2020年概率论与数理统计期末考试题库288题（含答案）.pdf

2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题 含答案一、选择题I.若随机事件A，8的概率分别为P（A）=O 6,P（B）=0.5,则A与B-定）。A.相互对立 B.相互独立 C.互不相容 D.相容2.设 总 体X的概率密度函数是I2TI5-0 0 X r）-l n S2 v 7 2 2 31dlnL 1 0 时，F Z g=P(Z W z)=P(m ax(X,Y)W z)a e-a xdx(3e-pydy “_)=P(X W z,Y W z)=P(X W z)P(Y W z)=J。J o =-e 八i e)。因此，系统L的寿命Z的密度函数为d 、a e +pe-pz-(+J3)e-a+f i)z,z0 F7(Z)=f7 M-d z ，2)近 似 于(B)。.,y-4 0 y-4 0A (y)B V 2 4 c.(y一4 0)D.”(2 4)8,若E(X K)=E(X)E(y),则(D)。A.x和y相互独立 B.x与y不 相 关c.DXY)=DX)D(Y)Do(x+y)=o(x)+D(y)9.已知连续型随机变量x的分布函数为F(x)=A +B ar ct an x求(1)A,B；(2)密度函数 f(x)；(3)P(l X 2)oTT(1)lim F(x)=A+-B =lXT+OO 2TTlim F(x)=AB=OXfF 2解：A=1/2,B =l/兀(2)/W=F，(X)=51 car ct an z(3)P (0 X 2)=F(2)F(0)=10.设随机事件A.B 互不相容，P(A)=p,P(B)=q,则 P(M)=(c)。A.(i-p)q B.pq C N D.P11.甲.乙.丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2,各机床所加工的零件合格率依次为9 4%,9 0%,9 5%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。解 设 4,4 2,表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。(2 分)则所求事件的概率为PS P(AIB)_ P(A)PSIA)-E-斤Fi=答：此废品是甲机床加工概率为3/7 ox0.062=0.5 x 0.06+0.3 x 0.10+0.2 x 0.05371 2 .若 A.B 相互独立，则下列式子成立的为(A )。AP(AB)=P(A)P(B)B.P(AB)=O c P(A B)=P(B A)DP(A|B)=P(B)1 3.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设 零 件 长 度 X 服 从 正 态 分 布 N (口，1)。求 口 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间。(已知：.(9)=2.2 6%,.。5 (8)=0.3 鹤 邙亍一.解：由于零件的长度服从正态分布，所以 品 *(7|o g =0959(X 0025 r=，X+“0.025 -p7)工=4 xi 6所以的置信区间为 7n 经计算的置信度为0.95的 置信区间为(6-1.96x 1,6+1.9 6 x 1)即(5 347,6.653)1 4.已知连续型随机变量X的概率密度为=2x0,其x e它(0,A)求(1)A；(2)分布函数 F(x)；(3)P(-0.5X l)o )(1)J 于(x)dx -2x dx =A2-I解：A =1(2)当x ()时，F(x)=f =0J-00当0 4 x 1 时，F(x)=f(t)dt=2tdt=x2J-co J o当x 2 1 时，F(x)=f=1J-000,x 0故 F(x)=x2,0 x 1(3)P (-0.5X l)=F(1)F(-0.5)=l（6V =1 5.已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为 V6 9计算随机向量（X +Y,X Y）的协差矩阵（课 本 1 1 6页 2 6题）解：D X=4,D Y=9,C O V（X,Y）=6D(X+Y)=D X +D Y +2 C O V(X,Y)=2 5D(X-Y)=D X +D Y -2 C O V(X,Y)=1C O V (X +Y,X-Y)=D X-D Y=-5(2 5-5故(X+Y,X-Y)的协差矩阵(一5 11 6.已知随机变量X 和 y相互独立，且它们分别在区间-I,3 和 2,4 上服从均匀分布，则 凤X K）=（人）。A.3 B.6 C.1 0 D.1 21 7 .