2021年福建省初三数学中考真题试卷（含详解）.pdf

2021年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分,项是符合要求的.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一1.在实数0,-1中，最小的数是（）A.1 B.0 C.一22 .如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）D.723.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C,利用测量仪器测得NA=60,NC=90,AC=2 k m.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等 于（）A.2km B.3km C.26km D.4km4.下列运算正确 是（）A.2a-a=2 B.（a-1）2=2-l C.a6a3=a2 D.（2a3）2=4a6S.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表:项目作品甲乙丙T创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占6 0%,实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是()A.甲 3.乙 C.丙 P.T6.某市2018年底森林覆盖率为6 3%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到6 8%,如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么，符合题意的方程是()A.0.63(1+%)=0.68 B.0.63(1+X)2=0.68C.0.63(1+2%)=0.68 D.0.63(l+2x=0.687.如图，点尸在正五边形他CDE的内部，AAB/为等边三角形，则N A F C等 于()A.108 8.120 C.126 D.1328.如图，一次函数丁=+跳A0)的图象过点(一i,o),则 不 等 式1)+人 o的解集是()A.x -2B.x-C.x0D.xq.如图，A8为 的 直 径，点P在A8的延长线上，。,2。与。相切，切点分别为C,D.若A B =6,P C =4,则s i n N C W等 于（）1。二次函数 y =a r2-2 a r+c（a 0）的图象过 A（-3,必）,5（-1,y2）,C（2,%），。（4,乂）四个点，下列说法一定正确的是（）A.若 凶%，则y 3 y 4 B.若,4 0，则%C.若%4 0，贝D.若%0，则,必 0二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.k.、。工.若反比例函数y =-的图象过点（1,1）,则/的值等于.x1 2.写出一个无理数居 使得l x X 4.如图，AO是AABC的角平分线.若 N B=9 0,B D=C，则点。到AC的距离是1$已知非零实数X,y满 足 尸 百r ,则 一x-y+3xy的 值 等 于 一1 6.如图，在矩形A8CD中，A B =4,AD=5,点E,尸分别是边AB,8C上的动点，点E不与A,8重合，且石尸=A8,G是五边形AEFCO内满足GE=G F且NEGF=90的点.现给出以下结论：N G E B与NGEB一定互补；点G到边AB,B C的距离一定相等；点G到边AD,D C的距离可能相等;点G到边A B 距离的最大值为2&-其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9 小题，共 86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.计算:1 8.如图，在AABC中，。是边8 c上 点，D E A C,D F r A B,垂足分别为E,F,且D E =D F,C E =B F.求证：/B =N C.E1 3D x 3-2 x 工q.解不等式组：，%i%3 cI 2 62。某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？(2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？2L如图，在中，Z A CB9 0 .线段石厂是由线段A 8平移得到的，点F在边B C上，E E D是以石尸为斜边的等腰直角三角形，且点。恰好在A C的延长线上.(1)求证：Z A D E =/D FC；(2)求证：CD=BF.2 2.如图，已 知 线 段=垂足为a.RM(1)求作四边形A8C。，使得点8,。分别在射线A K,4?上，且 A3=BC=a,Z A B C =60,CDA5；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设尸，Q 分 别 为(1)中四边形ABC。的边的中点，求证：直线A D,8C,P Q 相交于同一点.2 3 .“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马4,耳,G，田忌也有上、中、下 三 匹 马&,四,。2,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：/I,A2 B,B2 C,C2(注：A 8 表示A 马与B 马比赛，A 马获胜).一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵(G A，4 A，82G)获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌“出马”情况，试回答以下问题：(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.2 4 .如图，在正方形ABC。