2022届福建省宁德市重点名校高三第二次调研数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处 o2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数）=辽 号 的 部 分 图 象 大 致 为（）l+xA.-6 0 B.-1 2 C.1 2 D.6 03.半正多面体（s e,i r e g“/w s o/M 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）4 .双曲线G：白=1（。，匕 。）的一个焦点为E（c，）（c 0）,且双曲线G 的两条渐近线与圆g：。-，）2+9=1均相切，则双曲线弓的渐近线方程为（）4A.x/3y=0 B./3x y=0 C./5x y=0 D.x/5y=05.已知角a的终边经过点P(-4m,3m)(m w 0),则2siwz+cos。的值是()2 2 2 2A.1或一 1 B.二或一二 C.1或一二 DT 或16.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和轴的正半轴交于A 8两点，点。与点。关于),轴对称，。为坐标原点，若 丽=2序，且 丽 丽=1,则点尸的轨迹方程是()A.X2+32=l(x0,y 0)B.x2-3y2=l(x0,0)C.3x2 y2=l(x0,y 0)D.3x2+y2=1 (x 0,y 0)7.已知函数/(x+1)是偶函数，当xe(l,4w)时，函数/(%)单调递减，设“=。=/(3),c=/(0),则a、b、c的大小关系为()A.bac B.cbd C.hca D.a bac B.ba=c C.a=cb D.cab9.等腰直角三角形。与等边三角形45。中，NC=9(),BD=6,现将ABD沿8 0折起，则当直线4。与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面A50所成角的正弦值为()10.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin法的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数y=0.06sin 180000/构成乐音的是(A.y=0.0 2s i n 36 0 0 0 0 1B.y =0.0 3s i n 1 8 0 0 0 0/C.=0.0 2s i n 1 8 1 8 0 0/D.y=0.0 5 s i n 5 4 0 0 0 0,1 1 .已知关于X的方程G s i n x+S i n f-x j =2在区间 0,2%）上有两个根X j,x2,且上一回之工，则实数加的取值范围是（）A.0,；）B.1,2）C.0,1）D.0,1 1 2.已知i（l 一切）=2+初（i 为虚数单位，a,b e R）,则 必 等 于（）I 1A.2 B.-2 C.-D.2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20 分。1 3.如图，在体积为v的圆柱Q Q 中，以线段O Q 上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，匕，则乜詈的值是.2X1 4.已知产为双曲线C:彳a2y一 瓦=1 （。0,。0）的右焦点，过 f作 C的渐近线的垂线厂D,。为垂足，且 F D =O F （。为坐标原点），则 C的离心率为.1 5 .在平面直角坐标系x O y中，己知直线/:y =g与函数/（x）=s i n（3 0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为4，若点4的横坐标为1,则点4的横坐标为.1 6 .下图是一个算法的流程图，则输出的X的值为三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2 分)已知函数/(x)=|4 x 1|x+2.(1)解不等式/(力2；记函数y =/(x)+5|x+2|的最小值为3正实数。、匕满足。+6 8=，求证：J丝士处2 2指.9 v ab1 8.(1 2分)设 数 列 4,其 前 项 和S=-32,又 4单调递增的等比数列，仄瓦瓦=5 12,q+a=4+4.(1)求数列%,也 的通项公式；b,、2(I I)若%=他_2向 一 I)，求数列 c,J的前。项和刀一并求证：1 9.(1 2分)已知数列%是各项均为正数的等比数列，数 列 也 为等差数列，且4=q =1,仇=%+1 ,仇=%-7.(1)求 数 列 也 与 也 的通项公式；(2)求数列 也 的前”项和A,；设S”为数列 明 的前项和，若对于任意 e N*，有S.+；=J2，求实数/的值.20.(1 2分)已 知 a j是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=4 5,a2+a6=l.(I)求 a j的通项公式；(II)若数列 b n 满足：?+*+与=a“+l(e N*),求 b n 的前n项和.21.（1 2分）已知抛物线。：/=2庶（0）的焦点为尸，点P（2,）（0）在抛物线C上，|P尸|=3,直线/过点F,且与抛物线C交于A，B两点.