2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（巩固）》专项练习题-带解析.pdf

八年级数学下-专题：17.9勾股定理的逆定理(巩固篇)(专项练习)1、单选题类型一、判断三边能否构成直角三角形1.三角形的三边长分别为a、b、c,且满足(+)-=+2叱则这个三角形是()A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形2.由线段。、b c 组成的三角形不是直角三角形的是()A.a2-b2=c2 B.4 4Q a=2,b=c=/l D.N/:N8:N C =3:4:53.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是()类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点4.在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(1,1),点 B的坐标为(11,1),点 C到直线A B 的距离为 5,且a A B C 是直角三角形,则满足条件的C点有()A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8个5.在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),点 B(2,-3).在坐标轴上找点C,使得a A B C 为直角三角形,这样的点C共有()个.A.5 B.6 C.7 D.86.下列叙述中，正确的是()A.直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方B.如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形C.口 A B C 中，Z A,Z B,Z C 的对边分别为 a,b,c,若 a?+/=c?,则/A=90D.口 A B C 中，D A,Z B,/C 的对边分别为 a,b,c,若/B=9 0,则c?-a?=类型三、网络中判断直角三角形7.如图的网格中，每个小正方形的边长为1,A,B,C 三点均在格点上,结论错误的是()1第 1 页 共 3 3 页BA.A B=26 B.Z B A C=9 0 C.SAB C=10 D.点 A 到直线 B C 的距离是28.如图，在 6 X 4 的小正方形网格中，小正方形的边长均为1,点 4 以 均 在 格 点 上.则ZA B C-Z D C E=()A.30 B.42 C.45 D.50 9.在数学活动课上，老师要求学生在4 X 4 的正方形A B C D 网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在各点上,而且三边与A B 或 A D 都不平行,则画出的形状不同的直角三角形有()种.D CA BA.3 B.4 C.5 D.6类型四、利用直角三角形的逆定理求解1 0.已知在等腰三角形 a 中，D为根的中点4 M2,B D=5,4庐13,点P为和边上的动点,点 为 18 边上的动点,则阳阳的最小值是()2第 2 页 共 3 3 页A.10B.12120c.T F120D.E1 1.图，在四边形“88 中，48 =8 C =1,C D =24 0 =而 且 4 48 c =9 0。，则四边形/8 C Z）的面积为o/TI-2 I V 6 A.+1 B.2 C.1 +V 2 D.212.如图，在四边形/8 C Z)中，A B =1 2,8 c =17,8 =8,4)=9,8。=15,则四边形/8 C D 的面积为()类型五、勾股定理的逆定理的实际运用13.如图，在四边形A B C D 中，A B=B C=2,C D=1,A D=3,N A B C=9 0 ,则四边形A B C D 的面积为（）3第3页 共3 3页D7A.2B.46+C.1 2D.2+21 4.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40 m/m i n,甲客轮用30 m i n 到达A处，乙客轮用40 m i n 到达B处.若A,B两处的直线距离为20 0 0 m,甲客轮沿着北偏东30 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是()A.北偏西30 B.南偏西30 C,南偏东60 D.南偏西60 15.下列结沦中，错误的有()R ta A B C 中，已知两边分别为3 和 4,则第三边的长为5;三角形的三边分别为a、b、c,若/心则/A=9 0 ;若a A B C 中，N A:N B:N C=1:5:6,则这个三角形是一个直角三角形;若(x -y)2+M=x+y)2 成立，贝！J M=4x y.A.0个 B.1 个 C.2 个 D.3 个类型六、勾股定理逆定的拓展运用16.中，/9 0。，46=6,=8,则及7的长度可能是（）A.8 B.10 C.1 2 D.1417.A A B C 的三边长为4c m、5c m、6c m,则 A A B C 的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能判定18 .下列说法正确的是()A.在直角三角形中，已知两边长为3 和 4,则第三边长为5B.三角形为直角三角形,三角形的三边长为a,b,c,则满足岸C.