线性代数期末考试试卷答案合集3.pdf

X X X大学线性代数期末考试题一、填 空 题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1 -3 11.若 0 5 光=0,则=。-1 2-2/Lt +x2+x3=02.若齐次线性方程组 修+疝2+鼻=0只有零解，则 九应满足X+/+=03.已知矩阵A,B,C =（Cjj）s x n,满足AC=CB,则A与B分别是.阶矩阵。/、a a 24 .矩阵A=a2 a2 2的行向量组线性。a3 a32 J5 .w 阶方阵 A 满足 A?3A E =O,则 A-i=。二、判断正误（正确的在括号内填“J ，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组外,牝，风”中，如果与与对应的分量成比例，则向量组勾，的，4线性相关。()014 .A=001 0 00 0 00 0 10 1 0则 A-1=A。()5 .若X为可逆矩阵A的特征值，则AT的特征值为X。（）三、单 项 选 择 题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）1.设A为阶矩阵，且 网=2,则 件 耳=（）。2 2T 2 e 42.维向量组%，。2,，,v（3 s n）线性无关的充要条件是（）。4,，&中任意两个向量都线性无关 四,a2,-,a,中存在一个向量不能用其余向量线性表示 必，a?，4中任一个向量都不能用其余向量线性表示 4,a 2，见 中不含零向量3.下列命题中正确的是（）。任意个+1维向量线性相关 任意个+1维向量线性无关 任 意+1个 维向量线性相关 任意+1个 维向量线性无关4.设A,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。若A,8均可逆，则A+8可逆 若A,B均可逆，则A 8可逆 若A+B可逆，则A 8可逆 若A+B可逆，则A,6均可逆5.若匕，v2,v3,匕是线性方程组AX=0的基础解系，则匕+%+匕+匕是4*=0的（)解向量基础解系 通 解 A的行向量四、计 算 题（1.计算行列式解x+a ba x+ba ba b每小趋x+aaaaccx+ccg9分，共63分)bedx+b c dab x+c db c x+dd x+a+h+cd x+a+b+cd x+Z?+cx+d x+c b c d+d b c+d x+h c+d b x+c+d b cdddx+d1 hc d=(x+a+b+c+d)1 冗+b c cl1 h x+c d1 b c x+d=(x+a+b+c+d)0 A0 00 00 0 3=(x+a+Z?+c+d)xx 00 x o n2.设A3=A+2 B,且4=11 0,求8。解.(A 2E)8=A(0 1 4J2 -1-f-5-2 -2(A-2EY=2-2 -1,B=(A-2EYA=4-3-2-1 1 1-2 2 33.设 8=1000-11000-11000-11、C=72000120031204、；且矩阵X满足关系式X（C B）=E,求X。2,4.问。取何值时，下列向量组线性相关?(r_na-2|=-2，。2 =a122a+%2+A 35.几为何值时，线性方程组，玉+A2+七=-2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多X +x,+Axj 2.解时求其通解。当2 且4/一2时，方程组有唯一解;当4 =-2时方程组无解当;1 =1时，有无穷多组解，通解为X量用该极大无关组线性表示。6.设必 二41，a?2)9-1，%=1、0-3,04 二3、10-7.求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向、一 3,、一“、-7）1 0 07.设A=0 1 0,求A的特征值及对应的特征向量.、0 2 1,五、证 明 题（7分）若A是阶方阵，且4 4 1=/,网=一1,证 明|A +/|=0。其中/为单位矩阵。X X X大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.5 2.3.sx s，nxn4.相关5.A-3 E二、判断正误1.X 2.J3.V 4.J5.X三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x+a bedx+a+b+c+d beda x-b c dx+a+b+c+d x+b c da b x+c dx+a+b+c+d b x+c da b c x+dx+a+h+c+d b c x+d1 b cdI b c d=(x+o+b+c+d)1 x+b cd=(x+a+b+c+d)0 x 00=(x+Q+b+C+d)/1 b x+cd0 0 x 01 b c x+d0 0 0 x2.