2022-2023年艺术生新高考数学讲义第09讲 导数的运算及切线方程（学生版含解析）.pdf

第09讲导数的运算及切线方程【知识点总结】一、基本概念1、导数的概念设函数y=J(x)在X=X。附近有定义，如果心今0时，Ay与心的比A2（也叫函数的平均变化率）Ax 有极限，即竺无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数y=J(x)在x=x。处的导数，记作f(x。)或Ax y即f(x。)limAy f伈釭）f伈）f(x)-f、(x。)仁Xo 心分0A=lim A=lim 心分0户Ox-x。2、导数的几何意义函数y=J(x)在Xo处的导数f(x。)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x。)处的切线PT的斜率，即tan a=f（动，其中a为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为y-y。=f(x0Xx-x。)y P(.u,y。);y=f(x)I X。X3、导数的物理意义设t=O时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离S=S(t)在to t1时刻，车走了S亿）S(t)这一段时间里车的平均速度为s(r,)-s伈）0),，当t，与t。很接近时，该平均速度近似于t。tII。时刻的瞬时速度若令t1to,则可以认为1imS(t1)-S(t0)。，即S伈）就是to时刻的瞬时速度,I,o t1-t。二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表y=J(x)y=f(x)y=c y=O y=x(x e N*)y=nx-1,n为正整数y=xa(x O,a:;0且aEQ)y=ax”一1,a为有理数y=ax(a O且a;/:;l)y=ax In a y=logax(aO且a=1:-l.xO)y=sinx y=cosx 庄（五），立尺）卢(Inx)，飞三、导数的运算法则（和、差、积、商）设u=u(x),v=v(x)均可导，则,1 y=xln a y=cosx,.y=-smx,(1)(u土v)=U士v;(2)(ku)=ku(k E R);,(3)(uv)=uv+uv;注：(cf(x)=lf(x)(cER).四、复合函数的导数(4)(;)=(v-:t=O)复合函数y=Jg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系yxy,，u，该关系用语言表述就是“y对x的导数等千y对u的导数与u对x的导数的乘积，也就是先把g(x)当作一个整体，把y=Jg(x)对g(x)求导，再把g(x)对x求导，这两者的乘积就是复合函数y=fg(x)对x的导数，即(f g(x)=fg(x)g(x)【典型例题】例I.(2022全国高三专题练习（理）已知函数f(x)=x2 lnx-2x+1,则曲线y=f(x)在点(l,f(l)）处的切线方程为（)A.2x+y-1=0 B.x-y-2=0 C.x+y=O D.x-2y-4=0 例2.(2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知f(x)为偶函数，当x$;0时，f(x)=e气i-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线斜率是()A.1 B.2 C.e D.e-2l 例3.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=2lnx+8x,则hm/(1+2心）/(1)的值为（)心OAx A.-20 B.-10 C.10 D.20 例4.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=ln x+x2,则f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为2 例5.(2022全国高三专题练习）若直线y虹与曲线y产相切，则切点坐标为拉，冗例6.(2022全国高三专题练习（文）已知函数f(x)-f()sinx+cosx,则曲线y=f(x)在点(O,J(O)2 4 处的切线方程是例7.(2022浙江高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数.;,32+x l I 1;)XX=yy、丿）l2(3)y=ln(2x+3);(4)y=(x2+2)(2x-1);(5)y=cos（三例8.(2022全国高三专题练习）已知曲线S:y=2x-x3.(I)求曲线S在点A(l,1)处的切线方程；(2)求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程【技能提升训练】一、单选题I.(2022全国高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离S（米）与时间t（秒）的关系为s(t)=5t+2t2 则该物体在运动前2秒的平均速度为（A.18米秒B.13米秒C.9米秒D.13 2 米秒2.