【4份试卷合集】邢台市名校2019-2020学年数学高二下期末考试模拟试题.pdf

2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括1 2个小题，每小题3 5,共6 0分.每小题只有一个选项符合题意)1.i(2 +3 i)=A.3-2 i B.3 +2 i C.3-2 i D.3+2 i【答案】D【解析】分析：根据公式=1，可直接计算得i(2 +3 i)=-3 +2，详解：i(2 +3 i)=2 i +3 i2=-3 +2 i ,故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轨复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略=_ 中的负号导致出错.2.已 知 函 数=?-1 +ln x,若存在%0,使得/(/)()有解，则实数”的取值范围是()A.a 3 B.a 2 D.a 3【答案】B【解析】【分析】先将/(%o )0,使 得/(七)W 0有解,即存在%0,使得a 4%-I n x0,令 g(x)=x-x ln x,则问题转化为：a g(x)mM,因为 g(x)=l-(l+ln x)=-ln x,当0 x 0；当1 时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,1)上递增，在(L”)上递减，所以g(X)max=g 6 =l，所以a W L故 选B.【点睛】本题考查了不等式能成立问题，属中档题.3.已知函数/(x)=lo g 2(4+l)x,则 使 得/(2 8-1)+1 1)+1 唾2 5为/(2%-1)/(1),B P|2 x-l|)单调递增，且 在(0,+刃)单调递增贝!I/(2 x-l)+l lo g25 f Qx-1)lo g,|/(2 x-l)/(l)因此 1 2 x-1 1 10 x 1故 选：C【点 睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.4.若 双 曲 线.x*yra2 b2的一条渐近线与直线、垂 直，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为(1 2”)B-VsC.亘D.2【答 案】A【解 析】【分 析】由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率9的方程即可.【详 解】双曲线的一条渐近线与直线v_ 垂 直，4 A b.-，2r L-a-1 2 C-5 V 5 g _ 1 _ e a-a*故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础.5.已知函数/(工)=，+0?+2公一3/(0,+00),若 x)有最小值，则实数。的取值范围是()A.(-1,0)B.C.-00,-1 口.1,+8【答案】C【解析】【分析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,+8)小于o有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【详解】根据题意，得 八 x)=e +2 a x+2 a,若/(尤)有最小值，即/(在(0,+8)上先递减再递增，即/(均在(。,+8)先小于0,再大于0,令/(x)0,得：e 1即可，解得：故答案为C.2【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.6.命题“V x e 2,),X+3 2 1 ”的 否 定 为()A.3 x0 G-2,+O O),x0+3 1C.VXG-2,+O O),M v0=M v+m v2 D.VXW(YO,-2),X+3 1【答案】A【解析】分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可.详解：全称命题的否定是特称命题，二命题 V x G -2,+o o),x+3 U”的否定是 0 包-2,+o o),x o+3 l时，/(%)0 ,此时/(x)单调递减.所以x=l是函数/(X)的极大值点.满足题意，所以。1成立.如果X=函数取得极小值，不成立；若0,由/(x)=O,得x=L x=.a因为X=1是f(X)的极大值点，成立；综合：4的取值范围是a+22,故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查=%到=Z+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题.1 0.下列函数中，以一为周期且在区间(一，一)单调递增的是2 4 2A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象，即可做出选择.【详解】因为y =s i n|x|图象如下图，知其不是周期函数，排 除D；因为y =cos W =cos x,周期为2%,排除C,作出y =|cos 2 X图象，由图象知，其周期为3,在区间(?,?)单调递增，A正确；作出y =b i n 2 x|的图利用二级结论：函数y =|/(x)|的周期是函数y =/(x)周期的一半；二以川则不是周期函数;U.