高考文科真题：直线与圆锥曲线.pdf

【考点24】直线与圆锥曲线1.（2007山东文9）设。是坐标原点，F是抛物线V =2 p x（p 0）的焦点，A是抛物线上的一点，E 4与x轴正向的夹角为60,则1。4 1为(),、21,、V21p(A)p(B)-4 2，、加,、13(C)-p(D)p6 362.（2007海南宁夏文21）（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆/+y?-12X+32=0的圆心为Q,过点尸（0,2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.（I）求k的取值范围；（I I）是否存在常数 使得向量方+而 与 而 共 线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.3.（2008天津文22）（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是耳（3,0）,条渐近线的方程是否-2y=0.（I）求双曲线C的方程；（I I）若以乂氏H 0）为斜率的直线/与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MNQ 1的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为也，求人的取值范围.22 24.（2009浙江21）已知椭圆C：+=l（a 匕0）的右顶点为A（1,0）,过C i的焦点a-b-且垂直长轴的弦长为1.（I）求椭圆C i的方程；（H）设点P在抛物 线：y=R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N,当线段AP的中点与M N的中点的横坐标相等时，求h的最小值.5.（2 0 0 9 天津2 1）以知椭圆A+=1560）的两个焦点分别为a b2F,（-c M l l F,（C,0）（c 0）,过 点 矶 幺,0）的直线与椭圆相交与A,8两点，且cFiA/F2B,FiA =2 F2B.（I）求椭圆的离心率；（I I ）求直线A B 的斜率；（I I I）设点C与点A关于坐标原点对称，直 线 F 2 B 上有一点”（加,）（血。0）在A4尸 0 的外接圆上，求己的值m6.（2 0 0 9 山东 2 2）设椭圆 E +y =l（ci,b 0）过 M（2 V2 ）;N（V6 ,1）两点,a b-0为坐标原点.（I）求椭圆E的方程；（I I）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点4 B,且 施，而？若存在，写出该圆的方程，并求|A B|的取值范围；若不存在，说明理由37.（2 0 0 9 辽宁2 0）已知,椭圆C经过点A（l,），两个焦点为（一1,0）,（1,0）.2（I）求椭圆C的方程；（I D E,F 是椭圆C上的两个动点，如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数，证明直线 E F 的斜率为定值，并求出这个定值.2 2Pz 、一r +y y =1（。0）8.（2 0 0 9 安徽2 0）点“飞。）在椭圆bxQ=a co s B,y0=b s i n 夕,0 B b 0)的离心率为胆，以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直a b 3线 y =x +2相切.(I)求。与b ；(I I )设该椭圆的左、右焦点分别为F 1 和F2,直线/1 过 F 2 且与x 轴垂直，动直线12与y轴垂直，力 交/i 于点P.求线段P R的垂直平分线与右的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.高考真题答案与解析数 学(文)【考点24】直线与圆锥曲线1.答案：B【解析】设I府=，,尸(,0),则4(,t),22 2又,/A在/=2px上,-3 t22 =p-2+Pt.解 得t-2 p,t=-p(舍去)，二 p,6 p),.OA=I OA=J|P2+3P2=孚 P.故选 B.2.【解析】(I)圆的方程可写成(x-6 +y 2=4,所以圆心为0(6,0).