线性代数—课后习题答案第2章向量与矩阵习题解.pdf

习题22-1.设a=(1,3,6)=(2,1,5)y =(4,3,3)，求:(1)7 a-3尸-2 7 ；(2)2。3，+y.解 7 a 3/一2夕=7(1,3,6 1-3(2,1,5 1-2(4,-3,3)7=(-7,2 4,2 1/.解(2)2 a 3夕+y =2(l,3,6尸 一3(2,1,5尸+(4,3,3产=(0,0,0了.2-2.设a=()7,尸=(1,2,2,1)7，(1)将a,/?化为单位向量；(2)向量a,4是否正交.1 1 Ti j-jj-a=-1).I H I 2解 解（2）由于（。,尸）=0,所以向量。,正交.2-3.计算:(1)32 476 1 0 2 01 32 J0 9331H-11(2)22 1 2 +5-2-10解 解（2）1322132 21V43112017、2 Jn2V61 02 0、0 2(0+59371 30 3J1-117 3、-20 64017341 1712-4,计算下列乘积:(1)4解-1,53-271、37、21，35、-8、4力(2)24 2d2Q2M 22d 2mn n 7a(5)(X,X2,X3)4|2(。13a+a22x+cz33x,+2a2xtx2+2a23x2x32-5.已知A=(1,1,0,2),8=(4,1,2 ,求 4?和/T F.解 AB=(5).4 -1 2 1、4-121ATBT=0 0 0 0、8-2 4 2,2-6.如 果 A=(6+E),证明4 2=A当且仅当522证 必要性.已知4=1(6 +后),且4 2=4,有2r-|21 1-(B +E)=(B+E),.2 J 2即(B2+2B+E)=(B+E),化简得 B2=E.=E时成立.3充分性.由A =；(8 +E)得B=2A-E,又 B?=E,代入得(2A-E)2=E,化简得 A 2 =A .证毕.2-7.设4=2a a 其中是”阶单位矩阵，a是维单位列向量.证明对任意一个n维列向量1 3,都有卜夕|=脚.证 因A =E -2 aa,故对任意一个维列向量/有，9=6-2凉尸，从而有|=(A )=(仅一 2aar/3,/3-2a0rg=(-laaTp (3-2 aa=6 _)(-2aa/3)=g a Mg a 0r a/B=g p-A f a/g a/p故有M M|=|冽,证毕.2-8.对于任意的方阵A,证明：(1)A +A7是对称矩阵，A A7是反对称矩阵；(2)A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.证(1)由(A +A，)=A+A =A +A r,所以 A +A，是对称矩阵；(A-#)=_(AJ =_ A =_(A ),所以 A 是反对称矩阵.4证 A =|（A +Ar）+1（A-A7）.2-9.证明：如果A8都是阶对称矩阵，则 A8是对称矩阵的充分必要条件是A与台是可交换的.证 必 要 性.因=A,B，=8,且（A B）T=A 8,有（A B），=8牙=8 4=48.所以A与 8是可交换的.充分性.由4,=4,6,=6,及 A B =B A,得（4肛=8，*=B A =A 8 ,所以A5 是对称矩阵.2-1 0.设A是一个阶对称矩阵，8是一个反对称矩阵，证明A B +BA是 个反对称矩阵.证由4=4,加=-B,得（A B +B A），=（A 8）+（B A），W +AW=（叫 A +A（-B）=_（8 A +A 8）,所以A B +84 是一个反对称矩阵.2-1 1.设%,%是个线性无关的向量，an+,=kxax+k2a2+knan,其中仁也,，勺全不为零 证明,%，%+1 中任意个向量线性无关证 从向量组外,。2,，%+1 中任取个向量，%-1，+1，4+1，设有 一 组 常 数=,i +,”+1使得4al -卜 h-ai-+4+i%+i +=。（*）当i =+l 时，%，,a”线性无关，结论成立；当i w +1 时，将+=勺,+k2a2 4-卜%“a”代 入（*）式得5la+,+4+i%+i+/“+i（女乌+k2a2+knan）=0 ,整理得（+-）%+，（+，”+/-i）%-i+&/：%+&+i+/+内+i）a*i,由于四，,a”是个线性无关的向量，所以由于占，右，,勺全不为零，所 以4 =0,/=1,i+,+1,则向量组。”