中，E,尸为边A B 上的两个三等分点，点 A 关于。E 的对称点为4，A A 的延 长 线 交 于 点 G.(1)求证：D E/K F；(2)求 N G 4B的大小；(3)求证：A C =2A!B.2-5.已知抛物线y=Gf2+x+c与 x 轴只有一个公共点.（1）若抛物线过点P（O,1）,求a+力的最小值；（2）已知点片（2,1）出（2,1）,6（2,1）中恰有两点抛物线上.求抛物线的解析式；设直线/：丁 =麻+1与抛物线交于M,N两点，点A在直线丁 =一1上，且N M 4N=9 0。，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线/于点8,C.求证：M 4 5与 M B C的面积相等.2021年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在实数0,-1 中，最小的数是（）A.1 B.0 C.D.【工题答案】【答案】A【解析】【分析】根据正数大于0,0 大于负数，两个负数，绝对值大的反而小.【详解】解：在实数正,0,一 1中，亚,；为正数大于0,-1 为负数小于0,，最小的数是：-1.故选：A.【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是：根据正数大于0,0 大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可以直接判断出来.2 .如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据从上面看到的图形即可得到答案.【详解】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.3.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C,利用测量仪器测得NA=6（）。,NC=90。,AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等 于（）【3题答案】C.2V3kmD.4km【答案】D【解析】【分析】解直角三角形，己知一条直角边和一个锐角，求斜边的长.【详解】ZA=60,NC=90,AC=2km,-.cosA=,cos 60=-AB 2,c AC 2/.AB=-=4kmcos A 12故选D.【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键.4.下列运算正确的是（）A.2a a-1 B.(-l【8题 答 案】C.x 0D.x 1【答 案】C【解 析】【分 析】先 平 移 该 一 次 函 数 图 像，得 到 一 次 函 数y =1）+人化0）的 图 像，再由图像即可以判断出后（工一1）+8 0的解集.【详解】解：如图所示，将直线丁 =辰+力（左0）向右平移1个单位得到y =A（x 1）+人仅0）,该图像经过原点，由图像可知，在，轴右侧，直线位于*轴上方，即夕因此，当*时，攵（-1）+。0,故选：C.【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等.q.如图，A8为。的直径，点P在 的 延 长 线 上，P C,尸。与0。相切，切点分别为C,D.若A B =6,PC=4,贝i Js i n N CW等 于（3A.-524P.-5【7题答案】【答案】D【解析】【分析】连接0 G CP,D P是。的切线，根据定理可知NOCP=90,ZCAP=ZPADf利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求N C 4Q=N C O P,在 RtzXOCP中求出sinN C O P 即可.【详解】解：连接0 CCP,DP 是。的切线，则 NOC尸=90,ZCAP=ZPADf：.ZCAD=2ZCAP990A=0C：.ZO AC=NACO,：.ZCOP=2ZCAO：.ZCOP=ZCADAB=6 0 0 3在 RtZXCO尸中，0 c=3,PC=4：.OP=5.4sin Z.CAD-sin/C O P =5故选：D.【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解.1。二次函数 =2-2 +。（。0）的图象过4-3,必）,3（-1,%）,。（2,%），。（4,”）四个点，下列说法一定正确的是（）A.若 X%0，则 B.若 兄%0，则%C.若 必%，则 为 D.若”0，则 芳%0)的对称轴为：X -1,且开口向上，2a 2a，距离对称轴越近，函数值越小，A,若x%，则y 3 y 4o不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，%0,则 为为 不一定成立，故选项错误，不符合题意；C,若%以 0，/0,则必)3 0一定成立，故选项正确，符合题意；D,若为%=幺，通过计算即可得到答案.X【详解】反比例函数y =:的图象过点(1,1)1 =Y,即2=1故答案为：1.【点睛】本题考查了反比例函数的知识：解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的性质，从而完成求解.2 2.写出一个无理数x,使得1%4,则x可以是（只要写出一个满足条件的x即可）【22题答案】【答案】答案不唯一（如 加，肛1.010010001 等）【解析】【分析】从无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有兀的数，【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足l x 4即可；所以可以写：开方开不尽的数：V2,无限不循环小数，1.010010001，JT含有兀的数工，等.只要写出一个满足条件的X即可.2故答案为：答案不唯一（如、历，匹1.010010001.等）【点睛】本题考查了无理数 定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有兀的数.1 3.