2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习03 轴对称应用—最短距离问题(含详解).pdf

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题0 3轴对称应用一最短距离问题考 试 时 间：120分钟 试 卷 满 分：100分姓名：班级：考号：题号一二三总分得分评卷人得 分一.选 择 题（共10小题，满分20分，每小题2分）1.（2分）（2020八上喀喇沁旗期末）如图,ABC是等边三角形，A D是B C边上的高，E是AC的中点，P是 4）上的一个动点，当P C与P E的和最小时，N E C P的度数是（）A.30B.45C.60 D.902.（2分）（2020八上,霍林郭勒期末）如图,Z A O B =35,C为。8上的定点，M,N分别为射线OA、0 3上 的 动 点.当C M+M N的值最小时,Z O C M的度数为（)A.35B.20C.45 D.553.（2分）（2021八上长沙期末）如图，在AABC中，A B =A C，AD是其角平分线，E是边AB的中点，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于8 P+E P的最小值是（A.BCB.CEC.ADD.AC4.（2分）（2 0 2 1 八上.抚顺期末）如图，点 M,N在直线1 的同侧，小东同学想通过作图在直线1 上确定一点 Q，使 MQ与 QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）5.（2 分）（2 0 2 1 八上绵阳期末）如图，四边形 A B C D 中，NA=/B=9（）,ZC=60 ，C D =2 A D ,A 8 =4，点 P 是 AB上一动点，则P C+P D的最小值是（）B.6C.8 D.1()6.（2分）（2 0 2 1 八上长沙期末）如图，等 边AABC中，D为 AC中点，点 P、Q分别为A B、AD上的点,B P =A Q=4 ,Q D =3,在 BD上有一动点E,则P E +Q E的最小值为（）B.8C.1 0 D.1 2如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是1 8,腰 AC的垂直平分线E F 分别交A C,AB边于E,F点.若点D为 BC边的中点，点 M 为线段E F 上一动点，则ACDM周长的最小值为（）B.8.5C.1 0.5 D.1 3.58.（2分）（2 0 2 1 八上崇川期末）如图，AABC中，A D L B C,垂足为D,A D =B C ,P为直线B C上方的一个动点，P B C的面积等于AABC的 面 积 的-，则 当P B+P C最小时，Z P B C的2度 数 为（）B.45C.60 D.909.（2分）（2 0 2 0 八上三台期中）如图，正 方 形A B C D的 面 积 为 1 6,AABE是等边三角形，点E在 正 方 形A B C D内，在 对 角 线A C上 有 一 点P,使P D+P E的和最小，则这个最小值为C.4 D.底1 0.（2 分）（2 0 2 0 八上宁晋期末）如图，在 R t A B C 中，N A C B =9 0 ,A C =3，B C =4，A B =5,A D平 分Z C A B交B C于点D,E,F 分 别 是 AD,A C边上的动点，则C E+E F的最小值为（）评卷人 得 分二.填 空 题（共 10小题，满 分 20分，每小题2 分）11.（2 分）（2021八上龙沙期中）如图，点尸是N4O B内任意一点，O P=8 cm,点 M 和点N 分别是射线O A和射线O B上的动点，若P N+P M+M N的最小值是8 c m,则Z A O B的度数是（2 分）（2021八上汕头期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2,面积是4,腰 A C的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F 点，若点D 为 BC边的中点，点 M为线段EF上一动点，则ACD M 周长的最小值为13.（2 分）（2021八上.温州期中）如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90,AB=7,点 D 是 A B的中点,点 P 是斜边A B上的一个动点，FG 是线段C P的垂直平分线，Q 是 PG 上的一个动点，则 PQ+QD的最小值为.14.（2 分）（2021 八上苏州期中）如图，ABBC,AD1DC,ZBAD=116,在 BC、CD 上分别找一点M、N,当A AMN周长最小时，/AM N+NANM 的度数是（2 分）（2020八上镇海期中）如图，点 P 是NAOB内任意一点，NAOB=30。