“=3/x,i，x,=3 x-/-*-“-)-一-/-(-z-1=)37 x-0-.-7-2-8-0-0-.-6-7-0-8%fl0.5 3-0.4 55 7 23 x =2.1 4 5,8 0 021 00 09520 01 41 4矩阵形式为：0252350430027700 0427X-2.8 6 2 -“0一2.7 5 4 1仍m2二2.4 1 3,可以解得m2,从而机32.0 8 1 4m3_机4_2.1 4 5加4S(x)=工 匕(x)+加血(x)。j=o2 5、若/&)。2口向，S(x)是三次样条函数，证明1)1 f x d x-S x d x=f /*(x)-5w(x)2dx +2 s x )f(x)-S x)dx ；2)若 f(xi)=S(xi)(z =0,1,),式中巧为插值节点，S.a =x0 x,x =b则 f S(x)(x)-SMdx=S 3)3)-S S)-S a)fXa)一 S 。f /7 x)-S x)2dx +2 s x)f(x)-S x)dx=j (x)S (x)2 +2 S (x)/(x)-S (x)dx 解1)=f f(x)-5 7 x)+2SnM f(x)-S(x)dx o=f(x)+S(x)(x)S(x)M x=f (x)2 -S x)2dx=f(x)d x j S(x)2 d x2)由题意可知，S X x)=A,x e a,b,所以=S(b)f(b)-S(b)-S a)f a)一 S (。)一 A f (x)-S x)dx=S S)/3)-S(b)-S a)f(a)一 S (。)一 A f(x)-S(=S(b)(b)一 S (b)S(a)一S (a)补充题：1、令 与=0,为=1,写出y（x）=e-*的一次插值多项式4（x）,并估计插值余项。解 由汽=y（x（）=e =1,yi=y（x j =e T 可知，Lr(/X、)=yX-X|0-+MXo f.x.-.x-()=,l x x-1 +e xx-0X XQ 0 1-1 0 ,=_(x -1)+e x =1 +(e-1-l)x余项为 H i (x)=(x -x0)(x -*)=x(x-V),J e(0,1),故|/?|(x)|x m a x,-x m a x|x(x -l)|=g x l x；=。2、设/(x)=/,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解 由插值余项定理，有f O&(X)=(X-x0)(x -X )(x -x2)(尤-x3)=(x +l)x(x -l)(x -2)=(x2-2 x)(/-1)=x4-2 x3-x2+2x4!从而 L3(X)=f(x)-&(x)=x4-(x4-2 x3-x2+2 x)=2x3+x2-2 x 03、设/（x）在 a,b 内有二阶连续导数，求证:m a x/(x)-/()+2_ J(X a)|(/?-a)2m a x|/w(-)|证 因为/+归/d）是以a,b为插值节点的/（x）的线性插值多项b-a式，利用插值多项式的余项定理，得到：/（X）-/（）+（X-肛=:/e）（x -a x-b ,从而b-a 2m a x/(x)-/()+/()/()(x-a)m a x f-m a x (x -a)x-b)a x b b C l 2 a b a x bo=1 m a x/)-J (b-a f=/?-a)2 m a x/*(x)2 a b 4 8 a x b4、设/(x)=/+5/+l,求差商2,2 1,f 20,2,22 ,/2,2 1,2 7 和/2,2 ,-,28 o 解 因为(2。)=/=7,/(2,)=/(2)=27+5 X 23+1=169,/(2 2)=/(4)=4 7 +5 x 4 3 +1 =1 6 7 0 5,所以/2,2=1 6 9 7 =1 6 2 ,/为=当9=坨 吐1=8 2 6 8,4-2 2/2,2 ,22=/四 一/22-2 8 2 6 8-1 6 23=2 7 0 2,偌。,213 二中丹2。,2 n=中10 o5、给定数据表：i =1,2,3,4,5,X,1246 7f(Xj)410 1 1求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解再 阶 差 商 二阶差商三阶差商四阶差商1421-340-25661 _21 _47 6 0710-61n1T s o由差商表可得4次牛顿插值多项式为:57N4(X)=4-3(X-1)+(x-l)(x -2)-(x -DO-2)(x 4)o 6 0+(x D(x -2)(x -4)(x -6)1 o(J5 7=4-3(x-l)+(x-l)(x-2)-(x-l)(x-2)(x-4)o 6 0+(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)插值余项为R式x)=(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)(x-7),JG(1,7)6、如下表给定函数：i =0,1,2,3,4,X j0 1 234/(X,)3 6 1 1 1 8 2 7试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。