以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形D.在力比1中，若/力：N6：N C=1 ：5:6,则 为 直 角 三 角 形2、填空题类型一、判断三边能否构成直角三角形19 .已知|%61+(2 1 6)2+=0,则以a、b、c 为三边的三角形的形状是20 .A A B C 中，A B=6,A C=8,B C=10,P为 B C 边上一动点，过线段A P 上的点M作 D E 1A P,交边 A B 于点D,交边A C 于点E,点 N为 D E 中点，若四边形A D P E 的面积为18,则 A N 的最大值4第 4 页 共 3 3 页c21.如图，口4 8 c中,CDJ_AB,垂足为D.下列条件中，能证明口4 3 c是直角三角形的有（多选、错选不得分）.A C C D/A+N B=9 0 ;AB2=AC2+BC2;8。；CD2=ADBD.类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点22.同一平面内有A,8,C三点，A,8两点之间的距离为5 cm,点C到 直 线 的 距 离 为2 cm,且口43。为直角三角形,则满足上述条件的点C有 个.23.如凰在中，/8 =/C =20,80=3 2,点。在线段8 c上以每秒2个单位的速度从8向C移动，连接N。，当点。移动 秒时，X。与M 8 C的边垂直.24.已知点A的坐标为*，5）,点5在x轴上,且/=13,那么点8的 坐 标 为.类型三、网络中判断直角三角形25.如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格,则+=.2 6.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图,线段A B,B C,做应的端点均在格点上,线段和座交于点F,则加 的长度为5第5页 共3 3页2 7.如图，在 3X3的正方形网格中标出了/I 和N2,则/2/1=类型四、利用直角三角形的逆定理求解2 8.如图，点尸是等边4 9。内的一点，为=6,=8,/T=10,若 点 户 是 外 的 一 点，且 4 侬 /C 则N 4 阳的度数为一.2 9 .如图，口 4 8 C 的周长为3 6 c m,4S8C：C4 =3:4:5,点从点/出发，以 ic m/S的速度向点 6 移动;点0 从点6出发，以 2 c m/s 的速度向点C 移 动.如 果P,0 两点同时出发,那么经过3 s后J BPQ的面积为_ _ _ _ _c m2.3 0 .如图,在四C 中，四=12,=16,6 C=2 0.将 /相 沿 射 线 折 叠，使点A与比边上的点重合,上为射线8 17 上一个动点，当吸周长最小时，丝的长为.6第 6页 共 3 3 页类型五、勾股定理的逆定理的实际运用3 1.在口/叱中，/B=3,A C=4t B C=5,4）平分 N8/C 交8 c 于点。，D E/I A B,RDE 交/C 于点E,则DE的长为.3 2 .“我国南宋著名数学家秦九韶的著作 数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里，中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何？”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1 里=0.5 千米，则该沙田的面积为 平方千米.3 3 .如图,某开发区有一块四边形的空地A B CD,现计划在空地上种植草皮,经测量NA=9 0 ,A B=3 m,B C=12 m,CD =13 m,D A=4 m,若每平方米草皮需要2 0 0 元，则要投入 元.类型六、勾股定理逆定的拓展运用3 4 .边长为6,8,10 的 口 月 5c内有一点尸到三边的距离均为加，则加的值为_ _ _ _ _ _.3 5 .如图，点 C 为直线/上的一个动点，4。呼于点，BE*于E点,4 D =D E =4,B E=1,当长为 口 3。为直角三角形.3 6 .在M8C 中，的对边分别是以6 c,若/+/=2 5,/一/=7 ,又0 =5 ,贝 ij最 大 边 上 的 高 为.三、解答题7第 7页 共 3 3 页3 7,尺规作图：已知=3,8 c =4,4 C =5(单位长度线段己知)，请画出这个三角形，保留痕迹,不写画法,并求出力。边上的高.3 8 .生态兴则文明兴，生态衰则文明衰.“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念,持续改善生态环境.如图现有施工遗留的一处空地,计划改造成绿地公园，已知N 4=90 ,A B=A D=3 C 米,比=1 0 米,C D=8米，已知每平方米的改造费用为2 0 0 元,请问改造该区域需要花费多少元？3 9.如 图，己知四边形/颇中，4?=2 狡，5=2,N 6=3 0 ,过点/作/到_凿垂足为E,4 =1,且点 是比的中点,求N 6 的度数.4 0 .古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果相表示大于1 的整数，”=2 机，b=/-l,c =?2+l,那么“，仇c 为勾股数.你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗？4 1 .阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a 是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:若a。