一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是 0.3,加工零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。解：设G,G,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。（1）机床停机夫的概率为P（B）=P（C J.P（D|G）+P（G）P（D I 4）=-x 0.3+-x 0,4=（2）机床停机时正加工零件A的概率为P(G I 0 =P（G）.P（OG）P（D）ix 0.3 二3=2U 1 1301 8.设（X）为标准正态分布函数，f l,事件A发 生.X.）近 似 于（B）。（广 叩）（上吟A.（y）B,、叩（1 一 P）C.一）D,秋（1 一 P）1 9.己知随机变量X的概率密度为/x（x）,令y =-2X+3,则Y的概率密度人 ）为（A ）A.2 2 B.2 2 C.2 2 D.2 22 0.连续型随机变量X的密度函数f（x）必满足条件（C ）。A.0 /（x）/2（x）必为密度函数22.设 随 机 变 量 X N(u,9),Y-N(Pl=PX +5，则(B)。A.plp2 D.pl 与 p2 的关系无法确定25),记23.设（%）为标准正态分布函数,X =卜，鬻:发生一，2,1 0 0,y0,?All 且 P(A)=0.5,X?,X(x)相互100y=X独立。令 i ,则由中心极限定理知y 的分布函数/（）近 似 于（B）。.z y 50 y 50A（y）B 5 c （y-5 0）D 2524.某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得元=1 4 6厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日样？（a=0。5）（同步52页四.2）【不一 样】25.若 E（X D =E（X）E（y）,则）。A.x 和 y 相互独立 B.x 与 丫不 相 关 c.D（XY）D（X）D（Y）DD（x+y）=z）（x）+D（y）26.设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发 到 100发的概率。（同步46页四.1）解：设 X 表示400发炮弹的命中颗数，则 X 服从B（400,0.2）,EX=80,DX=64,由中心极限定理：X 服从正态分布N（80,64）P 60X 100 =P-2.5（X-80）/8 （2.5）-1 =0.987627.下列事件运算关系正确的是(A)。A.B=BA+BA B,B=8A+8A c.8 =8 4+BAD.B=l-B28.在假设检验中，下列说法错误的是（C）。A.乩真时拒绝储 称为犯第二类错误。B.应 不真时接受%称为犯第一类错误。C.设 尸 拒绝“0 ”0具 =a ,P 接受a。|”o不具 =0 ,则口变大时变小。D.a.夕的意义同(C),当样本容量一定时，口变大时则万变小。p(X k)+129.设离散型随机变量的概率分布为 1 0(B )A.1.8 B.2 C.2.2 D.2.4=0,1,2,3,则 E(X)=v f l,事 件A发 生X=0 时，FZ(z)=P(Z z)-V aem dxV pe-pydy-(a+P)z=lP(X z,Y z)=lP(X z)P(Y z)=&=I-e 因此，系统L的寿命Z的密度函数为de,、丁 尸z(z)=,q r,、dz 2 出=_(a+)e-(a+0 z0,z 0z(x-y)-V28*V4-V28，28-2、-2 4所 以，(X+Y,X Y)的 协 方 差 矩 阵 与 相 关 系 数 矩 阵 分 别 为 I 和V284 13 6.抛掷3 枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是(A)0.125,(B)0.25,(C)0.375,(D)0.537.设随机变量X 的概率密度为/(x)=ce ,贝|jc=。J_ j_(A)-2(B)0(C)2(D)138.某厂由甲.乙.丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格产品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。(同步45页三.1)解：设 AI,A2,A 3分别表示产品由甲.乙.丙车间生产，B 表示产品不合格，则 Al,A2,A3 为一个完备事件组。P(Al)=l/2,P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,P(B|Al)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09由贝叶斯公式：P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/939.