点 M和点N 分别是射线OA和射线O B上的动点，APMN周长的最小值是6 c m,则 O P的长是.16.（2 分）（2021八上铁东期中）如图，在R i A B C中,ZACB=90,A C B C ,以3 c 为边在8 c 的右侧作等边4 B C D，点 E 为 8。的中点，点 尸为CE上一动点，连结AP,B P.当A P+B P的值最小时，N C B P的度数17.（2 分）（2021 八上宁波期中）如图所示，ZAOB=50,ZBOC=30,OM=11,0N=6.点 P、Q 分别是 OA、O B上动点，则 MQ+PQ+NP的最小值是.18.（2 分）（2021八上.青羊月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E 为 CD边的中点，若 P、Q 为 BC边上的两个动点，且 P Q=2,四边形APQE的周长最小值为.（2 分）（2020八上温州月考）如图,在四边形ABCD中,N C=72。,ZB=ZD=90,E,F 分别是DC,BC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为.20.（2 分）（2020八上北京期中）如图，已知等边AABC中，ADBC,AD=2若点P 在线段AD上运动，当-AP+BP的值最小时，A P的长为2评卷人得 分三.解 答 题（共 7 小题，满分60分）21.（5 分）（2018八上北京月考）点 P、P i关于OA对称，P、P2关于OB对称，P R 交 OA、OB于 M、N,若 PIP2=8,则AMPN的周长是多少？（10分）（2021八上义乌期中）如图，A、B 两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离A C=10千米，B D=30千米，且 CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水,铺设水管的费用为每千米3 万元.B口（1）（5 分）请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）（2）（5 分）最低费用为多少？23.（10分）（2021八上海珠期末）已知：如图，A ABC中，AB=AC,/A=4 5。，E 是 AC上的一点，Z1ABE=/ABC,3过点C 作 CDJ_AB于 D,交 BE于点P.2（3）（4 分）点 H、（1）（3 分）直接写出图中除A ABC外的所有等腰三角形;G 分别为AC、BC边上的动点，当A DHG周长取取小值时，求NHDG的度数.24.（11分）（2020八上襄汾期末）如 图 1和图2,P是 直 线m上一动点，A、B两点在直线m的同侧，且 点 A、B所在直线与m不平行.%A-mP图2图1（3 分）-mP图3m当P点运动到R位置时，距离A点最近，在 图 1 中的直线上画出点 4 的位置;置;（2）（4 分）当P点 运 动 到 巴 位置时，与 A点的距离和与点距两相等，请在图2 中 作 出P2位（3）（4 分）在 直 线m上是否存在这样一点?点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3 中作出这点，若不存在清说明理由.（要求：不写作法，请保留作图痕迹）,使 得 到 AB25.（7 分）（2021八上五常期末）（1）（3 分）画图探究：如图，若 点 A,5在 直 线m的同侧，在 直 线m上 求 作 一 点p,使A P+B P的值最小，保留作图痕迹，不写作法;.B（2）（4 分）实践运用:m图图如图，等 边AABC的 边B C上的高为6,A D是 边B C上的中线，M 是 A O 上的动点，E是A C的中点，求E M +C M 的最小值.26.（7 分）（2020八上.乌鲁木齐期末）（问题）在 A A B C 中，A C=B C ,Z A C B =90，点E在 直 线B C上（B,C除外），分别经过点E和 点B作A E和A B的垂线，两条垂线交于点尸，研 究 A E 和E F的数量关系.某数学兴趣小组在探究A E，E F的关系时，运用”从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是B C中点时，只 需 要 取A C边 的 中 点G（如 图 1）,通过推理证明就可以得到A E和E F的数量关系，请你按照这种思路直接写出A E 和E F的数量关系；（2）（4 分）（数学思考）那 么 点E在 直 线B C上（B,C除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在 线 段B C上 点E在 线 段B C的延长线上”“点E在 线 段B C的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2 中画出图形，并证明你的结论.27.