=从+,则该三角形是直角三角形;若/则该三角形是钝角三角形;若/+。2,则该三角形是锐角三角形.例 如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,62=3 6/12+22=#BC=+4?=/25=5 +加=5 +2 0 =2 5 =心，/.ACB是直角三角形，:.ZCAB=90,故选项B正确,不符合题意；=4 x4-x2 x4-x2 xl-x3 x4 =5SAABC 2 2 2，故选项C错误，符合题意；点 A到直线BC的距离 B C 5，故选项D正确，不符合题意;故选:C.1 1第 1 1 页 共 3 3 页【点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那 么a2+b2=c 熟记勾股定理的内容是解题得关键.8.C【分析】在A的右边距离/点1个单位的网格上取一点F,在点/下 方1个单位处取一点G,连接AF,FG,BG,CG,DF,证明 ACE。三 ASFG 得/D C E =/G 8 F,从而得=再证明RGBC是等腰直角三角形即可得到结论.【详解】解:在力的右边距离/点1个单位的网格上取一点/在点尸下方1个单位处取一点G,连接AF,FG,BG,CG,DF,:B户 户3,FG=ED=,BG=CF际CED=BFGZDCE=NGBFNABC-ZDCE=NABC-NGBF=NGBC在 XGBC 中，GC-BC=4S BG=VioGC2+BC2=BG2.AGSC是等腰宜角三角形，且NGC8=90ZCGB=ZGBC=45NABC-DCE 45故选：C【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明/Z 8 C-Z D C E =/G 8 C是解答此题的关犍.9.A【解析】【详解】解:如图所示：12第1 2页 共3 3页2022年八年级数学下 勾股定理的逆定理（巩固）专项练习题形状不同的直角三角形共有3种情况:直角边之比为1:1,或1:2,或1:3.故选A.10.D【分析】根据勾股定理的逆定理得到N49斤90,得到点4点。关于直线4。对称,过，作CELA B 交4?于P,则此时阳陟龙的值最小,根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解：氏12,切=5,仍13,.您=初+协，.N 49/90,.为常的中点，劭=勿，垂直平分比；.点B,点C关 于 直 线 对 称,过。作CELA B 交 A D 于 P,则 此 时 阳 陟 3 的值最小，/SXA-A B,C5 B Q A D,13语 10X12,120：.CE=13,120.,.侬阳的最小值为13,故选:.【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题,勾股定理的逆定理,两点这间线段最短,线段垂直平分线的性质,三角形的面积公式,利用两点之间线段最短来解答本题.13第1 3页 共3 3页1 1.B【分 析】连 接A C,在 直 角 三 角 形4 7。中，利 用 勾 股 定 理 求 出 的 长,在 三 角 形/”?中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形4切为 直 角 三角 形，两直角三角形面积之和即为四边形4国a的面积.【详 解】解:连 接/C如图，根据勾股定理得：4 c =五,在中，0 2,瓜,：.A(?+Cff=A I,为直角三角形，则 四 边 形 顺 的 面 积$九+S&A C D=x l x l +x 2 x 2 =+V 22 2 2故 选：反【点拨】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.1 2.B【分析】利用勾股定理的逆定理,得到A A B D和B C D是直角三角形,然后根据三角形的面积公式,即可求出答案.【详 解】解:在A A B D中,*A B =2,B C =1 7，C D =8，A D =9，B D =1 5 A B2+AD2=22+92=225=1 52=BD2,，.A B D是直角三角形，14第1 4页 共3 3页 B D2+C D2=1 52+82=2 89 =1 72=B C2,.B C D 是直角三角形，二.四边形Z 8八8 的面积=SA“wB +D S.Ker)=2 x l 2 x 9 +2 x l 5 x 8=1 1 4；故选：B.【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的面枳公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理,判断a A B D 和A B C D 是直角三角形.1 3.D【解析】【分析】根据勾股定理求出A C,根据勾股定理的逆定理求出N A C D=9 0 ,根据三角形的面积公式分别求出4 A B C 和4 A C D 的面积，即可得出答案.【详解】在 R t A A B C 中，由勾股定理得:A C=2 上,V C D=1,A D=3,A C=2/2,.A C2+C D2=A D2,.-.ZA C D=9 0 ,四边形A B C D 的面积：S =S 4 A B c+S z k A C Dj _ j _=2 A B*B C+2 A C-C D=2 X 2 X 2+2 X 1 X 2 加=2+&,故选D.