过户(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2,代入圆方程得x2+(f cv+2)2-12x +3 2=0,整 理 得(l +Jt2)x2+4(Jl-3)x +3 6=0.(3 分)直线与圆交于两个不同的点A、8等价于 =4(&-3)2-4 x 3 6(l +k 2)=4 2(-8/-6%)0,解得一二0/0）.由题设得a b-a2+b2=9,解得Q2=4,b2=5.所以双曲线c 的方程为2-2 L =1.4 5（II）解：设直线/方程为y=h+加（攵工0）.点M（X1,y）,N（2，y2）的坐标满足方程组y=kx+tn,v /y2 1-=1 4 5 9将式代入式，得可-（疗=1,整理得4 5(5-4 k2)x2 8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4 dHO,且A=(-8 M2+4(5-4k 2 )(4血2 +20)0.整理得m2+5-4k2 0.（3）由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（龙 0，打）满足/=XI+x2F _一4km5 4女 25m5-4公，凡=5+m=从而线段MN的垂直平分线的方程为5m5-4公k 5-4 k2)此直线与X轴，y轴的交点坐标分别为（言 上,0）（0,追后由题设可得1 9km I I 9m _ 812 5-4 k25-4 k2整理得2（5-41）2m-=-j-，攵 H 0.w（5-4-k22 c将上式代入式得 I ）+5 4 k 2 0,W整理得（4公-5）（4 1 -阿 一5）0,左 WO.解得0网 或网：.所以k的取值范围是-8，1u -,o L 0,|u|-,+o oI 2 J I 2J u4.【解析】（I）解：山题意，得b=l,c 户,2-=1.aa=2,从而4b=.因此，所求的椭圆方程为254+x2=14（H）解：如图，设加（再,乃）山。2，%）产。，/+/0则抛物线C 2在点P处的切线斜率为/lv=,=2/,直 线MN的方程为：y=1tx V+h.将上式代入椭圆J 的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4 =0.即4(1+产)%2 _4P2-h)x+(t2-h)2-4 =0 因为直线M N与椭圆C i有两个不同的交点，所以式中的A,=6-t4+2(h+2)t2-h2+4 0.设线段M N的中点的横坐标是与，则_ X +彳2 _ t(t-h)七 一-2-2(1+/2)设线段P A的中点的横坐标是与，则r +1X4 =-由题意，得X,=x4即；t+(i+/y +i =0.由式中的A2=(1+力)2-40,得h 1,或 -3.当也4 3时,/?+2 0,4-/?2 0得H.3 3=18%2c而 X +/=-71 2 2+3女227k 2c2-6。2x.x2=-A2+3小由题设知，点 B为线段A E 的中点，所以尤1+3c=2X29k 2c-2c 9k%+2c联乂解 得 寸 后 记,将占,2代入中，解得女=丁.（I l l）解法一：由（I I）可 知 再=0,%=2当 女=一/时，得A（O,J5C）由已知得c（o,J5c）.线段AFi的垂直平分线I的方程为y-c =+j）直线/与x轴的交点（,0）是A 4K C的外接圆的圆心，2因此外接圆的方程为（x-）2+y 2=（2+）22 2直 线F2B的方程为 了 =血（万一。），于 是 点 的 坐 标 满 足 方 程 组（加 -5）+n2a一 4由加。0,解得5m =c,32V2n=-3.n 2A/2故 一=-.m 5当人=也吐同理可得巴=辿3 m 53c解法二：山（n ）可知匹=0,X2=y当 女=一 左 时，得A（0,缶），由已知得c（o,J5c）由椭圆的对称性知B,F2,c三点共线。因为点“（?,）在A A-C的外接圆上，且4三民所以四边形AFi CH的等腰梯形。由直线F2B的方程为y =J5（x c）知点H的坐标为（加,后?-&C）因为I A 1=1 CF,I所以机2+（”一行c-JI c）2=&2解得？=c （舍），或加=9仁3n 2V 2贝 =-C3所 以 巴=2包.m 5当=Y2时，同理可得巴=2叵.3 m 56.【解析】：（I ）将M,N的坐标代入椭圆E的方程得4 2,+T T l 6 1 b 解得/=8,=4.6 1 Ia2 b22 2所以椭圆E的方程为二+2一 =L8 4（I I）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2,其中0 R y2）两点，因为0 A10 B,所以 xxx2+y2=0.