某校共有1000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是1 3题答案】【答案】270【解析】【分析】利用样本中的优秀率来估计整体中的优秀率，从而得出总体中的中长跑成绩优秀的学生人数.27【详解】解：由图知：样本中优秀学生的比例为：一=27%,100.该校中长跑成绩优秀的学生人数是：1 000 x 2 7%=2 7 0（人）故答案是：2 7 0.【点睛】本题考查了利用样本估计总体的统计思想，解题的关键是：根据图中信息求出样本中优秀率作为总体中的优秀率，即可求出总体中优秀的人数.1 4.如图，是AASC的角平分线.若NB=90,BD=6，则点。到AC的距离是.1 4题答案】【答案】小【解析】【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得.【详解】如图，过。作则。到AC的距离为Q E.A D平分N C 4 S，NB=9()o,BD=M，DE=BD=6二点。到A C距离为故答案为6.【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键.X x-y+3孙1 5 .已知非零实数x,y满足y 则 一-的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+1 xy【工S题答案】【答案】4【解析】Y【分析】由条件），二一变形得，工 产 孙，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值.（详解由y=得：移+产x,即x-y=xyx+1x y+xy xy+3xy 4xy.,-=-=4xy xy xy故答案为：4【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件丫 =一7,变形为产“，然后整体代入.16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,A0=5,点E,尸分别是边48,8。上的动点，点E不与A,B重合，且b=AB，G是五边形AEECO内满足GE=G F且NEGF=90的点.现给出以下结论：N G E B与NGEB一定互补；点G到边AB,BC的距离一定相等;点G到边AD,D C的距离可能相等;点G到边A B的距离的最大值为2拉.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）【1 6题答案】【答案】【解析】【分析】利用四边形内角和为3600即可求证；过G作GM，AB,GN 1BC,证明4GME沿4G N F即可得结论;分别求出G到边AD,OC的距离的范围，再进行判断；点G到边AB的距离的最大值为当G EL 时，GE即为所求.【详解】./EGF=90。GE=GF；.NGEF=45。四边形ABC。是矩形.-.ZB=90NEGF=90。,四边形内角和为3604GEB+4GFB=80。.1.正确.如图：过G作GM_LAB,GN_L8C：.ZGME=ZGNF=90:/G EB+ZGFB=180,ZGEM+ZGEB=180/GFN=GEM又.GE=GF/GMEQ/GNF(AAS):.GM=GN即点G到边48,BC的距离一定相等，正确.如图：过G作ND:.N G A B-LEF=2,G M AB-EFxsin45=4-272,GM 之 -EFxsin45=5-2 0:.4-2y/2NG2,5-2y2GM 3而.2 3-2 K D解不等式组：，x i x 3-1 【2 4题答案】【答案】1 4x 1.Y 1 Y 3解不等式 土 上 1,2 63x3 x+3 6,解得：x3.所以原不等式组的解集是：l W x 3.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是：准确解出各个不等式的解集，再取公共部分即可.2。某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是7 0元，批发一箱该农产品的利润是40元.（1）已知该公司某月卖出1 0 0箱这种农产品共获利润46 0 0元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的3 0%.现该公司要经营1 0 0 0箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【2。题答案】【答案】（1）该公司当月零售农产品2 0箱，批发农产品8 0箱；（2）该公司应零售农产品3 0 0箱、批发农产品7 0 0箱才能使总利润最大，最大总利润是49 0 0 0元【解析】【分析】（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利 用 卖 出1 0 0箱这种农产品共获利润46 0 0元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该公司零售农产品，箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到w=7 0 m+4 0（1 0 0 0-m）=3 0 m +4 0 0 0 0,再根据该公司零售的数量不能多于总数量的3 0%可确定?的范围，然后根据一次函数的性质解决问题.【详解】解：（1）设该公司当月零售农产品工箱，批发农产品y箱.依题意，得 7 0 +40 =46 0 0,x+y =1 0 0,解得所以该公司当月零售农产品2 0箱，批发农产品8 0箱.（2）设该公司零售农产品，箱，获得总利润w元.则批发农产品的数量为（1000。箱,该公司零售的数量不能多于总数量的3 0%m 3 0 0依题意，得 w =7 bm+40(1 0 0 0 -m)=30m+40 0 0 0,m 0,所以w随着，的增大而增大，所以加=3 0 0时，取得最大值49 0 0 0元，此时 1 0 0 0-加=7 0 0.