2022年八年级数学下《勾股定理全章复习与巩固（培优）》专项练习题-带解析.pdf

八年级数学下-专题:17.20勾股定理全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1 .如图，在四，中，4 6=2,/四C=60 ,N 4 34 5 是 6c的中点，直线/经过点，/反阮L/,垂足分别为则/研跖的最大值为（）A.瓜 B.2 2 C.2 3 D.3 立2 .如图,西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为（）C.4 0 0 mB.50 0 mD.3 0 0 m3 .如图，尸为等边三角形1%内的一点,且户到三个顶点A,B,。的距离分别为3,4,5,则4c1 8+2 5 百DT4 .我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）1第 1页 共 3 9 页99 53A.2 0 B.2 4 C.4 D.25.如图，在中，。是 4 C 边上的中点,连接能把皮匕沿切翻折，得到皮心，加 与四 交 于 点 上 连 接 小，若 止 40=2,以=3,则点到比的距离为（）3而C.D.沔6.如图甲，直角三角形4 回的三边a,&c,满 足 声 房=W的关系.利用这个关系，探究下面的问题:如图乙，0 6 是腰长为1 的等腰直角三角形，/以 6=9 0 ,延 长 力 至 跖 使AB=OA,以 四 为 底，在0 4 6外侧作等腰直角三角形0Ai Bh再延长6 至感使力/&=%/,以利为底,在以血外侧作等腰直角三角形0A2B2,按此规律作等腰直角三角形如助（2 1,为正整数），则 1 我的长及物加2 避M 7 的面积分别是（）D.2,22197.如图,三角形纸片ABC,点。是 6c边上一点,连接AD,把 被 沿 着 4?翻折,得到5AE D,D E 与/C 交于点G,连接庞交/于点F.若D G=G E,AF=4,BF=2,/%的 面 积 为 5,则点尸到回的距离为（）2第 2页 共 3 9 页EGB D Cy/5 2y/5 4 46A.5 B.5 C.5 D.38.如图,在矩形/8 C O 中，=的平分线交8 c 于点E.O H _ L/E 于点H,连接B H并延长交C D于点F,连接DE交B F于点。，下列结论:4。=Z E ；A A E D =Z.CE D .，O E=O D；B H =H F ；B C-C F =2H E,其中正确的有()C.4个D.5 个9 .如图,等边口Z 8 C 的顶点”(1,1),8(3,1)；规定把口N 8C “先沿x 轴翻折，再向左平移1 个单位”为一次变换,这样连续经过2 0 2 1 次变换后,等边口4 8 C 的顶点C的坐标为().A (-20 20,7 3+1)B.(-20 1 7,-7 3-1)二(-20 1 8,6 +1)D(-20 1 9,-7 3-1)1 0 .如图，在 R 扪/8 C 中，/4 C 8 =9 0。，分别以 8,Z C,8c 为斜边作三个等腰直角力8 0,口/C E,8 b,图中阴影部分的面积分别记为E ,5，S3邑，若已知应：/8c 的面积,则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是()3第 3 页 共 3 9 页FS4DCE,A.aB.E+84-83C S2+S3+S4D.E+S 2-S 311.勾股定理相传在商代由商高发现,故又称“商高定理”.如 图 1,以直角三角形 8 C 的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2 的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，$2，邑，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形P Q M N H G）的面积记为5,则S,S$,S*的关系为（)A.E+S2R3+S4B,E+83=82+54Q S+S?+S3=S4D.B+Sz+S sV S12.在口48。中，Z 6 边上的中线CQ=3,48=6,BC+4C=8,则口4 8。的面积为（）A.6 B.7 C.8 D.913.如图，四边形力腼是菱形，力仁8,如=6,即 _ 4?于则 如等于（）24 12A 5 B 5 C.5 D.4二、填空题14.如图,折叠矩形纸片4 8 c o，使点。落 在 边 的 点 用 处，改为折痕，48=1,A D =2,设 的 长 为 用 含 有 Z的式子表示四边形CDE/的面积是,4第4页 共3 9页15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，口/B C的顶点4 c均落在格点上，点s在网(I)线段N C的长等于；(II)以8 c为直径的半圆与边A C相交于点D,若尸，分别为边ACB C上的动点，当8P+P。取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点尸，,并简要说明点尸，0的位置是如何找到的(不要求证明).16.如图，4/8 C中，点E在边Z C上，E B=EA,=2 N C B E,。垂直于BE的延长线于点D,B D =8,4C=11,则边8 c的长为.17.