2021-2022学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

2021-2022学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.设集合4=%/7|-1 丫2 ,8 =尤|因三1 ,则4 0 8=（）A.0,1 B.%|-1%1C.0,1,2 D.x|0%12.复数z=一 +2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限（y x,x+y N L 则z=2x+y 的最大值为（）2x y c=log23,则a,b,c的大小关系为（）A.b a c B.a b c C.a c b D.c b 1,则a=()U.A.-B.0 C.1 D.27.已知焦距为4的双曲线捺-=l(a 0,b 0)的一条渐近线与直线x-V 5y=0垂直，则该双曲线的方程为（）A.疸y 2 =i B.式=1 C.x2-=l D.日 一 日=13 z 2 6 3 6 28 .若函数f(x)=k x -2 m x 在区间(l,+8)上单调递增，则实数k 的取值范围是()A.l,+o o)B.2,+o o)C.(0,1 D.(0,2 9 .赵爽是我国古代著名数学家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形为B 1 C 1 2 构成，如图所示.已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,若 在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形4/GD1区域内的概率为()A 2 25B-D-i1 0 .若数据9,m,6,n,5 的平均数为7,方差为2,贝 U 数据1 1,9,2 m-1,1 7,2 n -1的平均数和方差分别为()A.1 3,4 B.1 4,4 C.1 3,81 1 .如图,已知正方体A B C D 4 B 1 G D 1 的棱长为2,M,N分别为B 名,C C 的中点.有下列结论：三棱锥4-MN。1 在平面Q D C C i 上的正投影图为等腰三角形；直线MN 平面&DG；在棱B C 上存在一点E,使得平面4 E/平面MNB；若尸为棱A B 的中点，且三棱锥M-NFB的各顶点均在同一球4 面上，则该球的体积为遥7T.其中正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.31 2 .若正实数无1是函数/(%)=xex-X-e?的一个零点，不是函数。(%)=(%-e)(m -l)e 3 的一个大于e 的零点，则 虫 铲 的 值 为()第2页，共17页A.-B.4 C.e D.e2eeL二、填空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)13 .已知向量,=b=(n,4).其中m，n G R若 B=2 d，则m+n 的值为.14 .记函数/(x)的导函数是f(x)若/。)=/(1)/一5 则(1)的值为.(x=l+1t15 .设直线2：近(t 为参数)与抛物线C：丫 2 =4 就目交于力，B 两点，点M(L 0)，卜=7则附 川+|M B|的值为.16.已知椭圆C：捺+、=l(a b 0)的左，右焦点分别为Fi，F2,以坐标原点。为圆心，线段尸 建 2 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点4若|4&|W2|4 F2|,则椭圆C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为.三、解答题(本大题共6 小题，共 70.0 分)17.设函数/(%)=-：/+/+(口 一 )%一 ,其中a e R.若函数/(%)的图象在x=0 处的切线与x轴平行.(I )求。的值；(H)求函数/(X)的单调区间.18 .某建设行政主管部门对辖区内A,B,C 三类工程共12 0 个项目进行验收评估，规定评估分数在8 5 分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到8 5 分的项目被确定为“有待整改”项目.现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12 个项目，其评估分数如下：4 类：8 8,9 0,8 6,8 7,79；B 类:8 5,8 2,9 1,74,9 2；C 类：8 4,9 0.(I)试估算2,B,C 这三类工程中每类工程项目的个数；(H)在选取的样本中，从B 类的5 个工程项目中随机选取2 个项目进行深度调研，求选出的2 个项目中既有“验收合格”项目，又 有“有待整改”项目的概率.19 .如图，在三棱锥P A B C 中，己知P 4 _ L 平面ABC,P A=A B =2,BAC=90,D 为P C 上一点，且P C =3 P D,PC 1 BD.(I )求A C 的长；(I I)若E 为力C 的中点，求二面角。一 B E-4 的余弦值.2 0 .已知椭圆E：+、=l(a b 0)的右焦点为尸2，上顶点为H，。为坐标原点,乙OH F 2=3 0。，点(1,|)在椭圆E 上.