高考数学重点难点复习（18）：不等式的证明策略.pdf

难点1 8高考数学重点难点复习：不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()已知 a 0,b 0,且 +。=1.求证：(a+)(t+).a h 4 案例探究 例1 证明不等式1+-=+=+=2n(GN*)J 2 J 3 J 命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目.知识依托：本题是-,个与自然数鹿有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：1 +g+占2 .三+三+33=而 /y yn y/f l f-f l q这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;(2)假设=k(k 1)时，不等式成立,即 1 4 f=H-j=H-1f=V 2 yk,V2 V3&1 1贝 i l+正 F 0,2ylMk+1)+1 0,:.2,-/k H-2 Jk +1.yk+l2又如：/2yk+-2yk2_ _ _y/k+1 +4k 飞k+1 +“+1 y/k 4-12yk+=k 4k+yk 4k+Jk -1=2(荻一仄斤),因H,匕 1 H 7=Mf=+,H-f=0VT+i v T+ik+l)k)因此，对任意G N*都有人”)/(-1)犬1)=1 0,*Id 尸 H 产+H .V2 V3 例 2求 使 五+瓜 亏(x。，y 0)恒成立的。的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所 求。的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把。呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破u,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定。的取值范围，此时我们习惯是将 x、y 与 cos 、sin。来对应进行换元，即令 V7=cos。，6=s in。(0?)，则am in=/(X)max；若aW#C),则“m a x/x)m in，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于4 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 yxy W a2(x+y),即 2 y/xy W(/1 )(x+y),.,.x,y0,.,.x+y2yxy,当且仅当x=y时，中有等号成立.比较、得。的最小值满足/一1 =1,.2=2,a=42(因a 0),的最小值是乙.解法二:x+y+2yxyx+y.xQ,y0,.x+y2yxy(当 x=y 时 =成立),.2叵W l,也 的 最 大 值 是 1.x+y x+y从而可知，的最大值为/7?=血，又由已知，得，。的最小值为VI.解法三：Vy0,.原 不 等 式 可 化 为+1 Wa E 71,设=tan,1 9 (0,).y2tan-+1 Jtar2 6+1 ；即 tan 0+lWasec 9.asin +cos 9=V2 sin(。+(),又入 皿 J+工)的最大值为1(此 时 0=-4 4由式可知。的最小值为VL 锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商人变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题已知x、y 是正变数，a、b 是正常数，且 3 +2 =1,x+y的最小值为.2 .(，设正数 a、b、c、d 满足 a+d=Z?+c,月 a d I V I/?c l,则 ad 与be的大小关系是.3 .(*)若机V，p q,_ E L(p m)(p n)0,(q m)(q ),2+z2=-,证明：x,y,z 0,-3&()证明下列不等式：(1)若 x,y9 z R,a,h,c R+,则+z 2 2 2(x y+y z+z x)a b c(2)若 x,y9 z R+，月.x+y+z=i y z，则江+二+322(LLLX y Z x y Z7 .()已知i,及是正整数，且 1证明：A：(1+)8 .()若 a 0,b0,ay+by=2,求证：a+bW 2,abWl.参考答案难点磁场证法-：(分析综合法)欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ah+40,即证 4()2 3 3(帅)+8 2 0,即证ab W,或 外 8.4V a 0 Z?0,a+b=1,.a be g 不可能成立V l=a+b2yah,ab：从而得证.4证 法 二：（均值代换法）设 c i=+f ,b=一 +/2,2 2*a+b=l,a0,b 09.力+及=0,iv_L,k2i16=2 5-144显 然 当 且 仅 当 u。，即 9寸 寸，等号成立.证 法 三：（比 较 法）.。+匕=1,a0,b0,a+b 2 a h,；a b W 工4(a+)(/7 +1、2 5 a2+从+1 2 5 4 2 户+33/?+8 (l-4ab)(8-ab)4ab4ab 0b 4,“a+2 3吟证 法 四：（综合法）a 0,。0,a-b2yab，；a b W .4:.-abl 1 =3=(1-ab)92 一9二 16i-4(1 -ab)2+1 2 5ab =41 1 2 5E P(6 7+-)(/?