某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零件中任取9 件测量后得亍=0.146厘米，S=0.016厘米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？(己知：a =0.05,05(9)=2.262,Zo 05(8)=2.306,w0025=1.9 6)解：待检验的假设为 _ yr ：=1 3 选择统计量 当。成立时，T t(8)P 启3(8)=0-05 取拒绝域 W=(|T|2.306)0.146-0.13.=0.016/=拒绝”。，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有由已知|7|2.306显著差异。40.某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm,标 准 差 为 0.15cm。今从一批产品中随机抽取1 6 段进行测量，计算平均长度为亍=10.48cm。假设方差不变，问在a =0 0 5 显著性水平下，该切割机工作是否正常？(已知：%05(16)=2.12,r005(15)=2.131,70025=1.960)。=学(7/解：待检验的假设为：=105选择统计量/以当“。成立时，UN（O,1）P|U|”0025=0.05由已知M U%。x-/J10.48-10.5o.iy/4Q=一 =0.53315取拒绝域w=IUL960接受”。，即认为切割机工作正常。41.已知某味精厂袋装味精的重量X N(，a),其中=15,b 2=0.0 9,技术革新后，改用新机器包装。抽查9个样品，测定重量为(单位：克)42.一批螺丝钉中，随机抽取9个，测得数据经计算如下：x=1 6A0c m,s=2 A 0 c mQ设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差b?的置信度为0.95的置信区间。(已知：ZO.O252(8)=17.535,ZO.9 7 52(8)=2.1 8;ZO.O252(9)=19.02,Z o.9752(9)=2.7)解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以W=(_DS_./(1)2 2a2)P ZO O2 52(8)W ZO,9 7 52(8)=0.9 5(/?-l)S2(-l)S2 的 置 信 区 间 为：院。就975(-1)，8x2.102 8x2.102、M 的 壁 产 由e中斗，I 17.535 2.180)n n(2.012,16.183)的置信度0.95的置信区间为 即 ，43.随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s),设炮口速度服2从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差 一的置信度为0.95的置信区间。(已 知:Z0.0252(8)=17.535,ZO9 7 52(8)=2.1 8；%/=19.02,Zo9752(9)=2.7)因为炮口速度服从正态分布，所以W =(T)S _/(_)2 2/力()P ZO.O2 52(8)W ZO.9 7 52(8)=0.9 5(-1炉 (n-l)52 的置信区间为：1总。25(-1)Z0.975（8 x 9 8 x 9 的置信度0.95的 置信区间为（17.5352.18即(4.1 0 6,33.0 2 8)44.若随机事件A 与 8 相互独立，则 P(A+8)=(B)。AP(A)+P(B)B.P(A)+P(B)-P(A)P(8)c P(A)P(B)P(A)+P(B)45.工厂生产一种零件,其口径X（单位:毫米）服从正态分布N（，b2）,现从某日生产的零件中随机抽出9 个，分别测得其口径如下：46.连续型随机变量X 的密度函数f（x）必满足条件（C）。A.0 /（x）40047.随 机 向 量(X,Y)服 从 二 维 正 态 分 布，均 值 向 量 及 协 差 矩 阵 分 别 为葭-2、MJ C T2)计算随机向量(9 X+Y,X-Y)的协差矩阵(课本116页 33题)解：E(9X+Y)=9EX+EY=9u 1+口 2E(X-Y)=E X-E Y=u 1-M2D(9X+Y)=81DX+DY+18 COV(X,Y)=81 o 12+18 P。1。2+。22D(X-Y)=DX+DY-2 COV(X,Y)=。122 P。1。