1，%+1，4+1线性无关，故,。2,，%+1中任意个向量线性无关2 T 2.设向量组四,。2，。3线性相关，向量组。2，。3，。4线性无关，(I)%能否由1 2，。3线性表示？证明你的结论或举出反例.(2)4能 否 由%，。2，。3线性表示？证明你的结论或举出反例.解(I)%能由。2，。3线性表示.因四,。2，%线性相关，必有一组不全为零的常数4,0,&，使得占区+&%+%=，下面只要证明&-0即可.若 仁=0,则左2，忆3不全为，于是有2 a 2+%3 a 3=。，即，%线性相关；又 由%,%,%线性无关，所以其部分组%，必线性无关，得出矛盾，从而各%1/0,即 能 由。2，%线性表示6解(2)%不能由%，%，出 线性表示如，=(1,0,0尸，。2 =(1，)%=(0,1,。尸，%=(，1 1，显然，%,2 2，%线性相关，%，%，&4线性无关，但是，不 能 由，。2，。3线性表示。2-1 3.求下列矩阵的秩:1 -1 5-1、1 1-2 33-18 1J 3-9 7,(-18 1 0-122 0 45-1、-7 4-7 4U 3-1 4 8 ,5 -r-7 4 ,所以矩阵的轶为2.0 0 ,r 0 1 1 -1 20 2-2-2 0(2)0-1-1 1 1J 1 0 1 -1,所以矩阵的轶为4.解 00121-2-1-22、0q0i20-2i -n-200-1-1110-1-1i110111-iJ1渣口+0007=B,2-1 5.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵:87ooo1oo1oo1oo1oooooo1oo1oo1oo1-1-2I-2OI1-2O-21O-2-21ooo/Iooo1o1oTOOI-x7oo01/42oVo-24ooVV-2241VVV11n111111clI311cf lJ11uc/4441TVVVM-12-1/4/4/41/41/411-4444VVVVooo11o1o1111clI/cu，1ooo/1-A,-1/4-V 41/4-V 4E-1/44444VVVVooo1oo1oo1oo1ooo/乂*气0-9因此4(2)(2011110、1111211001210012J1、fl200 1 00 0、解（小E）2001010 0 10 021 0 01 012 0 0(020010 0o)-310-21 000121 00 101 012 00 0(1 2 0 00 0 0r2 r3万+30 1 2 110000 0 1 200 0 1r3-2r4q-乃(T/U)q)0 0 7 3-2 1 3 0Jp 2 001000 0 1 2100100 0 120001、0 0 012/11-1/11-3/117/1J1 2 0 010000 1 2 0-2/111/H14/11-7/110 0 1 04/112/116/11-3/110 0 0 1 2/11-1/11-3/117/1171()(注因此 A-oo02 0 0-1/1 1 6/1 1 -4/1 1 2/1 1 1 0 06/1 1 -3/1 1 2/1 1 -1/1 10 1 0-4/1 1 2/1 1 6/1 1 -3/1 10 0 12/1 1 -1/1 1 -3/1 1 7/1 12、1T T6-4(26-322-16-37)2-1 6.求解矩阵方程:(1)1 2、3X34 J解 记矩阵方程为A X =8,其中A=2、4 3、36,1由 于 闾=32,=2*0,所以A 可逆，故 乂=4一%.4构造（A 4）=3254 33、60-7 0、1 6 3/2,所以1 60、3/2,2 1(2)X 2 1J T-A p0=4-1 3、3 2一2 5,X =-6=1-1、1 -1 3、解 记矩阵方程为X A =B，其中A=2 10,B=4 3 2J-11 1 -2 5,由 于 =3#o,所以A 可逆，故 X=A rl11-1Ons111100711(|/117oO此因试用初等行变换求AT 8.