高考数学重点难点06函数值域及求法.pdf
高中数学难点6函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.难点磁场()设 m 是实.数，记 M=mm1 J(x)=log3(/一4mx+4，2+m+5 ).(1)证明：当 G M 时，式 了)对所有实数都有意义；反之，若Ax)对所有实数x 都有意义,则 m M.(2)当 wWM时，求函数人x)的最小值.(3)求证：对每个mEM,函数/U)的最小值都不小于1.案例探究 例 1 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cmL画 面 的 宽 与 高 的 比 为/7-)(8I )2 二5 故 8一 二5=0,3 8 7 2一 2 3 S(L)5(共 2)0,5(4)在 区 间 内 单 调 递 增.从而对于4W 42 ，3 ,当儿=24时，S(4)取得最小值.3 4 3答：画面高为88 c m,宽为5 5 cm时，所用纸张面积最小.如果要求才e W，,当儿=W3 4 3时，所用纸张面积最小.例 2 已知函数/(x)=x+2x+1,4-0 )X(1)当4=g时，求函数lX)的最小值.(2)若对任意X d 1,+8)0恒成立，试求实数a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属*级题目.知识依托：本题主要通过求大x)的最值问题来求。的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求”的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把大x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当。=工时，/)=*+1-+222x,./(X)在 区 间 1,+8)上为增函数，7.人X)在 区 间 1,+8)上的最小值为犬1)=.(2)解法一：在 区 间 1,+8)上，/)=厂+2*+0恒成立o f+2 r+a 0恒成立.X设 y=f+2v+a/E 1,+)y=x2+2x+r/=(x+1 )2+t z 1 递增，当41时，y m i n=3+,当且仅当y m i n=3+0时，函数人戏0恒成立，故 一3.解法二：Ax)=x+-+2&E l,+)X当a2 0时，函数/(x)的值恒为正；当。0时，函数人x)0恒成立，故a 一3.锦 囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.歼灭难点训练一、选择题1.（）函 数 产/+1aw L）的值域是（）x 27 7A.（0 0,B,+0 ）4 4C.,+）D.（-,-V2 2 22.（*）函数），=x+7 T 7 的值域是（）A.（0,1 B.（,1 C.R D.1,+8）二、填空题3 .（*）一批 货 物 随 17 列货车从A市 以 V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长4 0 0 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于（）2千 米,那么这批物资全部运到B市，最快需要 小时（不计货车的车身长）.4.（）设 朴 X 2为方程4/-4 m x+?+2=0的两个实根，当m=时,x j+x?有最小值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三、解答题5.（*）某企业生产一种产品时，固定成本为5 0 0 0 元，而 每 生 产 10 0 台产品时直接消耗成本要增加2 5 0 0 元，市场对此商品年需求量为5 0 0 台，销售的收入函数为R（x）=5 x一万元）（）W x W 5）,其 中 x是产品售出的数量（单位：百台）2把利润表示为年产量的函数；（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？（3）年产量多少时，企业才不亏本？6 .（*）已知函数/（x）=lg （o2 D x/a+D x+l（1）若y（x）的定义域为（8,+8）,求实数。的取值范围；（2）若A x）的值域为（-8,+8）,求实数。的取值范围.7 .（*）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按 12 0 个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱 共 36 0 台，且冰箱至少生产6 0 台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时234产值（千元）432问每周应.生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）中，ZC=9 0 ,以斜边4 B所在直线为轴将aABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S”Z S A B C 的 内 切 圆 面 积 为 t 己8C+C4=XA B（1）求函数氏0=且的解析式并求A x）的定义域.