2+o 22COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8 COV(X,Y)=9。128 P。1。2 o 22然后写出它们的矩阵形式(略)4 8 .某 人 外 出 可 以 乘 坐 飞 机.火 车.轮 船.汽 车 四 种 交 通 工 具，其 概 率 分 别 为5%.15%.30%.50%,乘 坐 这 几 种 交 通 工 具 能 如 期 到 达 的 概 率 依 次 为100%.70%.60%.90%。求该人如期到达的概率。解：设 A,4 2,4 3,分别表示乘坐飞机火车轮船汽车四种交通工具，B表示如期到达。4P（B）=ZP（A）P（B IA）则 M=0.0 5 x 1 +0.1 5 x 0.7 +0.3 x 0.6+0.5 x 0.9 =0.7 8 5答：如期到达的概率为0.785。四（1）设随机变量X 的概率密度函数为Ax,0 x l)=1。，其它求(1)A；(2)X 的分布函数 F(x)：(3)P(0.5 X 2)(1)j+f(x)dx =Ax dx =-x2 lo=-=l解：A=2(2)当x 0 0寸，F(x)=V f(t)dt=0J-当0 x 1 时,F(x)=j f (t)dt=，2tdt=10,x()故 F(x)=*x2,0 x l P (1/2 X 2)=F(2)F(l/2)=3/4X j=49.设（X）为标准正态分布函数，1,事 件 A 发 生二，i=l,2,，100,O,否 则 且P(A)=0.6 X ,X 2,1 0 0X侬相互独立.令 则由中心极限定理知y的分布函数F（）近 似 于（B ）。,z y 6 0（-i）A.（B.V24C-中5 0.6 1 4.7 1 5.1 1 4.9 1 4.8 1 5.0 1 5.1 1 5.2 1 4.7已知零件口径X的标准差b =0 1 5 ,求的置信度为0.9 5的置信区间。(已知：,0 5(9)=2.2 6 2,Ta(8)=2.3 0 6,UOO25=1.9 6 0 )U -N（0,1）解：由于零件的口径服从正态分布，所以口 屹1 0.0 2 5 =0 9 5所以的置信区间为:(_ (T _(X -“0.0 2 5 /+“0.0 2 59亍=/工 七=1 4.9经计算 7的 置 信 度 为0.9 5的 置 信 区 间 为（1 4.9-1.9 6 X竽,1 4.9 +1.9 6 x明 即(1 4.8 0 2 ,1 4.9 9 8)51.已知连续型随机变量X 的概率密度为/(x)=k x+1,0,0 x 2其它求(l)k；(2)分布函数 F(x)；(3)P(1.5X2.5)(1)J：f(x)d x=J：(依+1心=(#+x)|：=2k+2=1解：k=-l/2(2)当 0H寸，/(x)=f(t)d t=0J-0 02当0 4 x 2 时，F(x)=/辿=(-().5/+lWr=-土+xJ Jo 4当xZ 渊.，F(x)=f f(t)d t=1J-0 00,x()2故 F(x)=-+x,0 x 2 P(l.5X2.5)=F(2.5)F(1.5)=1/1652.设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9 名女生，测得数据经计算如下：元=1 6 2.6 7CT M,s=4.20cm。求该校女生身高方差/的置信度为0.9 5 的置信区间。(已 知:ZO,O 2 52(8)=17.535,ZO9 7 52(8)=2.1 8；4 0-(9)=19.02,Zo9752(9)=2.7)解：因为学生身高服从正态分布，所以/小)P AO2 52(8)W 975(-0 j /的 置 信 度 0.9 5 的置信区间为 8 x 4.22 8 x 4.22、17.535 2.180)即(8.048,64.734)53.某车间生产滚珠，其直径X N(，0.0 5),从某天的产品里随机抽出9 个量得直径如下(单 位：毫 米)：5 4 .若事件A，42,两两独立，则下列结论成立的是(B )。A.4，相互独立 B.4,况，4 两两独立Q P(A A 2 A 3)=P(A|)P(A 2)P(4)D 4，4 2，&相互独立5 5 .设总体X的概率密度函数是 )2/(K )=/e -,00 X+8%,尤2，Z 是一组样本值，求参数的最大似然估计？解：似然函数1=-exp严)n2“0.025 =0 05 取拒绝域 w=,L960 _ Ix-z/l 14.967-15 c”经计算M=Me。接受口。,即可以认为袋装的平均重量仍为15 克。5 7 .某 人 外 出 可 以 乘 坐 飞 机.火 车.轮 船.汽 车 四 种 交 通 工 具，其 概 率 分 别 为5%.1 5%.30%.50%,乘 坐 这 几 种 交 通 工 具 能 如 期 到 达 的 概 率 依 次 为100%.7 0%.6 0%.9 0%。