若随机变量的分布列如下表:-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(x)=0.8时，实数x的取值范围是A.X 2 B.1 x 2C.1 X 2 D.1 c x 2【答案】C【解析】分析：根据概率为0.8,确定实数X的取值范围详解：因为0.1+0.2+0.2+0.3 =0.8,所以实数x的取值范围为1XW2选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力.12.a,h,c 三个人站成一排照相，则“不站在两头的概率为()【答案】B【解析】分析：a,b,C三个人站成一排照相，总的基本事件为用=6 种，。不站在两头，即4 站中间，则 有&=2种情况，从而即可得到答案.详解：a,b,c 三个人站成一排照相，总的基本事件为A；=6 种，a 不站在两头，即。站中间，则有8 =2 种情况，2 1则a不站在两头的概率为P =-=.6 3故选：B.点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.二、填空题(本题包括4 个小题，每小题5 分，共 20分)13.设随机变量二服从正态分布二(3,4),若二(二 a+2),所以2 a-3 与a+2 关于x =3 对称，所以2 a-3+a+2=6，所以3a=，所以a=.3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目.14.在 AABC中，。=2,b=币,8 =6 0，则 4 8。的面积等于.【答案】迈2【解析】【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】设 AB=c,在 ABC 中，由余弦定理知 AC2=AB?+BC2-2ABBCcosB,即 7=c2+4-2x2xcxcos60,c2-2c-1=0,又 c0,:.c=l.SA ABC=-ABeBCsinB=BCeh,2 2EC _1 1 ,石_35/J可知I SA ABC-xlx2x-2 2 2故答案为：空.2【点睛】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题.1 5.从1,2,3,4,5,6,中任取2个不同的数，事件A=取到的两个数之和为偶数”，事件B=”取到的两个数均为偶数”，则P(8|A)=.【答案】2【解析】【分析】先求得事件A所包含的基本事件总数，再求得事件AB所包含的基本事件总数，由此求得尸(8|A)的值.【详解】依题意，事件A所包含的基本事件为13,15,24,26,35,46共六种，而事件AB所包含的基本事件为3 I24,26,46共三种，故P(8|A)=.6 2【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题.1 6.已知函数/(x)=2cosx(sinx cosx)+l,X GR.则函数f(x)的最小正周期【答案】乃【解析】【分析】T 27首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据丁=网即可。【详解】由题意得：,/(X)=2cosx(sinx-cosx)+l=2 cos xsinx 2 cos x cos x+1=sin2x cos 2x=/2 s i n 2 x-j,2 7r.函数f （x）的最小正周期T =/r；2【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及周期的计算，属于基础题。三、解 答 题（本题包括6个小题，共70分）1 7.如图，四边形A B C D为矩形，平面/W/，平面A B C。，EF/AB,Z B A F 9 0,A D =2,A B =A尸=1,点P在线段 厂上.（1）求证：4/，平 面 钻8；（2）若二面角。A P-C的 余 弦 值 为 逅，求P尸的长度.3【答案】（1）见解析；（2）坦3【解析】【分析】（1）先证明/归_1 4广，又平面4郎_1平面/1 3。，即得平面4 8。；（2）以4为原点，以4 8,AD,A/为x,二轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得I 4 Di m A B 2 V 611 U AB 3,解方程即得解.【详解】（1）证明：/8 4/=9 0,；.AB AF,又平面A B F _L平面ABCD,平面A 8 E F 平面A B C D =A B,AFu平面A B E F,二 A F _L 平面 ABCD.（2）以A为原点，以A B,AD,A尸为,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A（0,0,0）,8（1,0,0）,C（1,2,0）,（0,2,0）,尸（0,0,1）,A E D =(O,2,-l),A C =(1,2,0),A B =(1,0,0)由题知，A B _L平面A D 77,:.A6=(1,0,0)为 平 面AOE的一个法向量，设尸尸=丸尸(0 ；1)在 曲 线。：。=4。上，直 线/过 点40,4)且 与0M垂 直，垂 足 为PTT(1)当q =z时，求 及/的 极 坐 标 方 程(2)当M在C上 运 动 且 点p在 线 段0M上 时，求 点P的轨迹的极坐标方程【答 案】(1)q=2五，极坐标方程为夕(sin。+cos8)=4(2)尸点轨迹的极坐标方程为7TG：夕=4sine(6e 0,【解 析】【分 析】(1)当时，qo=2 0，M(2夜,?)