一 2-1-f-5 -2 -2(A-2E)B =A(A-2 E Y =2-2 -1,B=(A-2 E Y A=4-3 -2-11 1-2 2 33.C-B =-1 2 3 4-1 0 0 o-0 1 2 32 1 0 0，（c-砂=0 0 1 23 2 1 00 0 0 14 3 2 1(C-1000一1000-211-20100,*=卜-5)1=-211-2010001-2101-214.a,a2,a3 =-a 一！=(2Q+1)2(2Q-2)当。=一,或a =l 时，向量组,a2,火 线性相2 2 8 25.当;I H 1且X H -2时，方程组有唯一解；当4 =一2时方程组无解当4 =1时，有无穷多组解,14(,a2,a3,4 4)=j0-1 0 0-20 1 0 20 0 1 10 0 0 02 1 39 0 10-1-3-7-3-1-71 2 10 1 -40-3-40-3-131213-201-4-2-1000-16-16-700-13-13则 r(a,a2,av 4)=3，其中 4，a2,q 构成极大无关组，%=一2%+2a 2 +%7.A-l 0 0AE-A=002-1 0=(A -1)*3=0 17、已知方程组2J-2 2-1五、证明题 0 0 o-1 o-特征值4=4=%=1,对于入1 =1,2)E A =0 0 0,特征向量为人0+100-2 001|A +Z|=|A +必=|A|/+A =-(/+A)=-(/+A).,.2|(/+A)=0,.1(/+A)=0一、选择题(本题共4 小题，每小题4 分，满分16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、设A,B为 n阶方阵，满足等式4 8 =0,则必有()(A)A =0 或 8 =0;(B)A+B =0;(C)网=0 或同=0;(D)|A+B|=0.2、A 和8均为“阶矩阵，且(4+5)2=4+2 4 5 +5 2,则必有()(A)A=Ex(B)3 =E；(C)A=B.(D)A B=B A03、设A 为机x 矩阵，齐次方程组Ax =0 仅有零解的充要条件是()(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；(C)A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关.4、”阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是()(A)A 的秩小于“；(B)M上0；(0 A 的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4 小题，每题4 分，满分1 6分)5、若 4 阶矩阵A 的行列式|川=-5,A*是A 的伴随矩阵，则“卜 o6、A 为“X 阶矩阵，且A2 A 2 E=0,贝!|(A+2 E)T=1产、。+2 x2-2人123rn=3无解，贝!|a1 4,8、二次型/(%,龙2，光3)=2%2+3 4+江；+2 中2 +2 中3是 正 定 的，则，的 取 值 范 围是O三、计算题(本题共2 小题，每题8 分，满分1 6分)1+x 1 1 19、计算行列式。=:J 1 1 1 +y 11 1 1 1-1 0、计算阶行列式%1 +3 x2 xnD =X x,+3 xnx x2 xn+3四、证明题(本题共2 小题，每小题8 分，满分1 6分。写出证明过程)1 1、若 向 量 组。3线性相关，向量组里,%，线性无关。证明：(1)生能有。2，。3线性表出；(2)%不能由四,%,%线性表出。1 2、设A 是阶矩方阵，E 是阶单位矩阵，A+E 可逆，且/(A)=(E-A)(E+A)T。证明(1)(E+/(A)(E+A)=2 E；/(7(A)=A。五、解答题(本题共3 小题，每小题1 2 分，满分3 2 分。解答应写出文字说明或演算步骤)2 0 0、1 3、设A=0 3 2 ,求一个正交矩阵P使得P-4 P 为对角矩阵。1 0 2 3,%1 +x2+x3=01 4、已 知 方 程 组，+2X2+axy=0与 方 程 组X 1+2/+七=a-l有 公 共 解。x,+4X2+a2x3-0求。的 值。1 5、设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为3,已 知 小，%,%是它的三个解向量,且23求 该 方 程 组 的 通 解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、Ao二、填空题5、-1 2 5;7、-1；三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:第 二 列 减 第 一 列，第 四 列 减 第 三 列 得：D00000（4分）按第一行展开得 x 1 0D=x 0 y 00 1 一 y按第三列展开得 x 0D =-xy-x2y2 0（4 分）1 y1 0、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子3=i为上三角形行列式+3 ,再通过行列式的变换化(4 分)=3T（4 分）/=1?四、证明题11、证明：(l)因为%，4,。