2022-2023年艺术生新高考数学讲义第02讲 常用逻辑用语（学生版含解析）.pdf

第02讲常用逻辑用语【知识点总结】一、充分条件、必要条件、充要条件1.定义如果命题“若p,则q”为真（记作pq),则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件2.从逻辑推理关系上看（）若pq且qi.,p，则p是q的充分不必要条件；(2)若Plq且qp,则p是q的必要不充分条件；(3)若pq且qp,则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；(4)若pcq且qi_,p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件对充分和必要条件的理解和判断，耍搞清楚其定义的实质：Pq,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件所谓“充分“是指只要p成立，q就成立；所谓“必要“是指要使得p成立，必须要q成立（即如果q不成立，则p肯定不成立）注：根据互为逆否命题等价若：有pq,则一定有-,q-,p3.从集合与集合之间的关系上看设A=xi p(x),B=x I q(x)(1)若AB，则p是q的充分条件(pq),q是p的必要条件；若A蹑B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即pq且qi_,p;注：关于数集间的充分必要条件满足：“小二大”(2)若BA，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；(3)若A=B,则p与q互为充要条件二、全称量词与存在童词(1)全称量词与全称命题短语”所有的“、任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号”V”表示含有全称量词的命题叫做全称命题全称命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立“可用符号简记为气txeM,p(x)“，读作“对任意x屈千M,有p(x)成立“.(2)存在晕词与特称命题短语“存在一个“、”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在霆词，并用符号“3”表示含有存在最词的命题叫做特称命题特称命题“存在M 中的一个坏，使p(x。)成立“可用符号简记为3x0 EM,P(x。)“，读作“存在M中元素Xo使p(x。)成立（特称命题也叫存在性命题）三、含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p:VxeM,p(x)的否定寸？为玉。EM,-,p(x。)(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p:3x。EM,p(x。)的否定1汀奴XEM,-,p(x).注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一区别否命题与命题的否定CD只有“若p,则q”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式（在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式）；命题“若p,则q的否命题是“若-p则飞1，而否定形式为“若p,则飞1”一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系【典型例题】例l.(2021江苏省前黄高级中学高三阶段练习）设集合A、B是全集U的两个子集，则“A;B”是“An);B=0的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件例2.(2022全国高三专题练习（文）若关千x的不等式Ix-IIa成立的充分条件是0 x4,则实数a的取值范围是（)A.(-oo,l B.(-oo,1)C.(3,+oo)D.3,十oo)例3.(2022全国高三专题练习）设xEZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p:/x E A,2x E B,则（）A.-,p：玉eA,2xeBC.-,p:3xe A,2x茫BB.-,p：玉tA,2x任BD.-,p:Ix 任A,2x!:B（多选题）例4.(2022全国高三专题练习）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（)A.3x。ER,xi-x,。十一2,P=xlx2b”是“log2a log沙的（)A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2022全国高三专题练习）已知命题P:3x。ER,e-x:。-l釭0,则寸为（)A.玉。ER,e书X。10B.3x。ER,e-.x:。-0 C.VxeR,e-x-1 0 D.VxER,eXl O 5.(2022全国高三专题练习）下列命题中，真命题的是（)A.