如图，在力比中，4斤 除4,4 3 8 a p是射线CO上的一个动点，N加快60,则当为6为直角三角形时,力。的长为.18.如图，在四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,NABC=NACB=NADC=45,则 BD 的长为5第5页 共3 9页DACT-1 9 .如图，已知等边a A B C 的边长是2,以B C 边上的高A B,为边作等边三角形,得到第一个等边 A B ;再以等边 A B 的 B边上的高A B 2为边作等边三角形,得到第二个等边a A B 2c2；再以等边4 A B 2c2的 B 2c2边上的高A B 3为边作等边三角形,得到第三个等边4 A B 3c3；，记B C B2的面积为S ,B z C i B?的面积为S 2,Z B 3c2B 4 的面积为S：,如此下去,则Sn=.y=-x +420 .如凰直线 3 与 x 轴、y 轴分别交于A,B 两点,C是 O B 的中点,D是 A B 上一点，四边形O E D C 是菱形,则O A E 的面积为.21 .如图，在直角A A B C 中，/C=9 0 ,A C=6,B C=8,P、Q分别为边B C、A B 上的两个动点，若要使A P Q 是等腰三角形且B P Q 是直角三角形,则A Q =.22.如 凰 在/园中，力於1 0,N作6 0 ,点D、6 分别在AB、BC上,且BD-B傍4,将 必 沿座所在直线折叠得到 6 （点夕 在四边形/座，内），连接4?,则/夕 的长为_ _ _ _ _ _.6第 6页 共 3 9 页23.如 图 1,在长方形4 腼 中，b是的延长线上一点，交 于 点 是 切 上 一 点.给出下列三个关系:/朗尸=4 F,ACAG,/ACB=3NBCE.(1)选择其中两个作为条件,一个作为结论构成一个真命题,并说明理由；(2)在(1)的情况下，/腔=22.5.当A D=时,求点G 到直线1 的距离；在中，易得2/06/龙=9 0 .像这样，一个三角形中有两个内角a、B 满足a+2 B=9 0 ,称这个三角形为“近直角三角形”.如 图 2,在 R t 为外中，N2“仁 9 0 ,PM=6,V=8.在线段掰V 上找点。使得是“近直角三角形”，求，媳的值.图1 图224 .如 图，在等边口 8 C 中 是 比 边 上 的 高，点为线段力上一点，连龙?、E C.(1)如 图 1,将线段仍绕点 顺时针旋转至E F,使点尸落在BA的延长线上.求/C E/的 度 数；求证.4B=AF +6AE.(2)如图2,若 4 3 =4,将线段以绕点 旋转过程中与边4c交于点当 E =C 时,请直接写 出 的 最 小 值.7第 7 页 共 3 9 页25.(1)【问题背景】如图1,在 尺 们力BC中，4/C =90。，=是直线用上的一点，将线段4 绕点/逆时针旋转9 0 至 连 接 值 求 证：还 ACE -(2)【尝试应用】如图2,在的条件下，延长龙;作交于点G,8尸，4 8交应 于点五求证:FG=MAE.(3)【拓展创新】如图3,A是口BZX7内一点，乙48c=乙4。8=45,/历1C=9O,80=6,直接写出口 8 0 c的面积为.26.如图，在等腰直角被7中的C=90,点是。延长线上一点，点 是 四延长线上一点,且AD=BE,过点A作应的垂线交应于点F,交8 c的延长线于点G(1)依题意补全图形；(2)当。，请你用含a的式子表示(3)用等式表示线段CG与4之间的数量关系,并写出证明思路备用图参考答案【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即可.【详解】解:如图,过点C作CK1于点K,过点A作AH_LBC于点H,8第8页 共3 9页A/jA/在 R t AAH B 中，VZABC=6 0 ,AB=2,；.BH=1,A H=6,在 R t AAH C 中，Z AC B=4 5,.AC =y/AH2+C H2=J（扬?+（扬 2 =a,.,点D为 B C 中点，；.BD=C D,在A B E D 与 0 中，Z B F D =Z C K D =9 0 Z B D F =Z C D KBD =C D）.BF D AC K D（AAS）,.*.BF=C K,延长AE,过点C作 C N 1 AE 于点N,可得 AE+BF=AE+C K=AE+E N=AN,在 R t AAC N 中,AN V AC,当直线1 L A C 时，最大值为灰,综上所述,AE+BF 的最大值 为 卡.故选:A.【点拨】本题主要考查 全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.2.B【解析】【分析】由于BC AD,那么有/D AE=N AC B,由题意可知N ABC=N D E A=9 0 ,BA=E D,利用AAS可证ABC AD E A,于是AE=BC=3 0 0,再利用勾股定理可求AC,即可求C E,根据图可知从B 到 E 的走法有两种,分别计算比较即可.【详解】第9页 共3 9页9章复习与巩固（培优）专项练习题解:如右图所示，V BC/7AD,Z DAE=Z ACB,又;BCAB,DE1AC,Z ABC=Z DEA=9 0 ,又 AB二 DE=40 0 m,AAABC ADEA,EA BC 30 0 m,在 R tAABC 中，AC7 AB+BC?