3线性无关，所 以%，出线性无关。，又四，%，。3线性相关，故 因 能 由。2，。3线性表出。（4 分）r(t z,a2,%)=3，(2)、(反正法)若不，则%能 由%，线性表出，不妨设%=匕 +左3。3。由(1)知，必 能 由。2，。3线性表出，不妨设%=/必+。2。3。所以%=2 +2%)+k2a2+k3a3，这表明%，。3，a4线性相关，矛盾。1 2、证明(1)(E+/(A)(E+A)=E+(E-A)(E+A)-1(E+A)=(E+A)+(E-A)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(E-A)=2 E(4 分)(2)f(f(A)=E-f(A)E+f(A)Y由(1)得：E+/(A)=g(E+A),代入上式得/(/(A)=E-(E-A)(E+A V ；(E+A)=；(E+A)(E-A)(E+A)-1；(E+A)=-(+A)-(-A)=A(4 分)2 2五、解答题13、解：（1）由|丸-川=0 得A 的特征值为4=1，0、（2）4=1 的特征向 量 为-1，%=2的特征向量为与=101，0、4 =5 的特征向量为刍=1 O（3）因为特征值不相等，则人勤刍正交。（0）f1（4）将配打女单位化得目=；T，P 2=0 1 0/、0 1 0（5）取 P =（P 1，P 2，P 3）=-七 eX o J-1&乙=2,4=5。（4 分）（3 分）（2 分）j凸=打盛分）(0 0、(6)P AP=0 2 0 (1 分)、0 0 5,1 4、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为Ar =0因R(A)=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。(5 分)另方面，记向量J=2 7 -(+%),则A J=A(2|一 小一%)=2 A 7 -A%-A%=2b-b-b=G直接计算得J=(3,4 5 6)7/0,自就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为1 5、解：将与联立得非齐次线性方程组：%+/=，%+2X2+ax3=0,x+4X2+a2x3=0,+2 x,+x3=a 1.若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵可作初等行变换得：4 1 1 0、u 1 1 0、1 2 a 00 1 a-0彳=.(4 分)1 4 a2 00 0 (a -2)(a-l)0J 2 1 a-1.0 1 a c i 1,1 当。=1 时，有r(A)=用=2 3,方程组有解，即与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时q0 1 0、01 0 000 0 00 03-1、则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为：0,-1、所以与的全部公共解为k 0,女为任意常数.2当。=2时，有（4）=4,）=3,方程组有唯一解，此时（4分）100、0010000100、1-10,故方程组的解为：1 ,即与有唯一公共解工=（4分）0、01,-1、7线性代数习题和答案好东西第 一 部 分 选 择 题（共2 8分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2 分，共 28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1 .设行列式a11 a12二 m,a13 all=n,则行列式all a12+a13等 于（）a21 a22a23 a21a2l a22+a23A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-nQ o0、2.设矩阵A=0 20，则 A-1等 于（）0 03,3 -13.设 矩 阵 人=1 0、2 12-1 ,A*是 A 的伴随矩阵，则 A*中 位 于（1,2）的元素是（4,)A.6C.2B.6D.-24.设A 是方阵，如有矩阵关系式A B=A C,则 必 有（）A.A=0B.B*C 时 A=0C.AHO 时 B=C D.|A|wO 时 B=C5.已知3 X 4 矩阵A 的行向量组线性无关，则 秩（A D 等 于（）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组a”a2,仁 和 心，02,依均线性相关，则（）A.有不全为0的数%,入 2，入S使入1 a 1+入2 a 2+A s a s=O和入I B|+入2 6 2+入s B S=OB.有不全为0的数人入 2,，入 s使入 1 (a|+0 1)+入2(a 2+P 2)+,+X s(a s+0 s)=0C.有不全为0的数人I，入 2，入 s 使入 1 (a|)+X 2(a 2 0 2)+,+X s(a sB s)=0D.