直角坐标系坐标为M(2,2),计 算 直 线 方 程 为y=-x+4化为极坐标方程为夕(sin 8+cos，)=4(2)P点 的 轨 迹 为 以 为 直 径 的 圆，坐 标 方 程 为G：夕=4sin。，再计算定义域得到答案.【详 解】(1)当时，p0-4cos0n-2V2,以。为 原 点，极 轴 为8轴建立直角坐标系，在直 角坐标系中有(2,2),40,4),*=1，则直线/的斜 率2=T由点斜式可得直线/：y=-x+4,化成极坐标方程为。(sin8+cos6)=4；7F(2)7/OM:.NOPA 则p点 的 轨 迹为以OA为直径的圆此时圆的直角坐标方程为/+(y-2=4化 成 极 坐 标 方 程 为C：夕=4 sin 6,又7在线段上，由可得。=?,P=4cos 47T.2点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 ：。=4$山6(6 0,-).【点 睛】本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.1 9.已 知/(x)=|mx+3|-|2 x+.(1)当 机=2,=一1时，求 不 等 式f(x)2的解集；当 机=1,”,0)；n-6.【解 析】分 析：(1)将 加=2,=-1代入函数解析式，利用零点分段法，将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后求并集得到原不等式的解集；(2)结 合 机=1,0的条件，将函数解析式化简，化为分段函数的形式，求得相关点的坐标，利用面积公式，得到参数所满足的不等关系式，从而求得结果.详 解：当 机=2,=-1 时，/(%)=|2x+3|-|2x-l|.-3不 等 式 x)2等价于 2-(2x+3)+(2x-l)2,3 1一一%-,或 2 2(2x+3)+(2x-l)一,2(2x+3)-(2 x-l)2,3 3解得或 元 0,即x 0.2 2所以不等式/(x)2的解集是(-8,0).x+-3,x 24解得 +-1 7 3 5 7 2/2+1【答案】(1)1；(2)a 0的解.通过对a分a=0,a 0三种情况讨论解得a的取值范围；(H I)(法 一)根 据(I)的结论，当x l时，lnx+-1,x+1即2岩再构造函数令有也*从而誓吃在,问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明.当n=l时，In（n+1）=ln2,31n2=ln8l=ln2,成立；设 3时，命题成立，即ln（Z +l）H-F H 9 9再去证明n=k+l时，3 5 2 k+1+2 1ln（+l）=ln仅+2）=ln（k+l）+ln7 石即 可（需用好归纳假设）.详解:2(1)/(x)=lnx+,定义域为(0,+0/（同 在（0,”）上是增函数.小需。）(2)因为(x)=3X2 a x2+2(a-l)x+(x+l)x(x+1)2因为若/（x）存在单调递减区间，所以（x）0有正数解.即办2+2（”1）%+。0 有 x 0 有解.当。=0 时，明显成立.当a 0时，丁 =加+2（。-1）+7 开口向下的抛物线，*2+2（。-1）%+。0 总有了0 有解;当a 0 时，=2+2（。-1）工+。开口向上的抛物线，即方程办2+2（。-1）%+。=0 有正跟.当时，/（%）/（1）=1；A0 x,+x2 0解得0 a l 时，1 2+1,HP nx .x+1 x+l.左 +1 r i 1 左 +1 1令 x=-,则有 In；-,k 左 2女+1已改+1 /1:.In-k 2 左+1k=l K.-.ln(n+l)l+l+,7 3 5 2 +l(法 二)当 =1 时，ln(+l)=ln2.V 31n2=ln8 1 ln2 ,即 =1 时命题成立.3设 当 =攵 时，命题 成 立，即ln(Z +l)+一.7 3 5 2Z +1+2 1；.=左 +1 时，+=ln(Z +2)=ln(Z:+l)+ln-2 r-1根 据(1)的结论，当x l时，hrc+1,BP lnx-.x+1 x+1人 k+2.,左+2令”二有则 有 MW则有 In（攵+2）g+g+即=%+1时命题也成立.12 k+3,1 1H-1-，2&+1 2 k+3因此，由数学归纳法可知不等式成立.点 睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力.函数在一个区间上单调递增，则函数的导函 数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.2 1.如 图，四面体 ABCD 中，0、E 分别是 BD、BC 的中点，C A =C B =C D =B D =2,A B =A D =6.（H）求 点 E到 平 面 ACD的距离.【答 案】（I）详 见 解 析（口）叵7【解 析】【分 析】【详 解】试题分析：（I）要 证 明 A 0 _ L 平 面 B C D,需 要 证 明 A 0 L 0 C,A 01B D,证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（口）中由已知条件空间直角坐标系容易建立,因此可采用空间向量求解，以。为坐标原点，以 0 8,O C,0 4 方 向 为 x 轴，轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACZ)的法向量=(73,-1,-7 3)和斜线的方向向量E C=(,走,0)，代入公式”=收2 2|计算试题解析：(1)证明：AB=A。