2021-2022学年吉林省白山市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学年吉林省白山市高一下学期期末数学试题一、单选题1.一支田径队有田赛类运动员36 人，径赛类运动员30人，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取一个容量为11的样本，则田赛类运动员被抽取的人数为（）A.4 B.5 C.6 D.7C【分析】由分层抽样的方法，按比例可得答案.36 /-x 11=6【详解】由题意得，田赛类运动员被抽取的人数为36 +30故选：CZ=2.已知复数22一L匚+i5卡 ,则匕卜（）A.后 B.17 C.3亚 D.18A【分析】将复数Z 化简，再计算模长.|z|=方（：r）+5=4+值 风【详解】由题意得（1一 卯+1）,所以A 正确；故选：A.3.某校对高一年级8 00名学生进行食堂满意度调查，得到如下调查结果：男同学女同学满意400350不满意2030从这8 00名学生中随机抽取一人，则这个人是女同学且对食堂满意的概率为（）1 7 j 22A.40 B.16 C.2 D.16B【分析】由题意结合古典概率可得答案.【详解】由题意女同学中对食堂满意的人数为350人.350 _ 7从这8 00名学生中随机抽取一人，这个人是女同学且对食堂满意的概率为8 00 16.故选：B4.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1,2,3,4,5,6,从中随机摸出两个球，设事件4 为摸出的小球编号都为奇数，事件8 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是()4 与 2 是互斥但不对立事件 8 与 C 是对立事件A与 C 是互斥但不对立事件A.B.C.D.C【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断4 8 c 之间的互斥或对立的关系，可得答案.【详解】由题意知，事件N为摸出的小球编号都为奇数，事件8 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件4 8 不互斥不对立，故错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号前位一个奇数一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故 8 c 是对立事件，故正确；事件4 c 不会同时发生，但摸出两球的编号可能都是偶数，即4 c 可能都不发生，故 4 c 是互斥但不对立事件，故正确，故选：C.5.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形4 8。，已知A。=B O=OE=CE=D E=n,则该圆柱的体积为()B【分析】利用斜二测画法得到原图矩形Z B 8 中，4B =B C =2 n,从而求出圆柱的高,底面半径，从而求出圆柱的体积.【详解】由斜二测画法得，在原图矩形Z8CD中，A B =B C =2 n,所以该圆柱的高为=122兀，底面半径为2兀，故该圆柱的体积为兀x2兀=2兀 二故选：B6.在平行四边形/8 C D 中，E 是 8 c 的中点，DE 交 AC 于 F,则 而=()Aj B+-A D -IAB+LAD-A B-A D -A B-A DA.3 3 B.3 3 c.3 3 D.3 3DD F =D E【分析】由题可得 3,再根据向量运算法则即可表示.D F A D-=-=2【详解】因为E是 8C 的中点，/O E C,所 以“/EC,DF=-DE=（DC+CE=AB-AD=AB-AD所以 3 3、7 3l 2 J 3 3故选：D.7 .记 A4 8 c 的内角4 B,C 的对边分别为a,b,c,若 的 面 积 为 厉，且,c G C O S B =-一/）=2J5,4,则“8C的周长为（）A.10A/5 B.8亚 c.40 +2石 D 2 M+2加D【分析】由同角三角函数的基本关系求出s i n B,再由面积公式求出比，最后由余弦定理及完全平方公式求出a+c,即可得解;C 1c o s B =【详解】解：因为 4,s i n B=V1 -c o s2 B -所以 4S w=5n 8*ac =A由 2 8D1 2 2 on 1c o s o =-=a +c -2 0 =a c由余弦定理 2 a c 4,得 2,得S+c）-k+2 0-4 0,即q +c =2加，所以BC的周长为2 M+2后.故选：D8 .在三棱锥P -4 BC中，PA,P B,0 C互相垂直，PA =PB =49 M 是线段8c上一动点，且直线/例与平面P 8 C 所成角的正切值的最大值是石，则三棱锥P-/8C外接球的体积是（）A.30 乃B.32 nC.34乃D.36nD【分析】由线面角的最大值求出边长P C,将三棱锥补形成长方体，再确定外接球的半径，计算体积.【详解】M 是线段8C上一动点，连 接 因 为 尸 4 PB,P C互相垂直，所以是 直 线 与 平 面 P 8 C 所成的角.