已 知 该 人 误 期 到 达，求 他 是 乘 坐 火 车 的 概 率。(10 分)解：设 4,为，4 3,4 4 分别表示乘坐飞机,火车.轮船.汽车四种交通工具，B表示误期到达。则p（A 1 0=2 4 4）f（4）p 4）P 的 P（4）P（B|4）=10.15x0.30.05x0+0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1答：此人乘坐火车的概率为0.209。=0.20958 设 X 的 分 布 函 数 F(x)为：-0 x-0.4-1 X1F(x)=0.8 l x)ff(,x,、1。,y)=、(1)求系数A；x 0,y0;其它.(2)判断X,Y 是否独立，并说明理由;(3)求 P 03%心可得A=12。(2)因(X,Y)关于X 和 Y 的边缘概率密度分别为3e-3x,0;fY(y)=i。其 它x 0;则对于任意的(乂)e 均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X 与 Y 独立。(3)P 0WXW1,OWY1=12e-0 x+4.v)公 力=3eadx 4/4 vdy(-e-3：叫)=(i _ e-)(i _ e-4)4 5、5 96 1.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V 为 )求随机向量(XY,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5_ C o u(x-y,x +y)_ _5 _ -5P x-Yx+Y D(X Y)g x +Y)V23*V3 769“23-5、所 以，(X Y,x +Y)的 协 方 差 矩 阵 与 相 关 系 数 矩 阵 分 别 为 V5 1 3 J 和r.-5)1 病2IIV696 2.设随机向量(X,Y)联合密度为8 x y,f(x,y)=1 0 x 1;其它.(1)求(X,Y)分别关于X和 Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。解：(1)当 x l 时，fX(x)=O；当 0 4力 时，fX(x)=J 二 八 3办 可 8 孙 办=4 卜 4-4%-4 x:0 x 1,0 其它因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX (x)=15 出口当 y l 时，fY(y)=0;当。小 1 时，fY(y)=J 泌=4 y .-.4/.4 y 3,0 y P0,则(口)。P(A)=1-P(B)R P(A 8)=P(A)P(B)P(A u 5)=lD.P(AB)=16 6.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A ）.2 1 2 1 2!A.42 B.0：C,P；D,4!3.已知 随 机 变 量x的概率密度为/x（x）,令y =-2X,则 丫的 概 率 密 度 人（）为（D ）oA.2R（-2 y）B/X（一/c.T、r）4.设随机变量X /（幻，满足/（X）=/（一%）,A）是3的分布函数，则对任意实数a有（B ）。aF（-a）=l-J07 W x p F X E E C D.F（-a）=2 F（）-l5.设（%）为标准正态分布函数，f l,事 件A发 生；X,=4 b i z =l,1 0 0,、（），否 则；且 P（A）=0.8,X ,X2,-,X|0 G 相100r =x,.互独立。令,则由中心极限定理知丫的分布函数/（）近 似 于（B）。T）A.（y）B,4 c.（1 6 y +80）D （4 +80）1.设A,8为随机事件，P（B）0,P（A|B）=1,则 必 有（A ）。A P（AD B）=P（A）B.A n B C./人）=口0 D,P（A 8）=P（A）2.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4,他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（C）。（3 （-）2x l （l）2x-C（-）2A.4 B.4 4 c.4 4 D.46 7.设（X）为标准正态分布函数，f l,事 件A发 生Xt=i=l,1 0 0,、0，6人（J 且 P（A）=0.2,X ,X?，,X i o y 相互100独立。令 1-=，则由中心极限定理知丫的分布函数/（）近 似 于（B）。（y-2 0）A （y）B.4 c（1 6 -2 0）口 （-20）6 8.6 5 7 7 7 0 6 4 6 9 7 2 6 2 7 1设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其标准差为4.583 试在显著水平。