高考数学重点难点复习（24）：直线与圆锥曲线.pdf

难点2 4 高考数学重点难点复习：直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.难点磁场()已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上，直 线 y=x+l与椭圆交于P 和。，且。PLOQ,IPQ=叵，求椭圆方程.案例探究 例 1如图所示，抛 物 线 的 顶 点 为。，点 A 的坐 1 J标为(5,0),倾斜角为7 的直线I与线段0 4 相交(不经过点。,或点力)且交抛物线于M、N两点，求AAMN面积最大时直线/的方程，并求aA M N 的最大面积.命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法一 一“韦达定理法”.属 级题目.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定？的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.解：由题意，可设/的方程为y=x+?,一 5Vj y*_L.由方程组上，消去y,得 f+Q/n-4)x+加2=0y=4x 直线/与抛物线有两个不同交点M、N,方程的判别式 4 =(2 m4)24 m2=1 6(1?)0,解得加 0,即k V,又R W 五，故当k -6 或一戊 k 6 或 叵 k 2时，方程(*)有两不等实根，/与C有两个交点.当4V0,即时，方程(*)无解，/与。无交点.综上知：当女=四，或A=a,或左不存在时，/与。只有一个交点；2当 及 V k ,或一 6 V k 6,或 k 3时，/与C没有交点.2(2)假设以Q为中点的弦存在，设为A 3,且43别)乃(MJ)则2 x/以2=2,2也2)=2 两式相减得：2(X X 2)(X 1+X 2)=S 一 丁2)。1+丁2)又 V x1+x2=2 j i+y 2=2 2(xX2)=yy即/CAB=2X j -x2但渐近线斜率为土 V 2，结合图形知直线A B 与 C 无交点,所以假设不正确，即以。为中点的弦不存在.例3如图，已知某椭圆的焦点是为(一4,0)、2(4,0),过点F 2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且1丹8+1&8=1 0,椭圆上不同的两点A(x i,y i),C(X 2 j 2)满足条件：F2B.I F 2 c l成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦4c的垂直平分线的方程为y M x+冽，求m的取值范围.命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单,第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属支级题目.知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.错解分析：第三问在表达出“匕交儿”时，忽略了%=0时的情况，理不3 6清题目中变量间的关系.技巧与方法：第一间利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦4C的中点P的纵坐标光,利用%的范围求m的范围.解：由椭圆定义及条件知，2 a=炉固+l&8=10,得。=5,又c=4,所以b=-Ja2-c2=3.2 2故椭圆方程为j +j =L2 5 9(2)由点8(4,如)在椭圆上，得炉2 8=1如1=2 .因为椭圆右准线方程为x=,离心5 4率为3，根据椭圆定义，有I F 2 A l=(竺一修),因2 c l=d(一X2)，5 5 4 5 4由炉刈、炉2田、旧2。成等差数列,得-(y -Xl)+-(y -X2)=2 X|，由此得出:汨+为=8.设弦AC的中点为尸(xo,y o),则%0=号 也=4.(3)解法一：由 A(X|,y i),C(X2,y 2)在椭圆上.肉2+2 5),=9x2 5 得1 2 2 9x22+2 5 y22=9x2 5一得 9(xi2-x22)+2 5(y12-y22)=0,即 9X+2 5(+)2)(乃 一乃)=o(X工 2)2 2 Xj -x2将也上互=%=4,2 1 *.=打,2 1二2 1=一 _1(Z W O)代入上式，得 9 X 4+2 5%(一2 2 X)-x2 K3伏#0)即攵=死（当k=0时也成立）.36,?s由点尸（4,兆）在弦AC的垂直平分线上，得兆=4 女+加，所 以 用.一 止=y -y o=16一 寸 由点尸（4,死）在 线 段 阴（）与 8 关于x 轴对称）的内部，得一!光，所以一屿m .5 5解法二：因为弦AC的中点为P（4,y o）,所以直线AC的方程为y y o=!（x4）（k W 0）k2 2将代入椭圆方程言+/=L得（9 女 2+2 5）%2 5 O（h，o+4）x+2 5（h，o+4）2 2 5 X 91=0所以制+为=5吗。+4）=8,解 得 修 生 期（当 g0时也成立）9k+25 36（以下同解法一）.锦囊妙计1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2 .当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常 用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常 用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.歼灭难点训练一、选择题v21 .（）斜 率 为 1 的直线/与椭圆二+丁=1 相交于同、B两点，则L 4 B I 的4最大值为（）A.2 B 坐 C.迎 D誓5 5 52 .（*）抛物线）=/与 直 线），=丘+贴#0）交于4、B 两 点,且此两点的横坐标分别为孙孙直线与x轴交点的横坐标是X 3,则恒有（）A.