（1）求抛物线C的方程及点P的坐标;（2）求丽丽的最大值.22.（1 0分）如图，两座建筑物A 8,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是1 0m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物C D的视角Z C A Z）=6 0.（1）求5 c的长度；（2）在线段8 c上取一点尸（点尸与点8,C不重合），从点尸看这两座建筑物的视角分别为N4 P 8=a,ZDPC=/I,问点P在何处时，a+4最小？参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【详解】f（x）=吗-X）=_;+si n.=_/（）,故奇函数，四个图像均符合。1 +X 1 +厂r 4-e in y当X G（0,万）时，si n x 0,-0,排除 C、D1 +xr -I-cin x当 x e（乃,24）时，si n x O,排除 A。1 +x故选B。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。2.B【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的塞指数等于3,求出 的值，即可求得含F项的系数.【详解】(x 的展开式通项为(+1=墨.1-1_之)=玛(_2)_?一3令6-3厂=3,得r=1,可得含1项的系数为C：x(2)=1 2.故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.3.D【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为行，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为V =2 x 2 x 2-8 x L L l x l x l =3 2 3故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.4.A【解析】根据题意得到a=beJa2+h2=f，化简得 到/=3b2,得到答案.【详解】八b be c根据题意知：焦 点/9,0)到渐近线y=x的距离为=/,=-,a yla+b 2故 片=3，故渐近线为x 6 y =().故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.B【解析】根据三角函数的定义求得sin。,cos。后可得结论.【详解】由题意得点P与原点间的距离r=+(3/n)=5帆.当机 ()时，r=5m 9.3m 3-4m 4 sintz =,costz=-=95m 5 5m 53 4 2 2sin。+costz 2 x-.5 5 5当机 0,b0_k jx=2（Q-x）a=0.BP=2PA：.x,y-b）=2（a-x,-y）,gpo；P,Q关 于 轴 对 称 :.Q（-x,y）.一3OQ-AB=（-x,y）-a,b）-ax+by=1 :.x2+3y2=l（x0,y 0）故选：A【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.7.A【解析】根据/（x+1）图象关于）轴对称可知/（X）关于x=1对称，从而得到/（X）在（一8,1）上单调递增且/（3）=/（-1）；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】Q f（x+1）为偶函数./（x+1）图象关于），轴对称/（X）图象关于尤=1对称门1,+8）时，“X）单调递减 时，“X）单调递增又/=/（1）且 1 3 0 即。a 0 ,则g(x)=e*x l在2 0时单调递增，因为g(O)=e 0一1 =0,所以g(x)=e、x 1 2 0,即r(x)=，x 1 2 0,f-4-2 x则以x)=-X/在X N()时单调递增，而0 l n夜 夜，所以/(l n V 2)/(V 2),综上可知，/fln=/(l n V2)B D =3,即点。与点C重合，此时有A C,平面BCD,2过。作 仃,隹 与点凡又8 0,平面A E C,所以B D L b,所以C F L平面45Z),从而角Z C A E即为直线A C与平面A B D所成角，sinZCAE=-=-4=,A E 3A/3 3故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.10.C【解析】由基本音的谐波的定义可得力=叨(eN*),利 用f =_可 得 四=(eN*),即可判断选项.T 2万【详解】由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，由/=1 =?，可知若/；=相(e N*),则必有例=(eN*),T 2万故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.1 1.c【解析】n先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数y =2 s i n(x+w)，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再 结 合 解 得 他 的 取 值 范 围.