=5o om).,.CE=AC-AE=20 0,从 B 到 E 有两种走法:BA+AE=70 0 m;BC+CE=50 0 m,最近的路程是50 0 m.故选B.【点拨】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是证明a ABC丝Z X DEA,并能比较从B 到 E 有两种走法.3.A【解析】【详解】分析:将a B P C 绕点B 逆时针旋转60 得 BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,Z PBE=60 ,则 ABPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4,Z BPE=60 ,在4AEP中，AE=5,延长BP,作 AF _ LBP于点E.AP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到4 A P E为直角三角形,且N APE=9 0 ,即可得到N A P B 的度数,在直角4 A P F 中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角A A B F 中利用勾股定理求得AB 的长,进而求得三角形ABC的面积.详解：ABC为等边三角形，.*.BA=BC,可将A B P C 绕点B 逆时针旋转60 得a BEA,连 EP,且延长BP,作 AF LBP于点F.如图，10第1 0页 共3 9页E产-a。，BE二BP二4,AE二PC二5,NPBE=60,AABPE为等边三角形，PE=PB二4,NBPE=60,在ZXAEP 中，AE=5,AP=3,PE=4,.AE2=PE2+PA2,APE为直角三角形，且NAPE=90,/.ZAPB=90+60=150.ZAPF=30,3二在直角 AAPF 中,AF=2 AP=2,PF=2 Ap=2.3AA.在直角ABF 中，AB2=BF2+AF2=(4+5)2+(2)2=25+12.出 走 25百则ABC 的面积是 4 AB2=4 (25+1273)=9+4.故选A.点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.4.B【解析】【分析】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽,列出方程，化简再代入a,b的值,得出x2+7x=12,再根据矩形的面积公式,整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据题意得:2(ax+x2+bx)=(a+x)(b+x),化简得:ax+x2+bx-ab=0,又；a=3,b=4,II第1 1页 共3 9页章复习与巩固(培优)专项练习题.x2+7x=12;.该矩形的面积为=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+X)=X2+7X+12=24.故答案为B.【点拨】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.5.C【解析】【分析】连 接W ,交劭于点火过点作DHLBC于点H,由翻折知，X B g X B D C,勿垂直平分CC,证为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=,C 4 6!=也，BM=2,在Rt/XBMC中,利用勾股定理求出B C的长,在中利用面积法求出力/的长,则可得出答案.【详解】解:如图,连接CC,交 放 于 点M,过点。作DHLBC于点H,：AD=AC=2,是/C边上的中点，：.DC=AD=2,由翻折知,必修觥*,即垂直平分CC,:.DC=DC=2,BC=BC,a i=c M,：.AD=AC=DC=2,./%为等边三角形，:./ADC=/A C g N C AC=6Q：DC=DC,：.DCC=C=2 X 60=30,在R tX C 犷 中，ADC 6=30,DC=2,:.D Q C AH 拒 D M=6,.因/=薇-。仁3-1=2,第1 2页 共3 9页12在 R t ABMC 中，仪,_ JBM+C/=.+伊（二51,Z SR BD O=2 BC D H=4 BA CM,:W ZW=3X53而：.D H=7 ,：ND CB=/D BC,3721.点到比的距离为7.故答案为:C.【点拨】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,勾股定理等,解题关键是会通过面积法求线段的长度.6.A【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出A出b&A A进而得出规律,求出七附&初,再利用三角形的面积公式即可求出物2必见阳的面积.【详解】解：.而占是腰长为1的等腰直角三角形，：AB/=OA,.,.阳=2,/.Ai Bj OA/2,*AB尸 OAj y：.0Bk 2近,V2.A2Bj OA 2 物=2=（夜）2,*,力2?=OA2、竭=4,显二.40 3=0A；3=2 0B3=2 夜=（&）3,13第1 3页 共3 9页20212021()2 0 2,如0%/的面积=3 X(血)2。2 (&)2 M=22。2。.故选:A.