,。为 的 中 点，.AO_LBZ),A D=E,O D =l,：.A O =,C B =C D=B D=2,:.OC=6又 C4=2,.=0 4 2+0 0 2,.A。，。，B Dc O C =O,B R O C均在平面3C。内，.4 0,平面BCD(口)方法一：以。为坐标原点，以O8,OC,OA方向为x轴，,轴，z轴正方向建立空间直角坐标系,则 A(0,0,1),5(1,0,0),C(0,V 3,0),D(-l,0,0),E(-,-,0),A C =(0,73,-1),CD=(-1,-73,0)设n为平面A C D的法向量，则”AC，n L C D 百y-z =O,x+/Jy=O,取=(-/3,1,A/3)E C nl l6 _ 后正=亍方法二：设点，在CD上，且 DH=)DC,连A H,4C B =C D=DB =2,。为 3 0的中点，C DQAO，平面B C D,。匚平面8。,，4。_1。，A O cQ =O,A O,Q H u平面AO,CD人平面AOHC D u平面A C O,，平面AO_L平面AC。，且交线为AH过点。作O PL A H于点P,则.-.OP_L平面ACO。,6分别为3。,8。的中点，则。E/C。，OE平面A C D,。=平面4?。,:.O E H平面A C D,E点到平面A C D的距离即O P,.V3A孝 加%=嗫券=爰=与故点E到平面A C D 的 距 离 为 叵考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离2 2.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两 个“2”号球，三 个“3”号球、四个无号球，8箱内有五个“1”号球，五 个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次8箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖5()元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.(1)经统计，顾客消费额X服从正态分布N(150,625),某天有1000位顾客，请估计消费额X(单位:元)在 区 间(100,150内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)附：若 X N(4，c r),则 P(一b X 4 +b)=0.6827,P(4 2cr X +2cr)=0.9545.(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数4的分布列.(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.【答案】(1)中奖的人数约为286人.(2)分布列见解析.(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解析】分析：依 题 意 得 =150,=6 2 5,得b =2 5,消费额X在区间(100,150内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为().6,人数约l(XX)xP(4-2crX W 4),可得其中中奖的人数；(2)三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6,三人中中奖人数服自从二项分布3(3,0.6),尸(4=C；0.6*0.43-&,(攵=0,1,2,3),从而可得分布列；利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.详解：(1)依题意得=150,4=6 2 5，得b =2 5,消费额X在区间(MX),15()内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.60 9545人数约 1000 xP(-2 b X/3 ,取极角一号，IT 1 7 1.圆=8 5(。+：)的圆心的极坐标为(耳,一).故选A.2 e-,(x 2的解集为()l o g3(x2-l),(x 2)A.(-2,4)B.(T,-2)U (1,2)C.(1,2)U (丽，+8)D.(y/1 0,+8)【答案】C【解析】当x 2 O e 1 =/-e ，又因为e 1 所以为增函数，则有x 1，故有1 x 201/式/1)13,因为是增函数，所以有1一1 9,解得或x、而，故有x、用.综上1X 版 故选C4.将两个随机变量a y之间的相关数据统计如表所示：X-8-4248y-11-6 0,&0 B.a 0,b 0 C.a 0 D.a Q,b 0,164-5x(1)2 18 7a=y-x=-y-o.78x-0,则下列不等式一定成立的是()A.a+/?B.a+/?=C.a P【答案】C【解析】【分析】构造函数/(x)=包产 e|0,|L原不等式等价于/(a)/(力)，两次求导可证明/(x)=卓:在x呜上 递 减，从而可得结论.【详 解】0 q s i n a s i n p由题意，p s ma as mp 9-a p设 司=皿”呜,、x c o s x-s i n x/p 心吟,设 g(x)=xc o s x-s i n x,x e l 0,-I,?.g,(x)=c o s x-x s i n x-c o s x =-x s i n x 0,.g(x)在0卷 单调递减，且g(x)g(o)=o,所 以/（）=平sinx在 o，、J递减,x:.a 0求 出x的范围，可得增区间；（3）令/（“b c 0.