=0.0 5下，检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异？（已知：（8）=2.3 0 6,（9）=2.2 6 2,仁 切=1.9 6 0 ）解：待检验的假设为。：=7 2选择统计量一%当。成立时，T 尸|乃 八(8)=0.05取拒绝域 w=l l 2.3 0 6 1 9x=-Z x,.=6 8.6 6 7经计算 9 M6 8.6 6 7-7 24.58%=2.1 82T /2(x)必为密度函数7 2.若 A.B相互独立，则下列式子成立的为(A)。A P(AB)=P(A)P(B)B.P(A8)=0 c P(A B)=P(B A)DP(A|B)=P(B)9 2、2 173.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V 为)求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+l+2*2=14D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+l-2*2=6Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=9-1=8_ C“n(X+y,X-y)_ 8 _ 4Px+YxY Jz)(x +y)z)(x-y)-V u*V 6-V21U 4、Q所 以，(X+Y,X-Y)的 协 方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1 /和74.若 随 机 向 量(x,y)服 从二 维 正 态 分 布，则 x,y 一 定 相 互 独 立；若P x y=O,则 X,y 一定相互独立；X 和 y 都服从一维正态分布；若 X，y 相互独立,则Cov(X,Y)=0。几种说法中正确的是(B)。A.B.C.D.75.(X,y)是二维随机向量，与 Cov(X,y)=不等价的是(D)AA.(x y)=E(X)E(Y)O口 .D(X+y)=D(X)+D(y)r D(X-Y)=D(X)+D(Y)D.x和 y 相互独立7 6.已知随机变量X N(0,1),求 Y=|X|的密度函数。解：当 yWO 时，FY(y)=P(Y W y)=P(|X|y)=0；当 y0 时,F Y(y)=P(YWy)=P(|X|W y)=X)=ay因此，fY(y)=9 J-7 7.设（X）为标准正态分布函数，1,事 件 A 发 生X,=广 二，i=l,2,，100,、0,否 则 且 P（A）=0.2,X,X?,，Xoo 相互100r =x,.独立。令 闫，则由中心极限定理知y 的分布函数/（）近 似 于（B）。2）A.（y）B.F-c （16丁一20）D（4 y-2 0）7 8.设总体X 的数学期望EX=U ,方 差 D X=o2,XI,X2,X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列的估计量中最有效的是（B）A.-X.+-X,+-X,B.-X,+-X,+-X,4 1 2 2 4 3 3 3 2 3 33 4 2 I 2 1C.-X.4-X,X、D.X、+X,+X 5 1 5 2 5 3 6 1 6 2 2 37 9.设 Xu是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（A）。A=-i +3X 2A.2 2 =_2 X 1+23 X,5 1 5 2B.亨/=-X,+-X,C.4 1 4 2D.80.已知随机变量X 的概率密度为/x（x）,令 y =-2 X,则 y 的概率密度人（历 为（D）,4 2 人（一 2刃 B.K）c.一 （/）D.HT）81.已知A.B.C为三个随机事件，则 A.B.C不都发生的事件为（A）。A.A B C B.ABC c.A+B+C D.ABC82.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4,他连续射击直到命中为止，则射击次数为3 的概率是（C）。（3 （-）2x l （l）2x-C（-）2A.4 B.4 4 c.4 4 D.483.设随机变量*/（为，满足/（x）=/（一%）,P（x）是 x 的分布函数，则对任意实数 有（B）,1 F（-a）=2 尸（a）-184.设 随 机 变 量 X N（u,9）,Y N（N ,25）,记Pi=PX 4 _3,以=丫 N +5,则（B）,A.plp2 D.pl 与 p2 的关系无法确定85.袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课 本 117页 41题）86.