【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出A A C D 是直角三角形是解此题的关键.1 4.C【解析】【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.【详解】根据题意可得甲的路程:4 0 X 3 0=1 2 0 0 (4，15第 1 5 页 共 3 3 页乙的路程:40X 40=1600 .,.T 2002+16002=20002,，甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.:甲客轮沿着北偏东30,二乙客轮的航行方向可能是南偏东60.故选C.【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,6,，满足/+=c?,那么这个三角形就是直角三角形.15.C【分析】根据勾股定理以及逆定理即可解答.【详解】分两种情况讨论:当3和4为直角边时,斜边为5;当4为斜边时,另一直角边是 近，所以错误；三角形的三边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,应NC=90,所以错误；180。最大角NC=l+5+6 X 6=90,这个三角形是一个直角三角形,正确；若(x-y)2+M=(x+y)2 成立,则 M=(x+y)2-(x-y)2=4xy,正确.故选 C.【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:若三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.16.C【解析】:当/A=9 0 时，由勾股定理可知:BC=J/82+/C2=10,.当 NA90 时,BC10,又.当BC=14时,AB+AC=BC 了，此时不能围成三角形，.,.BC=12.故选C.17.A【解析】【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状.【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，16第1 6页 共3 3页2022年八年级数学下 勾股定理的逆定理（巩固）专项练习题由勾股定理可知42+52=41 36=62可知当第三边为6cm时,三角形为锐角三角形.故应选A【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势.18.D【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案.【详解】解:A、应 为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3 和 4,则斜边的边长为5”，故不符合题意；B、应 为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b,c,斜边为a,则满足a2=b2+c2,即a2-b2=c2，故不符合题意；C、比如:边长分别为3,4,5,有 32+42=25=52,能构成直角三角形,故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15,75,90,因而是直角三角形，故符合题意.故选:D.【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确.1 9.直角三角形【解析】分析:根据非负数的性质可得a-6=0,2bT6=0,10-c=0,再解方程可得a、b、c 的值,再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状.详解：由题意得：a-6=0,2b-16=0,10-c=0,解得：a=6,b=8,c=10,V62+82=102,二三角形为直角三角形，故答案为:直角三角形.点睛:此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理,关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.1520.4【分析】先求AP-DE=36,再根据直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短,利用三角形面积公式即可求得AP最短时的长,然后即可求出AN最长时的长.【详解】17第 1 7 页 共 3 3 页解：；四边形AD P E 的面积为1 8,D E AP,A 2 AP.|)E=18,即 AP I)E=3 6,在 AAB C 中，AB=6,AC=8,B C=1 0,；.N B AC=9 0 ,:点 N为 D E 中点，_.AN=2 D E,；.D E 最大时,AN 最大,3 6V D E=AP,A A P 最小时,D E 最大，即 A P 1 B C 时,AP 最小,6x8 24.AP=7 二丁，1 5.D E=2 ,15.*.AN=T.15故答案为了.【点拨】本题考查了勾股定理及直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短的知识点,解题的关键是理解AP 最短时DE最大，即 AN 最大.2 1.【解析】试题解析:三角形内角和是1 8 0 ,由知N A+N B=9 0 ,AZ AC B=1 8 0 -(N A+N B)=1 8 0 -9 0 =9 0 ,.AB C 是直角三角形.