【点拨】本题考查找规律图形的变化,利用等腰直角三角形的性质确定变化规律是解决问题的关键.7.B【解析】【分析】首先求出U 放的面积.根据三角形的面积公式求出D F,设点尸到劭的距离为h,根据5 处方=5 BF，D F,求出和即可解决问题.【详解】喊;：D G=G E,5:.Sa AD G=Sa AE G=5,:.SAD E=5,由翻折可知,U 运L I AD E,BE LAD,:.Sa ABg SWE=5,4BF D=90,25 (小 如 的 =5,2.(4+/).2=5,：.D F=,.DB=ylBF2+D F2=#+F =右，设点厂到助的距离为h,则万 B A h=3 BF D F,x y/5h=x 2x l即：2 2,2石:.h=5 ,故选:8.【点拨】本题考查翻折变换,三角形的面积,勾股定理二次根式的运算等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.8.I)第 1 4 页 共 3 9 页14【解析】【分析】（1）由角的平分线的性质和平行线的性质可证=再结合勾股定理加以判断；（2）在（1）的基础上,结合等腰三角形的性质,通过计算加以判断；（3）可通过在和EOH中“算有关角度加以判断；（4）通过证明A 3即 与 口 皿）产能否全等加以判断；（5）在上述判断的基础上,结合线段的和或差加以判断.【详解】解：（1”.F E 平分NBAE=NDAE=-ABAD=452.ADHBC./D AE=ZAEB=45。.N4EB=NBAE=45。.：.AB=BE,.AE=AB.V AD=42 AB tAD=A E.故正确；（2）.,仍以7Al5,ZADE=NAED=-（180-45）=67.5 2.NCED=180-45-67.5=67.5.ZAED=/CED.故正确；*/BAE=ZDAEJAC2-A D2=y/3.C(2,G +1)第一次把口/8 C “先沿x 轴翻折,再向左平移1个单位”，得即C(-l +2,-x/3-l)第二次把口”8 C 先沿X 轴翻折，再向左平移I 个单位”，得C(1 T，G +1),即C -2+2,7 3 +1)第三次把“先沿”轴翻折，再向左平移1个单位”，得即当 为 奇数时，第 次把“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”，得C +2,-/3-l)当为偶数时，第次把口为8 c “先沿x 轴翻折，再向左平移1 个单位”，得G +2,6+1)V 2 02 1为奇数.第2 02 1次把口4 5 C “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”，得c G 2 02 1+2,-e-l)即第 1 7 页 共 3 9 页C 2 0 1 9,-V 3-l)t故选:D.【点 拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角坐标系、轴 对 称、平 移、勾股定理、数字规律的知识;解题的关键是熟练掌握等边三角形、轴对称、平移、数字规律的性质，从而完成求解.10.A【解 析】【分 析】设AOm,BenQABC的 面 积 为$用 含 有 偏n的代数式分别表示相关线段,继而表示相应的面 积,确定 面 积与m,n,S之间的关系,从而作出判断.【详 解】设AC=m,BCnQABC的 面 积 为S,;R G B C 中，4 C 8 =90。，分 别 以/AC 8 c 为 斜 边 作 三 个 等 腰 直 角，口 ZC,/XBCF1-m n r-z-792，力庐Vm+n-C.AEEO 2,B2c用 2 庐B店ylAD2-A E2=在 直 角 三 角 形/0中，陷m2+n2 m22 2=2 n6 n也m正 当:.DC=ECEIA 2-2=2q 1AE.ED=1XWX =1X1,W W=15.5 4 =2 2 2 2 2一 2 2_故 S4的值可以确定,力 选 项符合题意；设 阳 川 的 交 点 为 a 则S+S血=s也=；CD AE=号(m-n)x,m(w2 mn)=4S S S/C B 4D+nDG=22 2m+n4r 2 d +S4-S3 二 4-S -(m2-mn)+2-4Y+S4，与有关系，故代数式的值不能确定,第 1 8 页 共 3 9 页18.4选项不符合题意;C C 机”).,%+0DJDG=4nr+n2A D G -4n2 1 c十 34 21 M2 1 勺/S2+Si +S4=2BF+2S+S,_ 72=T+2+5!-4 2 =E，无法确定,。选项不符合题意;7SI+S2-S3=T45+T=T45,与有关,.选项不符合题意;故选A.【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质,勾股定理，图形面积的割补,灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键.11.C【解析】【分析】根据勾股定理得到32s,根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于大正方形的面积减去空白部面积，而空白部分面积是两个较小正方形面积和减去重叠部分（六边形产的面积即可.