(2022全国高三专题练习）函数f(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（y-)4321。A.2 4 5 X 0 f(2)f(3)f(3)-f(2)C.0 f(3)/(2)f(3)-f(2)B.D.0 J(3)f(3)-f(2)J(2)0 f(3)-f(2)J(2)J(3)j(l心）j(l)3.(2022全国高三专题练习（理）若函数f(x)可导，则lim等于（凶O2fu、丿飞）4.(2022全国高三专题练习（理）已知函数f(x)x勹C/X,若limf(26x)-f(心）=12,则a=(t:,x-,O公xA.叮(1)B.、.,l(尸J1_2 C.1-f(l)2 D.、丿A.36 B.12 C.4 D.2 5.(2022全国高三专题练习（理）已知函数f(x)的图象如下所示，f(x)为f(x)的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（、丿y X A.f(x主f（动C.f化）叮（动O)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是一，），e 3 2 则a=()A.上12 1-3 B 3-4 c D.3 9.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=aex+x的图象在点(0,a)处的切线过点(2,5)，则a=()A.l B.2 C.1 D.2 10.(2022全国高三专题练习）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1.g(l)）处的切线方程为y=2x+I,则曲线y=f(x)在点(1,J(l)）处的切线的斜率为（)A.4 A.(l,l)B.-=-C.2 D._.:.4 2 3 11.(2022全国高三专题练习）曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角为兀，则点P的坐标为（）4 C.（扣）B.(-1,-1)D.(l,l)或(-1,-1)12.(2022全国高三专题练习）若点P是曲线f(x)=-lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小值为（）A.I B.五至2c D.3 13.(2022全国高三专题练习（文）曲线y=f(x)在x=l处的切线如图所示，则f(l)-f(1)=()y x A.0 B.2 C.-2 D.l 14.(2022全国高三专题练习（文）直线y=kx+3与曲线f(x)=alnx+b相切千点P(l,2)，则a劝（)A.4 B.3 C.2 D.I 15.(2022全国高三专题练习（文）直线y虹l是曲线y=l+lnx的一条切线，则实数K的值为()A.e B.e2 C.1 D.e-1 16.(2022全国高三专题练习）动点P,Q分别在函数f(x)=e+x,g(x)=2x-2的图象上运动，则IPQI的最小值为（)A.五B.5五4 C.3石5 D.石17.(2022全国高三专题练习）已知曲线f(x)矿在点P(O,J(O)）处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则a的值为（)e-3 A e-2 B C.e2 3e_3.D 18.(2022全国高三专题练习）已知困数f(x)=ae+x2的图象在点M(l,J(l)）处的切线方程是y=(2e+2)x+b,那么ab=()A.2 B._ C.-1 D.-2 19.(2022全国高三专题练习）设曲线J(x)=aex+b和曲线g(x)=cos竺:+c在它们的公共点M(0,2)处有2 相同的切线，则b+c-a的值为（)A.0 B.冗C.-2 D.3 20.(2022全国高三专题练习）已知定义在区间(o,)上的函数f(x)2x2+m,g(x)31nxx,若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（)A.2 B.5 C.1 D.0 21.(2022全国高三专题练习（理）设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为o卫，则点P横坐标的取值范围为A 1分4Bl,OCO,l D.扣22.(2022全国高三专题练习）已知函数J(x)的导函数为f(x)，且满足J(x)=2xf(e)+lnx,则f(e)=()A.e B.-1 C.-e-1 D.-e 23.(2022全国高三专题练习）设儿(x)=sinx,J;(x)=J(x)，几(x)=fi(x),，比(x)=J;(x),nEN,则f202o(x)=()A.sinx B.sinx C.COSX D.-cosx 24.(2022全国高三专题练习）设f(x)=(2x+a)2,且/(2)=8,则常数a的值为（)A.0 B.-2 C.l D.2 二、多选题25.