（10 分）（2021 八上江阴期中）如图 1,已知长方形 ABCD,AB=CD=2,BC=AD=3,N A=N B =ZC=ZD=90,E 为 CD边的中点，P 为长方形ABCD边上的动点，动点P 从 A 出发，沿着ABCE运动到E 点停止，设点P 经过的路程为x,AAPE的面积为y.备用图(1)(1 分)当 x=l 时，y=（2）（4 分）如图2,求出当点P 边 BC时，用 x 的代数式表示y；（3）（4 分）如备用图，当 P 在线段BC上运动时，是否存在点P 使得4APE的周长最小？若存在，求出此时NPAD的度数；若不存在，请说明理由.2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题0 3轴对称应用一最短距离问题考 试 时 间：120分钟 试 卷 满 分：100分一.选 择 题（共 10小题，满分20分，每小题2 分）1.（2 分）（2020八上喀喇沁旗期末）如图，AABC是等边三角形，A D是B C边上的高，E 是 A C的中点，尸是 4）上的一个动点，当 P C 与 P E的和最小时，Z E C P的度数是（）AB D C【答案】A【完整解答】解：如连接BE,PC=PB,.PE+PC=PB+PE=BE,即 BE就是PE+PC的最小值,:ABC是等边三角形，:.ZBCE=60,VBA=BC,AE=EC,BE_LAC,ZBEC=90,A ZEBC=30,VPB=PC,ZPCB=ZPBC=30,30 B.45 C.60 D.90与 A D 交于点P,此时PE+PC最小，,ABC是等边三角形，AD1BC,二 ZECP=ZACB-ZPCB=30,故答案为：A.【思路引导】连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，再利用等边三角形的性质得出NPCB=/PBC=30。,即可解决问题。2.（2 分）（2020八上,霍林郭勒期末）如图,Z A O B =35,C 为。8 上的定点，M,N 分别为射线OA、。8 上 的 动 点.当C M+M N的值最小时,Z O C M的度数为（A.35B.20C.45 D.55)【答案】B.ME=MC,作点C 关于O A 的对称点E,过点E 作 EN 1O C 于点N,交 O A 于点M,；.CM+MN=EM+MN=EN,根据垂线段最短，EN最短，ZAOB=35,ZENO=CFM=90,/.ZOMN=55,NOCF=55,ZEMF=ZOMN=55,ZE=ZMCE=35,二 ZOCM=ZOCF-ZMCE=20.故答案为：B.【思路引导】作点C 关于OA 的对称点E,过点E 作 ENLOC于点N,交 O A 于点M,此时CM+MN=EM+MN=EN,最短，进而根据NAOB=35。，和直角三角形两个锐角互余即可求解。3.（2 分）（2021八上长沙期末）如图，在A ABC中，A B =A C,AD是其角平分线，E 是边A B的中点,P 是 AD上一个动点，则下列线段的长度等于3 P+E P 的最小值是（A.BC B.CEC.ADD.ACB D【答案】B【完整解答】解：如图，连接PC,：AB=A C，AD是其角平分线,B DAADIBC,BD=CD,:.PB+PE=PC+PE,PC+PECE,.P、C、E 共线时，PB+PE的值最小，最小值为C E的长度.故答案为：B.【思路引导】连接P C,根据等腰三角形三线合一的性质可得ADLBC,BD=CD,利用线段垂直平分线的性质可得PB=PC,从而得出PB+PE=PC+PE,当 P、C、E 共线时，PB+PE的值最小，最小值为C E 的长度.4.（2 分）（2021八上抚顺期末）如图，点 M,N 在直线1的同侧，小东同学想通过作图在直线1上确定一点Q,使 M Q与 Q N 的和最小，那么下面的操作正确的是（0 c.D.N0【答案】c【完整解答】作点M 关于直线1的对称点M 再连接M N 交 1于点Q,则 MQ+NQ=M，Q+NQ=MN,由 两点之间，线段最短“，可知点Q 即为所求.故答案为：C【思路引导】先作点M 关于1的对称点M，连接M N 交 1于点Q,即可.5.（2 分）（2021 八上绵阳期末）如图，四边形 A B C D 中，NA=Z B =90,Z C =60,C D 2 A D ,A 3=4，点 P是 A B 上一动点，则P C+P D的最小值是（）B.6C.8 D.10【答案】a完整解答】作D 点关T AB的对称点D,连接CD咬 AB于P,P 即为所求，此时PC+PD=PC+PD=CD1根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小.