+-)a b 4证 法 五：（三 角 代 换 法）a0,b0,a+=l,故 令 但 si n?。，/?=co s2,4 (0,)2(a+)(Z?+)=(sin2 a+-)(cos2 a+)a b sin a cos a_ sin4 a+cos4 a-2sin2 crcos2 a+2 _(4-sin2 a)2+164sin2 2a 4sin2 2asin2 2a 4-1=3.24-2sin22+1625_1_1sirr 2a 4(4-sin2 2a)24sin2 2a7即得(+,)(6+工)2 生.a b 4歼灭难点训练一、1.解析：令=。0$2J,Xff+hcsc1 9=+/?+Qtan2 0+/7cor=sin 贝 x=sec y=bcsc.x+y=asecy9 a+b+2 tan20/?cot20=a+b-2yab.答案：a+h+2 yab2.解析：由 OW hdivib-c l o(Qd)2S c)2o(a+0)24adV(b+c)240c：a+d=b+c,.*4adbc.答案：adbc3.解析：把 p、夕看成变量，则2VpV ，加V q V .答案：m p q-3(2)证法一：.,J 3a+2 =J(3a+2)x 1 +?+同理J 36 +2 j3 c +2 茏 三2 2j 3a+2 +J 34+2 +J 3c+2 3(+G+9 =62原不等式成立.证法二:J 3a+2 +J 3/?+2 +J 3c+2 /(3a+2)+(3 +2)+(3c+2)3 7 3_,3(。+，)+6 _ 6：.J 3a+2 +J 3b+2 +J 3c+2 3 6 l+/2+(y +Z )2 _l 3,2-rX 十 V +Z 勺 rX -1 X3 3 2 3 2故 2 0,1 =x 2,+y 2,+z22办2是，矛盾.X、y、z三 数 中 若 有 最 大 者 大 于 j不 妨 设 X|,则 吴 川 言 学工21 (y+z)22=启 一 二，_2 2 23/2、1、1 -%匡=-%(%-)+-；矛盾.2 3 2 2故 x、y、0,2 36/.(1)证明旧:，-b-+-cx 2+-c-+-a-y 2+-a-+-b-z 2-2C(x/y+yz+zx)、2 b c=(/一b x 2H a 2c、/C 2 b 2、2y 2,xy)+(-y H z-2yz)+(-z H x 2zx)a h h c c a=杼-檄2 +(后昭)2 +(&昌2 0b+c o c+a a+b?、-x+-y+-z 2(xy+yz+zx)a b c(2)证明：所证不等式等介于2 2 2/V+Z Z +X 工 +八、。/、2x y z(-+-+-)2(xy+yz.+zxYx y z=xyz-yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)2(xy+yz+zx)2 2(x y+y z+z x)+4。yz+xy z+xyz)y3z+yz3+z3x+zx3+x3y+xy3 2x2yz+2xy2z+2xyz2=yz(y-z)2+ZX(Z-X)2+xy(x-y)2+x2(y-z)2+y2(z-x)2+z2(x-y)2 0 上式显然成立，.原不等式得证.7.证明：(1)对于 I V i W 加，且 A,=m.(m z+1),A m m-m-i +l，小 A：,n n-n-i+i .，同理一 二.，m1 m tn m n1 n n n由于mV，对于整数女=1,2,i ,有-n m所 以 与 绰，即加A：nAin m(2)由二项式定理有：(1+加)=1+C t m+C；/+C：mn,(1+n)m=1+C +C+C：nA I A /由知加(IViWm),而 C；“=d,C：=di!i!加C C)(1?nn2C,，mmC；nC；,；,/nm+1C；,+l0,mC 0,/.I+CJ,m+C 2+-+C nl+C；n+C2,n2+C；：nm,即(l+m)”(l+”)m 成立.8.证法一：因 a0,b0,3+/?=2,所以=3 ab(a+/?)2=3 ab(a+b)(3+/?3)=3(a+h)(ab)2Q.即(a+b)3W23,又 a+b 0,所以 a+6W 2,因为 2疝 Wa+bS2,所以abWl.证法-：设4、匕为方程f?X+=0的两根，则+力，n=ah因为 a0,b 0,所以?0,0,且/=加 之 一4 20因为 2=t734-/?3=(tz+/?)(6 z2ab+)=(a+b)(Q+Z?)?3/?=m(m2 3)所以=贮 一23 3m2 o将代入得m2-4(-)0,3 3m即二 立8川,所 以 一 加3+8 2 0,即m W 2,所 以o+W2,3m由2，加 得4力加工又相224，所以424，即 W 1,所 以abWL证法三：因a0,h0,a3+/?3=2,所以2=+/=(a+b)d+b?a b)、(a+b)Qa ba b)=a b(a+b)于是有 63。沙(。+8),从而 8 3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+bi=(a+b)所以a+W 2,(下略)证法四：因 为 心1Q一(小辿)32 2(a+Z?)4c/+4b 4ab a?2,cib 3(。+b)(a b)”08-8 1，所以对任意非负实数a、b,有 寸 士(土 心)32 2因为 a0,b0,a3+b3=2,所以 1 =与，2 2.誓 W l,即a+6W 2,(以下略)证法五：假设。+。2,则a+ba+ba2ab+b2)=(a+b)(a+O)?3ab (a+b)ab2ab,所以 a/?Vl,又 d+bWa+b)_a2ab+b22=(a+b)(a+b)23ab 2(2?3a。)因为才+氏2,所 以22(43劭)，因此公 1,前后矛盾，故a+Z2(以下略)