【详解】解:设直角三角形的斜边长为a,较长直角边为c,较短直角边为b,由勾股定理得，/=/+出设最大正方形的面积为S5,较小正方形面积为S6,最小正方形面积为S7则$5=Sfi+S7,图 2 中空白部分面积为:S6+S7-S4,Sj+52+S3=S5-S空白 f$+S?+S3=S5 _ (6+S7 S4)S+S?+S3=S5 品S7+S419第 1 9 页 共 3 9 页Sj+S2+S3=S4故选c【点拨】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为G那么*+=缁关键是弄清空白部分的面积如何用两小正方形的面积和重叠部分面积表示.12.B【解析】【分析】本题考查三角形的中线定义,根据条件先确定ABC为直角三角形,再根据勾股定理求得2/E B C =28,最后根据m,2 求解即可.【详解】解：如图，在口 8 C 中，”8 边上的中线，VCD=3,AB=6,；.CD=3,AB=6,.CD=AD=DB,=/2,/3=/4,Nl+N2+N3+N4=180.N1+N3=9O。，.口 NBC是直角三角形，松=36,又4C+8C=8,：.AC22AC-BC+BC2=Mt .2 JC SC=64-(/lC2+SC2)=64-36=28，AC-BC又；2,ScM BC=-1 ZX2-8=72 2故选B.20第 2 0 页 共 3 9 页【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得:在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形,通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.13.A【解析】【分析】根据菱形性质求出A0=,5=3,NAOB=90,根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面积公式求出即可.【详解】.四边形4%是菱形，：.A0=OC,B0=OD,ACVBD,；47=8,D B=6,：.AO=A,如=3,Z/6 0=9 O ,由勾股定理得:4万=6*=5,-x A C x B D=A B x D E,:S 菱 影 ABCD=2,LX8X6=5XDH；.2 ,2 4：.D H=5 ,故选:A.【点拨】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S 菱形4庞=_2 X/G C 劭=4 6 X Z W 是解此题的关键.1 2 1 ,-rt +l1 4.4 4【解析】【分析】首 先 根 据 题 意 可 以 设 修 例 在 三 角 形 中 用 勾 股 定 理 进 一 步 可 以 用 t 表示出X,再可以设Cly,连接帆所以B户2-匕在三角形物W 与三角形物中利用共用斜边,根据勾股定理21第 2 1 页 共 3 9 页可求出用r 表示出匕进而根据四边形的面积公式可以求出答案.【详解】设D QE 后x,.x1=(2-x)2+t2一+4.,.x=4 ,设C产y,连接E lf,二 册 2-%又，：F N=必 彼 1,丁+1 2=(2-+。一,-2，+4二片 4,1 z、1/+4 /一24、一(x +y)C 7)-(-1-)四边形C O E 尸的面积为：2 =2 4 4 .1,-t2-r +1故答案为：4 4 .【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.1 5.(1)旧；(2)见解析【解析】【分析】(1)将 A C 放在一个直角三角形,运用勾股定理求解；(2)取格点M,N,连接M连接即并延长,与 相 交于点B ,连接B C,与半圆相交于点连接 附 与 1 相交于点P,连接*P并延长,与比相交于点Q、则点P,。即为所求.【详解】解：(1)如图，在 Rt A A E C 中,C E=3,A E=2,则由勾股定理,得A C=炉+/炉=+2、拒.22第 2 2 页 共 3 9 页章复习与巩固（培优）专项练习题（I I）如图,取格点周川连接网连接物并延长,与仰相交于点8 ,连接C,与半圆相交于点E,连接BE,与 相 交 于 点P,连接8 P 并延长,与应、相交于点Q则点P,。即为所求.【点拨】本题考查作图-应用与设计,勾股定理,轴对称-最短问题,垂线段最短等知识,解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题,属于中考常考题型.1 6.4 石【解析】【分析】如图，延长B I）到点G,使 D G=B D,连接C G,则由线段垂直平分线的性质可得C B=C G,在 E G 上截取 E F=E C,连接C F,则/E F C=NE C F,Z G=Z C B E,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得NE F C=NA=2 NC B E,再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得F C=F G,设C E=E F=x,则可根据线段间的和差关系求出D F 的长,进而可求出F C 的长，然后根据勾股定理即可求出C D 的长,再一次运用勾股定理即可求出答案.