(2022全国高三专题练习）（多选）为了评估某和治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测显，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度C（单位：mg/mL)随时间t（单位：h)变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（)c(mg/mL)j0 甲乙t 1 f,”t(h)A.在ti时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B在h时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同C.在l2l3这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D在屈，皂两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同I 26.(2022全国高三专题练习）若直线y=x+b是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是()2 1 A.f(x)=.:.X B.f(x)=X4 C.f(x)=sin x D.f(x)=e 27.(2022全国高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是()A.(3)=3log3e B.(ex)=e C（勹xD.(x-e人）3+llnx 三、填空题28.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=ax2在区间1,2上的平均变化率为石，则f(x)在区间-2,-1上的平均变化率为.29.(2022全国高三专题练习）已知函数y=f(x)=2x丘l在X=Xo处的瞬时变化率为8，则f(x。).30.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=lnx+x丘x,则f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为2 31.(2022-全国高三专题练习）曲线）xlnx的一条切线过点(0,-3)，则该切线的斜率为.32.(2022浙江高三专题练习）曲线y=xJ石x+2上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是.33.(2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数J(x)=e气x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(OJ(O)）处的切线方程是.34.(2022全国高三专题练习）已知瓜）灶，则过点P(-l,0)，曲线y知）的切线方程为35.(2022全国高三专题练习（文）已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=J(x)相切，则直线l的方程为36.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(l,O)处的切线与直线3x+y=O平行则2a+3b=37.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=2lnx,g(x)=ax2-x-l(a0)，若直线y=2x-b函数Y=f(x),y=g(x)的图象均相切，则a的值为.38.(2022全国高三专题练习）函数y=J(x)的图象在点P处的切线方程是：y=-x+8,若点P的横坐标为5,则f(5)+/(5)=_.39.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=aln x+bx2的图象在点P(l,I)处的切线与直线x-y+l=O垂直，则a的伯为40.(2022全国高三专题练习）已知函数l(x)=ae-2x+b(a,b E R)在x=1处的切线方程为(e-2)x-y+l=0,则f(ln2)=_.41.(2022全国高三专题练习（理）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼的办法求出了圆周率冗的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设f(x)=e,;,则f(x)=，其在点(0,1)处的切线方程为.42.(2022全国高三专题练习）设瓜）ae+blnx,且fCl)=e,f(-1)=.:，则a+b=_.四、解答题43.(2022全国高三专题练习）求下列函数的导数：1 1 Cl)y=x（灶六）；X X 1(2)r.=（五1)（一1);石(3)r.=xtanx;X X(4)-X-sincos;2 2(5)y=31nx+ax(aO，且吁l).44.(2022全国高三专题练习（文）下列函数的导函数(1)y=X43x25x+6;X X(2)y=Y+sin-:-cos-:-;2 2(3)y=x-log2 x;cosx(4)y=.X 45.(2022全国高三专题练习）求下列函数的导数(l)y=x3+3x2-5;(2)y=xsin x五.2x n xx.1 nx-s=.sl-l=yy）、丿34(46.