2022年全国高考甲卷数学（文）试题.pdf

:绝密启用前O.郑.O.，口.O.非.O.氐.O.“中爬“W收一整料O.郑.O.I-.O.堞.O.K.O.2022年全国高考甲卷数学（文）试题试卷副标题考试范围：X X X；考试时间：1 0 0 分钟；命题人：X X X题号一二三总分得分注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分1.设集合4 =-2,-1,0,1,2,8 =卜|0 4 才 3,则/口8=（）A.0,1,2 B.-2,-1,0 C.0,1 D.1,22.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取1 0 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 1 0 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：居民编号100%._-_ 95%_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _年业90%小、，一擀 85%_ _-_-_-_-_-_-d-_-_-_._-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-4-_-_-_-_-_-_-_-_-A-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-率-_-_-_-_-_-A.-_-_-_-_-_-_-_ _每 80%拳目75%70%不女65%60%血 血C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1U123456789 10*讲座前 讲座后则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于7 0%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差试卷第1 页，共 6 页3.若z=l+i.则|匕+3彳|=()A.46B.4aC.2A/5D.2五4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多A.8 B.12 C.16 D.205.将函数/（x）=sin 似+|（”0）的图像向左平移：个单位长度后得到曲线C,若 C关于y 轴对称，则。的最小值是（）1 1 八 1 A.-B.C.D.-6 4 3 26.从分别写有I,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）1一A.57.函数y=（3-3 7）cosx在 区 间 一 封 的 图 象 大 致 为（）试卷第2页，共 6页鼠如然区熟阳微强冰O.寂.O.O.堞.O.氐.O.xA.-1 B.C.-7 D.1229.在长方体/B 8-4 4 G A 中，已知4。与平面力 8。和平面4 4 4 5 所成的角均为3 0 ,贝 1 J ()up兴1A.AB=2ADB.4 8 与平面力用G。所成的角为30。C.AC=CBD.8 Q 与平面8 8 C C 所成的角为45。1 0.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S中和S乙，体积分别为和G 若 含=2,则*（）乙 V乙载A.y/5 B.2V2C.V ioD,亚41 1.已知椭圆。:r=2+v2 =1（。60）的离心率为1彳，4,4 分别为。的左、右顶点，Ba h 3为 C 的上顶点.若瓦彳 画=-1,则 C 的方程为（）2 2 2 2A.土+匕=1 B.2=1C.D.r2+/=118 16 9 83 221 2.已知9=10,a=10-11,6=8-9,则（)A.a0b B.ah0C.ba0D.h0 a第 口 卷（非选择题）-请点击修改第I I 卷的文字说明评卷人得分二、填空题13.已知向量。=（机,3）,5=（1,机+1）.若 _ 1,书，则机=14.设 点 在 直 线 2x+y-l=0 上，点（3,0）和（0,1）均在上，则 的 方 程 为试卷第3页，共 6页1 5.记双曲线C:-4=l(a 0,b 0)的离心率为e,写出满足条件“直线N=2 x 与 C 无公a2 b共点”的e的一个值.Ar1 6.已知 A/8C 中，点。在边 8 c 上，Z ADB=1 2 0 ,A D =2,CD=2BD.当 4 上 取得最AB小值时，BD=.评卷人得分1 7.甲、乙两城之间的长途客车均由4和 8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的50 0 个班次，得到下面列联表:准点班次数未准点班次放考A2 4 0 0:B2 1 02(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附：心巡区,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 5k)0.1 0 0 0.0 50 0.0 1 0k 2.70 6 3.8 4 1 6.6 3 51 8.记 为 数 列%的前项和.已知3 +=2 2+1.n 证明：%是等差数列；(2)若出，的 成 等 比 数 列，求的最小值.1 9.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面/8 CZ)是边长为8 (单位：cm)的正方形，AEABQFBCQGCDQHDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面N 88垂直.氐O试卷第4 页，共 6 页GO.郑.O.，口.O.非.O.氐.O.“中爬“W收一整都O.郑.O.II.O.