所以该公司应零售农产品3 0 0箱、批发农产品7 0 0箱才能使总利润最大，最大总利润是49 0 0 0元.【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组.2工.如图，在R/AABC中，Z A C B =90.线段E/是 由 线 段AB平移得到的，点 尸 在 边 上，E F D 是以所为斜边的等腰直角三角形，且点。恰好在AC的延长线上.(1)求证：Z A D E =Z D F C；(2)求证：C D=B F.【2工题答案】【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)通过两角和等于9 0。，然后通过等量代换即可证明；(2)通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明.【详解】证明：(1)在等腰直角三角形瓦加 中，Z D F =9 0,/.Z A D E+Z A D F 90.Z A C B =9Q,：.Z D F C +Z A D F =Z A C B=9 0,Z A D E Z D F C.（2）连接A E.D由平移的性质得AE/BF,AE=BF.NE4D=ZACB=90。，ZDCF=180-ZACB=90，ZEAD=ZDCF./是等腰直角三角形，：DE=DF.由（1）得 ZADE=NDFC,；&AEDACDF,：.AE=CD,：.CD=BF.【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质.2 2.如图，已知线段MN=a,AH，A K,垂足为以aR A/N（1）求作四边形ABC。，使得点B,。分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=60,CE A 5；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设尸，。分别 为（1）中四边形ABCQ的边AB,。的中点，求证：直线AZ）,BC,PQ相交于同一点.【2 2题答案】【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据A 8 =a ,点5在射线AK上，过点A作A 8 =a ；根据等边三角形性质，得A S =B C =AC,分别过点A、B,。为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作C D,即可得到答案；（2）设 直 线 与AO相交于点S、直线尸。与AO相交于点S ,根据平行线和相似三角形的性质，得A H An=，从而得S D =S。，即可完成证明.SD SD【详解】（1）作图如下：四边形4 8 c o是所求作的四边形：（2）设直线8c与AO相交于点S,S(S)D C H A B，：.SB ASC D,.SA _ AB,SDDC设直线P Q与AO相交于点S ，SA PA同 理 丽 二 丽。V P,Q分别为A B,8的中点,A PA=AB,Q D =D C.PA _ AB D D C _S_A_ .S A 丽访.SD+AD SD+ADSD -SD.A D AD,乐记SD=SD,.点S与S 重合，即三条直线AD,B C,P Q相交于同一点.【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解.2 3.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马田忌也有上、中、下三匹马4，鸟,。2,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：4 4 G A C 2（注：A 5表示A马与8马比赛，A马获胜）.一 天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的 出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（。24,42片,层&）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.【2 3题答案】【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，（2）不是，田忌获胜的所有对阵是（6 4,4昂 耳。3 耳）,（4 4，G 4，E G）,（4区 也G C A），（四G G A,4 g），（B2C（,）,o【解析】【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率.【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.此时，比赛的所有可能对阵为：（。2 4,4 4，与0），（G A,与G,A g），（c 2 A，岛片,&G），共四种.其中田忌获胜的对阵有(G4,4耳 为c j,(CG 3共两种,故此时田忌获胜的概率为=g.（2）不是.齐王的出马顺序为4,g,G时，齐王的出马顺序为4,G，片时,齐王的出马顺序为用，A，G时,齐王的出马顺序为用,G,A时,齐王的出马顺序为G，A出时,齐王的出马顺序为G，稣A时，田忌获胜的对阵是（G A，A4，BQ田忌获胜的对阵是（GA，B2G,A片）田忌获胜的对阵是（4 4,GA，B?cJ田忌获胜的对阵是（44,B2C,G A）田忌获胜的对阵是（与q,c2 A，4 4）田 忌 获 胜 的 对 阵 是,G4）综上所述，田忌获胜所有对阵是（G A G.A g），（4 4,G A，岛G），(44,0G，GA),(OGCzAAg)，(丹G，4 4，GA)-齐王的出马顺序为4,4,&时，比赛的所有可能对阵是（AA，与与C G），（&V G 4，C 6），（星/必与），（反4，G4,4G），（GA5g.aG）,共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率E =9 =1.36 6【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键.2 4.