作 DE_LBC 于 E,则 EB=DA=AD.VCD=2AD,EBCDD二 CD,NDCD=NDDCVZDAB=ZABC=90,四边形ABED是矩形，DD，EC,DE=AB=4,NDCE=NDDC,J ZD,CE=ZDCD,.:ZDCB=60,:.ZDCE=30,，在 RtADCE 中,DC=2DE=2x4=8,.PC+PD的最小值为8.故答案为：C.【思路引导】由轴对称的性质并结合题意作D 点关于A B的 对 称 点 连 接 CD，交 AB于 P,P 即为所求,此时PC+PD=PC+PD三 C D,根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小，所以在RM DCE中，只需求出D C 的值即可求解.6.（2 分）（2021八上长沙期末）如图，等 边A/W C中,的点，B P =A Q =4,Q D =3,在 BD上有一动点E,AB 匕-A.7 B.8 C.10【答案】c【完整解答】解：如图，A/D v M B C 是等边三角形，D 为 A C中点，点 P、Q 分别为AB、AD 则P E +Q E的最小值为（）D.12/.BA=BC，Y D 为 A C 中点,A BD1AC，-：AQ=4,QD=3,AD=DC=AQ+QD=J,作点Q 关于B D 的对称点Q，,连接PQ，交 B D 于 E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ=PQ,.AQ=4,AD=DC=1,.QDDQ=3,.-.CQ=BP=4,：.AP=AQ=IO,vZA=60,：.A P Q是等边三角形，.PQ，=E4=10,APE+QE的最小值为10.故答案为：C.【思路引导】作点Q 关于BD 的对称点Q：连接PQ，交 BD于 E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小值 PE+QE=PE+EQ，=PQ，,进而判断AADQ，是等边三角形，即可解决问题.7.（2 分）（2021八上江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是1 8,腰 A C 的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F 点.若点D 为 BC边的中点，点 M 为线段EF上一动点，则4CDM周长的最小值为（）A.7.5C.10.5D.13.5【答案】D【完整解答】解：如图，连接AM、ADc，CM=AMCM+MD=AM+MDAD即当A、M、D 三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段A D 的长V ACMD 的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD.CMD的周长的最小值为AD+CD：D 为 BC的中点，AB=ACC D B C=1.5,AD_LBC2S A/AIDRr=x3x A D=18C 2；.AD=12/.AD+CD=12+1.5=13.5即ACDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【思路引导】连接AM、A D,由线段垂直平分线的性质可得CM=AM,当 A、M、D 三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段A D 的长；根据等腰三角形三线合一的性质 可 得。=4 8。=1.5,A D 1 B C,利用AABC的面积可求出A D 的长，从而求出此时CDM 的周长2D即可.8.（2 分）（2021八上.崇川期末）如图，A A B C 中，A D V B CB C上方的一个动点，A P B C的面积等于 M B C的 面 积 的-2度 数 为（）A/次、A.30 B.45，垂足为D,A D =B C ,P 为直线，则 当P B+P C最小时，Z P B C的C.60 D.90【答案】B【完整解答】解：SAPBCU SA ABC，A D _L B C ，2二P 在与BC平行，且到BC的距离为-A D 的直线1上，如图,2 1BC,作点B 关于直线1的对称点B;连 接 B C 交 1于 P,贝 IJBB,JJ,PB=P B;此时点;P 至 l B、C 两点距离之和最小,作 PM_LBC 于 M,则 BB，=2PM=AD,VADBC,AD=BC,ABB=BC,BBIBC,.B B C 是等腰直角三角形，/.Z Br=45,.PB=PB,NPBB=NB=45。