(I )求椭圆E 的方程；(I I)设经过点尸 2 且斜率不为0 的直线2 与椭圆E 相交于4,B 两点，点P(-2,0),Q(2,0).若M,N分别为直线4 P,B Q 与y 轴的交点，记A M P Q,N P Q 的面积分别为SAMPQ，SANPQ，求 需 的 值。2 1.已知函数/(X)=/+C O S X.(I)证 明:/(X)1;(I I)设函数g(x)=(sinx+cosx 2x 2)e-x,F(x)=af(x)+g(x),其中a e R.若函数F(x)存在非负的极小值，求a的取值范围.2 2 .如图，在极坐标系O x中，圆。的半径为2,半径均为1的两个半圆弧G，。2 所在圆的圆心分别为。式15),O2(l,y),M是半圆弧G上的一个动点.(I )当4。1=泄，求点M的极坐标;(I I)以。为坐标原点，极轴O x 为x 轴正半轴，对 的 方 向 为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.若点N为线段M O 2 的中点，求点N的轨迹方程.第4页，共17页答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合4=x G J V|-l x 2 =0,1,2,B （x|x|1=x|-1 x 1,则A n F =0,1.故选：A.求出集合4 B,利用交集定义能求出4 n B.本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】B【解析】解：；z=?+2i=+2i=-1 i+2i=-1+i,I I2.复数Z在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 二 象 限.故选：B.根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.3.【答案】D【解析】解：画出约束条件（y t 表示的平面区域，如图所2%y 2.示：目标函数z=2%+y可化为y=-2x+z,平移目标函数知，直线y=-2x+z过点A时，在y轴上的截距最大，由，二=2,解得照,2）,所以z的最大值为Zmax=2 x 2 +2=6.故选：D.y=-2x+z画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，代入求值即可.第 6 页，共 17页本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题思想，是基础题.4.【答案】B【解析】解：丫 a=In=0,0 b =(|)0-3 log22-1,则a b -1,A T U.f (-1)=1+Q 0,:./(/(-I)=/(I +a)=21+a=4,解得a=1.故选：C.推导出/(一l)=l+a 0,从而八/(一1)=/(I +a)=21+a=4,由此能求出a的值.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.【答案】C【解析】解：双曲线一=1(。0,匕 0)的焦距为4,2 c =4,即c =2,双曲线的一条渐近线与直线x -V 3 y =0垂直，=V 3,:.b=遍 Q，v c2=a2 4-b2,A a =1,b=V 3,双曲线的方程为：x2-=l.3故选：c.利用双曲线条一3=l(a 0,b 0)的焦距为4,且双曲线的一条渐近线与直线国y =0垂直，求出几何量a,b,c,即可求出双曲线的方程.本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键，是基础题.8.【答案】B【解析】解：因为/1(x)=k x -2)x,所以/(%)=k由f(x)在区间(1,+8)上单调递增，知/。)。在(1,+8)恒成立，即k2|在(1,+8)恒成立，当x =l时，y =:取得最大值，为2,所以k N 2.故选：B.原问题等价于f (x)=/c-|0在(1,+8)恒成立，即k I，再求得函数y =:的最大值，即可.本题考查利用导数研究函数的单调性，理解函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.9.【答案】B【解析】解：直角三角形的两条直角边长分别为3,4,外面大正方形边长为5,故大正方形面积为2 5,四个全等的直角三角形面积之和为4 x ：x 3 x 4 =2 4,因此，小正方形面积为1,故该点取自四边形&B 1 C 1 A区域内的概率为第8页，共17页故 选:B.先求出大正方形面积为2 5,小正方形面积为1,根据几何概型公式计算即可.本题考查几何概型，属于基础题.10.【答案】C【解析】解：根据题意，数据 11,9,2 m-l,1 7,2 n-l,即2 x 9-1,2m-1,2 x 6-1,2n 1,2x5 1,若数据9,m,6,n,5的平均数为7,方差为2,则数据11,9,2m-1,17,2n-1的平均数为2 x 7-1=1 3,方差为22 x 2=8,故选：C.根据题意，分析两组数据之间的关系，由平均数、方差的性质分析可得答案.本题考查数据的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的性质，属于基础题.11.【答案】。