将代入并整理得(1 +攵 2)X X2+k m +x2)+nr=0联立得m2=(1 +Z:2)因为直线AB和圆相切，m I m I因 止 匕R =-由得a=辿3Q所以 存在圆V+y 2 =2满足题意.3当切线AB的斜率不存在时，易得 X；=x；=|,8由椭圆方程得y：=y；=9显然右，为，综上所述，存在圆x2+y2=?满足题意.3解法一：当切线AB的斜率存在时，由得I AB 匕-x2)+(yt-y2)2=Jl +H J(X|一 Iy +k yj(X|+x2)4%|x2-4 x2m2-82k2 +1=4忘5”2 k2+13X2k2+1,k2+n l 1 ,令 t =-，则一 f W 1,2k2+2因 止 匕I AB P=32r(l-O =-y(f-1)2+12.32所 以 二 刍48|212,3即 亚 屋I A B 26.3当切线AB的斜率不存在时，易得1431=生 反，3所以生AB l 273.3Q综上所述，存在圆心在原点的圆/+/=2满足题意,3且 还 WI4BK 2 A3解法二：过原点0作。_LA 8,垂足为D,则D为切点，设 N 048=6,?/7且。为锐角，且IA O I=B-3 tan。2/6BD l=tan,3所以 I AB 1=豆5(tan 6+!).3 tan。因为 2WIO4K 272,所以 tan0 W 5/2.2令x=tan。，易证：当xeY 2,l时，ABI=2(x+3单调递减23 x当xel,、历时，1481=2匹。+!)单调递增.3 x所以亚 Wl AB l =4（左1）+巳,代 入 二+2 _=1.得2 4 33(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-1 2 =03设 凤4，%）/舟,%）.因为点A（l,京在椭圆上，所以4（；一幻2 一1 2yE=k xE +-k-又直线A F的斜率与A E的斜率互为相反数，在上式中以-女代A,可得4（；+女 产=kxp4-F k.所以直线EF的斜率 .=也 二=-（/+2k=J.xE-xF xF-xE 2即直线EF的斜率为定值，其值为2与x +多=18.【解析】：（1）（方法一）由“力b2.2,y=F（a-xox）得 a。，2 J 9代入椭圆方程a-木(3+里 E-哈 x +(-l)=O.得。一 a 九 a yofx0=6 Z CO S/3将b o =bs i”代入上式，得一-2a cos 0 x+a1 cos2 0 =0.从而 x =acos/I因此，方程组f 2 2x +-1-十,-12 12a b n 有唯一解冬+*a b与）=凡即1 1与椭圆有唯一交点P.（方法二）显然P是椭圆与1 1的交点，若。（“cos四/s in j）,We 0）（A H =3,2X2 2 _4y=1 解得彳=2,双曲线C的方程为2（2）直线a：_y =o.直线I的点方向式方程为：土 半1 =2,即：kx-y +3y/2k=0|3瓜|厂 V2由题意，得1=1 =，解得女=注V1 +P 2（3）证法一设过原点且平行于 的直线Mx-=，则直线I与b的距离d=#也 时,d7I7F 2瓜又双曲线C的 渐 近 为xy2y=0.双曲线C右支在直线D的右下方，双曲线右支上的任意点到/的距离大于瓜故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线 的距离为瓜 证法二 假设双曲线c右支上存在点（x。”。）到直线 的距离为 瓜kx0-y0+342k 二 五 J1 +/则.石 2；2,（2）由 得 知=何）+3岳 土 后J1 +6设f=3缶 土 质J1 +Y,V2k -当 2时，t=3亚k+R.g H 0_ _ _ _ _ I 2 1t=3扬:-V6 -V1 +P=屈义 0.京+J1 +-2将M)=5+，代 入 得(1 2k)%Q 4%比0 2(广+1)=0 (*),V2,、k ,t 02:A-2k2 0,-4泣 0,-2 2 +1）2 =(x -l)2,y2 =Tx.此轨迹是抛物线.(方法二)因为点M在线段P R 的垂直平分线上，所以I MF；1=1 M P I.即 M到 F i的距离等 于 M到/1 的距离.此轨迹是以F 1 (-1,0)为焦点乙：x =l 为准线的抛物线，轨迹方程为y2=-4x.