(2022-浙江高三专题练习）已知函数y=xlnx.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x=l处的切线方程47.(2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文）已知函数f(x)=ex-x2-ax的图象在x=O处的切线方程为y=2x+b.求实数a,b的值；48.(2021全国高三专题练习）已知涵数J(x)=x勹ax2+bx矿，当b=l时，曲线y=f(x)存在垂直于Y轴的切线，求a的取值范围49.(2021福建晋江高三阶段练习）已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(l,-2)，过点P作直线l.Cl)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程；(2)求与曲线y=f(x)相切且切点异千点P的直线l的方程第09讲导数的运算及切线方程【知识点总结】一、基本概念1、导数的概念设函数y=J(x)在X=X。附近有定义，如果心今0时，Ay与心的比A2（也叫函数的平均变化率）Ax 有极限，即竺无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数y=J(x)在x=x。处的导数，记作J(x。)或Ax yI x=x。即J(x。)lim=limAy j.（x。十釭）小。）f(x)-f伈）心OAx心OA=lim xx。x-x。2、导数的几何意义函数y=J(x)在Xo处的导数f(x。)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x。)）处的切线PT的斜率，即tan a=f（动，其中a为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为y-y。=f(x。Xx-x。)y P（环Yo);y=f(x)I X。x3、导数的物理意义设t=O时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离S=S(t)在to t1时刻，S(tl)-s伈）车走了S亿）S伈），这一段时间里车的平均速度为，当t1与t。很接近时，该平均速度近似千t。ti-t。时刻的瞬时速度若令t1to,则可以认为JimS(/1)-S(t0)。，即S亿）就是to时刻的瞬时速度t,-,to t1-t。二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表y=J(x)y=f(x)y=c y=O y=x(x e N*)y=nx-1,n为正整数y=xa(x O,a:;0且aEQ)y=axa-1,a为有理数y=ax(aO且a:/:.l)y=ax In a y=logax(aO且a=t:-1.xO)y=sinx y=COSX 注（五），二厂）上(lnx)1=2xl_x)x2,-i x 三、导数的运算法则（和、差、积、商）设u=u(x),v=v(x)均可导，则,1 y=xln a y=cosx,.y=-smx,(1)(u土v)=U士v;(2)(ku)=ku(k eR);,(3)(uv)=uv+uv;注：(cf(x)=lf(x)(cER).四、复合函数的导数(4）厂）uV-2uv（吐0)VJ V 复合函数y=Jg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系yxy,，u，该关系用语言表述就是“y对x的导数等千y对u的导数与u对x的导数的乘积，也就是先把g(x)当作一个整体，把y=Jg(x)对g(x)求导，再把g(x)对x求导，这两者的乘积就是复合函数y=fg(x)对x的导数，即（f正）fg(x)g(x)【典型例题】例I.(2022全国高三专题练习（理）已知函数f(x)=x21nx-2x+l,则曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程为（)A.2x+y-1=0【答案】C【详解】B.x-y-2=0 C.x+y=O 解：:f(x)=x2 lnx-2x+l的导数为f(x)=2xlnx+x-2,D.x-2y-4=0:.!(1)=1-2=-l.:/(1)=-l,:曲线y=f(x)在点(l,J(l)处的切线方程为y+l=-(x-1)，即x+y=O.故选：C.例2.(2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知f(x)为偶函数，当x:;O时，f(x)=e寸l_ x,则曲线Y=f(x)在点(1,2)处的切线斜率是()A.1【答案】B【详解】B.2 C.e 设xO,则x 0),2.-X l 气x:2b=2，当且仅当x=l时等号成立，:.x=I满足题总，此时/(I)=2,又f(I),2 1:所求切线方程为y=2(x1),11P 4x-2y-3=0.2 故答案为：4x-2y-3=0.例5.(2022全国高三专题练习）若直线y=kx与曲线y产相切，则切点坐标为【答案】(.:.,e)2【详解】设切点的坐标为(m,n),y产的导数为y=2e气山切线方程y虹，可得2e2m=k,n=km=e2111,kO,l 解得,n=-=-,n=e,2 I 即切点的坐标为（一，e).2 故答案为：(I 2,e).5，冗例6.