中考数学重难点专练05几何综合题（解析版）.pdf

重难点0 5几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在.几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题.【满分技巧】一.熟练掌握平面几何知识：要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.掌握分析问题的基本方法：分析法、综合法、“两头堵”法：i.分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可.2.综合法：即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3.“两头堵”法：当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.三.注意运用数学思想方法：对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的.常用数学思想方法：转化、类比、归纳等等.【限时检测】(建议用时：60分钟)1.(2 0 1 9湖南省郴州市)如图1,矩形A B C。中，点E为A B边 上 的 动 点(不 与 重 合)，把A A OE沿O E翻折，点A的对应点为4，延长E4交直线0c于点F,再把Z 8 E F折叠，使点8的对应点Bi落在E尸 上,折痕E H交直线B C于点H.(1)求证：A A Q E s A B i E H；(2)如图2,直线MN是矩形A B C。的对称轴，若点A恰好落在直线MN上，试判断 O E F的形状，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，点G为 OE F内一点，且/G F=1 5 0。，试探究Z)G,EG,FG的数量关系.【解析】(1)证明：由折叠的性质可知：N D 4 E=N D 4|E=90。，N E B H=NEBiH=90。,Z A E D=ZAiED,N B E H=N B E H,.N Z)E A i+/H 3|=90.又；NH EB+NEH Bi=90。,；.N D E A尸 NEH Bi，AAQESA BIEH；(2)结论：力E F是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形A B C D的对称轴，点4是E F的中点，即A|E=A|F,在小AyD E和4 A D F中(DAX=DAY”，,E,连结。E,8 F L E C交A E于点立(1)求证：BD=BE.(2)当 A F：E F=3：2,A C=6 时，求 A E 的长.(3)设ta nZD A E y.EF求y关于x的函数表达式；如图2,连结。F,O B,若A A E C的面积是 O F B面积的1 0倍，求y的值.AA图1图2【解析】证明：（1）;ABC是等边三角形,./8A C=N C=60,./)E B=/a4C=60,N D=N C=60,:.NDEB=ND,：.BD=BE；(2)如 图 1,过点A 作 AGLBC于点G,ABC是等边三角形，AC=6,8G=/BO|A C=3，.在 RtAABG 中，A G=V 5G=3 y，VBFC,J.BF/AG,.AF _ B G EF EB：AF：EF=3：2,BE=2BG=2,3；.EG=BE+BG=3+2=5,在 RtA AEG 中，=VAG2+E G2=7(373)2+52=2V13;(3)如图1,过点E作于点”,图1,.ZBD=ZABC=60,.在 RSBEH 中，|s i n 60o 等，.吁 器B E，BH=jBE，.B G A F -y?E B EF:.BG=xBE,:.AB=BC=2BG=2xBE,：.AH=AB+BH=2xBE+kBE=+L BE,22亚B E rpu n DL yj o：.在 RtA AHE 中，tanZAD=-=77=-=7娟(2 x+1)B E 4 x+l y=4 x+l如图2,过点。