当尸”最短，即P M J _ 8 C 时，直线N/与=#P M =-平面P 8 C 所成角的正切值最大，此时P ,54PC =x 处在 R t z k PB C 中，PB PC=B C P M,贝 ij 5,解得 P C =2将三棱锥P-4 8 C 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为1 不+42+22=6.故三棱锥尸一 B C 外接球的半径A =3,三棱锥P-/B C 外接球的体积4一 兀 叱=36n为 3.所以D正确；故选：D.二、多选题9.已知复数z =0 +i）G-i）,则（）A.z 的虚部是2iC.z 的共胡复数是4-2iB C DB.z 的实部是41 1 1.=-1D.z 5 1 0【分析】结合复数的乘法运算计算出复数z,再根据复数的概念即可判断ABC三项,最后利用复数的除法运算即可判断D选项.【详解】z =0 +i）（3-i）=4+2i,z 的实部是4,故 B正确;虚部是2,故 A错误；z 的共辄复数为4-2 i,故 C正确；1 1 4-2i 4-2i 1 1 .-=-z 4+2i （4+2i）（4-2i）20 5 1。，故 口 正确.故选：B C D1 0.已知向量 =（-2）,e =（3，m+1）,且Z _L5,c是与同向的单位向量，则（）A.机=2 B.坂=（3,2）二整型c.|-可=痴D12 2 0A C D【分析】对于选项A,根 据 求 出 切 的 值，进行判断；对于选项B,由，的值可得书的坐标；对于选项c,由Z,5坐标，可得 与的坐标，进而计算-5的模；对于选项D,由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量 的坐标判断正误.【详解】对于选项A,根据 上5,求出m =2的值，故A正确：对于选项B,由?=2,得=（3,3）,故B错误；对于选项C,Q，-2）,否=（3,3）,可得a/=（-l,-5）,所以卜 斗 疡,故C正确;s_匈对于选项D,因为单位向量。与。同向，所以，、,，故D正确.故选：A C D.1 1.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字1到8 .任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为。=为2,3,4,5,6,7,8 .事件A表示“数字为质数”，事件8表示“数字为偶数”，事件C表示“数字大于4”，事件。表示“数字为3、4、5、6中的1个，则（）A.A与B相互独立B.8与C相互独立C.C 与。相互独立D.A 与。相互独立BCD【分析】利用独立事件的定义逐项判断可得出合适的选项.r”,】田 J（/）=P（8）=尸9）=尸（。）=；【详解】因为 z,事 件 数 字 为 2,8 A错;事件8 C:数字为6或8,事件。）:数字为5或6,事 件 数 字 为 3或5,故选：BCD.2 1P（5C）=T Z =P（8 V 7 1P（CD）=q 丁 P（C）P（D）o q2|p（AD）=oo=7=P（A）P（D）4，B 对;,C 对;,D 对.12.如 图，在棱长为2 的正方体8 C D-4 4 G A 中，E,尸 分 别 为 棱 的 中 点,G 为面对角线4 上的一个动点，则（）A.三棱锥用一的体积为定值B.线段4 上存在点G,使 4 0，平面EFGC.线段4 上存在点G,使平面EFG平面2后D.设直线展与平面 4 4 所成角为“，则sin e的 最 大 值 为 亍ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B、C、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面平面所以G 到平面8CC向的距离为定值，又S州所为定值，所以三棱锥G-4 E F 即三棱锥4-M G 的体积为定值，故 A 正确.对 于 B,如图所示，以。为坐标原点，X为x 轴，0 C 为了轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，则工(2,0,0),8(2 2 0),0(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),D,(0,0,2)C,(0,2,2),(l,2,2),F(2,2,l)(所 以 近=(-2,2,2),k=(-2,2,0),位=(-2,0,2),F=(1,0-1)设Z)G=，Z)4(0W臬 1),则 G(24,0,24)所 以 函=(2/1-1,_2,2%-2)FG=(2 2-2,-2,2/l-l)就 JL 西-2(2/1-1)+2x(-2)+(-2)x(2/1-2)=0AC 1 平面 EFG 14 c 1 FG 即-2(2 A-2)+2 x(-2)+(-2)x(22-1)=0A=-解之得 4当G 为线段4。上靠近。的四等分点时，4 C，平面EFG.故 B 正确对于c,设平面/A的法向量4=。”必当)AC=-2xx+2必=0则 4=-2凡 +2Z=0,取玉=1得=(1,1,1)设 平 面 E F G 的法向量力2=8,%,Z2),瓦,EF=x2-z2=0贝 U 万 2 EG=(24-l)x2-2y2+(2A-2)z2=0丸=取2 =1,得平面/c 平面 E/G =nJ In-,设 瓦=历2,即J（1，U）=“，宁k ,A.=解得 4,v O /l-9-2+.2 ,2 2也s in 0-/W -r=V 8/12-1 2/1 +9 （9 3所以 V 22-J2所以s in 的最大 值 为3 .