(2022全国高三专题练习（文）已知函数j(x)=rc;)sinx+cosx则曲线y=J(x)在点(O,J(O)2 4 处的切线方程是【答案】x+y-1=0【详解】由题总得f（5，冗x)=f(）COSX-smx，将x竺与x=O分别代入，2 4 4 们（开？f（斤字亨，f(O)孕f匠，解得f（)=-2,f(O)=-1，而f(O)=l,所以所求切线方程是）1-1=-(x-0)，即x+y-l=O.故答案为：x+y-1=0 例7.(2022浙江高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数(1)y=ex;(2)y=x+3;x+2(3)y=ln(2x+3);(4)y=(x2+2)(2x-1);(5)y=cos(2x+气）【详解】(I)因为y=ein.,，则y=esin.,(Sin X)=e sinx COS X;x+3(2)因为y=，则y=(x+3)(x+2)(x+2)(x+3)l=2;x+2(x+2f(x+2)l(3)因为y=ln(2x+3)，则y=(2x+3)=I 2 2x+31 2x+3(4)因为y伬2)(2x1)，则y厅2)(2x-1)+(x2+2)(2x-1)=2x(2x-l)+2(x2+2)=6立2x+4;(5)因为y=cos(2x+f)，故y=-(2x+f sin(2，气）2sin(2x+f)例8.(2022全国高三专题练习）已知曲线S:y=2xx3.(1)求曲线S在点A(l,1)处的切线方程；(2)求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程【详解】(1):y=2x-x3，则y=-3x2+2,:.当x=l时，y1,：点A(l,1)处的切线方程为：y-l=(-l)(x-1)，即x+y-2=0(2)设切点坐标为(m,2m五），则且线斜率k飞：3，而y2-3矿，整理得：m3-3m2+2=0:.m3-nl-2(m2-1)=0，则m2(m-1)-2(m+l)(m-1)=0,即有(m-l)(m2-2m-2)=0,解得m1=l，吓l+3皿1石，当m=l时：k=2-3m2=-1,肖线方程为y=-(x-2)=2-X;当m=l+3时，k=2-3m2=-10-6石，且线方程为y=(-10-63)(x-2):当m=l-时，k=2-3m2=-10+63，直线方程为y=(-10+63)(x-2)【技能提升训练】一、单选题l.(2022全国高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离S（米）与时间t（秒）的关系为s(t)=St+2t气则该物体在运动前2秒的平均速度为（)A.18米秒【答案】CB.13米秒c.9米秒13 D.米秒2【分析】s(2)-s(O)利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为，进而可求得结果2【详解】:s(t)=5t+2t2,s(2)-s(o)18:该物体在运动前2秒的平均速度为=9（米秒）2 2 故选：C.2.(2022全国高三专题练习）函数f(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（)-4321。1 2 3 4 S A.0 f(2)f(3)f(3)-f(2)C.0 /(3)f(2)f(3)-f(2)【答案】BX B.0 J(3)f(3)-f(2)J(2)D.0 f(3)-f(2)f(2)f(3)【分析】利用导数儿何意义和过两点的白线的斜率公式，结合图象即得结果【详解】如图所示，f（2)是函数f(x)的图象在x=2（即点A)处切线的斜率kl,f(3)是函数f(x)的图象在x=3（即点B)处切线的斜率k,f(3)-f(2)=/(3)-/(2)=k 是割线AB的斜率3-2 AB-、J4321。勹J3 4 s X 由图象知，0 k2 kAB kl即0 f(3)f(3)-f(2)0公X6.0 3.6.X 可求解【详解】解：根据题意，f(x)=x勹ax,则f(X)=4_x3+a，则f(O)=a,若limf(2心）f(-:.x)=12,则A,0公xf(2心）f（Ax)f(2心x)-f(心x)lim=3 lim=3J(0)=12,t:x。i:,.xt:x0 3公x则有3a=12,即a=4,故选：C.5.(2022全国高三专题练习（理）已知函数J(x)的图象如下所示，f(x)为f(x)的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是()y x A.f化）f伈）C.j化）f伈）0【答案】B【分析】B.f(x.)f伈）D.f化）汀（凸）0利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断f（x1)与/(x2)、f(x1)与f伈），及其与0的大小关系【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：f(x1)f(x2)0,而f(x1)0O)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是一，一），er 32 则a=()A.