有不全为0的数入i,入2，入 s 和不全为0的数口 1,口2，U s 使L a 1+入2 a2+入sa$=O和口 1B i+u 2 B 2+U s P s07.设矩阵A 的秩为r,则 A 中（A.所有r-l 阶子式都不为0C.至少有一个r 阶子式不等于08.设A x=b 是一非齐次线性方程组,A.n i+n 2是 Ax=o的一个解c.n|-。2 是 Ax=o的一个解9 .设n阶方阵A 不可逆，则 必 有（A.秩（A）nC.A=OB.所有r-l 阶子式全为0D.所有r 阶子式都不为0Hi,n 2是其任意2个解，则下列结论错误的是B.-n 1+-。2是 人*=1）的一个解2 2D.2 n 1-n 2是 Ax=b 的一个解）B.秩（A）=n-1D.方程组A x=O 只有零解1 0.设A 是一个n（2 3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数人和向量a使 A a =A a ,则 a是 A 的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a ,使（A E-A）a=O,则入是A 的特征值C.A的 2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入I，入 2,入 3 是 A 的 3个互不相同的特征值，a）,a 2，a 3 依次是A 的属于A”X2,入 3 的特征向量，则 a 1，a 2，a 3 有可能线性相关1 1.设入o是矩阵A 的特征方程的3 重根,A 的属于入0 的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A.k W 3B.k 31 2 .设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是()A.|A/必 为 1 B.|A|必 为 1C.A-=AT D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组1 3 .设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CT AC.则()A.A与 B 相似B.A 与 B 不等价C.A 与 B 有相同的特征值D.A 与 B 合同1 4 .下列矩阵中是正定矩阵的为(1 0 0、C.0 2 -3、0 -3 5,1 1 、D.1 2 0J 0 2,第二部分 非选择题(共72分)二、填空题(本大题共1 0 小题，每小题2分，共 2 0 分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1 11 5 .3 5 6 =.9 2 5 3 6 设 A=(；J厕 A+2 B=3、1 7.设 A=(a i j)3 x 3 ，|A|=2 ,Ai j 表 示|A|中 元 素 a”的 代 数 余 子 式(i,j=1,2,3 ),则(a“A2 l+a i 2 A2 2+a i 3 A2 3)2+(a 2 1 A2 1+a 2 2 A2 2+a 2 3 A2 3)2+(a 3 1 A2 l+a 3 2 A2 2+a 3 3 A2 3)2=.1 8.设向量(2,-3,5)与 向 量(-4,6,a)线性相关，则 a=.1 9 .设A 是 3X4矩阵，其秩为3,若 n i，皿 为非齐次线性方程组A x=b 的 2个不同的解，则它的通解为.2 0 .设 A是 mXn矩阵，A的 秩 为 r(，2、已知a=-1是它的一个特征向量，则 a所对应的特征值为、2,2 4 .设实二次型f(X|,X 2,X 3,X 4,X 5)的秩为4,正惯性指数为3,则 其 规 范 形 为.三、计 算 题(本大题共7 小题，每小题6分，共 4 2 分)12 0).、/2 3 -1 12 5 .设 A=3 4 0 ,B=.求(1)A Br；(2)|4 A|.V 2 4 0 )l-l 2 )3 1-122 6.试计算行列式-:5 八1 3 :-42 0 1-11-5 3-3 4 2 32 7.设 矩 阵 人=1 1 0、-1 2 3,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB=A+2 B试判断a 4 是否为a a 2，a 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。1 -2 -1-2 4 22 9 .设矩阵人=、，n2-10、3 3 30 2 6 -62 33 4；求：（1）秩（A）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。0 -2 2 3 0 .设矩阵A=-2 -3 4 的全部特征值为1,1 和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使 T-】AT=D.、2 4-3,3 1 .试用配方法化下列二次型为标准形f(Xi,X2,X3)=Xj+2X 2 3X3+4 X|X2-4 X X3-4X 2X 3，并写出所用的满秩线性变换。