作OA7J_8C于点M,A图2设 BEa,B G _ A F.E B E F，CG=BG=xBE=a x,：.E C=CG+BG+BE=a+2a x,：.EM=LEC=a+a x,2 2：.B M=E M -BE=a x-ka,2,J BF/AG,:*X EBFs/X EG A,.B F 二 B E 二 a 二 1A G E G a+a x 1+xA G=a x.8F=A G=a x,x+1 AG x+1.OFB的面积=B F-B M 1、,遥 a x,1、X-Qx-qa)，2*,A E C 的面积=E C 卷 X a x(a+2 a x)，/X AEC的面积是小O F B的面积的10倍,y X F a x(a+2 a x)=1 0 X-1-a),乙 乙A I，乙/.2X2-7x+6=0,探究问题4.（2019辽宁省沈阳市）思维启迪：（1）如 图 1,4,8 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量4,8 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达8 点的点C,连接B C,取 8 c的中点P（点 P 可以直接到达A点），利用工具过点C 作 CO/A B交 A P的延长线于点。，此时测得 CD=200米，那么A,B 间的距离是 米.思维探索：（2）在 MBC 和 M DE 中，AC=BC,AE=D E,且 4E AC,ZACB=ZAED=90,将 A4EE绕点A顺时针方向旋转，把点E 在 AC边 上 时 的 位 置 作 为 起 始 位 置（此时点B 和点。位于AC的两侧），设旋转角为a,连接3 0,点 P 是线段3。的中点，连接PC,PE.如图2,当 在 起 始 位 置 时，猜想：PC 与此的数量关系和位置关系分别是；如图3,当a=90。时，点。落在AB边上，请判断PC 与 P E 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；当&=150。时，若 BC=3,DE=l,请直接写出尸C?的值.【解析】（1）解：CD/AB,：.ZC =ZB,BP=CP在 M BP 和 DCP 中,P(SAS),:.PF=PE,BF=DE,又 AC=BC,AE=DE,FC=EC,又 NACB=90,.EFC是等腰直角三角形，EP=F P,PC=PE,PCY PE.PC与P E 的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PC L PE.理由如下：如解图2,作BF1 I D E,交 E P 延长线于点尸，连接C E、CF,同理，可知 AFBP 5 AEDP(SAS),:.BF=DE,PE=PF=-E F,2DE=AE,:.BF=AE,当a=90。时，ZEAC=90,:.ED/AC ,EA/IBCFBI/AC,ZFBC=90,/.ZCBF=NCAE,BF=AE在 AFBC 和 bEAC 中,yAB2 _BH2=3 V 3,：ABAM-MB,.,.A 8 N 3遂-3,.A夕的最小值为3遂-3.6.（2 0 1 9江苏省扬州市）如图，四边形A B C D是矩形，A B=2 0,B C=W,以CD为一边向矩形外部作等腰直角G O C,ZG=9 0.点M在线段A B上，且A M=a,点P沿折线A。-OG运动，点。沿折线B C-C G运 动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段尸。A&设尸。与A 8之间的距离为X.（1）若 a=1 2.如图1,当点P在线段A。上时，若四边形A M Q P的面积为4 8,则x的值为：在运动过程中，求四边形A M Q P的最大面积；（2）如图2,若点尸在线段QG上时，要使四边形A M Q P的面积始终不小于5 0,求。的取值范围.【解析】(1)解：尸在线段 A。上，P Q=4 8=2 0,AP=x,AM=2,四边形4 W Q P的面积=工(1 2+2 0)x=4 8,2解得：x=3；故答案为:3；当P,在A O 1 1运动时，P到。点时四边形A M Q P面积最大，为直角梯形,烂1 0 H寸，四边形A M Q P面积的最大值=工(1 2+2 0)1 0=1 60,2当P在。G上运动，1 0烂2 0,四边形A M。为不规则梯形，作于M,交C D于M 作G E_ LC。