设 XU(0,2),则 Y=X2在(0,4)内 的 概 率 密 度 人(四=()答1案 填：3，/、I ,0 x 2./(%)=2解：XU(0,2)O O t h e r s,弓(y)=PY y=PX2y=P -X =f(x)dxfx(A/)Tr=fx(-V 7)(-Y7=求导出/y(y)=2y/y 2yy _ 4-J y(0 y 4)8 7.设某厂生产的一种钢索，其断裂强度Xkg/cm2服从正态分布N S 4。?）.从中选取一个容 量 为 9 的样本，得又=78 kg/cm2.能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2（a =O.O5）.解：HO：u=800.x -0采用统计量u=/其中。=4 0,u 0=8 0 0,n=9,U“c =0.0 5,查标准正态分布表得2=i.9 6,780-800,ci u i=/a ,ua|U|0,05(8)=()-5取拒绝域亚=IT 2.3 0 6 由已知1070-1120|T|UQ025=0.05|U|J 9.9 2 O=OJ 4/2取拒绝血2 1 9 6 0 经 计 算 元=到=1 9.9 5 i 960接受“。，即认为表壳的均值正常。95.某岩石密度的测量误差X 服从正态分布NG0，。2)，取样本观测值16个，得样本方差S:0.0 4,试求的置信度为95%的置信区间。(已知：设0252a6)=28.845,Z o9752(16)=6.908；Z o.o252(15)=27.488,Zo9752(15)=6.262)解：由于X N(b),所以w=5一bP ZO.O 2 52(1 5)I V 00,其它求(1)A,B；(2)密度函数 f(x)；(3)P(1 X 0 x 0-1/2-2(3)P (1 X 01110，x 4 0本巴 ,，x“)的似然函 数n n101 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为/(%)=0,0)0,x 是二维随机向量，与 CmX，y)=不等价的是(D)A E(X Y)=E(X)E(Y)R D(X+y)=3(X)+O(y)r D(X-Y)=D(X)+D(Y)D.x 和 y 相互独立104.设(X X2，X”)为总体N(l,2?)的一个样本，又 为样本均值，则下列结论中正确 的 是(D)。C.磊A.X-2/V f()|(X,.-l)2 F(n,l)B.4 fD.-1)2 /()4 1=l；1 .已知A.B.C为三个随机事件，则 A.B.C不都发生的事件为(A)。A.A B C B.A B C C.A+B+C D.ABC2.下列各函数中是随机变量分布函数的为(B)00 x 0、1尸(X)=0A.1+xB.、l+xj、31C F(x)=ex,-co x 00F(x)=7D.4+2万arctgx,-o o x Q,y 0;0,其它.(1)求系数A；(2)判断X,Y是否独立，并说明理由;(3)求 P 0W X W 2,0 W Y W 1 。rrVaygdy=T 距3 3”6=ApV2 d.r -3讪.()由=00 J-8 J o J o J o J o=A(-e-2x)(一1 1、)=2 o 3 o 6可得A=6。(2)因(X,Y)关于X 和 Y的边缘概率密度分别为2 e 2,x 0;3 e _3 ，,y 0;r v/、，其它 知 r v/、1，其它f X(x)=i 和 f Y(y)=，则对于任意的(X，)e R 均成立f (x,y)=fX(x)*f Y(y),所以X 与 Y独立。&Y 2*+3 )公d 2e-2xdx-(3e-3ydy(3)P 0 W X W 2,O W Y W 1 =J。J。J。J。(-e 叫)(-e 叫)=(l-e-4)(l-e)=：1 0 1 0107.设总体X N(,2-)，其 中 未 知，X|,、2,，X 为来自总体的样本，样本均值为 招，样 本 方 差 为 则下列各式中不是统计量的是(C )。S?X JLI(-1)/2 2A.2 X B.0 C.0 D,b 108.已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.5 5,0.112),现在测定了 9 炉铁水，含碳量平均数元=4.4 4 5 ,样本方差S 2=0.016 9。若总体方差没有变化，即。2=0.12 1,问总体均值U 有无显著变化？(a =0.0 5)(同步5 0页四.1)解：原假设HO：u =4.5 5U 二元-4.5 5统计量 SU/J 5,当 H 0 成立时，U 服从N(0,1)对于 a =0。5,U0.02 5=1.96M=4.4 4 5 4.5 50.11/V 9=2.8 6 1.96故拒绝原假设，即认为总体均值口有显著变化109.