堞.O.K.O.(1)证明：EF平面/BCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).2 0.已知函数/(x)=x3-x,g(x)=x 2+a,曲线y=/(x)在 点 处 的 切 线 也 是 曲线V=g(x)的切线.(1)若玉=-1,求a；(2)求的取值范围.2 1.设抛物线C:/=2 p x(p 0)的焦点为凡 点。(p,0),过尸的直线交C 于 M,N 两点.当 直 线 垂 直 于 x 轴时，M=3.(1)求 C 的方程；(2)设直线与C 的另一个交点分别为4 B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为a，B .当a取得最大值时，求 直 线 的 方 程.2+tX-2 2.在直角坐标系xOy中，曲线G 的参数方程为 6(/为参数)，曲线C2的参数2+sX-方程为 6（s 为参数）.,y=-yfs(1)写出G 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为2cosO-sinO=O ,求G 与G 交点的直角坐标，及G 与C2交点的直角坐标.2 3.已知a,b,c 均为正数，且“2+4,2=3,证明：Q+/)+2CK 3；试卷第5页，共 6页庭雄豳6 a 洋6洋(2派；2?星I+IIV 3.ac请不要在装订线内答题.o.夕卜.o.装.o.订.o.线.o.参考答案:1.A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出.【详解】因 为/=-2,1,0,1,2,B=|x|0 x 70%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对：讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%，所以D 错.故选B3.D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共辄复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.【详解】因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l_i)=2_2i,所以但+3司=7 4 =2近.故选：D.4.B答案第1页，共 15页【解 析】【分由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详 解】由三视图还原几何体，如图,2+4则该直四棱柱的体积M =W x2x2=12.故 选：B.5.C【解 析】【分 析】先由平移求出曲线C的解析式，再 结 合 对 称 性 得 竽+=1 +%,%e Z,即可求出。的最小2 3 2值.【详 解】由题意知:曲线（7为夕=$亩|=sin（x/+），又C关 于V轴对称，则CD7T 冗 冗 11r-+=+k7C、A T G Z,2 3 2解 得。=；+2后,k e Z,又。0,故当人=0时，。的最小值为;.故 选：C.6.C【解 析】【分 析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详 解】答 案 第2页，共15页从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,（4,5）,（4,6）,（5,6）15 种情 况，其 中 数字之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为2=|.故 选：C.7.A【解 析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三 角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/（x）=（3 _ 3 r）cosx,xe-p y ,贝！J f （-x）=（3一 丫 一 3x）cos（-x）=一（3丫 一 3x）cosx=-f （x）,所 以/）为奇函数，排 除BD；又当 时，3、-3 T 0,c o sx 0,所 以/（x）0,排除 C.故选：A.8.B【解 析】【分析】根据题意可知/。）=-2,/（1）=0即可解得。力，再根据/（X）即可解出.【详解】因 为 函 数/（X）定义域为（0,+旬，所以依题可知，/。）=-2,r（i）=o,而/f2c-对于 A,AB=a,AD=h,AB=6AD，A 错误；对于B,过 8 作 8E_L/14 于E,易 知 做 J_平面/q C Q,所以4 8 与平面/8 C Q 所成角为/B A E,因为tan/84E =，所以/A4Ew30,B 错误；a 2对于 C,AC=yja2+b2=Vi;CB、=b?+c?=JJc,AC CB,C 错误；对于D,玛。与平面8 8 C C 所成角为N D 8C，sin ND8Q=黑=*=,而B、D 2c 20 Z D 5,C na ,a a2 3 k 9 94,4分 别 为C的左右顶点，则4 0),4 (。，0)，8为上顶点，所 以8(0,b).所以=(a,与必4=(凡6)，因为1答 案 第5页，共15页Q所以将=?/代入，解得 2=9,=8,9故椭圆的方程为卷+=1.故选：B.12.A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知相=b g 9 1 0 l,再利用基本不等式，换底公式可得 7 lgll,bg89?，然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】由 9=10 可得机=1嗨 10=曾 1，而 Ig91g(l g 9；g l l)=(等)粤，即机 l g ,所以 =10.