，.ZPB C=90o-45=45；故答案为：B.【思路引导】P 在与BC平行，且 到 BC的距离为LAD的直线1上，如图，作点B 关于直线1的对称点B，2连接B C 交 1于 P,此时P 到 B、C 两点距离之和最小，作 PM 1B C于 M,则 BB，=2PM=A D,进而得到ABBC是等腰直角三角形，据此解答即可.9.（2 分）（2020八上三台期中）如图，正 方 形A B C D的 面 积 为 16,AABE是等边三角形，点E在正 方 形A B C D内，在 对 角 线A C上 有 一 点P,使P D+P E的和最小，则这个最小值为（）.A.瓜B.3C.4 D.V32C【答案】C【完整解答】连接B D、P B、B D 关于AC对称.:.PB=PD.X-CA PD+PE=PB+P E，当B、P、E 三点共线得PD+PE最小.：.（PD+PE）n=BE=AB=4,选 C.【思路引导】连接B D、PB，由于B D 关于A C 对称，可得P B=P D,由于PD+PE=PB+PE,可得当B、P、E 三点共线得PD+PE最小，最小值等于B E的长，据此解答即可.1 0.（2 分）（2 0 2 0 八上.宁晋期末）如图，在 RtABC 中，N A C 8 =9 0 ,AC=3,BC=4,A B =5 ,A D 平分ZC A B 交 B C 于点D,E,F分别是A D，A C 边上的动点，贝U CE+EF的最小值为（）【答案】B【完整解答】解：如图，在 A B 上取点尸 ，使A尸，连接E F.过点C作 CH LAB,垂足为H.A D 平分 ZCAB,.根据对称可知EF=EF：S c=A B-C H A C B C ,A C B C 12.Cn=-=.A B 5：E F +C E E F +E C ,12.当点C、E、F 共线，且 点F 与 H 重合时，F E+E C的值最小，最小值为 y .故答案为：B.【思路引导】在A B上 取 点 产，使 瓶=瓶，连 接E F.过点C 作C H A.A B ,垂足为H.由A O 平分N C 4B 及对称性，可得E P =E F ，由5MBe=g A C-B C 求出C H,当点C、E、F 共线，且 点F 与 H 重合时，F E+E C的值最小，最小值为C H 的长.填 空 题（共 10小题，满分20分，每小题2 分）1 1.（2 分）（2021八上龙沙期中）如图，点尸是NAOB内任意一点，。尸=8 c m,点 M 和点N 分别是射线OA和射线OB上的动点，若 PN+PM+MN的最小值是8 c m,则/A O 2 的度数是.A【答案】30【完整解答】解：分别作点。关于0 8、0 4 的对称点C、D,连接CD,分别交0 4、0 8 于点M、N,连 接 OC、O D、P M、P N、M N,如图所示:点P关于OA的对称点为D,:.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；点P关于O B的对称点为C,：.PN=CN,OP=OC,NCOB=NPOB,：.OC=OP=OD,ZAOB=-A COD,2PMN周长的最小值是8c%,：.PM+PN+MN=S,D M+C N+M N=8,即 CD=8=0P,：.O C=O I A C D,即 0C是等边三角形，,NCW=60。，二 ZAOB=30,故答案为：30.【思路引导】分别作点P 关于O B、O A的对称点C、D,连接C D,分别交0 4、O B于点M、N,连接0C.0 D、P M、P N、M N,由对称的性质得出 PM=DM,0P=0D,Z D O A=P O A；PN=CN,OP=OC,N C 0 B=N P O B,得出OC=OP=。，Z A O B=-A C O D,证出 OCD是等边三角形，得出/COZ）=60。，即可得出2结论。12.（2 分）（2021八上.汕头期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2,面积是4,腰 A C的垂直平分 线 EF分别交AC,AB边于E,F 点，若点D 为 BC边的中点，点 M 为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】5【完整解答】V EF是 A C的垂直平分线:.A、C 关于EF对称连接AD交 EF于 M 点&则 CM+M D最小值为AD二等腰三角形ABC中，D 是 B C 中点AAD1BC.等腰三角形ABC面积为4：.-B C A D =42AAD=4/.C D M 周长的最小值=4+1=5所以答案为5【思路引导】连接AD交 EF于 M 点，则 CM+M D最小值为A D,因为等腰三角形ABC中，D 是 B C 中点，得出A D L B C,由等腰三角形ABC面积为4,得出AD的值，由此得出答案。