函数y=sinI xi的周期是2冗B.Vxe R,2x x2 x+2 C.函数f(x)=In-是奇函数2-x a D.a+b=O的充要条件是1b 6.(2022浙江高三专题练习）给出下面匹个命题：函数f(x)=2-x2在(3,5)内存在零点；函数f(x)丘言1(卢XER)的最小值是2;1 I 若abO，则一；a b 命题的“3xO,x仁x-2B”是“sinAsinB”的充分不必要条件B.命题“Vxe R,x2以 0的否定是“VxER,x2 l,则xO”的否命题是“若x，则xO9.(2022全国高三专题练习）已知命题p:3xER,x-3lnx,命题q:Vx E R,x2 O,则（)A.P对是假命题B.P/q是真命题C.PA(-,q)是真命题D.pv(-，q)是假命题10.(2022全国高三专题练习）下列叙述中正确的是()A.命题“3xoER,2021.x:妒-2xo+l三0”的否定是“3xoER,2021劝义2x+lOB.a气”是“直线x+y=O和直线x-ay=O垂直的充分而不必要条件C.命题“若而n2=0，则m=O且n=O”的否命题是“若m2+n孕0，则mt-0且吽OD.若pVq为真命题，P/q为假命题，则p,q一真一假11.(2022全国高三专题练习）已知命题p：玉ER,sinx 0对VxER恒成立的一个必要不充分条件是()A.OaI B.0a2 l C.OaO 14.(2022全国高三专题练习）若“x2+3x-40的充分不必要条件，则实数k可以是（)A.-8 B.-5 c.l D.4 15.(2022全国高三专题练习（文）下列选项中，正确的是（)A.命题fxER,x2-x+1凶0”的否定是“3x。ER,.-;。2_x。+1 0且a-:1;-l)的图象恒过定点(I,-2)C.xO”是“入?+x-20的充分不必要条件D.若不等式ax2+bx+30的解集为xl-1 x3，则a+b=l16.(2022全国高三专题练习）命题“3xEl,2,x2a”为真命题的一个充分不必要条件是（)A.al B.a 4 C.a-2 D.a=4 17.(2022全国高三专题练习）下列说法中正确的个数是（)A.命题”所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B.命题VxeR,x2+2lx+yl若x2+y2丑0则xcfcO或Y*O“X a+b 2 是x心忑的充分不必要条件欢O,矿x1”的否定形式是“玉:;o,e-:;x+I 19.(2022全国高三专题练习）若命题“3xo巴R,xo2+xo+mO”是假命题，则实数m的范围是.20.(2022全国高三专题练习）若命题“玉ER,x2-2x+m 0”为真，则实数a的范围是24.(2022全国高三专题练习）写出命题玉ER,x+12:0的否定：第02讲常用逻辑用语【知识点总结】一、充分条件、必要条件、充要条件1.定义如果命题“若p,则q”为真（记作pq),则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件2.从逻辑推理关系上看（）若pq且qi.,p，则p是q的充分不必要条件；(2)若Plq且qp,则p是q的必要不充分条件；(3)若pq且qp,则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；(4)若pcq且qi_,p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件对充分和必要条件的理解和判断，耍搞清楚其定义的实质：Pq,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件所谓“充分“是指只要p成立，q就成立；所谓“必要“是指要使得p成立，必须要q成立（即如果q不成立，则p肯定不成立）注：根据互为逆否命题等价若：有pq,则一定有-,q-,p3.从集合与集合之间的关系上看设A=xi p(x),B=x I q(x)(1)若AB，则p是q的充分条件(pq),q是p的必要条件；若A蹑B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即pq且qi_,p;注：关于数集间的充分必要条件满足：“小二大”(2)若BA，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；(3)若A=B,则p与q互为充要条件二、全称量词与存在童词(1)全称量词与全称命题短语”所有的“、任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号”V”表示含有全称量词的命题叫做全称命题全称命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立“可用符号简记为气txeM,p(x)“，读作“对任意x屈千M,有p(x)成立“.(2)存在晕词与特称命题短语“存在一个“、”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在霆词，并用符号“3”表示含有存在最词的命题叫做特称命题特称命题“存在M 中的一个坏，使p(x。)成立“可用符号简记为3x0 EM,P(x。)“，读作“存在M中元素Xo使p(x。)