故选项正确.AB,AC,B C 分别为A A B C 三个边，由勾股定理的逆定理可知,正确.题目所给的比例线段不是4 A C B 和A C D B 的对应边，且夹角不相等,无法证明4 A C B 与4C D B 相似,也就不能得到N A C B 是直角，故错误；CD BD若A A B C 是直角三角形，已知C D 1 AB,又：C D 2=AD B D,(即AD CD).,.AC D AC B D.Z AC D=Z BZ AC B=Z AC D+Z D C B=Z B+Z D C B=9 0 AB C 是直角三角形18第1 8页 共3 3页故选项正确;故答案为.22.8【分析】该题存在两种情况；（1）46为斜边,则NC=90。；（2）46为直角边，/C =2c机或8 c=2cm；【详解】（1）当 4?为斜边时，点C 到直线4 8 的距离为2cm,即A B边上的高为2cm,符合要求的,点有 4 个,如图：（2）当 4?为直角边时，4C=2c/或 BC=2 a,符合条件的点有4 个，如图;符合要求的。点 有 8 个;故答案是8.【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键.23.3.5或 8 或 12.5.【分析】设运动时间为，然后 分 当 L/C、4O_LBC和 N O J.N 8三种情况运用勾股定理解答即可.【详解】解:设运动时间为，则 8。=2/。=5。-8。=32-2,当,/C 时，如 图 1 所示，过点A作AH 1 BC于点H,第 1 9 页 共 3 3 页19图1.AB=AC=20,8 c =329:.BH=CH=-B C =6,2RtABH 中有=Bf/2+4 H AH NAB。-BH?=12:.DH=BH-BD =6-2t,RtADH 中，=I，？+,RtMCD 中，CD?=A D+Ac:.CD2=AH2+DH1+AC2.-.(32-2/)2=144+(16-2/)2+400解得:，=3 5；当时，如图2 所示，图2c SD=_5C =-x32=16,由可知，2 2又 BD=2/,1.E =8.当ZB时，如图3 所示,图320第 2 0 页 共 3 3 页过点A 作/，5 C 于点M，由知ZM=1 2,R/A/1 M Z）中有 I M?+。河2 =力。2,R tA B D 中有/+A D1=B D：.B D2=A B2+AM2+DM21人 B D =2t,A B =20,AM=2,D M =2t-6,4 t2=4 0 0 +1 4 4 +4/-6 4 f +2 5 6,.-./=1 2.5二当。点移动3 6 秒或8 秒或1 2.5 秒时，N3与A 4 8 c 边垂直.故答案为：3.5 或8 或1 2.5.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键.2 4.（-9,0）或gO）【分析】设点6的横坐标为t,利用两点间的距离公式得到户和 手=1 3,从而可以求出t 的值.【详解】解：设点方的横坐标为t,根据题意得 J（3）2+5 2 =1 3,即（3-）2 =1 2所以3-t=1 2 或 3-t=T2.t=-9 或 t=1 5.故答案为（一 9，）或（I/0）.【点拨】本题考查了两点间的距离公式:设有两点/（8,力），目（四,力），则这两点间的距离为杷=-%）2 +（必一%）2.2 5.4 5【分析】延长A P 交格点于D,连接B D,根据勾股定理得到P D2=B D2=l+22=5,P B2=l2+32=1 0,求得P D 2+D B 2=P B 2,于是得到/P D B=9 0 ,根据三角形外角的性质即可得到结论.【详解】如图，延长A P 交格点于I）,连接B 1）,第 2 1 页 共 3 3 页21D,.,P D2=B D2=l+22=5,P B2=l2+32=1 0,P D2+D B2=P B2,/.Z P D B=9 0 ,/.Z D P B=Z P A B+Z P B A=4 5 ,故答案为:4 5.【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识,正确的作出辅助线是解题的关犍.2 6.2【分析】连接 A D、C D,由勾股定理得：4 B =D E =d4、3 =5,B D 7 4 fl=2#,C D =A D =J l2+22=得出 A B=D E=B C,B D2+A D1=A B21 由此可得a A B D 为直角三角形，同理可得A B C D 为直角三角用形，继而得出A、D、C 三点共线.再证明A B C g Z D E B,得出N B A C=N E D B,得出D F A B,B D 平分/A B C,再由角平分线的性得出D F=D G=2 即可的解.【详解】连接A D、C D,如图所示：由勾股定理可得，A B =D E =7 42+32=5 B D=+2?=2 后 C D =A D =V 12+22=7 5V B E=B C=5,A A B=D E=A B=B C ,B D2+A D?=4 B2,.,.A B D 是直角三角形，N A D B=9 0 ,同理可得：Z X B C D 是直角三角形，N B D C=9 0 ,.Z A D C=1 8 0，点 A、D、C 三点共线，A C =2A D =2 =B D ,，在a A B C 和4 D E B 中，22第2 2页 共3 3页A B =D E ),从而可得。尸=工尸=16-x,在R tHCD F中，利用勾股定理即可得.