于E,交A 3于F,如图2所示：则 P M=x,PN=x-1 0,EF=BC=0,：/G D C是等腰直角三角形，:.D E=CE,G E=l.CD=0,2.G F=G E+EF=20,：.G H 20-x,由题意得：PQ/CD,:.GPQS/GDC,PQ=GH DC GE即 PQ=20-x20 10解得：P Q=4 O -2x,，梯形 4 W Q P 的面积=工(1 2+4 0 -2 x)x%=-?+2 6x=-(x-1 3)2+1 69,2.当x=1 3 时，四边形AMQP的面积最大=1 69；(2)解：P 在 O G 上，则 1 0 S E2 0,AM=a,PQ=40-2x,梯形 4 W Q P 的面积 S=L (a+4 0 -2.x)x x=-f+”!对称轴为：x=1 0+且,2 2 4V 0 x 2 0,1 0 1 0+1 5,对称轴在1 0 和 1 5 之间，4V 1 0 r 5 ；综上所述，a的取值范围为5 a/AF2-A B2=6,，C F=B C-8F=10-6=4,在 RS EFC 中，则有：（8-*）2=产+4,x=3,*E C=3.(2)如图2 中,图2AD/CG,AD=DEC G CE-10 _ 5 CG 3，CG=6,工 BG=BC+CG=16,在 RSA8G 中，AG=J g 2+1 62=8V5,在 RSOCG 中，O G=五 孽 萌=10,9：AD=DG=0,：.ZDAG=ZAGD,ZDMG=/DMN+NNMG=ZDAM+ZADM,4DMN=NOAM,工 4ADM=4NMG,ADMsGMN,.A D-A JI,M G GN 10 =x85/5-x 10-y：.y.L x2-Z l.v+10.10 5当x=4 乖 时，y 有最小值，最小值=2.存在.有两种情形：如图3-1 中，当。时,图3-1:/M D N=/G M D,/D M N=/D G M,:丛DMNs/DGM,D M =M N,DG GM，*：MN=DM,：.DG=GM=10,4=4=8 巫-10.如图3-2 中，当MN=DN时,作 MJ_QG于.图32YMN=DN,：M D N=4D M N,：/D M N=/D G M,：.4MDG=ZMGD,:MD=MG,：BH DG,:.D H=G H=5,由AGHWS/XGBA,可得91=蚂GB A G 5 =M G16 875.x=AM=Sys-5 V 5=1 1 V 5综上所述，满足条件的X的值为8 旄-1 0 或 岑 豆8.(2 0 1 9 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABC Q中，A B C ,N A C B=9 0。，AB=i0 cm,B C=8 c m,。垂直平分4 C.点 P从 点 8出发，沿 BA方向匀速运动，速度为I c m/s；同时，点 Q从点。出发，沿。C 方向匀速运动，速度为lc m/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过 点 P作 P E L A B,交 BC 于点E,过 点 Q作。F A C,分别交AO,。于点F,G.连接OP,E G.设运动时间为r(s)(0 r 6-1 0-8 _,3 CD O D/.CD=5(cm),OD=4(cm),:PB=t,PEABf易知：PE=-t,BE=A z,4 4当点E 在NBAC的平分线上时，：EPAB,ECLAC,PE=EC,：.3=8 -昌，4 4A/=4.当f 为4 秒时，点E 在N54C的平分线上.(2)如图，连接。E,PC.S 四边形 OPEG=S、OEG+SA OPE=SX OEG+(SA OPL SA PCE-S&O EC)=1 (4-A/).3+A3(8-A/)+L(8-Az)-l-3 (8-A r)2 5 2 52452 4=-山+电+16(0 r 5).3 3(3)存在.S=-1 (?.5)2+68(0 r 5),3 2 31=”时，四边形OPEG的面积最大，最大值为 强.2 3(4)存在.如图，连接0。.OELOQ.NEOC+NQOC=90。，NQOC+NQOG=90。，:/EO C=/QO G,Z.tan Z EOC=tan Z QOG,EC=GQ O C OG5 3.8丁=工 ,3 43 4-t5整理得：5 r-66/+160=0,解得或 10(舍弃)5.当/=曲 秒时，OE_LOQ.9.（2019四川省绵阳市）如图，在以点。为中心的正方形ABC。中，AD=4,连接A C,动点E 从点 O 出发沿OTC 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C 停止.