解 构造差分表:x,/,%A2ZA4/,0332001652021 17231 8942 7N*。+th)=/。+。+空 3 八 2/+由差分表可得插值多项式为：_ 2=3 +3/+-1)x 2 =3 +3 f +f (f 1)=f 2 +2 f +32第三章函数逼近与计算（8 0-8 2）1、（a）利用区间变换推出区间为L b的伯恩斯坦多项式；（b）对/（x）=s in x在0,y上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解（a）令尤=。+仍-“,则 从 而 伯 恩 斯 坦 多 项 式 为B“g）=f）P6 其中鼻（-n xk(h -a -xy-kk J（b）令 二，则 从 而 伯 恩 斯 坦 多 项 式 为zt其 中 吸=T j l c用（/，x）=X/（彳）鼻（x）=/（0）k=0 271J j rLB式 f,x)=Ef()Pk(x)k=0。,3、s in O xx+s in x x =0 x)2xk-x)1-k7-X +X=X2 /(0)%r 3+丐)2s in O x7t-X*5+2第|-方+/创、3)0+s in x 3 x(-x)2+s in x 3 x2(-x)+s in x x36 2 3 2 273 .n、2 3-V 3 27%、3 3 .71 2 3、3垂)/兀 2 3、3=X(-X)H-X(-X)+X=-(X-7CX+X)H-(X-X)+X2 2 2 2 2 4 2 2=x-7T(l-V 3)x2-(3 V 3 -5)x38 4 22、求证：(a)当m 时，m Ba(/,x)M；(b)当/(x)=x 时，B“(f,x)=x。证明(a)由筑(/,x)=/昌4(x)及m可知,1=0 Pk(%)E m Pk (%)Bn(f,x)M Pk(x)1 L nl K fM _ 1!=yx-xk(i-xy-k=Y-1(一尸皿。6 n k l(n-k y.t f(-l)!(n-l)-(-l)!=x ,=加 +(1-刈1=xk=o 1!(_ 一 k)!3、在次数不超过6的多项式中，求/(x)=s in 4 x在 0,2句的最佳一致逼近多项式。解 由s in 4 x,x e 0,2万 可知，-1 s in 4 x 1 ,从而最小偏差为1,交错点为 ,-7r,-7r,7r,-7r,7 r,7 r,7r,此即为P(x)e 6的切比雪夫交错点组，从而8 8 8 8 8 8 8 8P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得尸(x)=0 o4、假设/(x)在 a,“上连续，求“X)的零次最佳一致逼近多项式。解 令m=in f f(x),M=s u p /(x),则/(x)=土”在 a力 上具有最小偏差a 幼 axh 2以二名,从而为零次最佳逼近次多项式。25、选择常数a,使得m a x|.d 同达到极小，又问这个解是否唯一？0 xl I 解 因为x3-a x是奇函数，所以m a x /-a x -m a x l x3-a x ，再由定理7可知，0A1 i i a当/一娘=_LT=_1(4%3一3对时，即Q=1 时，偏差最小。4 3 4 46、求/(x)=s in x在0段上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。，办 _ f(s in -s in 0?9 解 由 6 =-J&-f(x2)-cosx2 -=可得=a rccos，从b-a _ _ 乃_0 兀 兀2而最佳一次逼近多项式为11?9 O +a rccos )=/()+/*2)+%(x s in O +s in(a rccos )+(x-)2 2 2 7i 71 2J/4 2 z 1 2、2 J/4 i 2=-+(x a rccos 一)=一 x +-a rccos 2%乃 2 71 71 2冗 冗 7 C7、求/(x)=e，在 0,1 上的最佳一次逼近多项式。解由q=幺 _ 1 2 =/(%2)=e=-土 =e-l可得工2 =l n(e-1)，从而最b-a 1-0佳一次逼近多项式为y=g(a)+/(2)】+卬 2)=+(e )(x-。+今，)Op I p p =-+(e-)x l n(e l)=(e l)x +-I n(e-l)8、如何选取r,使p(x)=/+r在 1上与零偏差最小？r是否唯一？解 由 m a x p(x)=m a x(x2+r)=1 +r,m in p(x)=m in(x2+r)=r 可知当与零偏一-1 W1 -l x l差最小时，1 +r-r,从而r=-L2另 解：由 定 理7可 知，在-1,1 上 与 零 偏 差 最 小 的 二 次 多 项 式 为一T?(x)=_(2 x2 I)x-，从而 r=o2 2 2 29、设/(了)=/+3/一1,在 0,1 上求三次最佳逼近多项式。解 设所求三次多项式为品。)，则由定理7可知/0)-尸 心)=/(幻=?3。)=f(x)-(x4-X2+IIIJ从1-8+2X-4X=xlz11+28.x9-_2X十3=3X1-)X2+1-81 0、令T(x)=T“(2 x 求窗(x)、T；(x)、T*(x).T3(x)解 由 7.。)