【详解】解:如图，设8M与/C的交点为点尸，连接4 E,由折叠的性质得：=12,D F =A F,D E =A E,4 B D F =/B A F.CD=BC-BD=20-12=8:D CD E 周长=CD +D E +CE=8 +A E+CE要使口)周长最小，只需Z E +C E 最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，4 E +C E 取最小值，最小值为/C,此时CE=CF乂:4 8 =12,4。=16,8。=20/.A B2+A C2=B C2山/2 C 是直角三角形，Z 8 力 C =9 0,Z B D F =9曾,即 E C _ L B C,设C 尸=x(x0)则D F =A F =A C-C F=16-x,在火/O C。尸中，C D2+D F2=C F 即8 2+(16-)2=/,解得x=l0,即当 C O E 周长最小时，C E的长为i o,故答案为:10.【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性顺等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键.123 1.7【分析】首先利用勾股定理逆定理证明 N B C 为直角三.角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求25第 2 5 页 共 3 3 页得 NB4D=NCAD=45。,/.BAD=ZADE=45 44。*=/。=45。，根据角平分线定理可知DO=OE,再根据S A B C =S ABD+S ADC求得D E的长.【详解】,/B=3,AC=4,8c=5,AB2+AC2=BC2)./诩0=90。，口4 5 0为直角三角形，.力。平分/84C =90。，./BAD=/CAD=45。DE/ABi,ZBAD=A，DE=45 ,AADE=Z.C，AD=45.口40七为等腰直角三角形，,-,AAED=ZD，EC=90如图作于点O,.AD 平分 BAC y AB=3,AC=4 BC=5.DO=DE在RtJABC中S A B C=x B x C=S ABD+S ADC即S tc=2Xy4x JC=-2x AB x DO+-2x AC x DE,7-DE=6可得2,12【点拨】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解.32.7.526第2 6页 共33页【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.【详解】解：52+122=132,三条边长分别为5 里，12里，13里,构成了 直角三角形，这块沙田面积为：2 X5X500X 12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.故答案为7.5.【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键.33.7200【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果.连接能在直角三角形/劭中可求得物的长，由CD,比的长度关系可得加C为一直角三角形,，为斜边；由此看，四边形4?（力由山/45和 Rt砍构成,则容易求解.【详解】解:连接BD,在 RtA/XBD 中,BD2=AB2+AD2=32+42=52,在aCBD 中，CD2=132BC2=122,而 122+52=132,即 BC2+BD2=CD2,A ZDBC=90,-ADAB+-DBBCs 四边形 ABCD=SBAD+S/kDBC=2 2,-x 4 x 3 +-x l2 x 5=2 2=36.所以需费用36X200=7200（元）.故答案为7200.【点拨】本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a,b,c 表示三角形的三条边，如果那么这个三角形是直角三角形.34.227第 2 7 页 共 3 3 页【分析】根据勾股定理的逆定理得出A B C 是直角三角形,利用直角三角形的性质解答即可.【详解】解：62+82=102,.1A B C 是直角三角形，V A A B C 内有一点P 到三边的距离均为m,J.L _ L 12 X6Xm+2 X8Xm+2 X 1 0X m=2 X 6 X 8,故答案为:2.【点拨】此题考查勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理的逆定理得出a A B C 是直角三角形解答.133 5.3 或 2 或 4 .【分析】作 B E 1A D 于 F,根据矩形的性质得到B F=D E=4,D F=B E=1,根据勾股定理用C D 表示出A C、B C,根据勾股定理的逆定理列式计算,得到答案.【详解】解:作B F L A D 于 F,则四边形D E B F 为矩形，；.B F=D E=4,D F=B E=1,.A F=A D-D F=3,由勾股定理得，=严+犷=25,A C2=A D2+CD-=6+CD-,B C2=C E2+B E2=(CD +4)2+C D2+SCD +6+l,当4 A B C 为直角三角形时，AB +AC =B C2,g|j 25 +16+C O2=C 2+8 C +16+1,解得,C D=3,如图2,作 B H _ L A D 于 H,28第 2 8 页 共 3 3 页图2仿照上述作法，当N A C B=9 0时，由勾股定理得，AB =4H 2+B H2=25,A C2=A D2+C D2=1 6+C D2,B C2=C E2+B E2=(4-CD)2+l=C D2-SCD +6+,由=3 +得:2 5 =1 6+5+5-8 8 +1 6+1,解得：8 =2，C D =.