解 依据（A冽 加 新 变 换-乂 E W%）可得 1(从8)=3222-1-3-4011 01 0-327078、712220-1-3-10191 0-3570787r3-r2L 2-12020-1-2-11-891-852-771、q+2r3(-1)1(-1)/21000-10011613423513r2-r37(12000-10-11691452571、7广 电 000100016234135237126 4 5、所以 A-B=2 1 21 3 3 3,2-1 8.用分块法求A B：(1)A解 4 B=(2)A解 AB10-110121r i o0 1-1 21 1(10-1010-101420 0、0 01 0,B0 V0 00 01 00 130011100203 2304-1 20 1112-02-20 00 0 J0,B4 10 1 2-n2143 20 0-200112、I10 0；0 0 J2011(01 0 32、-1-2120 141-3 0 0、-2 0 0010-3 0-2 00 51 11 03V5 -10 230、0-120 J55029-2-5 03、100 20 0 0 J0 0 30-4 02-1 9.用分块法求下列矩阵的逆矩阵:(3 1 0 0、(1)2 1 0 00 0 2 50 0 4 1 J3 1 0 0、0 0、a oo A22 1 0 02 1 0 0解A20 050 0 2570 0 40 0 413因A：=1Y(1J =l-2-n2 5【4 ij_ r i18-4 5、2 J,则371-100-230000-1/185/18002/9-1/97、cossin 0000、-s in。cos 9000(2)001ab0001a、000b解 cos。sin。000、(cos。sin。000、-sincos 6000一 sin 6cos 6000A=001ab=001ab0001a0001a、00001,、0000L。、4,因1a cosJsin。sin。cos。cos(Sin。一 sin 6cos。b1-aa2-b、a00101-a01100,所以7 I7,cos 8-sin。000、sin 9cos 6000001-aa2-b0001-a、o0001 ，2-2 0.把下列向量组正交化:(1)a=(1,1,l)f,a2=(1,2,3)7，。3 =(1,4,9).14解 用施密特正交化方法得B=%=1B l a2(%，4)3,四)P41（火 血）3,四)-1oJA -4v1 4 3-1、01-21区=。3(%123)(四 1J82 1 7237则四,不 次是正交向量组(2)名=(1,0,-1 ，a2=(l,-l,0,l)r,a3=(-1,1,1,0)解 用施密特正交化方法得、1=%=0-1,17、尸2=%一4=%(41-101（%，4）3,四)（。3，夕2）（%夕2）7(。2,)P 则片,四，网是正交向量组。2-21 .已 知 a,=(1,0,1,O f,a,=(0,-1,1,-1/,a3=(1,1,1,if ,z4=（O,l,O,-l）r,（1）求4 与 火 的夹角；（2）求口2%一%+。3-3。/|；（3）求15一个与ara2,a3,a4等价的标准正交向量组.解(1)因 为 同=&+()2 +1 2+。2 =垃，|/?|=7 02+(-l)2+l2+(-l)2=6，9、。)=l x O +O x(-l)+1 x 1+0 x(-1)=1,所以蚱 ar c c o s=ar c c o s *.ar c c o s|网 V 2x V 3 6(2)因 2/一4+%3%=2(1,0,1,O f -(0,-1,1,-1/+(1,1,1,1/-3(0,l,0,-l)r=(3,-l,2,5)r,所以|2?_%+%_ 3%卜/+(-1)2+22+5 2=如.（3）先将向量组正交化Pl a2，0、（%,片）6 T（四 11 02 1-1、1 -22 1、一2,4=%T(%，0(。3 6 2)O _ 1L112a4（%,0、）B（%,）o（%尸3）（瓦 一 （%&（夕3,四）16则 自,&月，乩 是正交向量组再将回，尾,与 用 单位化%=同八而2 0、_ 1 A _ 1 1“国四 正。