由右椭圆5T+*=1(x 2 0)的 焦 点4和左椭圆2y瓦Y2+7 u K x K O)的焦点c耳，F?确 定 月 田 层 叫 做“果圆”的焦点三角形，若 果圆”的焦点为直角三角形.则右椭圆2 2=+3 =l(x 2 0)的 离 心 率 为()a bRV3D -3r 6L.-31D.-32A.【答案】B【解析】【分析】根据 果圆 关于X轴对称，可得 鸟 是 以 耳 K 为底的等腰三角形，由综片工是直角三角形，得出/月 用 鸟=90。，|片0|=忻。卜再建立关于a,b,C之间的关系式，求出结果.【详解】解：连接K K，FF根据 果圆”关于X轴对称，可得4 6 K 是以耳居为底的等腰三角形，外耳后是直角三角形，二/百稣舄=9。，国 q=忻q.2 2 2 2又|耳。和|耳。|分别是椭圆,+go）和 方+3=1（尤（0）的半焦距，-*c=lb2 C2 9 即/=一 2 h2 a2 c2 c2=a2 2c2 即 3c2 =a，e -a 3故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.7.%,是 函 数 f（x）=_ s g 是增函数”的A.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D,既不充分也不必要条件【解 析】【分 析】先 由 函 数f：a=a x _ 疝:1为 增 函 数，转化为2 0恒 成 立，求出实数1的取值范围，再利用实数a的取值范围的包含关系得出两条件的充分必要关系。【详 解】当函数=a x -s i i u-为增函数，贝 r（x）=a-c o s.v o在火上恒成 立，则 a （c o s x）m a;1”是“函数=a x _ s i n、.为增函数”的充分不必要条件，故选：A。【点 睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及参数的取值范围，一般要由两取值范围的包含关系来判断，具体如下:（D A 声则 CA”是 CE”的充分不必要条件；（2）A W B，则e A 是“x e 5”的必要不充分条件；（3）J =B，则口”是“x e B”的充要条件；（4）AcB，则 则“x w是e屋的既不充分也不必要条件。8 .已 知 直 线y=x+l与曲线y=l n（二+二；相 切，则a的值为A.1 B.2 C.-1 D.-2【答 案】B【解 析】设切点二（二,二）,贝（%=+1$=砥 见+）,X-.-z|_=_；=_ -=;二二+二=/二 =0,二 产一1 .二=2,故答案选 B,9 .在 棱 长 为1的 正 方 体A B C。-44GA中，E,F分 别 为 线 段C D和4月 上 的 动 点，且 满 足C E =A/,则 四 边 形。尸BE所 围 成 的 图 形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面 积 之 和（）C3 5A.有最小值二 B.有最大值一 C.为定值3 D.为定值22 2【答案】D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可.【详解】依题意，设四边形DiFBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为DT F,B,F,则四边形DiFBE在上面，后面，左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1x1=1,在上面的投影面积S i=DExl=DExl=DE,在左面的投影面积S左=BExl=CExl=CE,所以四边形DiFBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=1.故选D.【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力.属于中档题.1 0.可以整除2 6 3 +3 2 T (其中 GN*)的 是()A.9 B.1 0 C.1 1 D.1 2【答案】C【解析】分析：26-3+32-=(1 1-+32 n-,利用二项展开式可证明26,-3+32-能 被1 1整除.详解：26-3+3 2 1 =(1+32,_|=图(片(-3)。+C*(1 产(-3)1+.+明(1 1)。(-3)2-1+32-=M(1 1 广(-3)+(1 1广2 (到+.+哨(1 1)(-3 广2 _ 3 2”T+3 2 1=M(1 1 广(-3)+C&(1 1 广2 (-3)1+。票;(1 4 (-3广2 .故能整除26 n-3+32 n-(其中n e N*)的是1 1.故选C.点睛：本题考查利用二项式定理证明整除问题，属基础题.1 1 .已知随机变量4服从正态分布N(2,a2),尸便 4)=0.2，则P(J 0)=A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2【答案】D【解析】【分析】【详解】P 0)=尸片4)=0.2,选 D.1 2 .a,h,c三个人站成一排照相，则。不站在两头的概率为()1111A.一 B.-C.D.一2 3 4 5【答案】B【解析】分析：。