同理可得：当N A B C=9 0时，41 3综上：8 的长为：3 或 2 或a.1 3故答案为：3或 2 或1.【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么1 23 6.5【分析】勾股定理的灵活掌握及三角形的面积公式是解答的关键.【详解】解：由/+Z =2 5,*-=7建立方程组,求得a=4,6=3,.3 2+4 2=5 2,根据勾股定理的逆定理,三角形为直角三角形，S=-a h=-chc 为斜边,c 上的高为由面积公式 2 2 ,1 2：.h=5 ,1 2故答案为：5 .【点拨】本题考查了直角三角形的判定和三角形的面积公式的应用.1 23 7.见解析，529第 2 9 页 共 3 3 页【分 析】先 画 线 段AC=5,再 分 别 以3和4为半径画弧，两 弧 交 于 点B,4%即 为 所 求.运 用 勾 股 定 理逆定理证明AABC是直角三角形,再运用面积法求出斜边上的高即可.【详 解】解：a如图所示，加 为 /火 的 小 边 上 的 高.1,*AB=3,BC=4，AC=5 AB-+BC2=AC2M B C是直角三角形，乙4BC=90。-A B xB C=-A C xB D22 ABOBC 3x4 12BD=-=-=AC 5 5【点拨】本题考查作图-复杂作图,解题的关键是熟练掌握五种基本作图，利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用方法.3 8.改造该区域需要花费6600元.【分 析】连 接8。，利用勾股定理求出5。的长，再利用勾股定理的逆定理证明N8C=90。，从而解决问题.【详 解】解:如图，连接 助,第3 0页 共3 3页30c在R tA/B O 中，由勾股定理得，BD=AB2+AD2=J（302 +（3扬2 =6（米）.BD2+CD2=62+82=100，CB2=100，:.B D2+CD-=CB-.ZSZ）C=90.S四 边 形 加 8 =5%皿+邑）。=；x3&x3夜+；x6x8=9+24=33,一2 2（平方米），200 x33=6600（元），；改造该区域需要花费6600元.【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,解题的关键是作辅助线构造直角三角形.3 9.8=120【分析】连接/C根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出 根 据 等 边 对 等 角 得 出/纺=/5=3 0 ,根据3 0 角所对的直角边等于斜边的一半得出/fC=24=2.在 勿 中，根据勾股定理的逆定理得出/5=9 0 ，那 么/颇=/4 毋/m=1 2 0 .【详解】如图，连接A C.JA ELB C,点 6 是 a 的中点.：.A B=A C,:.N A CB=/B=3 Q ,二然=24E=2.在/口中，D=8,/个+切=4+4=8,：.ZA CD=90 ,:.NB g /A C侪/A g 2Q .31第 3 1 页 共 3 3 页DB4-f-火【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含 3 0 角的宜角三角形的性质，作出辅助线求出A O 2是解题的关键.4 0.对,理由见解析;一组勾股数为3,4,5（答案不唯一）【分析】首先证明的都是正整数,然后验证较小两边的平方和等于最长边的平方，即可证明，加再任取一个大于1 的整数,即可求出一组勾股数.【详解】对，理由如下：；加表示大于1 的整数，a =2m,b=m2-l1 c=m2+lt:h e都是正整数,且c是最大的数，./+6 2=（2加）2+（加 2 1）2=4/+w4-2m2 +1=加 4 +2m2+1而=（加 2 _|_ 1）2 =+2m2 +1a2+b2=c.a，b，c 为勾股数，取?=2,则“=2 x 2=4,6=2?-1 =3,c=2?+1 =5,故一组勾股数为：3,4,5（答案不唯一）.【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理,勾股数的定义,解题关键是掌握勾股定理逆定理.4 1.锐 角；（2）169或 119;（3）见解析【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出A2的值；（3）分/为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案.【详解】解:72+82=49+64=113 92,.三角形是锐角三角形，故答案为:锐角；（2）；这个三角形是直角三角形,当“为斜边，32第 3 2 页 共 3 3 页.5 2+1 2 2=4,N=1 69,当 1 2 是斜边,则 5 2+/=1 2 2,解得:-=1 1 9,故/的 值 为 1 69 或 1 1 9;(3)V a=2,b=4,：.4-2 c 4 +2t.4C236,若/阿1 是锐角三角形，则 a?+b2 c2 a g a2+c2 2 0 或 1 2,20C2 3 6 4 C2C2 a2+c2 b21则 1 2,1 2?2 0,【点拨】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键.第 3 3 页 共 3 3 页33