则外，/2，/3,%即 为 所 求 2-22*.判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于(N 1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的九阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算.解(1)否,加法与数乘运算都不满足封闭性.17(2)是.(3)否，加法与数乘运算都不满足封闭性.(4)否，加法运算不满足封闭性.3、2-23*.在维线性空间R 中，分量满足下列条件的全体向量a=?能否构成R 的子空间？(1)X +L +=0 ；(2)X +X,+L +x“=1.解(1)设a0、V,.,a,j3eR,且满足 X +L +=o,%+%+L +y=0；又十+.=满足(X 1+x)+(w+y 2)+L ,+(%+%)=0,kx,kx2M日,“而/卜 s R,ka=,满足kxx+kx2+L +kxn=0,故此条件下能构成/的子空间.解(2)且满足%,+x2+L +x“=1,%+%+L +y.1,而 a+，=有 x i+y J+Gz +j Q+L ,18+（X,+%）=2 工1,故此条件下不能构成R 的子空间.2-24*.假设d,7是线性空间V中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成V的子空间.这个子空间叫做由d，7生成的子空间，记做乙（见 ，7）.证设有两组系数内,勺，%与 儿乙/构成见人产的两个线性组合，分别为 o 1-1 0j I。20 3 3、0-821 T O,T0、0 0 3 3、1 0-820 1 1 54,故&=3 3,-8 2%+1 54%,向量a 在 基 下 的 坐 标 为(3 3,-82,1 54)，.2-2 8*.设W 是线性空间匕的子空间，证明，若W 的维数等于匕的维数，则W=V“.证明 由W 是线性空间匕的子空间且W 的维数等于“，则存在个线性无关的向量a i，%，L ,%卬 是 W 的一组基，故W=L(%,%,L ,%)；又由W 是线性20空 间 匕 的 子 空 间,则 匕 是 匕 的 一 组 基,故 匕=的 四,/工，%)，所以川=匕.2-2 9*.设 叱、叫 是线性空间V的两个子空间，证明V的非空子集W =a-a+a2 ay G Wt,a2 e W21构成V的子空间.这个子空间叫做吗与的和子空间，记做叱+%.证 由W的构成可知，它是线性空间V的非空子集，下证W构成V的子空间:设a,w W 有&=/+。2，=1 +凤，满足/，/e叱，?凡 e W,则 a +=%+a?+自+/?2 =(。1+自)+(。2 +&)，其 中(。1+自)叱(。2+居)卬2,所以a+/e W；又任取数3 有3=左/+&。2W卬 故W构成V的子空间.2-3 0.判 断F列向量组的线性相关性：(1)a,=(1,1,1),a2=(1,1,0),a3=(l,0,0);(2).=(1,2,3),a2=(2,2,1),a3=(3,4,4)；(3)a,=(1,1,1,0,2),a,=(1,1,0,-3,3),%=(1,0,0,2,3).解(1)设有一组常数占，出2,%使得+k2a2+k3a3=f c/1,1,l)+f e2(l,1,0)+&(l,0,0)=。，即(勺+&+/，勺+&勺)=(0。,。)，%+右+&=0得方程组 卜|+&=0，A=o女I=0据克莱姆法则知该方程组只有零解,&=0，氏=02 1故小%。3 线性无关.解（2）法 （依内容进度）：显然。3=%+。2，即有一组不全为零的常数k、1,k2=1,=1,使 3 +k2a2+k3a3=a,+a2+(-1)%=。成立，所以区,%，%线性相关解(2)法二：设有一组常数,与，勺使得ktat+k2a2+k3a3 =kx(1,2,3)+&(2,2,1)+k3(3,4,4)=O,即(k+2k2+3k7,2ki+2k2+4%,3占 +k2+4%)=(0,0,0),k+2k、+3k=0得方程组(2匕+2右+4%=0,3k1+%?+4%=01 2 3因 同=2 2 4=0,3 1 4故方程组有非零解占,e,匕，所以名,a 2，线性相关.