上12【答案】C【分析】先求得y上a=e+2丁冗冗e a，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是f万），得到K之，列出方程，即可求解【详解】1-3 B 3-4.c D.3 由题意，函数y=ea-(aO)，可得y=e勹旦2心，ex ex 又由曲线y=e弓(a0)的切线的倾斜角的取伯范围是甘甘可得切线的斜率的取值范围是K之，所以a e+之Jex 又因为ex+2五，所以2嘉打e 解得a=.3 4 故选：C.9.(2022-全国高三专题练习）已知函数f(x)=li矿x的图象在点(0,a)处的切线过点(2,5)，则a=()A.-1 B.-2 C.l D.2【答案】C【分析】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何，意义结合切线经过的两点列式求解即得【详解】依题意，f(x)=ae+J,j(O)=a+l,5a 囚函数f(x)=ae飞x的图象在点(0,a)处的切线过点(2,5)，于足得a+l=，解得a=l,20 所以a=l.故选：C10.(2022全国高三专题练习）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)）处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=f(x)在点(1,f(l)）处的切线的斜率为（)A.4 B.1-4 C.2 D.l_2【答案】A【分析】利用y=g(x)在点(),g(l)）处的切线方程为y=2x+l，可得g(l)=2，然后利用导数的几何意义求f(x)切线斜率即可【详解】因为f(x)=g(x)入;2所以f(X)=g(X)+2x.又曲线y=g(x)在点（l，印）处的切线方程为y=2x+l,所以g(1)=2,所以f(l)=g(l)+2xl=4,即曲线y=f(x)在点(1,J(l)）处的切线的斜率为4.故选：A.3 11.(2022全国高三专题练习）曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角为冗，则点P的坐标为（）4 A.(1,1)B.(-1,-1)C.(,2)D.(1,1)或(-1,-1)【答案】D【分析】可求得切线的斜率k=-1,即J（x。)l,可得解【详解】3 切线的斜率k=tan冗 14 设切点P的坐标为伈，y。），则f(x,。)1.又:f(x)=下，.一亏1解得x。=1或l，:切点P的坐标为(1,1)或(-1,-1).故选：D12.(2022全国高三专题练习）若点P是曲线f(x)=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小值为（）A.1 B.5 5-2 c D.3【答案】B【分析】求出平行千直线y=x2日与曲线y=x2-lnx相切直线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解【详解】设平行千且线y=x-2且与曲线y=x2-lnx相切的且线切点为P(x,y),由y=x2-In x,x 0,则y=2x一，令2x-l，整理得(x-1)(2x+l)=0,解得x=l或x=（舍去），由x=l，可得y=I2-Lnl=l,即切点坐标为P(l,I),1 1-1-21 又由点到直线x-y-2=0的距离公式，可得d=二=5,即点P到直线y=x-2的距离的最小俏为5.故选：B.13.(2022全国高三专题练习（文）曲线y=f(x)在x=l处的切线如图所示，则f(l)-f(1)=C)y x A.o B.2 c.-2 D.-1【答案】C【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出f(l)的仙，利用切线方程求出f(l)的仙，进而可求得f(l)-f(L)的仙【详解】b=2 lk=l 设曲线y=f(x)在x=I处的切线方程为y=kx+b,则，解得-2k+b=O/IJTlJ lb=2 所以，曲线y=f(x)在x=l处的切线方程为y=x+2,所以，f(l)=L/(1)=1+2=3,因此，f(l)-fI)=l-3=-2.故选：C.14.(2022全国高三专题练习（文）直线y=kx+3与曲线f(x)=alnx+b相切千点P(l,2)，则a+2b=()A.4【答案】BB.3 C.2 D.1【分析】将切点坐标代入切线方程可求得k,根据k=f(I)得到a:将切点坐标代入f(x)得到b:由此可求得结果【详解】:P(l,2)为切点，.k+3=2,解得：k=-l,:f(x)=,:.k=f(l)=a=-1,又/(l)=b=2,:.a+2b=-1+4=3.故选：B.15.(2022全国高三专题练习（文）直线y=kx-1是曲线y=l+lnx的一条切线，则实数K的值为（)A.e B.e2 c.l D.e-1【答案】A【分析】设切点为(x。,l+Ln动，求出函数的导函数，即可求出切线方程，冉根据切线过定点(o,l)，即可求出Xo从而求出切线的斜率；【详解】解：设切点为伈，llnx。)，由y=l+lnx,得y一，则y|x=彴=,X。