，匕，c三个人站成一排照相，总的基本事件为用=6种，。不站在两头，即4站中间，则有8=2种情况，从而即可得到答案.详解：。，b,c三个人站成一排照相，总的基本事件为A；=6种，。不站在两头，即。站中间，则有$=2种情况，2 1则&不站在两头的概率为P =.6 3故选：B.点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）2 2 2 213.已 知 椭 圆 二+占=1与双曲线L 匕=1有相同的焦点，则实数a=_.4 a2 a 2【答案】1【解析】由 双 曲 线 二 一 上=1可知a 0,且焦点在x轴上，根据题意知4a 2=a+2,即a2+a2=0,解得a=la 2或a=-2（舍去）.故 实 数a=l.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出a?,b2,从而写出双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）.14.设向量a=（2,1）,6=（1,-1）,若.一方与ma+b垂直，则团的值为【答案】-4【解析】a-b 与 m a +b垂直=0=(1,2)-(2m+l,m-1)=0 2m+l+2m-2=0=m =415.A 4B C中，A B =1,AB A C =2,贝!Itan/A C B的最大值为.【答案】县4【解析】分析：先求出cos A=2,再利用正弦定理求出s“C=网生警，再利用三角变换和基本不等式求A C 2-cos2 A其最大值.2详解：由题得 1 x A C x cos A=2,cos A =,AC由正弦定理得A C A C 1-=-=-A C sin C=sin(A+C),sin B sin(A+C)sinC/.AC sin C=sin A cos C+cos A sin C,/.AC sin C=sin A cos C+sin C,AC2/.(AC-)sin C=sin Acos C,AC/2、-sin A(AC-)tanC=sin A,/.tanC=-A。AC。AC cos Asin A2cos Asin Acos A2-cos2 Asin A cos A _ tan A _ 1 A=(l+cosa-2cos,sin-3sin0),Pfi=(l-cosa-2cos,-sina-3sin)=2 c o s-c o s2 =5sin26 +4cos+4PA-P B+P C-P D IQ sin2 0+S当s i n*=O时，(P 4 P B +P C P0=8 /m i n本题正确结果：8【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.三、解答题(本题包括6个小题，共7 0分)1 2 31 7.在Af i C中，己知 t a nC=*,c o s(A B)=m A B(1)求 s i n(A+8)的值；(2)求c o s 2 A的值.一 1 2 6 3【答案】7 7；-1 3 6 5【解析】【分析】1 2(1)通过t a nC=G ,可计算出C角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案；(2)通过c o s(A 8)=|,可得s i n(A-B)=%再利用c o s 2 A=c o s (A+3)+(A 8)可得答案.【详解】1 2s i nC 1 2s i nC=1 2-1 3(1)在 AB C中，由于 t a nC=一,故，c o s C 5 ,解得，；，所以5s i n2 C +c o s2 C =1c o s C=,I 1 3/1 2s i n(A+B)=s i n(-C)=s i nC=；5 3(2)由(1)可知 c o s(A+8)=c o s(乃一 C)=-c o s C=-,而 c o s(A-B)=,4 6 ,所以4s i n(A-B)=,所以c o s 2 A=c o s (A+B)+(A-B)=c o s (A+6)c o s(A-B)-s i n(A+B)-s i n(A-B)=-|.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.21 8.甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是1,假设每局比赛结果相互独立.(I)比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束.求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；(n)比赛采用三局两胜制，设随机变量x为甲在一场比赛中获胜的局数，求x的分布列和均值；(小)有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.(只要求直接写出结果)20 44【答案】(I)(I D分布列见解析，E (x)=(n i)方案二对甲更有利27 27【解析】【分析】(I)甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负，第三局甲胜.由此能求出甲获得比赛胜利的概率.(I I)由已知得X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.(III)方案二对甲更有利.【详解】(I)甲获得比赛胜利包含二种情况：甲连胜二局；前二局甲一胜一负，第三局甲胜.