成立（特称命题也叫存在性命题）三、含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p:VxeM,p(x)的否定寸？为玉。EM,-,p(x。)(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p:3x。EM,p(x。)的否定1汀奴XEM,-,p(x).注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一区别否命题与命题的否定O只有“若p,则q”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式（在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式）；命题若p,则q的否命题是“若寸？，则飞1，而否定形式为“若p,则飞1”一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系【典型例题】例l.(2021江苏省前黄高级中学高三阶段练习）设集合A、B是全集U的两个子集，则“As;B“是“AntB=0的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】C【详解】如图所示，A三BAnB=0,同时A飞B=0仁B.故选：C.曰【点睛】B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件本题考查栠合关系及充婓条件，注意数形结合方法的应用，属千基础题例2.(2022全国高三专题练习（文）若关千x的不等式lx-Ila成立的充分条件是0 x4,则实数a的取值范围是（)A.(-oo,J B.(-oo,I)C.(3,十oo)D.3,十oo)【答案】D【详解】lx-lJ a成立的充分条件是0 xO,Ixl|aJaxl+a,所以1-a三0尹3l+a;:o:4 故选：D例3.(2022全国高三专题练习）设XEZ,集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p:VxEA,2xEB,则（）A.-,p:=ix E A,2x E B C.-,p:=ix E A,2x茫B【答案】C【详解】B.-,p:3x在A,2x在BD.-,p:Vx任A,2xeB根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，可得命题“p:VxEA,2xEB的否定为：”-,p:3xeA,2江B故选：C.（多选题）例4.(2022全国高三专题练习）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.3.x;。ER,x-x,。十一2,P=xlx2 U xlx6=R,M叩xl2xxEMU P，反之不成立心xEM或xEP”是“xEMnP”的必要不充分条件故选：c.3.(2022浙江高三学业考试）“22b”是“log2a log沙的（)A.充分不必要条件C.充要条件【答案】B【分析】B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件由2飞才是否得出log2a log沙，判定充分性；由log2a log沙是否推出2a2b，判定必要性是否成立【详解】:2 2，等价于心b,丐O?a b或aO习b时，log2a log沙不成寸；:允分性不成汇又？log2a log2 b等价于abO，有了2b;:必婓性成立；:“2 2b”是“log2,log2.的必婓不充分条件故选：B.4.(2022全国高三专题练习）已知命题p:3x。ER,e勺X。釭0,则寸为（)A.3x。ER,exo-X。-10B.3x。ER,e,.-x。l0 C.tfxE R,e-x-10【答案】C【分析】D.:fxER,e-x-1乏0根据特称命题的否定变猛词否结论即可得正确答案【详解】命题P:3.;。eR,e-x。-IS:0,则-p为欢ER,e-x-1 0,故选：C.5.(2022全国高三专题练习）下列命题中，真命题的是()B.VxE R,2x x2 A.函数y=sin I xi的周期是2冗x+2 C.函数f(x)=In 是奇函数2-x a D.a+b=O的充要条件是1b【答案】C【分析】冗冗选项A,由sin|=I-sin|+2刓可判断；3.3 选项B,代入x=2,可判断；选项C,结合定义域和f(-x)=-f(x)，可判断；a 选项D,由l得a+b=O且b*O,可判断b【详解】山千sinl-I冗五冗5冗=,sinl-+2刓sin（一，所以函数y=sin I入 1的周期不起2冗，故选项A足假命题；3 2 3)3 2 当x=2时2x=x2故选项B娃假命题；x+2 函数/(x)=ln的定义域(-2,2)关丁原点对称，且满足f(-x)=-f(x)，故函数f(x)是奇函数，即选项C2-x 是真命题；a a 山=l得a+b=O且b-cf-0,所以“a+b=O”的必要不充分条件是=I,故选项D是假命题b 故选：C6.