13.（2 分）（2021八上温州期中）如图,在直角三角形ABC中，ZACB=90,AB=7,点 D 是 A B 的中点，点 P 是斜边A B上的一个动点，FG 是线段C P的垂直平分线，Q 是 PG 上的一个动点，则 PQ+QD的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】3.5【完整解答】解：如图，连接C Q,连接CD 交 FG 于 Q，,VFG 是线段C P的垂直平分线,/.PQ=CQ,.PQ+QD=CQ+DQ,.当C、Q、D 在同一条直线时，PQ+QD最短,；D 为 AB 的中点，ZACB=90,ACD=-AB=3.5.2故答案为：3.5.【思路引导】连接C Q,连接CD 交 FG于 Q，根据垂直平分线的性质可知PQ=C Q,则当C、Q、D 在同一条直线时，PQ+QD最短，然后根据直角三角形斜边中线的性质，即可解答.14.（2 分）（2021八上苏州期中）如图，ABBC,AD_LDC,Z B A D=116,在 BC、CD 上分别找一点M、N,当A AMN周长最小时，NAM N+/ANM 的度数是【答案】128【完整解答】解：作 A 关于BC和 C D 的对称点A：A ,连 接 A A,交 BC于 M,交 CD 于 N,.A A”即 为&AMN的周长最小值.vZZMB=U6,ZAr+ZAr,=180-ABAD=64,A!M=AM，AN =AN,A ZMA!A=Z M A A，ZN AD=ZA,又+=,ZNAD+ZA=ZANM,ZAMN+ZANM=ZA+ZMAA1+ZNAD+ZA 2(ZA+ZA)=2x64=128,故答案为：128。.【思路引导】作 A 关于BC和 CD的对称点A1,A ,连 接 A A,交 BC于 M,交 CD于 N,根据轴对称的性质，使三角形的三边转化到在同一直线上，使AAMN的周长最小，然后利用三角形内角和定理求H1ZA+ZA=64,再推出N A M N+/A N M=2(N A 4/A),即可解答.15.（2 分）（2020八上镇海期中）如图，点 P 是NAOB内任意一点，NAOB=30。点 M 和点N 分别是射线O A和射线OB上的动点，APMN周长的最小值是6cm,则 OP的长是【答案】6cm【完整解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接C D,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.点p 关于O A 的对称点为C,关于O B的对称点为D,Oc，PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；.点P 关于O B的对称点为D,，PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,/.OC=OD=OP,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60,.COD是等边三角形，.,.CD=OC=OD.PMN 的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNNCD=6cm.故 OP=CD=6 cm故答案为：6cm.【思路引导】设点P 关于O A 的对称点为C,关于O B的对称点为D,当点M、N 在 C D 上时，4PM N的周长最小，故可求解.16.（2 分）（2021八上.铁东期中）如图，在 R t A B C 中，Z A C B =90，A C =B C ,以 B C 为边在 3 c 的右侧作等边&B C D，点 E 为 8。的中点，点 P 为 CE上一动点，连结AP,B P.当A P+B P的值最小时，/C B P的度数为.B【答案】15。【完整解答】解：连接尸。、AD,设 4。与 CE交于点外,3 8 是等边三角形，点 E 为 6 C 的中点,:.N CBD=NBCD=N BDC=60,BC=CD,CELBD,BE=DE,：.CE为线段B D的垂直平分线，：.PD=BP,当点 P 运动时，AP+BPAP+PD,|f AP+PDAD,二当点A、P、。共线时即点尸运动到P i时，AP+8P有最小值，连接8 8，则 8外=。8,N PiBD=Z P D B,又/CBD=ZBDC,:.N C B P 尸NCDPi,:AC=BC=CD,：.N C D P k N C A D,即延长AC至 Q,V ZACB=90,ZBCD=60,NDCQ=90-60=30,又NDCQ=NCDPi+/CAD=2/CDP,：.ZCDPi=5,即/C3Pi=15,；当 A P+B P 的值最小时，Z C B P=15,故答案为：15。.