-1110旧-11=0.1g 9 IglO乂lg81gl0翳，gJlogs9 w.所以6=8-90b.故选：A.13.-#-0.754【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】_3由题意知：a-h=m+3(in+1)=0,解得机=.43故答案为：-414.(X-1)2+(+1)2=5【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.答案第6页，共 15页【详解】解：.点 M 在直线2x+y-I=0 上，二设点M 为3 1 -2a),又因为点(3,0)和(0,设 均 在 上,.点M 到两点的距离相等且为半径R,二 J(3 y+(1-20)2=击2+(-2幻2 =R，a2-6a+9+4a2-4a+=5a2 解得。=1,AM(1,-1),R=亚,Q M 的方程为(x-1)2+(j +1?=5.故答案为：(x-l)2+(y +l)2=515 .2(满足l e 4 6 皆可)【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y =2x中0 0,f t 0),所以C的渐近线方程为 =2工，a-ba结合渐近线的特点，只需。l,所以1心 6 ，故答案为：2(满足l 0,利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.AB-【详解】答案第7 页，共 15 页设8 =28 0 =2，0,则在 A A B D 中，A B2 B D2+A D2-2BD-ADcosN ADB=/+4 +2 m，在/C O 41,A C2=C D2+A D2-2CD-A D co s Z A D C =4m2+4-4 m，/C?4 承2 +4-4 5 4（，/+4+2切）-12（1 +加）3 12所以 4 炉 m2+4+2m m2+4+2m（,1 3（7 W4-1+-7 m +i 4 12 一 二4-2 62r+1）-r3当且仅当川=何即 加=凤 1 时,等号成立,所以当第取最小值时，/n =V 3-l.故答案为：y/3-l.1 2 71 7.(1)4 8两家公司长途客车准点的概率分别为不，三1 3 8有【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；(2)根据表格中数据及公式计算长2,再利用临界值表比较即可得结论.(I)根据表中数据，4共有班次2 6 0 次，准点班次有2 4 0 次，设 N家公司长途客车准点事件为M,则2)=变=必；2 6 0 1 38共有班次2 4 0 次，准点班次有2 1 0 次，设B家公司长途客车准点事件为N,答案第8 页，共 1 5 页2 1 0 7则 P(N)=-2 4 0 81 2A家公司长途客车准点的概率为1；B家公司长途客车准点的概率为看.O列联表准点班次数未准点班次数合计A2 4 02 02 6 0B2 1 03 02 4 0合计4 5 05 05 0 0公：n(ad-be)，(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)5 0 0 x(2 4 0 x 3 0-2 1 0 x 2 0)22 6 0 x 2 4 0 x 4 5 0 x 5 0 3.2 0 5 2.7 0 6,根据临界值表可知，有9 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.1 8.(1)证明见解析:(2)-7 8.【解 析】【分 析】S,n=1 依 题 意 可 得2S=2 作 差 即 可 得 到 “从而得证:(2)由(1)及等比中项的性质求出可,即可得到 ,的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得.(1)2 s解：因 为 +=2ct+1 ,即 2 sz i+=2na”+n(T),答 案 第9页，共1 5页当N 2时，一得，2 S +/?2 -2s 一(一以=2nan+-2(一 (一 1),即 2”“+2 -1 =2 。-2(”-1”“_ 1 +1,即2(“-1”,-2(-1”,1=2(-1),所以“2 2 且 eN*,所以 4 是以1 为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得。$=4+3 ,%=+6,%=q+8,又出,%,为成等比数列，所以2=%.%,即(%+6)2 =(q +3).(a,+8),解得q =-1 2 ,r cM_ 0 ，n(-l)1 2 2 5 1(2 5 7 6 2 5川 I 以 Q”一 一 1 3 ,所以 S =-1 2 4-=-n-n=-n-,2 2 2 2 lk 2 J 8所以，当 =1 2 或 =1 3 时(S“)m s=-7 8.1 9.(1)证明见解析；(2)竽 q【解析】【分析】(1)分别取/用8C的中点,N,连接,由平面知识可知E M 1 A B,F N 工B C ,E M =F N ,依 题 从 而 可 证 平 面/B C D,FN工平面4 B C D,根据线面垂直的性质定理可知E M/F N,即可知四边形EV2为平行四边形，子是E F I I M N,最后根据线面平行的判定定理即可证出；(2)再分别取/DQC中点K,L,由(1)知，该几何体的体积等于长方体K M N L-E F G”的体积 加 上 四 棱 锥 体 积 的 4 倍，即可解出.(1)答案第1 0 页，共 1 5 页如图所示:分 别 取 的 中 点M,N,连接M V,因为AE/8,AE8C为全等的正三角形，所以E M 1 AB,FN1 B C ,EM=EV,又平面 EAB L 平面 A B C D ,平面 E A B c 平面 A B C D =AB,EW u平面 4 8,所以EM _L平面/8 C O,同理可得FW_L平面力8C。