【详解】式由题化简得百$皿1+以)5工=2,m =2 s i n(x+),67T作出y=2 s i n(x+-)的图象，又由|与一到2%易知()4/篦1.故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.1 2.A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.【详解】v z(l-a i)=2+bi,:.a+i=2+bi,得。=2,b=.：.ab=2.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。11 3.3【解析】根据圆柱。的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.【详 解】1 1 1 1 V V 1由题得，v+/=-3 sn o-o o -s o o -s o =-v,得 -=-.0 U i 3 ox2/3 0ta /3 yz 3故答案为：3【点 睛】本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.1 4.2【解 析】求 出 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 就 可 得 到4c的等式，从而可求得离心率.【详 解】h由题意尸(c,0),一 条 渐 近 线 方 程 为y=/x,即 区-e=0,I F Z)|=,-=b,由 I FD|=OFI得力=,Jh2+a2 2 1 23r.b c2 c2cr,c2=4 t/2 .e =2.4a故答案为：2.【点 睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于。,仇。的等式.1 5.1【解 析】当X =1时，f(x)=s i n(y+5)=:得0 +5=2%乃+,或 切+工=2 A乃+2(A e Z),依 题 意 可 得0 +5=，可 求 得0，6 2 6 6 6 6 6 6继而可得答案.【详 解】1 7T 1因 为 点A的 横 坐 标 为1,即 当X =1时，/=s i n(d y+-)=-,6 2所以 6 9+=Ikn+6 9 +=2k/r+(/:e Z),6 6 6 6又 直 线/：y=,与 函 数/=s i n(5 +5)(。0)的图象在)轴右侧的公共点从左到右依次为4,4，2 6所 以0+7=二，O O一 2 7故 =彳，所以函数的关系式为/(X)=S i n(x+B).3 o当2=3 时，/(1)=s i n(4x3 +J)=1,即点A的横坐标为1,(3,1)为二函数的图象的第二个公共点.故答案为：1.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题.1 6.1【解析】利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.【详解】第一次：x=4,j=l l,第 次：x5t y32t第三次：x=L y=1 4,此 时1 4 1 0 xl+3,输出x,故输出x的值为1.故答案为：6.【点睛】本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)一；(2)见解析.【解析】(D分x W 2、2x 2,综合可得出原不等式的的解集；(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为攵=9,进而可得出。+劭=1,再将代数式9 +,与。+6。相乘，利用基本不等式求得+的最小值，进而可证得结论成立.a b a b【详解】(1)当 x W 2 时，由/(x)2,得 1 4 x+x+2 2,即 1 一3 x(),解得 此时 x W-2；1 3 3当2x 2,即5 x+3 0,解得x:，此时2 x 2,得4 x-l-x-2 2,即3 x 50,解得x；,此时x：.综上所述，不等式/(x)2的解集为(一 8,一|u 1|,+8)；(2)y=y(x)+5|x+2|=|4x l|+4|x+2|=|4x l|+|4x+8|4x l-(4x+8)|=9,当且仅当(4x l)(4x+8)与=8,又；4+白=%+优，Q1/.-3H =_15+8q=g=2或g=5(舍去)，A b=b2q 2=2n+1；2向 2”1 1(2)由(1)可得：%-(2=一 2)(2”-1)一 (2_1)(2向 1)-2-1 -2+-1 12 3 v2-l 22-1 22-1 23-1 2-1 2n+I-l=1-不工 T -,即产 2+3(3)Z =1【解析】（1）假设公差d,公比4,根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，夕，然后利用公式法，可得结果.（2）根 据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.（3）计算出S“，代值计算并化简，可得结果.【详解】解：（1）依题意:即b+2d=qq-+4 +4 d =q/-72d=q14 d=寸-8解得:d=24 =2所以&=2 I bn=2 n-l(2)abn=(2n-)2-,A,=1 +3X2 +5X2?