【解析】解：由正方体ABC。-&81C也 的 性质知人,M在平面/JCCi上的投影为劣,CCi中点 .正三棱锥儿-MNDi在平面。iDCCi上的正投影图为4 DMN,易得ADiMN为等腰三角形，故正确；以。为坐标原点，DA,DC,为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则力(0,0,0),41(2,0,2),6(022),JV(0,1,0),M(2,2,l),西=(2,0,2)，西=(0,2,2)，NM=(2,1,1).设 平 面&DC的一个法向量为元=(x,y,z),则n-DA,=2x+2z=0._ _ i,令 x=1,n-DC1=2y+2z=0则 z=-1,y=1,平 面 的 一 个 法 向 量 为 元=(1,1,一1)，两 元=2+1-1=2。，故MN不平行于平面平面4 G，故不正确;对于，取B C 中点E,连接4 E,E Bi，A B 1，由平面几何可证A E 1 BN,由正方体4 B C D-4出。也，可得峭 1 平面A B C。，8 N u 平面4 B C。，BBr 1 B N,又B B i，B N u 平面M NB,AE J 平面MNB,又A E u 平面A E B 1，二平面A E B i 1 平面MNB,故正确；若尸为棱4 8 的中点，可得A F M N,M N B 均为直角三角形，且MN是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN为三棱锥M-N F B 的外接球的直径，故外接球的半径为r =L M N =工 x乃=虫.2 2 2故该球的体积为疑X$3 =遍兀，故正确.故选：D.由正方体A B C。一的性质，易得三棱锥4 一 M N D 1 在平面D 1 C C C 1 上的正投影图为等腰三角形，可判断；以。为坐标原点，DA,DC,为坐标轴建立空间直角坐标系，设平面4 D C 1 的一个法向量为希=(x,y,z),由 两 元力0 可判断B；取B C 中点E,连接Z E,E B,可证4 E1 平面MNB,可判断；若尸为棱A B 的中点，MN为三棱锥M-NFB的外接球的直径，求出体积，可判断.本题考查空间几何体的性质，线线与线面的位置关系，外接球的体积问题，属中档题.12.【答案】C【解析】解：根据题意可得xreX1 一 /一=0,(%2-e)(/n x2 1)e3=0,由得 T)1M&T).=0,所以(孑-1)1 哈 一 e 2 =0,令产(%)=(%l)Z n x e2,所以】与:是函数F(x)的零点，F (x)ITIX +1,当X G (0,+8)时，/十 工)单调递增，所以在(1,+8)上,F(x)0,F(%)单调递增,所以包=/1 则 华=2 =0二2 =Q=e,e e e故选：c.第1 0 页，共1 7 页根 据 题 意 可 得 二:厂e2”Q 由得 一1)吟 一 e2=0,令F(x)=(x-l)Znx-e2,则诙与合是函数尸的零点，即可得出答案.本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.13.【答案】4【解析】解：.向量d=b=(n,4)b=2a 0,t2 n,rm2 4-n2=(2 c)2,(T)根据题意可得，zn +九=2 a,2 n,2 2 得，2?n n =4 a 2 4 c2 =4 62,所以m+n =2b2,由得，小，？i 为方程X 2 2Q%+2 炉=o 的两个根，所以m=2a+-2a)2-4xlx2Q=a +夜 2 一 2 b2,n=2a-4-2a)2-4xlx2廿二口 _ 孤 2 一 2 庐,2 2代入，得Q+yja2-2b2 2(a V a2 2 b2)化简得3，Q2 2b2 a，所以3,展 2(小 2)Q,所以 1 8 c2 1 0a2,所以w A,a2 9所以0 e W苧，故答案为：(0,孝.第12页，共17页fm2+n2=(2 c)2,(T)设M F/=m,I F zl =ri,根据题意可得,=2 a,，即可得出答案.m 0,则0 x 2,所以/(x)在(0,2)上单调递增；令(X)0,则x 2,所以/(x)在(一8,0)和(2,+8)上单调递减，故函数/(X)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(8,0)和(2,+o o).【解析】(I)求导，令/(0)=0,即可得a的值；(I I)由(I)知，f(x)=-x(x-2),再分别求得(无)。和/(%)2,：-PD=,PC=23,AC=y/PC2-A P2=2A/2;()以A 为坐标原点，AB,AC,4 P 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(2,0,0),F(0.V2,0),。(0,善,|),二 前=(0,一 孝,|),丽=(2,一夜,0)，设平面D B E 的一个法向量为有=(x,y,z),-n =y+z=0 令x =,解得y =a,z=l,E B-n =2 x y/2y=0.平面D B E 的一个法向量为元=(1,7 1 1)，显 然 而=(0,0,2)是平面BEA 的一个法向量，APn 2 1cos=i=5.由图可知，二面角。-B E-4为锐二面角，二面角D-BE-4 的余弦值为也【解析】(/)2。_ 1 平面4 8。