则曲线在切点处的切线方程为y-L-lnx0=(x-.x;。)，X。由已知可得，切线过定点(0,-1),代入切线方程可得：2-ln.x;。=l，解得x。=-,则k=e.X。故选：A.16.(2022全国高三专题练习）动点P,Q分别在函数f(x)=e勹x,g(x)=2x-2的图象上运动，则IPQI的最小值为（)A.$【答案】C【分析】B.5五4 c 3 D.5 根据题意，当过P点的切线与直线y=2x-2平行时，切线与直线y=2x-2的距离即为所求，再根据导数的几何意义求解即可【详解】解：因为f(x)=e人+x,所以f(x)=e十I,设动点P(x。,Yo),当y=f(x)在P点处切线与g(x)=lx-2平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，IP取得最小值，即为两平行自线间的距离，亦即点P到直线2xy2=0的距离是IPQI的最小值令f(x。)e,.十2,解得X。=0,故P(0,1),所以IPmin=d 1-1-21 35=,=-=min$5.故选：C 17.(2022全国高三专题练习）已知曲线f(x)矿在点P(O,J(O)处的切线也是曲线g(x)=ln(a.x)的一条切线，则a的值为（)e-3 A e-2 B C.e2 3e_3 D【答案】C【分析】根据导数的几何总义可求得J(x)在P点处的切线方程，设其与g(x)相切千点（书，ln(ax;。)，由切线斜率可求得Xo，利用两点连线斜率公式构造方程求得a.【详解】:f(x)=e-,:.f(x)=ex,f(O)=l,:.f(O)=l,五f(x)在点P(O,J(O)处的切线方程为：y=x+l;I 设y=x+l与g(x)相切千点（丸ln(ax。)），则g伈）I,解得：女l=l,X。又ln(a.x。)I=1,.ln a-l=l，解得：a=e2X。-O故选：C.l8.（2O22全国高三专题练习）已知函数f(x)=aex+x2的图象在点M(l,J(l)）处的切线方程是y=(2e+2)x+b,那么ab=()A.2 B.1 c.-l D.-2【答案】D【分析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案【详解】因为f(x)=ae+x2,所以/(x)=aex+2x,因此切线方程的斜率k=/(I)=ae+2,所以有ae+2=2e+2,得a=2,又切点在切线k，可得切点坐标为(1,2e+2+b),将切点代入f(x)中，有f(l)=2e+I=2e+2+b,得b=-1,所以ab=-2.故选：D.19.(2022全国高三专题练习）设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cos竺：c在它们的公共点M(0,2)处有2 相同的切线，则b+c-a的值为（)A.0 B.冗C,-2 D,3【答案】D【分析】利用导数的几何，总义可知f(O)=g(O)，可求得a;根据M(0,2)为两曲线公共点可构迅方程求得b,c,代入可得结果【详解】汀(x)=ae,g(x)=-%sin气，f(O)=a,g(O)=O,:.a=O,又M(0,2)为J(x)与g(x)公共点，f(O)=b=2,g(O)=l+c=2,解得：c=l,:.b+c-a=2+1-0=3.故选：D.20.(2022全国高三专题练习）已知定义在区间(O,+co）上的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3lnx-x,若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（)A.2【答案】C【分析】B.5 c.D.0 设两曲线y=f(x)与y=g(x)公共点为(a,b)，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数y=f(x)，即可求解【详解】根据题总，设两曲线y=f(x)与y=g(x)公共点为(a,b)，其中aO,由f(x)=-2x2+m,可得f(x)=-4X,则切线的斜率为k=f(x)=-4a,3 3 由g(x)=-3lnx-x,可得g(x)=-=-1,则切线的斜率为k=g(x)=-=-1,x a 因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，3 3 所以-4a=-.:.-1,解得a=l或a=-（舍去），a 4 又由g(l)=-1,即公共点的坐标为(1,-1)将点(l,l)代入J(x)=-2x2+m,可得m=l.故选：C.21.(2022全国高三专题练习（理）设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为仁，则点P横坐标的取值范围为A.-l,-l 4 i I B.-1,0 C.0,1)【答案】A【详解】D.扣因为f(x)=2x+2，又因为曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为叶，则切线的斜率05kI,所以052x+25I，解得15x5-，故选A2 22.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足J(x)=2寸(e)+ln x,则f(e)=()A.e【答案】C【分析】B.