(2022浙江高三专题练习）给出下面匹个命题函数f(x)=2-x2在（3,5)内存在零点；涵数f(x)五言了十 卢(xER)的最小值是2;1 1 若abO，则一一；a b b 命题的“:lx O,x2X20”否定是“Vx习O,x2-x 2以O其中真命题个数是（)A.1 B.2【答案】A【分析】对选项进行判断得解【详解】O函数f(x)=2人x？在(3,5)内存在零点；f.(4)0，所以CD正确C.3 函数f(x)卢1 卢(xe R)的最小伯是2;:f(x)石亡；十l l;?:2当且仅当心三万五言；所以不正确1 l 若abO，则一；a b 巾1、等式性质知不正确卢D.4 时等号成寸，此时无解命题的3xO,x2一x-20“否定是“ifx0,解得0 aB“是“sinA sin B的充分不必要条件8.命题“VxER,x2以 0的否定是“VxER,x2 l，则xO”的否命题是“若x1,则x:O【答案】C【分析】利用正弦定理、命题的否定和否命题的关系、基本不等式分别对选项A、B和D、C进行判断即可求解【详解】解：对千A:在AABC中，当“AB”时，则ab,所以由正弦定理有“sinA sin B,当“sinAsinB”时，山正弦定理得2RsinA 2Rsin B,故ab,所以“AB”是“sinA sinB的充分必要条件，故A错误；对于B:命题VxER,x2.0”的否定是“3x。ERX。2l，则xO”的否命题是“若x,1，则x,O,故D错误；故选：C.9.(2022全国高三专题练习）已知命题p:3xER,x-31.nx,命题q:ilx ER,x2 0,则（)A.pvq是假命题B.pAq是真命题C.p（可）是真命题【答案】C【分析】D.pv(-,q）是假命题判断出命题P与q的页假，再结合真值表可得答案【详解】因为e2-3 In e2=2,所以命题P为真命题，因为当x=O时，o三0,所以命题q为假命题，所以-q为页命题，所以PA(-,q)是真命题故选：C10.(2022全国高三专题练习）下列叙述中正确的是（)A.命题“3xoER,202lx护切l:SO”的否定是“3xoER,2021xo2-2x+lO B.a2=1”是“直线x+y=O和直线x-ay=O垂直的充分而不必要条件C.命题若而n2=0，则m=O且n=O”的否命题是“若戒n孕0，则ni-:f-0且吽OD.若pVq为真命题，P/q为假命题，则p,q一真一假【答案】D【分析】对各个选项中的命题逐一分析判断即可得解【详解】对千A选项：命题3xoE R,2021 xo2-2x叶l:SO”的否定是“VxER,202lx2-2x+lO,A错误对于B选项：若直线x+y=O和直线x-ay=O垂直，则l 1-a=O得a=I,而a2=J是a=I或a=-1,即“a2=1”是直线x+y=O和白线x-ay=O垂且的必要不充分条件，B错误；对千C选项：命题“若而n2=0，则m=O目n=O”的否命题丛“若m红n孕0，则m-:/=O或nt-0,C错误；对丁D选项：若pVq为真命题，则p,q至少有一个为真命题，若p/q为假命题，则p,q至少有一个为假命题，于是p,q一真一假，D正确故选：D 11.(2022全国高三专题练习）已知命题p：玉ER,sinxO对dxER恒成立的一个必要不充分条件是()A.Oal【答案】BDB.0a2 l C.OaO【分析】由关千x的小等式x2-2ax+a 0对:/xER恒成立，可求得Oal,冉由真千集关系，即可得到答案；【详解】由题总得：=(-2a)2-4a 0Oal,所选的正确选项是Oal的必要不充分条件，:.Oal是正确选项应的一个真子栠，故选：BD14.(2022全国高三专题练习）若“x2+3x4 0”的充分不必要条件，则实数k可以是（)A.-8 B.-5 C.I D.4【答案】ACD【分析】先解两个不等式，得到(-4,1)是(-oo,k)u(k+3,+oo)的真了梊，解不等式炉l或k+3-4，即得解【详解】x2+3x-4 0，解得-4x 0即(x-k)x-(k+3)0,解得xk+3,由匙意知(-4,l)是(-w,k)u(k+3,-too)的真子集，所以k3I或k+3:,;-4,所以贮l或K三7，即kE(-w,-7Jul冲心）故选：ACD15.(2022全国高三专题练习（文）下列选项中，正确的是（)A.命题“ifxER,x2-x+l以0”的否定是“3x。ER,.x;。2-X。+IO且a*l)的图象恒过定点(l,-2)C.xO”是“f叮20”的充分不必要条件D.若不等式ax2+bx+30的解集为xl-lx3，则a+b=l【答案】AD【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断选项A，根据指数函数的性贡判断选项B，求解一元二次不等式的解块，利用充分必婓条件判断选项C,根据三个二次之间的关系以及韦达定理求解a,b,即可判断选项D.【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以“ifxER,x2-x+l凶0”的否定是“3x。ER,x。2_x。+10的解集为（女，2)U(l，动，所以“xO”不能推出“xI,反之也不能，所以“xO”是“x2+x-20的既不充分也小必婓条件，故C错误，由个等式的解栠可得勹：一一：2，得ab=-2l，所以a+ba!,故D正确故选：AD.16.