%3=XI+X2B.XX2=XX3+X2X3C.XI+尤 2+%3=0 D.X1X2+MX3+X3XI=0二、填空题3 .(*)已知两点M(l,3)、N(4,-),给出下列曲线方程：4 x+2 y4 4-1=0,2 2？+旷=3,三+/=1,5 J，在曲线上存在点p满足|M P|=|N P I 的所有曲线方程是.4 .()正方形A 8 C O 的边A 8 在直线y=x+4 上，C、D两点在抛物线y 2=x上，则正方形A B C D的面积为.SI*)在抛物线J=i6 x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直 线 的 方 程 是.三、解答题6 .(*幻 已知抛物线y2=2 px(p 0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线I与该抛物线交于不同的两点A、B,且I A B I W 2 P.(1)求。的取值范围.(2)若线段A B的垂直平分线交x 轴于点N,求 M 4 8 面积的最大值.7 .()已知中心在原点，顶点4、A,在x 轴上，离心率e=Y 的 双3曲线过点P(6,6).(1)求双曲线方程.(2)动直线/经过A|JR 4 2 的重心G,与双曲线交于不同的两点、N,问：是否存在直线/,使 G平分线段MN,证明你的结论.8 .(*)已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(g ,0)为圆心，1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点4与A点关于直线y=x 对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线/过点A,斜率为，当O V Z0,0),P(Xl,yi),Q(X2,2)V =X 4 _ 1 o由 o 得(加+几)/+2 /+-1=0,m x 4-ny=1/=4H2-4(m+)(-1)0,即 m+nmn 0,由 OP_L。,所以工|%2+丁1丁2=0,即 2XX2+(X1+X2)+1=O,.2(n-1)一 2 n +1=0,.加+“=2 m+n m n乂 2 4(加 +-mn)_ 710 2m+n 2将加+=2,代入得m n=4由、式得m=-,n=-m=-,n=-2 2 2 2故椭圆方程为上+/2=1或，2+；y2=L歼灭难点训练一、1 .解析：弦长L4B峰亚 4.f方w 警.答案：C2.2.解析：解 方 程 组,a X，得攵X 8=0,可知X|+X2=1%2=-/3=y=kx+b a a2,代入验证即可.k答案：B二、3.解析：点尸在线段M N的垂直平分线上，判断M N的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：4.解析：设C。所在直线方程为尸x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出I Q 9 I的长，利用I C D I的长等于两平行直线y=x+4与)，=x+6间的距离，求出匕的值，再代入求出I C D I的长.答案：1 8或5 05.解析：设所求直线与)，=1 6x相交于点A、8,且4(X j i),B(X 2,y2),代入抛物线方程得 yj=1 6x i,”2=1 6X 2,两式相减得，。1+/2)O l-y2)=1 6(X X 2).即 2 1二 也=_ _ =必 s=8.西 一 工2 y+乃故所求直线方程为y=Sx 1 5.答案：8 x y1 5=0三、6.解：设直线/的方程为：y=x一。,代入抛物线方程得(九一。尸=2/即%2-2(Q+)X+Q2=0I A B I=V 2 y)4(a+p)2-4a2 W 2 P.*.4 a p+2 P即 4印 p2又 V/?0,.QW.4(2)设4(x i J 1)、3 a 2,2)，4 8 的中点 C(x,y),由(1)知，yi=x-a,y2=%2-a阳+X2=2 a+2 p,则有 4 3 1 =0 +小=9 1 =山=02 2 2线 段A B的垂直平分线的方程为y p=(x a p),从 而N点坐标为(+2 p,0)点N到A B的距离为-+2-1=岳V 2从而 SNAB=-V 2 -4(.+p)?一 4 c J 6 P =2 py)2 ap+p2当。有最大值一 时，S有最大值为&p 2.42 27.解：如 图，设 双 曲 线 方 程 为 三-=1.由 已 知 得a2 b2一 与=i d =心2i?，解得/=9,从=1 2.a2 b2 a2 32 2所以所求双曲线方程为二-二=1.9 1 2(2)尸、4、A 2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(一3,0),其重心G的坐标为(2,2)假设存在直线/，使 G(2,2)平分线段MV,设M(X|,yD，%皿).则有1 2 玉 2-9 月 2=1 0 8.1 2 才-9 为2 =1 0 8 =21.*，.4 尸 士X 1 +x2 4 xt -x2 9 3 3%+y2=4，/的方程为y=g(x 2)+2,1 2 x2-9.y2-1 0 8由，4 ，消去y,整理得/4X+28=0.7=-(x-2)、J.4=1 6-4 X 2 8 0,.所求直线l不存在.8.解：设双曲线的渐近线为产质，由“粤1 =1 廨得仁 1.J&2 +1即渐近线为产土x,又点A关于y=x 对称点的坐标为(0,V 2).,.”=拉=8,所求双曲线C的 方 程 为)2=2.(2)设直线/：尸A(x 后)(0 女 1),依题意6 点在平行的直线/上，且/与/间的距离为V L设直线I ：应有 R k +叫=拉，化简得irT+1 V 2 km=2.把/代入双曲线方程得也2 1 )4 2+2 7丘+/2=0,由 A=4m2k2-4(铲1)(加 2 2)=0.可得/+2 必=2、两式相减得k=3 m,代入得加2=|,解 设 口 省 人 手，此时x=*=2 叵 产 M.故 B Q 叵，屈）.k 1