-1 求出导数后，把x=e代入，即可求解【详解】C.-e-1 I 囚为f(x)=2f(e)丿，所以f(e)=2f(e)丿，韶得f(e)=e-1x e e 故选：C.D.-e 23.(2022全国高三专题练习）设fo(X)=sin XJ;(X)=Ii飞(x)，儿(X)=fi(X),.,f,计,(x)=f.:(x),nEN,则f202o(x)=()A.sinx【答案】A【分析】B.-sinx c.cosx D.-cosx 分别求解J;(x),J2(x)，八(x)，儿(x)，归纳可得f,(x)=f,+4(X)，即得解【详解】儿(X)=sin XJ;(X)=J;。（x)=(sinx)=cosx,f2(x)=J;(x)=(cosx)=-sinx,八(x)片(x)=(-sinx)=-cosx,儿（x)=J;(x)=(-cosx)=sinx,所以J,(x)=f+4(x)(nEN).故h02o(x)儿(x)=sinx.故选：A 24.(2022全国高三专题练习）设f(x)=(2x+a)2,且f(2)=8,则常数a的值为（)A.0【答案】B【分析】B.-2 C.l 求出函数f(x)的导函数，冉根据给定等式列式即可求得常数a【详解】fEl f(x)=4x2+4ax+a2得，f(x)=8x+4a,依题意得，f2)=16+4a=8,解得a=-2,所以常数a的仙为2.故选：B二、多选题D.2 25.(2022全国高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测亚，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度C（单位：mg/mL)随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是()c(mg/mL)l t _0 甲乙,t(h)A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B.在6时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同c.在片，g这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D在屈，片，t3 两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同【答案】ACD【分析】根据已知血管中的药物浓度C随时制I变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误【详解】A:在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；B:两条曲线在压时刻的切线的斜率不相哼，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；C-C?C：根据平均变化率公式，可知在t2,t3 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是土:2t3-t2 正确；c勹CI D:在ti片时间段内，中血管中的药物浓度的平均变化率是一一一，在片，t3时间段内，甲血管中的药物浓t2tI c,-c勹度的平均变化率是上:2显然不相呀，正确t3-t2 故选：ACD.26.(2022全国高三专题练习）若直线y=x+b是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是（)A.f(x)=.:_ B.f(x)=,i:4 C.f(x)=sinx D.f(x)=ex【答案】BCD【分析】求得已知直线的斜率k,对选项中的函数分别求导，可令导数为k,解方程即可判断结论【详解】解：直线y=x+b的斜率为K=，2 2 山f(x)的导数为f(x)=六，即切线的斜率小丁0,故A不正确；x-由f(x)=x4的导数为/(x)=4x3,而4x3=，韶得x=，故B正确；2 2 由f(x)=sinx的导数为/(x)=cosx,而cosx=有解，故C正确；2 由f(x)=ex的导数为f(x)矿，而e=-:-，解得x=-ln2,故D正确，2 故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题27.(2022全国高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是()A.（可3xlog3 e B.(ex)=e C(lnlx)=x D.(X ex)=3x+1【答案】ACD【分析】且接利用常见队数的求导公式和导数的匹则运尊即可计算【详解】.误错.吴C、飞昔故,t靡正A 仗xB2 占In x 扣故n l,xx_ 3e,、l_丿x l-ln,I,I)xx(3e,1、,|,(xe入一）=ex+xex,故D错误故选ACD.三、填空题28.(2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=ax.2在区间1,2上的平均变化率为，则J(x)在区间-2,-1上的平均变化率为