+(2-1)X2 T,24=l x 2 +3 x 22+5 x 23+-.+(2 n-l)x 2,上面两式相减，得：一 =1 +2(2 +2 2 +2”T)-(2 一 1)x 2”则 一 A U+2 X 型 U-(2 -l)x 2n即-A,=(3-2 )x 2-3所以，A“=(2 3 2+3(3)a,；=22-2=4,-1S“=1 +4 +4 2+4 +4，所以S =1-4 1-44-13由 得，*二 1 +1 =.X2 2 T,3 3 31 c 2=-x 2 =一3 3【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.2 0.(I)an=2n-l(I I)2+2-4【解析】(I )设等差数列,的公差为4,则依题设d=2.由 4+4=1 4,可得%=2 .由 唾=4 5,得(7-dX7+d)=4 5,可得d=2.所以 4=7-=1.可得q =2 n 1.(U)设6口 =/，则q+C j+7=%+1.即 q+q +-+cn=2n,可 得%=2，且q+q+q+cI H 1=2(n+D-所以。4=2,可知c ,=2(eN*).所以4=2 i,所以数列卜)是首项为4,公比为2的等比数列.所以前项和&=40-2)=2-4.1-2考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式.2 1.(1)八八，P(2,2夜)；(2)1.【解析】(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；(2)设直线/的方程为：x+my-1=0,代入y 2=4 x,得，y2+4 mj -4=0,设 4 (x i,j i),B(X2 j 2)则以+以=-4/n,J i j 2=-4,X+x2=2+4 m2,x i x2=l,而=(%-2,-2 7 2 )pg=(x2-2,y2-2A/2)由此能求出苏.而的最大值.【详解】(1),点厂是抛物线必=2 px (p 0)的焦点，P(2,j o)是抛物线上一点，PF=3,：.2+-=3,2解 得:p=2,抛物线C 的方程为y 2=4 x,点尸(2,)(0)在抛物线C上，A M2=4X2=8,由 0,得力=2 0，尸(2,2 7 2).(2)VF(1,0),设直线/的方程为：x+m j-l=0,代入 y 2=4 x,整理得，y2+4my-4=0设 A(X 1,力),B(X2,J 2),则以，也是 产+/町-4=0 的两个不同实根，J i+j2=-4)n,j i j 2=-4,Xi+X2=(1-，町 1)+(1-my 1)=2-m(j i+j2)=2+4*XX2=(1-w ji)(1-myi)-m Cyi+yi)+/n2jij2=l+4/w2-4m2=l,PA=(%-2,y1 2 /2 ),PB=(*2-2,yQ 2 5/2 ),PA PB=(xi-2)(xi-2)+(2V 2)(2V2)=x iX 2 -2(X1+X2)+4+y%一2及(y+%)+8=1-4-8/n2+4-4+8 7 2 机+8=-87n?+8 y/2 z+5=-8 (机 一 走)2+1.2.当受 时，西.而 取 最 大 值1.2【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.22.(1)10鬲;(2)当 B尸为，=20逝-10君 的 时，a+/?取得最小值.【解析】(1)作 AE_LC,垂足为 E,则 CE=10,D E=1 0,设 8 C=x,根据版/C 4 D =S(2N C 4)得到V3X2-20X-100V3=0,解得答案.(2)设 8P=/,贝l J C P=l()G 0，1 06)，故tan(a+0)=1 0(1 0 x/3 +r)一r+1 0点 一 2 00铅.八 i 0G+/-一1+1 0 2 00求导得到函数单调性，得到最值.【详解】(1)作 A EJ _C Z),垂足为 E,则 C E=1 0,DE=10,设 B C=x,2 0则 tan/CAD=tan(2ZCAE)=2叫 CAE=石 7 l-tan2ZCAE.1 00I-化 简 得 氐2 _2 0 x _ 1 00g=0,解之得，x =1 0 6或*=一 耳（舍），(2)设 8P=f,则 C P=1 06-0/V1 06),1 0 2 0t a n(a+8)=7+1 0百 一 =1 0。6+1 0/=1 (1 肉)1 1 0 2 0-z2+1 0 7 3/-2 0 0 -/2+1 0-2 0 0,1-7W 71 0 6+7 /一产+2 0后-50 0设 尸 d +ioG_ 2 0 0,+10 一2 0 0 r令/(t)=0,因为o v y i o G，得/=2 0忘 io百，当 播（0,2 0 0-1 0月）时，f 0,/是增函数，所以，当f =2 0夜-1 0百 时，/取得最小值，即 痴（a+6 取得最小值,因为 产+1 0后2 0 0 0恒成立，所以/（f）0,所以勿（G+/?）0,ap0 GI 九,兀因 为 尸3次 在 会 万上是增函数，所以当f =2 0夜-1 0 6时，/?取得最小值.【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.