在运动过程中，ADE的外接圆交AB于点F,连接。尸交AC于点G,连接E F,将A E/P 沿 E F翻折，得到 EFH.（1）求证：力E F是等腰直角三角形；（2）当点，恰好落在线段BC上时，求 E/7的长；（3）设点E 运动的时间为f 秒，A E/G 的面积为S,求 S 关于时间/的关系式.【解析】（1）证明：四边形A8CO是正方形,：.ZDAC=ZCAB=45,：.Z FDE=AC AB,Z DFE=ZDAC,：.NFDE=NDFE=45,Z DEF=90,:尸是等腰直角三角形；（2）设 0 E=/,连接 OQ,A ZDOE=ZDAF=90,/ZOED=ZDFA,：.DOESDAF,.OE OP 2A F =AD=2.AF=A/2I.X V ZAEF=ZADG,NEAF=/DAG,AE AFAL)A UAG-AE=AD.AF=4啦 t,又,；AE=OA+OE=2巾 +/,.-.AG=T-,2、2+t*+8：.E G=A E-A G=,当点 H 恰好落在线段 BC ZDF/=ZDF+Z/FE=45o+45o=90,J A A D F s 4 B F H,.FH FB 4s,FD =AD=4：F/CD.fG _ g,DF=4+A/2t.4-啦t _ 啦 t4=4+g解得：?I=A/T6-y 2,t2=y 0+y 2(舍 去)，s m t、8(E-/1+8 a 京由EG=EH祐=2&即 一 啦=3 -5 6;(3)过点F 作FK AC于点K,由（2）得 8 诉,：D E=EF,Z D EF=90,：.ND EO=N E F K,：./D O E A E K F(A A S),FK=OE=tfi S A E F G=E G-F K=10.（2019四川省资阳市）在矩形A8CZ）中，连结A C,点 E 从点8 出发，以每秒1 个单位的速度沿着 BTAC 的路径运动，运动时间为f（秒）.过点E 作 EFLBC于点F，在矩形ABC。的内部作正方形EFG H.（1）如图，当A B=BC=8时,若点H 在 ABC的内部，连结AH、C H,求证：A H=C H；当0区8 时，设正方形EFGH与 ABC的重叠部分面积为S,求 S 与 r 的函数关系式;（2）当AB=6,B C=8时，若直线AH将矩形ABCZ）的面积分成1：3 两部分，求 f 的值.D【解析】（1）如 图1中,.,四边形EFGH是正方形，AB=BC,:.BE=BG,AE=CG,NBHE=NBGH=9。,：.NAEH=NCGH=90。,:EH=HG,:A A E啥XCGH(SAS),：.AH=CH.如图1中，当0长4时，重叠部分是正方形EFGH,S=t2.如图2中，当4 8X8-2x12 2(8 7)2=-r+32t-32.综上所述，s=,t2(0t4)-t2+32t-32(4t10 6：.EF=1.(16 -f),5：EH/CN,EH=AE CN AC.-._t-6_ ,8 10解得/=丝.7综上所述，满足条件的r 的值为 乌 或 里 或 乌.5 11 711.(2 019 天津市)在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A (6,0),点 8在 y 轴的正半轴上，Z A B O=3 0.矩 形 C O D E 的顶点力，E,C分别在。4,AB,O B上，00=2.(I )如图，求点E 的坐标;(H)将矩形C O D E 沿 x轴向右平移，得到矩形C0 77E,点 C,O,D,E 的对应点分别为C,O,D,E.设。=,矩 形 C O 7 J E 与 A B。重叠部分的面积为S.如图，当矩形C O 7/9 与 A 8 O 重叠部分为五边形时，CE,讶。分别与A8相交于点M,F,试用含有f 的式子表示S,并直接写出f 的取值范围；当J玉时，求r的取值范围（直接写出结果即可）.图 图【解析】(I),点A(6,0),，OA=6,V 00=2,=OA-00=6-2=4,.四边形CODE是矩形，：.DE/OC,：.ZAED=ZABO=30,在 RS 4即中，AE=2AO=8,E D=寸 处2/=如2 _q2=4炳,:0 0=2,点E的坐标为(2,4市)；(I I)由平移的性质得:O7)=2,E D=4册,ME=OO=t,DE/OC/OB,：.ZEFM=ZABO=30,.