(2022全国高三专题练习）命题“3xEl,2,x2a”为真命题的一个充分不必要条件是（)A.al【答案】BD【分析】B.a4 C.a2 D.a=4 求出给定命题为页命题的a的取值焦合，再确定A,B,C,D各选项所对焦合哪些页包含于这个揉合而得解【详解】命题“3xeI,2),x2匀 a”等价千al，即命题“3xe l,2,x2:,;a”为真命题所对块合为1,+oo),所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合贞包含于1，七xi)显然只有4,+x:i)1，七xi),4 1，心），所以选项AC不符合要求，选项BD正确故选：BD17.(2022全国高三专题练习）下列说法中正确的个数是()A.命题”所有的四边形都是矩形”是存在槛词命题；B.命题“ixeR,x2+20“是全称谥词命题；C.命题“玉E R,x2+4x+4.,;0”是存在量词命题D.命题“不论m取何实数，方程x2+x-m=O必有实数根“是真命题；【答案】BC【分析】根据存在篮词命题和令称觉词命题的定义判断ABC,根据判别式判断D【详解】A中命题所有的四边形都是矩形“是全称兑词命题，故A错误；B中命题“:/x E R,x2+2 0”是全称阰词命题，故B正确；C中命题“玉ER,x五4x+4:,0”是存在景词命题，故C正确；D中选项中当=l+4mO时，即当mlx+yl若x2+y2丑0则X0或y丑0“X a+b 2 是x心荔”的充分不必要条件欢O,矿x+l”的否定形式是“3.x:;O,e-:;x+l 【答案】【分析】O当x,y均为正数时结论是错误的；x2+y五0出x,y不同时为0,故正确；只有a.O,b.O时，a+b x 2 才可推出，x五；，故是错误的；命题的否定只否定结论，故错误【详解】对千选项。：若x.O,y.O,则lxl+lyl=lx+yl,故O错误；对于选项：若x=O且y=O,则x气y2=0所以：若x2+y240，则x:;tO或y:;tO故正确；对千选项：当a.O,b.O时，若xa+b 2，则xah，题中没有说明a,b的范围，所以是不充分，当x心石a+b 时，x一一不定成立，如：a=2,b=8,x拉了8=4 2 x擂的即不充分也不必要条件，故错误：a+b、2+8a+b X为x一=5，不成立，故飞一是2 2 2 对于选项：“欢O,矿x+I的否定形式是“玉0,e-,x+J,故错误故答案为19.(2022全国高三专题练习）若命题“3xoER,xo2+xo+mO”是假命题，则实数m的范围是.【答案】一，十oo)4【分析】命题的台定为：“r/xER,灶x吃0”，原命题为假，则其合定为真，由L:I=I-4111三0,可求出实数m的范围【详解】解：命题3xoER,x沪xo+mO”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：“vxER,x2+x吃0”,则Ll=l-4mSO,解得：I沦,4 故实数m的范围是：l一，oo).4 故答案为：一，十00)4 20.(2022全国高三专题练习）若命题玉ER,x2-2x+m 0”为真命题，则实数m的取值范围为.【答案】(-oo,I)【分析】由题意可得不等式x2-2x+mO有解，然后通过判别式即可求出实数m的取值范围【详解】由题意可知，不等式x2-2x+m0,即ml,:实数m的取仙范围为（勺3,l)，故答案为：（女，I).21.(2022全国高三专题练习（文）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在矗词命题为!3+23=(1+2)气l3+23+33=(1+2+3)气l3+23+33+43=(1+2+3+4)气I3+23+33+4斗乎（1+2+3+4+5)2,【答案】rlnEN,13+23+3迁沪（1+2+3+.+n)2【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的二次方，总结一下就是：任总从1升始的连续n个整数的三次方和等千其和的三次方【详解】解：根据已知条件的规律可得：i/nEN,13+23+3迁沪(1+2+3+.+n)2.故答案为：VnEV,13+23+3斗 沪(1+2+3+.+n)2 22.(2022全国高三专题练习）若命题p：玉ER.x2+2ax+a:s;o是假命题，则实数(1的一个值为【答案】吉（0,1)上任一数均可）【分析】由命题P的否定是真命题易得a的范围【详解】由题意沁xE R,x2+2ax+a 0是真命题，所以4a24aO,解得Oa 0”为真，则实数a的范匣是【答案】叶）【分析】将问题转化为“小等式ax江4ax+3 0对XER恒成立“，由此对a进行分类讨论求解出a的取伯范围【详解】由题总知：不等式ax2+4釭30对XER恒成立，当a=O时，可得30,恒成立满足；当ai=O时，若不等式恒成立则需aO =16a2-12a 0 3 解得0a，3 4 所以a的取值范围是o,故答案丿J0:【点睛】思路点睛：形如ax2+bx+c0)的不等式陌成立问题的分析思路：（l)先分析a=O的情况；(2)再分析a;t.0,并结合4与0的关系求解出参数范围；(3)综合(I)(2)求解出最终结果24.(2022全国高三专题练习）写出命题玉ER,x+l习0的否定：【答案】VxeR,x+lO【分析】根据命题的否定的定义求解【详解】命题玉eR,x+l凶0的否定是：ilxeR,x+lO.故答案为：ilxeR,x+IO.