，从而可证P C14D,从而可得AP2=PD-P C,可求4 C：()以4 为坐标原点，AB,AC,4 P 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法可求二面角。-B E-4 的余弦值.本题考查求线段的长度，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.2 0.【答案】解：(I )由题意可得N O H&=3 0。可得s i n/OH K=；=手可得1 1=工，即。2=浮，a2 4 3第1 4页，共1 7页而点(1,|)在椭圆上，所以2+4=1,即 言+与=1，解得炉=3,a2=4,2，a1 4bz 4b2 4bz所以椭圆的方程为：-+=1;4 3(H)由(I)可得右焦点尸 2(1,0),由题意设直线I的方程为x=m y+1,设a(Xi，yi),8(孙，乃)，x=my+1x2,y2 一 整理可得：(4+3m2)y2+6my-9 =0,T +T =1则、1+%=上 一，y，2=.可得江 经=2+工=网，可 得 三=网-工，1 J2 4+3m2 1,7 2 4+3?n2 J yy2 Ji y-i 3 y2 3直线AP的方程为丫=含(+2),令x=0,可得y=黑，即M(o,肃)，直线BQ的方程为丁 =含(-2),令久=0,可得y=-黑，即N(0,一黑)，_1_,2m_1_,所以皿 _ I 2yl(七-2)_,必6%-1)|_|my/2-V 1 _ 一 五 =1 二八|加1 -2yz(Xi-2)的0当+3)-m y1y2+3y2-m+*m+J -yi yi|如+乱 _】三Hryi所以SMPQ _ PQI WMI _ y _ 1SNPQ 初 2卜加1 I NI 3所 以 产 的 值 为aNPQ 3【解析】(I)由题意可得/OHFi=30。可得sin/。，&进 而 可 得 a,b的关系，再由点(1,|)在椭圆E上，可得a,b的关系，求出a,b的值，进而求出椭圆的方程；(H)设直线，的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，两式相比可得4B的纵坐标的倒数的关系，求出直线4P,BQ的方程，令x=0,可得M,N的纵坐标，求出M,N的纵坐标的之比的绝对值，代入三角形的面积公式可得姜空的值.&NPQ本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，三角形的面积之比的求法，属于中档题.21.【答案】解：(I)证明：f(x)=x s in x,令/i(x)=/(X),则九(x)=1 cosx 2 0,/i(x)=/(x)在R上单调递增，又(0)=0,则当x e(一 8,0)时,尸(町 0,f(x)单调递减,当*G(0,+8)时,/(乃 0,/(乃单调递增，/(x)/(0)=1,即得证；(II)Fz(x)=af(x)+g(x)=a(x sinx)+曾=(x-sinx)(a+劫，由(I)知，/(X)在R上单调递增，二当x 0时,/(X)尸(0)=0,即x sinx 0时，f(x)f (0)=0,即x sinx 0,(i)当a 0时,y =a +-0在R上恒成立，.当x 0时，F(x)0时，F(x)0,F(x)单调递增，F Q4极 小 值=F(o)=a -1 N 0,即a 2 1；(i i)当a 0时，令F(x)=0,解得无1=。，犯=皿-S，且丫=a +号在R上单调递减，当-2a 0,此时F(x)在(一8,0)上为减函数，在(。，七)上为增函数，在(上,+8)上为减函数，F(x)极 、兹=尸()=a-1 ，不合题意；当a =-2时，x2=0,此时F (x)S 0恒成立，F Q)在R上为减函数，二 函数F。)不存在极小值点，不合题意；当a 2时，x2 0,此时f(x)在(-8,不)上为减函数,在(如，。)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，:，F(x)极小值=F(x。F(0)=a -1 0,不合题意：综上，若函数F(x)存在非负的极小值，则实数a的取值范围为口,+8).【解析】(I)连续对函数/Q)求导，进而判断f(x)的单调性，得到其最值，即可得证；(H)对函数F(x)求导，分a 2 0及a 0讨论函数尸(x)的单调性，判断其极小值，进而得到答案.本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.第16页，共17页得 p 2 2psin3 =0,所以p =2sin9(0 TT)；%0=y。=当Z_MOOI=B时，6 =m +?=?,所以p =2 s i n?=次，o 6 2 3 3所以点M的极坐标为M(8,y)；(H)设点N Q o，y o),因为点(?2(。，一1)，且点N 是线段M Q 2 的中点，%1+0国解得 一史+2所以点 M(2 x o,2 y o +1)，又因为点M在圆G：x2+(y-I)2=1(-1 x 0),把点M的坐标代入圆的方程，化 简 得/+嬴=；，令-132沏 30,解得所以点N 的轨迹方程为 2 +y2=X 代入圆C l 的方程，即可求出点N 的轨迹方程.本题考查了极坐标与普通坐标的相互转化应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.