设随机变量X,Y 相互独立，且均服从 0,1 上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B ）。A.X Y B.(X,Y)C.X Y D.X +Y110.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(A)。A.42 B.0：C,D,4!3 4 2 1 2 1C.-X 1+X,X,D.X,-F X2-X,5 1 5 2 5 3 6 1 6 2 2 3111.设 4 5 为两个随机事件，且 P(A)1,0 P(B)则 必 有(B ).A P(A|B)=P(A|B)B P(AB)=P(A)P(B)(P(A 6)/P(A)P(8)D.A.8互不相容112 .甲.乙.丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的2 5%.3 5%.4 0%,次品率分别为0.03.0.02.0.01 o 现从所有的产品中抽取一个产品，试 求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设 A,4,表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。（1）所求事件的概率为P(5)=尸(A)p(B I A)+P(A2)P(B 4)+p(4)p(5 14)=0.2 5 x 0.03 +0.3 5 x 0.02 +0.4 x 0.01=0.018 5(2)尸（4）p 4）P（B）0.3 5 x 0.020.018 5尸(A|B)=答：这件产品是次品的概率为0.018 5,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为 0.3 8。113 .设随机变量X 的密度函数为f(x),则 Y =7 5 X 的密度函数为(B )A.1 /(-2y-7 )B1 .y-7)5 5 5 5c.-/(-)D.-/(-上)5 5 5 5114.设总体X 的数学期望E X=u ,方差D X=o 2,XI,X2,X 3 是来自总体X 的简单随机样本，则下列P 的估计量中最有效的是(B )A.-X.+-X,+-X,B.-X.+-X,+-X,4 1 2 2 4 3 *53 3-3115.若随机事件A 与 5 相互独立，则 P(A+B)=(B)。A P(A)+P(B)B.P(A)+P(B)-P(A)P(8)c P(A)P(B)P(A)+P(B)X,=代理 件:发 生 1,2,J。，116.设（X）为标准正态分布函数，1，小贝”且1 0 0丫=x,P（A）=0.6,X|，、2,，X 侬相互独立。令 I 则由中心极限定理知y 的分布函数F（）近 似 于（B）。告 竺）（匕 竺）A.（y）B,V24 c（y-60）D.24 117.下列事件运算关系正确的是（A）。A.B=BA+BA B,B=BA+BA c.=BA4-BA D,B=1 B二、填空题118.已知随机变量U=1+2X,V=2-3 Y,且 X 与 Y 的相关系数0 xy=-1,则 U 与 V的相关系数夕 =1 op（x =-i）=p（y=-1）119.随 机 变 量 X与Y相 互 独 立 且 同 分 布，2,P（x=i）=P（y=i）则 小田心。120.利用正态分布的结论，有L 1 2f/-一1（x2 4x+4）e 2 dx J-8 V2r 1 o_ 5J2.设 XB（2,p）,YB（3,p）,且 P X 2 1 =3,则 PY2 1二 3。D（X）二122.设随机变量X 服从 0,2 上均匀分布，贝 iJ【E（X）/I。123.设 X1,X2,Xn是取自均匀分布U 0,的一个样本，其中9 0,再，/是 一 组观察值，则 的极大似然估计量为（X（n）.1 2 4.设随机变量X 服从参数为2 的泊松分布，且 3 r X=N=T*=4 ,则2=6。1 2 5.已知 P(A)=P(B)=P(C)=S25,p(AC)=0,P(AB)=P(BC)=0-1 5,则 A.B.C 中至少有一个 发 生的概率为0.45 o1 2 6.设随机变量 X N(1,4),已知中(0.5)=0.6915,中(1.5)=0.9332,则 0 园 2=0.6247。1 2 7.已知随机变量U=4-9X,V=8+3 Y,且 X 与 Y 的相关系数0 xy=1,则 U 与 V 的相关系数0nz/(.X)-C-X2+2X-_ _ L1 2 8.设随机变量x 的概率密度函数&,则1 2 9.设随机变量X 的概率分布为X-1012P0.10.30.20.4则 PX2N1130.设 X 是 10 次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则(X)=2.4。131.设随机变量X 服从参数为丸的泊松分布