【思路引导】连接尸。、A D,设 A。与 CE交于点丹，因为ABCD是等边三角形，点 E 为 8 c 的中点，得出CE为线段8。的垂直平分线，P D=B P,当点尸运动时，AP+BP=AP+PD,T fiJ A P+P D A D,当点A、P、D共线时即点P 运动到P 时，4P+8P有最小值，连接BP”则 8 P =D P i,得出NCOP产N C A O,延长AC至。，得出/CBQ=15。，推 出 当A P +B P的值最小时，Z.CBP=15。17.（2 分）（2021 八上宁波期中）如图所示，ZA O B-500,ZBOC=30,OM=11,ON=6.点 P、Q 分别是 OA、OB上动点，则 MQ+PQ+NP的最小值是.【答 案 V223【完整解答】解：如图，作点N 关 于O A的 对 称 点N ,则N P=N P，作点M 关 于O B的对称点M.贝 iJ MQ=MQ,A:.MQ+PQ+NP-MQ+PQ+NPMN,当N,P,Q,M 在同一条直线上时取最小值，连 接ON,O M,过 点N 作N E IO M 交0 M 的反向延长线于点E,-.ZAOB=50,ZOC=30,则 ZNOA=ZAOC=ZAOB-ZBOC=20,NBOM=NBOA=50。ZNOM=IZNOA+NCOB+ABOM4Q+30+50=120,/EON=60/NE OM：.ZENO=30/ON=ON=6,OM=OM=11.EO=gNO=3在 RtEO N中，EN=J o W-OE?=后4=3百在 RtEM N中，EM=EO+OM=3+n=4,M N =yEN2+EM2=J（3 g+142=A/223 故答案为：7223.【思路引导】作点N 关于O A 的对称点N，作点M 关于O B 的对称点M，由两点之间，线段最短的性质得：当 N，、P、Q、M在同一条直线上时取最小值，连接ON,O M 过点N作 NELOM，交 OM，的反向延长线于点 E,得/NQA=20。，ZBOM,=ZBOA=50,/N O M，=120。，NEON，=60。，ZENrO=30,然后求出 EO的值，山勾股定理可得EN，然后求出EM，最后在R gE M N 中，运用勾股定理求解即可.18.（2 分）（2021八上.青羊月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E 为 CD 边的中点，若 P、Q为 BC边上的两个动点，且 P Q=2,四边形APQE的周长最小值为.【完整解答】解：在 AD上截取线段AF=PQ=2,作 F 点关于BC的对称点G,连接EG 与 BC交于点即为Q 点，过 A 点作FQ 的平行线交B C于一点，即为P 点，过 G 点作BC的平行线交D C的延长线于H 点.则二 DE=EC=2*-AE=yjAD2+DE2=2V17：GH=DF=6,EH=EC+CH=2+4=6,NH=90。,/GEH=45,EG=672，：.四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP=2V17+EQ+2+AP=2A/T7+EQ+2+QG=2V17+EG+2=2VF7+2+6V2故答案为：2 j 万+2+6正【思路引导】在 A D 上截取线段AF=PQ=2,作 F 点关于BC的对称点G,连接EG与 BC交于一点即为Q点，过 A 点作FQ的平行线交B C 于一点，即为P 点，过 G 点作BC的平行线交D C的延长线于H 点，则四边形APQF是平行四边形，得至I1PA=FQ=GQ,由中点的概念可得DE=EC=2,山勾股定理求出A E,进而得到E G,据此求解.19.（2 分）（2020八上温州月考）如图，在四边形ABCD中，NC=72,NB=ND=90,E,F 分别是 DC,BC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为.【答案】36【完整解答】解：如图，作 A 关于BC和 C D 的对称点A，和 A，连接AA”,交 BC于点E,交 C D 于 F,则AA”即为AAEF周长的最小值,VZC=72%.NDAB=108。，/A A，F+NA”=72。，VZFAA=ZFAB,ZA=ZEAD,，ZFAB+ZEAD=ZFAA+ZA,=72,ZEAF=ZBAD-（ZFAB+ZEAD）=108-72=36.故答案为：36.【思路引导】要 使 AAEF的周长最小，即利用对称的性质，使三角形的三边转化到一条直线上，为此，作A 关于BC和 C D 的对称点A，和 A”，结合对称的性质和三角形内角和定理求出NEAF即可.20.