(2)求函数/U)的最小值参考答案难点磁场证明：先将7U)变形：/U)=log3 (X22+切+_I_,m-当时，加m)2+加+!0恒成立，故人X)的定义域为R.反之，若/U)对所有实数x 都有意义，则只须x1 4加 X+4/+/M+?0,令 d V0,即 16勿 m 一 14(4?2+m+-)1,故 mGM.(2)解析：设 u=x24 m x+4 m+一!,Vj=log3M 是增函数，.,当 u 最小时，/(x)最小.m-而 M=(X2fw)2+m+-，显然，当/二 加时,u 取最小值为加+-，此时/(2/n)=log3(m+-)m-m-i m-1为最小值.(3)证明：当 m GM 时，m+?=(m 1)+-+1 2 3,当且仅当加=2时等号成立.m 1 in 1/.Iog3(/n+5-)2 logs3=1.nt-歼灭难点训练一、1.解析：加 1=/在(8,1)上是减函数，机 2=，在(一8,一！)上是减函数，2X2，产 产 在 x (8,一工)上为减函数，x21 1 7：.y=X2+)的值域为,+8).x 2 4答案：B/-1 一 产2.解析：令 V l-2x=20),则户 .2l-f2 1 、Vy=-+/=-(LD+1W 12 2J 值域为(一8 .答案：A一 Q 的 士 匚 40 於 V 遣 八/400 16V、r一、3.解析：t=-+16X()7V=-+-2 2 0 6=8.V 20 V 400答案：84.解析：由韦达定理知：x 1 +x2=niX2=m +,*,x24-X 22=(XI+x2)22xX2=m2+=(加4 2i 17 i 17)2，又 冗 为 实 根，:.4 2 0.mW 1 或加2 2,y-(m )2 在区间(一 8 1)4 164 16上是减函数，在 2,+8)上是增函数又抛物线y 开口向上且以为对称轴.故 1=1时，41ym i n=答案：一1 -2三、5.解：(1)利润)，是指生产数量x 的产品售出后的总收入K(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x W 5时，产品能全部售出，当x 5 时，只能销售5 0 0 台，所以5 x-一($+0.2 5 x)(0 x 0 j 0,z2 60.假定每周总产值为S 千元，则 S=4 x+3 y+2 z,在限制条件之下，为求目标函数S 的最大值，由消去乙得y=3 60 3 x.将代入得：x+(3 60 3 x)+z=3 60,z=2xy=j I =2(5 x5-X52)-(0.5 +0.25X)(X 5)12-0.25X(X1)I 2(2)在 0 W x W 5 时，)，=-Lx2+4.7 5 x0.5,当 x=-2=4/7 5(百 台)时，)，m a x=1 0.7 8 1 2 5(万2 2a元)，当 x 5(百 台)时，y 1 2-0.2 5 X 5=1 0.7 5(万元)，所以当生产4 7 5 台时，利润最大.(3)要使企业不亏本,0 x-X2+4.75X-0.5 0 I1 2-0.2 5X 01 21解 得 5 2 x2 4.7 5 J 2 1.5 62 5 1 0.1(百 台)或 5 Vx 0 对一切x GR 恒成立，当下一1#0 时，其充要f 2 、八 储 1 或。一1条 件 是“-2 2 ，即 51-A =(f l +1)2-4(2-l)-i K a -la 9 .又a-1 时，f(x)=O满足题意，a=时不合题意.故a W I或 a 为33所求.(2)依题意只要f=(屋-1)/+(4+1 +1 能取到(0,+8)上的任何值，则/U)的值域为R,故有卜 一1 0,解得又当屋一1=0 即。=1 时，t=2x+l符合题意而a=-1 时不合题A 0 3意，.i Wa W为所求.37.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得：x+y+Z=3 60.z260,，x230.再将代入S 中，得 5=4x+3(360-3x)+2 2x,即 S=-x+1080.由条件及上式知，当x=30时，产值5 最大，最大值为5=30+108口 1050(千元).得x=30分别代入和得y=360-90=270,z=2X3060.每周应生产空调器3 0 台，彩 电 270台，冰 箱 6 0 分，才能使产值最大，最大产值为1050千 元.rC8.解：(1)如图所示:设=则斜边4 8 上的高红 吆，/c/A S i=n ah+冗 bh=(a+b),S2=冗-)2,A-.)科=4次”S2 c(a+b-c y又a+b-=xC =a2+/72=c2a+h=cxab=(x2-1)2代入消C，得.*)=2(1+)x-lrr在 RtAABC p,有 a=csinA,Z?=ccosA(0A )，则2x=sinA+cosA=A/2 sin(A+)./.1 .c 4(2求幻=2(/+x)=2(3 _ i)+_2_+，设 e1,则*(0,行-l),y=2(f+2)+6 在(o,x-x-l tV I 1上是减函数，.当x=(后-1)+1=拒 时，J(x)的最小值为6 V I+8.