在R M F中，M F=2M E=2f,正 餐 而 严庇，2=产/:心，；SA MFF=LME、F E=-LX/X y R t=%t,2 2 2 S 矩 形 CO7)E=OD、ED=2x4 b=8 遂,:.s=s 斯 形CO D E)-SA MFE=8-6t之2：.S=-退?+8 其中f的取值范围是：0 f F=V5 (4-f),.S=2 遂(6 -r)+V 3(4 -r)卜2=55，解得：f=22当V3 S 5、巧时，的取值范围为i-/6 -V2.212.(2 019四川省南充市)如图，在正方形A B C D中，点E是A B边上的一点，以D E为边作正方形DEF G,D F与BC交于点M,延长E M交G F于点H,E F与GB交于点N,连接C G.(1)求1 MN证：CD1CG；（2）若 ta n/M E N=-,求 的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1,点 E 在【解析】（1）证明：在正方形ABCD,DEFG中，DA=DC,DE=DG,ZADC=ZEDG=ZA=90（1 分）A ZADC-ZEDC=ZEDG-ZEDC,即/A D E=/C D G,.ADE丝 ACDG（SAS）（2 分）Z DCG=ZA=90,CD _L CG（3 分）（2）解：VCD1CG,DCBC,；.G、C、M 三点共线.四边形 DEFG 是正方形，ADG=DE,NEDM=NGDM=45。，又：DM=DM.,.EDMAGDM,A ZDME=ZDMG（4 分）又NDMG=NNMF,NDM E=NNM F,又；NEDM=ZNFM=45AAMN FM 八、.,.DMEAFMN,-=-（5 分）ME DMHFFMMNHFXV DEHF,一 ,又；E D=E F,-二-（6 分）EDDMMEEF.d HF 1 MN I,八、在 RSEFH 中，tanZHEF=一，=一（7 分）EF 3 ME 3（3）设 A E=x,则 BE=l-x,C G=x,设 C M=y,则 BM=l-y,EM=GM=x+y（8 分）在 R s BEM 中，BE +B M2=E M2,：.（1-x）2+（1-j；）2=（x+j；）2,1 x解得y=（9 分）x+1E M =x+y =r2-4-1 ,若 M=1 L,则 r2 1x+1 2 x+l2o1化简得：2/一%+1=0,=-7V0,.方程无解，故 EM 长不可能为上.213.(2019浙江省台州市)如图，正方形ABCO的边长为2,E 为 4 B 的中点，尸是5 4 延长线上的一点，连接PC 交 A。于点F,AP=FD.(1)求 处 的 值；AP(2)如 图 1,连接E C,在线段EC上取一点M,使 E M=E B,连接M F,求证：M F=P F；(3)如图2,过点E 作 ENLC。于点N,在线段EN上取一点Q,使 A Q=A P,连接BQ,B N.将 A Q B 绕点A 旋 转,使 点。旋转后的对应点Q落在边AO上.请判断点B 旋转后的对应点8,是否落在线段BN上，并说明理由.【解析】（1）四边形A8CD是正方形，.ABCD,.A F Ps。尸c,；.研=虾,C D-F D即旦=2-a,2-a:.a=，:.A P=F D=A-：.AF=AD-D F=3 -疾 AF-V5-1,AP 2(2)在 CO上截取Q/7=A尸AF=DH,ZPAF=ZD=90,AP=FD,，力尸丝，力尸(SAS),：.PF=FH,：AD=CD,AF=DH,:.F D=C H=A P=-f-3.点是 4 8 中点，BE=AE=1=EM,：.PE=PA+AE=遥，E d=BE+BC2=1+4=5,:皿=疾,：.EC=PE,CM=V5-1 -:.NP=NECP,：AP/CD,:.NP=NPCD,：.ZECP=A P C D,且 CM=CH=V 5-1,CF=CF,:,AFCM沿丛FCH(S A S),:.FM=FH,：.FM=PF.(3)若 点 在8 N上，如图，以A原点，4 B为y轴，4。为x轴建立平面直角坐标系,：ENAB,AE=BE：.AQ=BQ=AP=y s 由旋转的性质可得4。=4。=旄-1,AB=AB=2,0，8 =。8=旄-1,；点 B(0,-2),点 N (2,-1)直线B N解析式为：=l x -22设点 8 (x,X r-2)2点。(掂-1，0).政(依-1 1)2 嘿#掂-1.点B旋转后的对应点不落在线段BN上.