如图，在正方形A 3C D中，E,尸为边A B上的两个三等分点，点4关于O E的对称点为A,4 4 的延长线交B C于点G.D(1)求证：DEHA!F,(2)求N G 4 B的大小；(3)求证：A C=2 A B.【24题答案】【答案】（1）见解析；（2）4 5 ；（3）见解析【解析】【分析】（1）设直线0E与AA相交于点T,证明ET是 A4 N的中位线即可；（2）连接FG,取尸G的中点0,连接。4 ,08,证明点4,F,B,G四点共圆即可；（3）设 A B =3 a,则 A D =B C =3 a,AE =2 a,AE =3 E =a,设 4尸=左，则 AA =3 h 根据勾股定理找至U k与a的关系，根据 AE B s“l G C列比例求解即可.【详解】解：（1）设直线DE与AA相交于点T,.点A与A关于OE对称,DE 垂直平分 AA，即。E _1 4A,AT=.V ,下为AB边上的两个三等分点，AE=EF，ET是 A4N的中位线，E T/A F，即 4 E.（2）连接F G,；四边形ABCD是正方形，/.AD=AB,NDAB=ZABG=90,ZDAT+ZBAG=90,V D A 4,：.ZDTA=90,：.ZADT+ZDAT=90,：.ZADT=ZBAG.：.DAEABG,；.AE=BG,又 AE=EF=FB，：.FB=BG,：.FBG是等腰直角三角形，NG尸3=45。.DE/AT,A!F A A，.ZFAG=9Q.取FG的中点O,连接。4,QB,在 MAAFG 和 MABFG 中，OA1=OF=OG=；FG,OB=OF=OG=；FG,：.O尺=OF=OG=OB,.点A,F,B,G都在以FG为直径的OO上，ZGA!BZGFB45.(3)设 AB=3a，则 AD-BC=3a,AF=2a,AE=BF a.由(2)得 BG=AE=a，：.tan/B A G =-=即 tan ZAAF=-AB 3a 3 3 A，F-1*A47-3设 4 产=攵，则 A4=3 b 在 用 ZW A 尸中，由勾股定理，得 A F=J H k，.半,3半.在 R ABG中，由勾股定理，得 AG=JAU +BG?又：AA=3左5./T77 3y/f5a 2y/10a A G=AG-AA=V IOa-=-，55.A J 亏 J*AG 2 M l 2 5CG-BC CB-2a,BF _ a _1C G-2a-2 ,.AF _ B F G C G 2 由(2)知，NAEB+NAGB=18O,又；ZA G C+ZA G 8=180,/.Z A FB=ZAGC,：.ANFBS&NGC,.AB _ BF _ 1AC=2AB.【点睛】本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识，考查推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想.2s.已知抛物线y =公 2+b x+c 与 x 轴只有一个公共点.（1）若抛物线过点P（0/），求 的 最 小 值；（2）已知点6（-2,1）,（2,-1）,鸟（2,1）中恰有两点在抛物线上.求抛物线的解析式；设直线/：V =丘+1 与抛物线交于“，N 两点，点 A 在直线y =-l 上，且 N M4N =90,过点A 且与x 轴垂直的直线分别交抛物线和直线/于点8,C.求证：与 2不。的面积相等.【2 5 题答案】【答案】（1）-1；（2）=L/；见解析4【解析】【分析】（1）先求得c=l,根据抛物线,=0?+。彳+。与 轴只有一个公共点，转化为判别式=（）,从而构造二次函数求解即可；（2）根据抛物线了 =依 2+以+。与 x 轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x 轴的同侧，据此判断即可；证明4 B=B C 即可【详解】解：因为抛物线 =这 2+法+。与 x 轴只有一个公共点，以方程ax2+h x+c=0 有两个相等的实数根，所以=万 4 ac=0 即。2 =4 ac-（1）因为抛物线过点尸（0,1）,所以c =l,A2所以=4 a，即。=2-.4A-1所以a+b=L +0=S +2)2 1,4 4当b=-2时，a+/?取到最小值一1.(2)因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.又点耳(2,1),6(2,-1),舄(2,1)中恰有两点在抛物线图象上，所以只能是片(一2,1),乙(2,1)在抛物线的图象上，由对称性可得抛物线的对称轴为x=(),所以8=0,即ac=0,因为。工0,所以c=0.又点4(一2,1)在抛物线的图象上，所以4。=1,。=!，4故抛物线的解析式为y=；1.由题意设加(西,y1),刈工2，%)，4(入0，1)，则 乂 =3 +1,%=5+1.记直线y=-l为，小 分别过M,N作垂足分别为E,F,即 NAffi4=NA/W=90,因为 NAWV=9 0 ,所以 NM4+ZAMF=90.又 NM4E+NEM4=9 0 ,所以 N E M A =N N A F,所以所 以 蔡=等，所 以 无 今二产即(x+l)(%+l)+G f)(X 2 f)=0N F A F%+1%一%所以(烟+2)(生+2)+(%跖乂/一九0)=。,即(k+1)玉/+(2k (玉+/)+/+4=0.把丁=米+1代 入 了 x2,得x?4履 4=0，4解得玉=2左 一 2 a +1,x2=2k+2 +1，所以+=4左,玉 工2 =-4.将代入，得-4（公+1）+4女（2女一玉）+片+4=0,即（/2攵y=0,解得/=2后，即A（2仁一1）.所以过点A且与x轴垂直的直线为x=2%,将x=2左代入y=；/,得y=2,即8（2人,公），将x=2k代入丁=履+1,得y=2+i,即 C（2左,2&2 +1）,所以48=尸+1,8。=公+1,因此AB=3C，所以AVSB与MfiC的面积相等.【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键.