故D正确.故选：A B D三、填空题1 3.在正方体/灰 刀-4AGR中，写出一条与直线4c垂直的面对角线:BD（答案不唯一）【分析】连接“C，80可证明4C_L8O,从而找到满足条件的直线.【详解】连接/C,8 0,在正方体中，AC1BD又“4,平面 8 C。，且8 u平面/8 C。AA 1BD,且 4 4 1 r M e =/，所以 平面 4 4 1 c&Cu 平面 44C,所以 4c _ L 8。同理面对角线8 G,DC、,与，2,8a中任意一条均满状态条件.故8。（答案不唯一）14.已知a，&eR，a+3i是关于x 的方程x2+2x+6=0 的根，则。+6=.9【分析】代入方程的根，根据复数相等的条件求解即可【详解】由题可知m+3i+2(a+3i)+6=0,即+2”9+(6a+6)i=0,所以“2+24-9+6=0,fa=-6 +6=0,解得 6=10,所以 a+/,=9.故 915.已知。是“8 C 的边B e 上一点，且 就=3而,4)=2,tanN84C=而，则ZC+2 4 8 的 最 大 值 为.皿上标5 5【分析】设6=,c=/B,BD=m,则CZ)=2/n,BC=3 m,再在/8 D 和4CD 中分别列出余弦定理，根据c o s ZADB=8sg-ZADC)=-cos ZADC联立可得,cos ABAC=-9m2=c2+b2-b eb-+2 c-=6 m-+n,再结合 4,得到 2,进而消去m,结合基本不等式求解最大值即可设 b=ZC,c=AB,BD=m,则 CD=2/w,BC=3m.在48。中,在4C中,cos Z.ADB=AD?+BD?-AB?2ADBDcos/AD C=AD2+CD2-A C22AD CD4+尸-c24ni4+4加 2 -b18m因为 N/O8=万-N/OC,所以 cs NADB=cos（乃-ZADC）=-cos ZADC4+m2-c2所以 4？4+4m2-b28加 ，整理+2/=6?2+12./n A C/77 cosZ.B A C=-因为tanN历1C=J15,所以 4.在“8C 中，B C1=A B2+A C2-2 A B-A C-c os A B A C,9m2=c2+b2-b e即2,结合可得36=b2+4c2+hc =(b +2 c -3hc =(b +2 c y-b-2 c 3一遍明3,所以（2之 2 c 耳即 5,当且仅当b=2c时，等号成立.12而故5四、双空题1 6.每年的4 月23日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了 8 名学生，统计到他们某一周课外阅读时间（单位：小时）分别为3 6、2.8、2.5、2.3、3.2、3.0、2.7、1.7,则 这 组 数 据 的 极 差 是,第 40百 分 位 数 是.9-5.87-O2-71【分析】将数据由由小到大排列，利用极差和百分位数的定义可求得结果.【详解】将这组数据从小到大排列为：L 7、2.3、2.5、2.7、2.8、3.0、3.2、3.5,所以这组数据的极差为3 5-1.7=1.8,因为40%x8=3.2,所以这组数据的第40百分位数为第4 项数据，即2.7.故 1.8；2.7.五、解答题1 7.为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高 数 据（单位 m）按 140,150）,150,160）,160,170）,170,180）,180,190为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，求 a 并估计这100名学生身高的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【分析】根据频率分布直方图中矩形的面积之和为1,可求出”的值，由平均数的计算公式可得出答案.【详解】=0.1-(0.0 3 +0.0 2 8+0.0 1 2 +0.0 1)=0.0 2(1 4 5 x 0.0 1 +1 5 5 x 0.0 2 +1 6 5 x 0.0 3 +1 7 5 x 0.0 2 8+1 85 x 0.0 1 2)x 1 0 =1 6 6.2平均数为即 这 1 0 0 名学生身高的平均数为1 6 6.2.1 8.已知两个单位向量。与的夹角为6 0。.求 I 求 向 量 与 +3 5 夹角的余弦值.而5万2 6,、门，心二工,a+3b=la2+6a-b+9l）2 一4【分析】（1）先 由 己 知 求 出 再 由 I I 可求得结果,（2）先求出“+町+3。&再利用向量的夹角公式求解即可【详解】（1）因为两个单位向量Z 与书的夹角为6 0 Q .g =.同 c o s 6 0 =所以1111 2广 广+3 引=+6 B +9b=V T 3所以 7G+3 斜=/+3*=工 因 为V 7 2,/立 7G+3 B）5 V 1 3c o s（4,a +3 b）=z r =-所以 a a+3b 2 61 9.为巩固当前抗疫成果，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排甲部门3 名职工和乙部门2 名职工到该地的三个高速路口担任疫情防控志愿者.