=7；(2万 1),工 0,1 可知，令 x =l +g,r e 1,1 ,则T0(x),x e-1,1 ,从而 T；(x)=1 k试证 窘 是在 0,1上带权夕=下，干的正交多项式。？yJX-X212、在-1川上利用插值极小化求/(x)=arctanx的三次近似最佳逼近多项式。解 由题意可知，插值节点为cos丝Dk-1肛(2=123),8即 X 1 =COS；肛 九 2=c o s，x3 =COS，肛=c o s(乃,则可求得%)13、设/(x)=e*在-1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L“(x),若|/-4儿有界，证明对任何2 1，存 在 常 数%血，使得火,用(x)|/(x)-L(x)|A,|rn+I(x)|(-l x l)o 证明 由题意可知，/(x)L,(x)=&G),从而取2(n+1)!min 尸(x)a -1 2(+1)!m ax|/(n+1)(x)|，A，则可得求证。2(+l)!14、设在-1,1上 0(x)=l-24 384,试将夕(无)降低到2 83次多项式并估计误差。解 因为/=，7；+3/2彳，16 5 4 16x4=lT4+x2-i,所以8 4 8 1 1 2 3 3 15,2 1、165,5 3 5、a)(x)-1-x x-x-(x )-(x-x)2 8 24 384 8 3840 4 16-1-0-2-9-1-9-9-3-X-1-2-3-X2-5-4-5-X31024 4096 1024 3072误差为 M(x)-(x)|+-=0.0056 o11 384 16 3840 8 409615、在 利 用 基 级 数 项 数 节 约 求/(x)=sinx的3次逼近多项式，使误差不超过 0 005。r3 V-5 解 因为 sinx=x-1-1-F3!5!(-l)x2n+I(2n+l)!+，取前三项，得到元3 5 1L5(x)=x-+,误差为卜m -乙5(刈,。0 0。0 2,又因为X5=-TS+-X3-X,所以3次逼近多项式为16 4 16sin”；+(5/3!5!45、383 27 3X)=-X+X16 384 32此时误差为-+x 7.986x IO7 求a、b使 ax+b-sinx 2dx为最小，并 与1题 及6题的一次逼近多项式误差作比较。n 解 由xdx=,F x2dx=,=sin xdx=1,J)8 )24 小nn4 =R x sin xdx=(-x cos x)IJ-R-cosxJx=1,可得7t597TT8 b兀、a24a=-(4 一;r)=0.6644，解得 发Q/,=不(%一 3)=0.114818、f(x),g(x)G C a,b,定义(a)(7,g)=f/(x)gx)dx；(b)(九g)=f八x)g，(x)dx+/(a)g(a)。问它们是否构成内积？解(a)因为/(x)=0 n(/J)=2dx=0 0r(x)=0,但反之不成立,所以不构成内积。(b)构成内积。用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。0.1961因为二 x6,x G 0,l ,所 以=f J x f A dx 13 2 6 2 6 a 2 3 2 3 a2 3若1 N a 0 ,则j|x _ a x|t Z x j (x _ a x )dx+J (a x-x)dx (-6 f)_(_ _ G _)1同理可知，当 一 la 0 时，j x-a x 2 1 d x =1 ,当a 1 ,从而当时 V 1时，积分取得最小。2 1、设/=s p a l,x ,(p2=5 p a n xl 0,x1 0 1,分别在%,心上求一元素，使其为/eCQl的最佳平方逼近，并比较其结果。解 由 l d x =l，=1 x2i/x =“(x)=是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系2aM+l(x)=2XM(X)-M_(x)o 证明 令3=8 5。，则3/、/、c sin(/?+l)arccosx sin(narccosx)(x)=2x-=-=J l一厂 V l-x2八 _ sin(/?+1)6 sin(n)2cos sin(M +1)-sin(n0)sin 0 sin 0 sin 0sin(+2)e+sin(e)-sin(6)sin(n+2)0.=T=W,I(X)sin 0 sin 624、将/(x)=sin g x在 上 按 勒 让 德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。解 若按照切比雪夫多项式展开sin2 =1+Z G Z(%)，其中2 2 卜 川CA=Psin 8 S”osk例8,k=0,1,2,；若按照勒让德多项式展开，乃 山 2sin弓=%*尸*(x),其中%=勺2 k=0/(s in 3 a o d x ；从而 o =2Lsin2-W x=2(_2COS2)-1二0；.=f sin-=(-2xcos-)L.-f-2cos=(-4cos)+4sin 2 X1 2 2