解（3）法 一（依内容进度）：显然火,。2，二 3 它们各自前3 个分量构成的向量组线性无关（本 题 的（1）,由本章定理7 知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），线性无关.解（3）法二：设有一组常数配右,勺使得ki（1,1,1,0,2）+&（1,1,0,-3,3）+%（1,0,0,2,3）=0,占+.+左 3 =k+k2=O得方程组 U,=0,3 a+2k3=02k1+3k、+3k3 -022k,=0该方程组只有零解 卷=0，网=0故%,%，线性无关.2-3 1.求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：%=(1,1,1y,a2=(0,2,5)r,电=(1，3,6尸；=(1,-1,2,4)1 /?2=(0,3,1,2)T,%=(3,0,7,1 4)，(3)7)=(1,1,3,1)T,%=(4,1,-3,2)y3=(l,0,-l,2)T.解(1)用所给向量组构造矩阵 1 0 1、A=(1 5a2,3)=1 2 3J 5 6,对矩阵A施行行初等变换:矩阵8的秩是2,故矩阵A的秩是2,所以向量组四,小,火线性相关,解(2)用所给向量组构造矩阵 1 0 3、A=(A，4M)=2 1 7、4 2 1 4,对矩阵A施行行初等变换：(1 0 3、【4 2 1 4,4A 2 +2A+E)=E,即存在矩阵8=4 2 +2 4 +,使得4 5 =,故矩阵A可逆，其逆矩阵为A-B A2+2A+E.证(2)由 A?A 4 E =。=(A+E)(A-2 E)=2 E n(A +E)-2 E)=E,即存在矩阵B =(A 2 E),使得AB =E,故矩阵A可逆，其逆矩阵为2A=B=(A-2E).3 o r2-3 4.设矩阵4,8满足关系式4 6 =2 8+4,且4=1 1 0，求矩阵8.、1 4,解 由关系式AB =2 B +A,整理得AB-2 B =A,再由矩阵的分配律得(A 2 E)B =A,即 B=(A-2E y A,，3又由A=10 1、1 01 4,T则有A-2 E=1、0-111、0 ，求其逆矩阵得2,1 0(A-2 E)*1=1 -1、0 11 Y (2-1，2 -1 -1 V 3 0故矩阵B=(A _ 2E)T A=2 -2 -1 1 1、T 1 J I。12-3 5.将下列矩阵化为行最简形矩阵：1 W 5 -2 -2、0=4-3 -22 2 3 ,27(-112-20 2 1、0 7 02 3 22 7-3,解1-13-31 -1、2-20 2 1、0 7 02 3 22 7 3,(100-10000 1 -32 1 12 3 5,，3 q00(-10000 2 1 )(-1。一 212 1 1r八i一-h2与、0 00 1 -30 00 2-6J(0 00 0 7、2 0 40 1 -3(0 00 0 0,1-1(?)、00001 1 1 7、1 1-3-22 2 6 233 3-1 12,解1 1 1 1 1 7 3 2 1 1 -3-20 1 2 2 6 235 4 3 3-1 12?1 1 1 1 1 73 2 1 1 -3-20 1 2 2 6 23、0 0 0 0 0 0今f i 11111 7、0-1-2-2-6-230 1 2 2 6 23、0 0 0 0 0 0,e+T111117、0 1 2 2 6 230 0 0 0 0 0、0 0 0 0 0 0,2 8(1 0 -1 -1 -5 -1 6、0 12 2 60 0 0 0 0、0 0 0 0 02 30补充题B 2-1.如果从2=A,则称阶矩阵斗为幕等阵.设A,8是幕等阵，证明：（1）如果A+B也是嘉等阵，则A3 +B A=。；（2）如果A,8是可交换的，则A+8 A 8是嘉等阵.证（1）若A+3是塞等阵，则必满足（A+8）2=A +8,展开得A2+AB+BA+B2=A+B,又由A,8是塞等阵，即A 2=A,8 2=8,则上式简化得4 8+员4 =0,证毕.