(1)若从这5 名职工中随机选出2 人作为组长，求这2 人来自同一部门的概率；(2)若将甲部门的3 名职工随机安排到三个高速路口(假设每名职工被安排到各高速路口是等可能的，且每名职工的选择是相互独立的)，求恰有1 人被安排到第一高速路口的概率.2(1)54【分析】(1)记甲部门3 名职工分别为A、B、C,乙部门2 名 职 工 分 别 为b,列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；(2)利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】(1)解：记甲部门3 名职工分别为A、8、C,乙部门2名 职 工 分 别 为b .样本空间 川 侬 吊 川/乂 /外 肌 乂.河”外 电。),共1 0 个样本点.设事件M=“这2 人来自同一部门，则 =3)，(/8),(/C),(8 C),共4个样本点.故 所 求 概 率 为V 7 1 0 5._(2)解：由题意可知甲部门每名职工被安排到每个高速路口的概率为5,则恰有人被安排到第一高速路口的概率为 3 1 3J I 3J 9.2 0.如图，在棱长为2的正方体“8。-44G A中，E、尸分别为棱。口、CG 的中点.(1)证明：平面 E G 平面BDF；(2)求异面直线 G 与B F所成角的余弦值.(1)证明见解析叵5【分析】（1）证明出8尸 平面 E G,。尸/平面 E G,再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线 G与3尸所成角为N 及1G或其补角，计算出“E G的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连 接 叱，因为四边形CCD、D为平行四边形，则C C/DR 且CC,=D%.、尸分别为力鼻、CG的中点，则CF/D E且CF =D E,所以，四 边 形 尸 为 平 行 四 边 形，则EF/CD 且 EF =CD,因为4B/CD 且 4B =CD,:.EF 4B 且EF =4 B,故四边形/出苗为平行四边形,所以，B F H A E,B F /7 km(2)做+2 我,小【分析】(1)分别在中，在 Z8中，由余弦定理可求得答案；(2)如图，过。作。垂 足 为 点 过 C作 垂足为点N.由平CE=D E =km A E=B E=km面几何可得求得 2 2 由月8的长度最长，CE,DE的长度最短，所以路线避免选择力8,选择C E,DE,最佳路线为A-D-E-C-B,由止匕可求得答案.【详解】(1)解：在 4 8 0中，由余弦定理得B D2=A B2+A D2-2 A B-A D-c osZ B A D =2 8,解得B D =2 5km因为 A B H CD ,Z.B A D=6 0,所以 Z J D C =12 0。.在力C O 中，由余弦定理得 4 C?=A D2+C D2-2 A D-CD-c osZ A D C =2 8 ,解得 4C =2A/7 km .(2)解：如图，过。作。垂足为点“，过 C作CNLN8,垂足为点N.因为/O =4km,N&40=60。，所以 4W=2km,DM=2/3 km；得四边形CDMN为矩形，所以MN=2km,8N=2km,所以 8C=4km.“八 c”CE=D E =km A E=B E=km因为，B CD,所以ACDE4BE,所以 2,2因为1 8 的长度最长，CE,的长度最短，所以路线避免选择力8,选择CE,D E,4+4=(8+/7)km所以最佳路线为4-0-E-C-8,此路线的长度为 2 2G+/、故小赵完成运送生活物资任务的最短时间为 30 /.2 2.如图，在 四 棱 锥 尸 中，A P=P D =D C =2t A B =d ,Z A D C =Z A P D =90 ,平面 PNOJ平面(1)证明：平面尸DC.(2)若 E 是棱P 4的中点，且8E 平面尸C Q,求点。到平面4 8 的距离.(1)证明见解析3而5【分析】(1)在平面PZ5C内找到两条相交的的直线，使得尸/垂直于它们即可;(2)运用等体积法，求出三棱锥2/18。的体积和和三角形PZB的面积即可.EPTG：7DC【详解】(1)B 平面Z 3 C Q，平面尸4),CD LAD,平面尸4)n平面Z 8 C )=4),：.CD【平面尸N O,CD LAP,即“尸00，尸CD，P O n C D =O,P O u 平面 p,CDu 平面 p,PA 平面 Z 8 C D；Q)；BE”平面 P )C,APL 平面)c,二4，B E ,在Rt/ABE 中，AB=V TT,AE=1 ,BE=J l 1-1=V lOS”B 的面积为APB=x AP x BE=V To2取4。的中点G,连接P G,B G,因为HD是等腰直角三角形,PG 1 AD,PG=y/2,AD=2y/2,又.平面尸%。，平面Z B C Q,平面力48,PGLBG,在R q B E 中，PB=NPE?+BE2=而,在 RMPBG 中，BG=IPB2-PG2=V ll-2 =3AG2+BG2=2+9=11=AB2,“BG 是直角三角形，S.gD=-xADxBG=3s/2八4 B D 的面积 2 ,设点。到平面P/8的距离为x,三棱锥H/皿的体积 声.on x P G =x 3A/2 x=2 =x S jp o x V f O x&n D U 3 3 A rD 36 3V 10X =-f=-V 10 53布综上，。到平面48的距离为5