（2 分）（2020八上北京期中）如图，已知等边A BC中，ADBC,AD=2若点P 在线段A D 上运动,当 AP+BP的值最小时，A P的长为；2B I-、cD 作 BE_LAC于点E,交 AD于点P,:ABC是等边三角形，AD1BC,ZDAC=301PE=-AP2当 BP_LAC 时，-AP+BP=PE+BP 的值最小，2此时，EP=PD而 PE=AP22 2 4 AP二-A D =-x 2 =-.3 3 34故答案为：一.3【思路引导】可以作BELAC于点E,交 AD于点P,根据4ABC是等边三角形，A D B C,得NDAC=30。，所以PE=-A P,当 BPJ_AC时，-AP+BP=PE+BP的值最小，根据等边三角形的性质即可求得A P的2 2长.三.解 答 题（共7小题，满分60分）21.（5 分）（2018八上北京月考）点 P、Pi关于OA对称，P、P2关于OB对称，P R 交 OA、OB于 M、N,若 PIP2=8,则AMPN的周长是多少？p,【答案】解:点P、Pi关 于0 A对称，P、P2关 于OB对称,，PM=MPi,PN=NP?；.PIM+MN+NP2=PM+MN+PN=P|P2=8,.PMN的周长为8.【思路引导】利用轴对称解决最短路径问题。22.（10分）（2021八上义乌期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧,它们到河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.Bn （1）（5分）请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）（2）（5分）最低费用为多少？【答案】（1）解：根据分析，水厂的位置M为:图1（2）解：如 图2,图2在直角三角形 BEF 中，EF=CD=30（千米），BF=BD+DF=30+10=40（千米）,BE=VEF2+BF2=V302+402=50（千米），.铺设水管长度的最小值为50千米，.铺设水管所需费用的最小值为:50 x3=150（万元）.答：最低费用为150万元.【思路引导】（1）作点A 关于直线1的对称点E,连接BE交于直线1于一点，即为点M,此时铺设水管的费用最少;（2）过点E 作 EF1.BD交于点F,利用勾股定理求出B E的长，再乘以每千米3 万元，即得最低费用.23.（10分）（2021八上海珠期末）已知：如图，A ABC中，AB-A C,/A=4 5。，E 是 A C上的一点，ZA B E=-Z A B C,过点 C 作 CDLAB 于 D,交 BE 于点 P.32（3）（4 分）点 H、（1）（3 分）直接写出图中除 ABC外的所有等腰三角形;G 分别为AC、BC边上的动点，当 DHG周长取取小值时，求/H D G 的度数.【答案】（I）AADC,ACPE,BCE都是等腰三角形（2）证明：如图，在线段A D 上取点H,使 DH=DB,连接CH,.BC=CH,CD1AB,:.ZBHC=ZABC=67.5,VZBEC=ZACB=67.5,ZBHC=ZABC=ZBEC=ZACB,VBC=CB,AABCHACBE,ABH=CE,VCE=CP,.-.BH=CP,A BD=-BH=-PC；2 2(3)解：如图，作点D 关于直线BC的对称点M,作点D 关于A C的对称点F,连接FM 交 BC于点G,交 A C于点H,此时ADGH的周长最小,V ZABC=67.5,CDAB,Z BCD=90-Z ABC=22.5,DM1CB,.,.ZCDM=90o-ZBCD=90-22.5o=67.5,VDA=DC,DFAC,1AZCDF=-ZCDA=45,2 ZMDF=45+67.5=I 12.5,:.Z M+ZF=180-112.5=67.5,VGD=GM,HF二 HD,AZM=ZGDM,ZF=ZHDF,:ZDGH=ZM+ZGDM=2ZM,ZDHG=ZF+ZHDF=2ZF,，ZDGH+ZDHG=2(ZM+ZF)=135,/.ZGDH=180-(ZDGH+ZDHG)=45.【完整解答】解：(1)AADC,ACPE,ABCE都是等腰三角形，理由如下：VAB=AC,ZA=45,NABC=Z A C B=-(180-45)=67.5,21V Z A B E=-ZABC,3 /A B E=22.5。，ZCBE=45,.ZBEC=180-ZCBE-Z ACB=67.5,AZBEC=ZACB,BC=BE,即BCE为等腰三角形，VCDAB,A ZADC=ZCDB=90,.ZACD=90-ZA=45 ZA=ZACD=45,ADA=DC,ADC是等腰三角形，ZCPE=ZBPD=90-ZABE=67.5,ZBEC=180-ZCBE-ZACB=67.5,ZCEP=67.5,ZCPE=ZCEB=67.5,ACP=CE,.CPE是等腰三角形，综上所述，除A BC外的所有等腰三角形有AA D C,AC P E,AB C E；【思路引导】（1）A A D C,ACPE,B