证（2）已知4 2 =4,3 2=8,且A,B是可交换的，即A8=BA,则有A+B-A 5）2 A2+A B-A2B+BA+B2-BAB-ABA-A B2+ABAB A +A B-A B +BA+B-A B2-A2B-A B2+A2B2=A+BA+B-AB-AB-AB+AB A +AB+B-2 A B A +B-AB,故A+8 A B是塞等阵.B 2-2.证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵.证 把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得1 a12 ai an1 2 3 a2nA=1 ain=E +B17290 0。a2n0 ,=,+0 0 0 、1 J,/（0 0 0其中，矩阵6为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任 取 两 个 主 对 角 线 元 素 全 为 1的上三角形矩 阵，分别记作4=后+8A2=E+B2,其中用,当 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则4=（E +8 j（E +B,）=E +EB,+BE+BB,=E +4+B、+B、B,）由矩阵乘法定义，可知片B 2 为主对角线元素全为。的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得 3 =4+82 +用区仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有4A =E+B是主对角线元素全为1 的上三角形矩阵，证毕.B 2-3.设 A 是可逆矩阵.证明：如果A,8 是可交换的，则4,6也是可交换的.证 已知A,B 是可交换的，即满足A 3 =8 4；乂由A 是可逆矩阵，则有A-（A B）=A（B A）B =A B A B A =（A B A）A-=AB,所以A LB是可交换的.B 2-4.设4,8 为阶矩阵，且A 可逆.证明：对 x 2 矩阵（A I 8）施行初等行变换，当把矩阵A 变为单位矩阵E时，B即变为4一切.证 由初等变换的性质，对 x 2 矩阵（4 1 8）施行初等行变换，相当于在矩阵（4 1 8）的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵心 鸟,片,使得题目叙述的运算过程即为：匕 而8）=但 助4 1 匕 勉B）=（E由 舄耳8）,30则有只=E，即=尺，一61,从 而 即对“x 2“矩阵（A I 8）施行初等行变换把矩阵A 变为单位矩阵E时，B即变为A-B.B 2-5.设维向量组四,-1 线性无关，与 和%，%，。a 均正交,证明。，生线性相关.证设有一组数人温,2,，勺T，使得k+kxa,+k2a2+-+kn_,an_ O 则由（九 西+占/+%+%&T）=（。,。），得女临|+4 1（。，）+&（4，%T）=0,因。与外,T均正交，上式简化为修。|=0,从而有女=0 或 刍=。.（1）若。=。时，则。，2 必线性相关；（2）若k=0而。W。时，由可得女-k,=-k“T =0,即线性无关，由定理8 推论3知”+1 个 维 向 量 和%,。2,，a,i线性相关，再由定理4知，刍可由刍，四，。2,，%T唯一线性表示，记=侑+/乌+/2 a2 +任 取%=1,2,1,由正交性（/看2）=0/=1,2,1，代入式展开化简得=0,i=L2,，一 I 即=0,i=l,2,1,所以式化简为刍=值,得刍，2 线性相关，证毕.B 2-6.(1)设 a1 的。工 0，求310 a,0 00 0 a2 00 0 04 0 0的逆矩阵.0%0 0解设 4=.0 0000%000、0%0 0、0 00%。0 J(a则有A“E(1,2)E(2,3)-E(-1,)=B ,即0 0 0 1、1 0 0 0A,o 1 0 0=B”,由条件巧牝。“H 0,有 纥 可 逆，从而、0 00 0 01 0 0A.0 1 o、0 0 0 0 01 0 0所 以 4 r=o 1 o、0 01 0J1、0 0 *1 01/%B；=E,又 B=.1、，001/%0纥=01、00 0 0 0 l/a2 0 .o !