四、证 明 题（本大题共2小题，每小题5分，共 10分）3 2 .设方阵A满足A 3=0,试证明E-A可逆，且（E-A）T=E+A+A2.3 3 .设no是非齐次线性方程组A x=b 的一个特解，&2 是其导出组A x=0的一个基础解系.试证明（1）n 1 =n 0+1,n 2=n o+&2 均是 A x=b 的解；（2）n。，n 1,n?线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2分，共 2 8分）l.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.Bll.A 12.B 13.D 14.C二、填 空 题（本大题共10空，每空2分，共 2 0分）15.617.418.-1019.ni+c(n2-n0(或 Q 2+c(n2-n D)，c 为任意常数2 0.n-r2 1.-52 2.-22 3.124Z23Z+22Z+21Z24.三、计 算 题（本大题共7小题,每小题6分，共 4 2 分）1 2 0V 2-i2 5.解(1)A B T=3 4 0342 1 八-10；2 6.解2 7.解186、1010；(2)|4 A|=43|A|=6 4|A|,而|A|=23 4-1 2001所以 14 A l=6 4 (-2)=-12 83-52 01 -55-11-55-6-5-1313-512-52-4-1-3-101（）0-6-55-110 02-5-13131-100=3 0+10=4 0.A B=A+2 B 即(A-2 E)B=A,而(A-2 E)T=所以2 8.解一0321-12-120)B=(A-2 E)-A=1-4-5632-2-324302-1000100000100-8-912-6、-60-149318-1400109J102、0；528-14；-4-56-3、-34；-3 V4-34;-5-3113301-122-2、-12(0000031105、20；3、0y所以a 4=2 a|+a 2+a 3，组合系数为(2,1,1).解二 考虑 a 4=xi a +x2 a 2+X3 a 3，2 x +x2 +3 X3 =0即Xi 72 x2 +2 x3 =43 x +4 x2 -X3 =9.方程组有唯一解（2,1,1）T,组合系数为（2,1,1）.2 9.解 对矩阵A施行初等行变换U -2 -1 0 2、0 0 0 6 -2A-0 3 2 8-2 0 9 6 3 -2;1 -2 -1 0 2、0 3 2 8-3,0 0 0 6 -2 0 0 0-2 1 7,（1）秩（B）=3,所 以 秩（A）（2）由于A与 B的列向量组有相同的线性关系，而 B是阶梯形，B的 第 1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A的 第 1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的 第 1、2、5列 或 1、3、4列，或 1、3、5列也是）3 0.解 A的属于特征值入=1 的 2个线性无关的特征向量为&!=（2,-1,0）&2=（2,0,1）T.,1 -2 -1 0 2 ,0 3 2 8-30 0 0 3 -1 0 0 0 0 0,:秩(B)=3.2 后/5、经正交标准化，得 n 尸-45/5 2 石/15、n 2=4 V5/15、6/3,入=-8的一个特征向量为，1 (1/3&3=2 ,经单位化得n3=2/3 .、-2,1 2/3,2 石/5 2 V15/15 1/3、所 求 正交矩阵为T=-7 5/5 4 7 5/15 2/30 V5/3 -2/3,1 0 0对 角 矩 阵 D=0 1 0.、0 0-8 2旧 15(也可取 T=0/52 V15/15 1/3、-V5/3 2/3 .)-4 回 15 -213,3 1.解 f(xi，X2,X3)=(X1+2 X2-2 X3)2-2 X22+4 X2 X3-7 X32=(X|+2 X2-2 X3)2-2 (X2-X3)2-5 X32.Y1=X1+2X2-2X3设 丫2 =X2-X3,)3 =x3rl -2因其系数矩阵C=0 1经此变换即得f(X”X2,X3)的标准形yi2-2y22-5y32.四、证 明 题(本大题共2 小题，每小题5 分，共 10分)32.证 由 于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.33.证 由假设 A n()=b,A&i=0,A 2=0.(1)A a i=A (n()+i)=A H o+A&i=b,同理 A n 2=b,所以5，112是A x=b的2个解。(2)考虑/on o+/i n i+，2 n2=o,即(/0+/1+/2)n()+/1 8 1+/2 8 2=0.则 4)+/I+/2=O,否则n o将是A x=o的解，矛盾。所以h&+h 2=0-又由假设，小，g 2线性无关，所以k 0,/2=0,从 而/o=o.所以no，n i-线性无关。