，根据线面垂直的性质定理可知A/W,而E M =F N ,所以四边形屈“N尸为平行四边形，所以E F UMN,又E F a平面/BCD,M Nu平面Z8CZ),所以E F/平面/8CD.(2)分别取4),。中点代工，由(1)知，E FUMNSLEF=MN,同理有，HE/K M,HE=KM,H G U K L,H G =K L,GF/L N,G F =L N ,由平面知识可知，BD L MN,MN LMK,KM=MN=N L =L K ,所以该几何体的体积等于长方体KMM.-E尸G”的体积加上四棱锥8-MVFE体积的4倍.因为MN=N L =L K =KM=4 0.，EW=8sin60=，点B到平面MVFE的距离即为点B到直线MN的距离，=2五，所以该几何体的体积答案第11页，共15页/=(4近)44百+4乂白4/*4百乂2五=1 2 8 6+百=等 百.2 0.(1)3 -1，+8)【解析】【分析】(1)先由/(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出。即可；(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由“X)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数，求导求出函数值域，即可求得。的取值范围.(1)由题意知，/(-D=-l-(-l)=0,fx)=3x2-,r(-l)=3-l =2,则y =x)在点(-1,0)处的切线方程为V =2(x+1),即y =2 x+2,设该切线与g(x)切于点(名()，g (x)=2 x,贝心口2)=2超=2 ,解得=1,则g(l)=l +a =2 +2,解得a =3；(2).r(x)=3 x2-l,则 y =/(x)在点(x/(xj)处的切线方程为 了一(父一玉)=(3 x；-l)(x-xJ,整理得V=(3X；-1)X-2X：,设该切线与g(x)切于点(,g(Z),g (x)=2 x,则/()=2与，则切线方程为”；+“)=2X2(X-X2),整理得4=2呼-考+Q,则凰二整理-2$3=H _2X；=%”2年多+：,9 3 1令(x)=-2丁 一 x2,贝 ij/(%)=9工3-61 2-3%=3 x(3%+1)(工 一1),令(x)0,解得 x l,3令l(x)0,解得或0 x l,则x变化时，l(x)J?(x)的变化情况如下表：X:-七30(0,1)1答案第1 2页，共1 5页“(X)-0+0-0+/心)527/4-1/则以X)的值域为卜1,”)，故。的取值范围为卜1,物).21.(l)/=4x；(2)A B:x-yfly+4.【解析】【分析】(1)由 抛 物 线 的 定 义 可 得 即 可 得 解；(2)设点的坐标及直线的：=叩+1 ,由韦达定理及斜率公式可得 郎=2 3.,再由差角的正切公式及基本不等式可得幻8=也，设 直 线 结 合 韦 达 定 理 可 解.(1)抛物线的准线为x=-5,当M D 与x 轴垂直时，点 M 的横坐标为p,此 时|心|印+=3,所以。=2,所以抛物线C 的方程为/=4 x；设 龙“号5，乂直线 A/N:x=/wy+l ,x=m y+1由?,可得V 4 2y 4=0,(),必 歹 2=-4,y=4xk:必f _ 4；必一居_ 4由斜率公式 可 得.一 三 宣 一 必+%,一 五 宣 一 九+居，4 4 4 4直 线 。:x=五 匚-J+2,代入抛物线方程可得贯-岖二2).),-8=0,必 必。，月%=-8,所以=2%,同理可得乂=2%，答案第13页，共 15页4%+居所 以&$=42(M+%)2又 因 为 直 线MM 的倾斜角分别为。,尸，UL I、I i c k g t a n cc所 以K,=t a n4=年=丁，若 要 使 乃最大，则夕e(0,?,t a n 仿 一 6 t a n a-t a n-k _ 1 0,则 -1 +tan atan/7-f T2F-l +2/f FT 4 12k当 且 仅 当!=2 k即A =时，等号成立，k 2所 以 当a-4最大时，除=与，设 直 线/氏=。+，代入抛物线方 程 可 得 好-4&y-4 =0,0,%=-4=4%为=-1 6,所以=4,所 以 直 线AB:x=6 y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.2 2.(1)/=6 x-2(y 0):(2)C 3 c的 交 点 坐 标 为 加，(，G C的交点坐标为(-1,-2).【解 析】【分 析】(I)消 去，即可得到G的普通方程;(2)将 曲 线C 2，C,的方程化成普通方程，联立求解即解出.(1)因 为X =,=，所 以x =或，即G的普通方程为F=6 x-2(y z o).6 6(2)因 为x =-=,y =M,所 以6 x =-2/,即G的普通方程为V=-6 x-2(y 4 0),6由 2 c o s0 sin。=0=2 p c o s夕一p sin 夕=0,即 G 的普通方程为 2 x y=0.答 案 第1 4页，共1 5页联 立 广 62口0)2 x -y=0./x =-x =1解得：2 或、1 y=2卜=i 1即交点坐标为联 立 卜=：6X-2(：4 0),解得：1 口 或*=：即交点坐标为(-1,-2).2x-y=0 y=-2 I 2 )2 3.(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)cr+b2+4c2=a2+i2+(2 c)2,利用柯西不等式即可得证：(2)由(1)结合已知可得00,b 0,c0,由(1)得 a+b +2 c =a+4 c W 3 ,即0a+4 c W 3,所以一 2 1,+4 c 3由权方和不等式知,+1 =匕+二 2(+2 丫=J、3.a c a Ac a+4c a+4 c当且仅当上1 =97 ,即a=l,c =1:时取等号，a 4c 2所以工+1 N3.a c答案第1 5 页，共 1 5 页