/-(2)设一/?一bncn W 0,求32 1 0 00 1 00 0 10 0 0血U 出0 c0 c20 c31 c.b”a,的逆矩阵.解（A|）1 0 0 0 c)0 1 0 0 c20 0 1 0 c31 0 0 0 0、0 1 0 0 00 0 1 0 0G+i 仇 勺 bnrn、(0 0 0 1 c、A b2 4 hn a0 0 0 c)1 0 0 c.)0 1 0 c0 0 0 1 00 0 0 0 1;1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 00 0 -1 C，0 0 0-0 0 0 0 a-bici-h-b2-b3 1 0-bn 1/=17=a-bc-b2c2-bncn=c i-lbici,由条件d w O,上式矩阵可进一步化i=简得 10010 00 C 10 c2100100 0 00、01001 0 c3001 00000 1 c”000 1000 0 1-b jdb jd-b jd一b jd1/dJ33所以所求逆矩阵为(100 00 l+b g jdb f、/d如/t/b,cjdj/d 010 00bQ d1 +b2c21dA3c2/bncjdc/d001 00b31db f jd+b3c31db a ldc jd000.10b、c jdb f jdb f jd+b,cdc jd1000 01-b jd-b jd-b jd-bd1/+/db】c21db g jdb2c jd+b2c21db31db3clMb3c21d+b3c31db.c jdb.c)d b,c31dc j d、c j db f j db2c j d3/dl+c j dcd、-b jd-b j d-b31df j d1/d)加+d 瓦 又如f、姐bf?+d姐F，其中d:-a-bc-h2c2一 一b皿b2gb,+dF-Z?2bnB 2-7.如果向量可由向量组%,a 2，,凡线性表示，证明：表示法是惟一的充分必要条件是药,，,火线性无关.证必要性.因向量4可由向量组四,。2,，火线性表示，且表示法惟一，则存在惟-组数人,占,，（，使得=左 乌+k 2a2 +.%假设四,。2,火 线 性 相 关，则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数4,使得/,+12a2+1%=。，不妨设/产0,则有/,lr%=-p 2-产=。凸+-.+%将 代 入 可 得 的 新 的 线 性 表 示 式，这 与，线 性 表 示 式 惟 一 矛 盾，故34名,见 线性无关充分性.已知向量/可由向量组,%，火 线性表示，且，火 线性无 关，假 设 向 量 的 线 性 表 示 式 不 惟 一，存 在 两 组 不 同 的 数 ，勺与4 4,，使得P=+k2a2+-krar,及P=l+l2a2+/,2,两式相减得(%-1 ),+(%2 -/，)。2 +(kf-/r)C Cr=O,此 时 由 系 数/T),i =l,2,/不 全 为 零，得%,%，,火线性相关，矛盾，故向量夕的线性表示式惟一.B 2-8.证明：任意+1 个维向量必线性相关.证设维向量组,。2,%+i，构成 x(n +l)矩阵4 =(/,4,a“+J，则矩阵4的秩+即向量组的秩小于向量个数，必线性相关.B 2-9.证明：对于任意实数。，向量组/=(a,a,a,a)r,a2=(a,a+1,a+2,a+3),a3=(a,2 a,3 a,4 a)线性相关.(aaa、(aa a、证由向量组构成矩阵A =(%a2 a3)=aQ+12a01 aaQ+23a01 aa a a、0 1 a一口一,0 0 0、0 0 0,SQ+34。,1 a)由A的秩为2,则向量组的秩为2,小于向量个数3,故对任意实数。，向量组必线性相关.35B2-10.设%是任意的 4 维 向 量，a2=(2,l,0,0)r,a3 (4,1,4,0),%=(1,0 2 0)7 ,若 二,&自可 由 向 量,，a2,a3,a4线 性 表 示，则四，与，网，色线性相关证由(。2，%。4)=/I =BC-,从而向量组四,。2,4 可由 2,民 线性表示，因此尸”2,民与四,0 2,4 等价.38