甲获得比赛胜利的概率为：(D)由已知得X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(-)2=-,3 9.随机变量X的分布列为：X012P94272027c m)方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.方案二对甲更有利.【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题.2 41 9.已知函数/(幻=-数列 4的前项和为S“，且满足2 s“+了=2+5.(1)求4，。2，。3,4的值；(2)猜想数列 ,的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【答案】(Q 4=2,4=3,。3=4,%=5 (2)猜想勺=+1.见解析【解析】【分析】(1)先求得卬的值，然后根据已知条件求得2%=。,一+2(.2),由此求得%,生，%的 值(2)由(1)猜想数列 4的通项公式为4=+1,然后利用数学归纳法进行证明.【详解】(1)由 2 5,+=2+5，即 2 s“+2。“=2+5 +2,所以4 =2,由得2 s,i+2 a“T=5 l)2+5(l)+2(.2),一，得2%=%_ 1 +2(.2).当”=2时，2 a 2 =4+1 +2,4 =3；当=3时，2 a 3 =g+3 +2,%=4；当“=4时，2%=%+4 +2,4 =5 .(2)由(1)猜想“=n +l.下面用数学归纳法证明：当”=1时，由(1)可知猜想成立；假设=4时猜想成立，即为=左+1,此时I t2 32 Sk+2 ak=k2+5k+2,Sk=-(k2+5k+2)-ak=+k，当=攵+1 时，c /3.a+i)2 3 八S*+i =S k+4+i =5+5左+4+i =-+-(+1)整理得为+i=(左+D +l,所以当 =Z +1时猜想成立.综上所述，对 任 意N*,a“=+1成立.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.2 0 .已知非零向量”，b，且求证：1 4V2.a+b【答案】证明见解析【解析】【分析】aL b a b=Q.同时注意，将要证式子等价变形，用分析法即可获证.【详解】解：:a J _ Z?,=0，宜4+也|万要证r v 2 ,b+可只需证1|+|“4也|。+，只需证|a F+2 a b+b 2(a2+2 a-b+b2),只 需 证+2 a b+b 0,即(|a|-|)2 0 ,上式显然成立，故原不等式得证.【点睛】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立.注意应用条件和/=|a.2 1 .已知函数f(x)=；以2 +l n x.(I )当。=1时，求 函 数 在 工=1处的切线方程；(I I)求函数/(X)的单调区间；2(m)求证：当。=i时，函数/(幻的图像与函数g(x)=1 d的图像在区间口+8)上没有交点.【答案】(I)y =2 x m ；(I I)见解析；(H I)见解析.【解析】【分析】(I)当。=1时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解；(D)由题意，求 得/lx),利用导数即可求解函数的单调区间.(H I)令(x)=g(x)/(x)=g x 3 g x 2 n x,利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.【详解】3(I)当。=1时，函数“X)在x =l处的切线方程是y =2 x-g；(I I)f(x)=a x+,当a 2 0时，函数/(x)的单调增区间是(0,+8)；当。()时，函数/(x)的单调增区间是(0,，：)，单 调 减 区 间 是(旧,+8 ；(I H)令(X)=2 1，可以证明函数/0,所以M x)0恒成立，所以两个图像没有交点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.选修4-5：不等式选讲已知函数/(x)=k-l|+|x+3卜 解 不等式：/(%)48；(2)对任意x e R,/(#2。2一3。恒成立，求实数。的取值范围.【答案】|-5。43 ；-1,4.【解析】分析：(1)解法一：写出分段函数/(X)的解析式，讨论X的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.解法二：写出分段函数/(X)的解析式，绘制函数图象，计算函数y =/(x)与y =8的交点坐标,根据函数图象确定不等式的解.解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.(2)将 力 2-3。恒成立问题转化成/-34/。濡 问 题，确 定/后，解关于。的一元二次不等式，即可求出实数a的取值范围.解法一：根据三角不等式，确定函数最小值解法二：根据函数图象，确定函数最小值.-2 x -2,x -3详解：(1)解法一：X)=4,-3 x 1当x 3时，2 x 28,解得：5 x 3；当3 x l时，4 1 时，2 x+2 4 8,解得：1 x 3 ,所以不等式/(力 8的解集为 x|-5 W；(1)解法二：2.x 2,x 3/(%)=4,-3 x 1令g(x)=8,两个函数的图象如图所示:由图像可知，两函数图象的交点为(5,8)和(3,8),所以不等式/