【详解】解:如图,延长B D 到点G,使 D G=B D,连接C G,则 C B=C G,在 E G 上截取E F=E C,连接C F,则Z E F C=Z E C F,/G=NC B E,：E A=E B,.NA=NE B A,V Z A E B=Z C E F,NE F C=/A=2 NC B E=2/G,V Z E F C=Z G+Z F C G,Z G=Z F C G,；.F C=F G,23第 2 3 页 共 3 9 页B设 CE=EF=x,则 AE=BE=ll-x,.,.D E=8-(ll-x)=x-3,DF=x (x 3)=3,VDG=DB=8,AFG=5,ACF=5,在RtACDF中，根据勾股定理,得CD=C F-D F-=4.BC=yjBD2+C D2=&2 +4?=4右故答案为：4石.【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识,具有一定的难度,正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键.17.2或2/或2 s【解析】【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解,结合三角函数,等边三角形的性质即可解题.【详解】解：当吩9 0 时(如图1),:AO-BO,：.PO=BO,V ZAOC=&00,./庆归=60,.呼 为等边三角形，24第2 4页 共3 9页.45=除 4,AP=AB sin 60=4x =273 2当NAB片90时（如图2）,:N A O O/B O 片,N 修。30,-3，在直角三角形/鳍中，AP=7（23）2+42=2 不如图 3,:AO-BO,/力 陪 90,:.PWAO,V ZAOC=（50Q,力利为等边三角形，力 产 432,故答案为2右 或 2疗 或 2.1 8.历.【解析】【详解】作 AD AD,ADZ=AD,连接 CD,D D,如图:25第2 5页 共3 9页,DVZBAC+ZCAD=ZDAD,+ZCAD,即 NBAD:N CAD,在BAD 与A C A D 中，BA=CA.BAD丝ZXCAD(SAS),.BD=CDZ.NDAD=90由勾股定理得DD=l4D*A D)2=反=4&,ZD DA+ZADC=90由勾股定理得 CD 7DC。+()2 7 9 +32=X/?T.*.BD=CD,=弧,故答案为 百.I19.22+l【解析】【详解】【分析】由AB】是边长为2 的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到BI为 BC的中点,求出CB1的长,继而可得BB2是有一个角为30度的直角三角形，同理可知B2C1B3、B3c2B4、ZB4c3B5、都是有个角为30度的直角三角形,而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边，由此即可求得Sn.【详解】等边三角形ABC的边长为2,ABi_LBC,.,.ZC=60,CBi=BBi=l,X V Z BIB2C=90,.,ZCB1B2=30,5/3 1 1 73 73 731 _ x _ x _ _ _.CB2=2,B1B2=2.S i=2 2 2-23 22l+l,26第2 6页 共3 9页同理,RtZB20B3 中，B 2CI=BIB 2=2,；C B 3=5X 2=、B浦 士.亚心)_r,_ o)2 2 )5 Q,.A(4 g,0)；，0A=4 G,27第2 7页 共3 9页旦+4设 D(x,3)E (x,-3 x+2),延长D E交0 A于点F,73.*.E F=-3 x+2,0F=x,/GJ/3在R t a O E F中利用勾股定理得：/3.故答案为2 G.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征:一次函数y=kx+b,（k#0,且k,b为常数）的b _图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-7，0）;与y轴的交点坐标是（0,b）.直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了菱形的性质.15 3021.4 或 7【解析】【详解】分析：分两种情形分别求解:如图1中，当A Q=P Q,Z Q P B=9 0时，当A Q=P Q,Z P Q B=9 0时；详解:如图1中，当A Q=P Q,N Q P B=9 0时,设A Q=P Q=x,28第2 8页 共3 9页V P Q/7 A C,/.B P Q A B C A,BQ=PQ10-x _ x15A x=4 ,15A A Q=4 .当 A Q=P Q,Z P Q B=9 0 时,如图 2,设 A Q=P Q=y.图2V A B Q P A B C A,PQ BO.就 二 正，y _ 10-y3015 30综上所述,满足条件的A Q 的值为不 或 亍.点睛:本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.22.2 s.【解析】【详解】过点作 U 6 于点打过点6 作 6入 4。于 点 6,.,6 0 ，除 阶 4,腕是等边三角形，:S D恒4BD B,：.B六 务 B QBB=2,D F=d DEJ DFjUH=26,第 2 9 页 共 3 9 页29G D-B F=2,：.B G=D k ,:心 1 0,二月段 1 0 -6=4,【点拨】考点：1 轴对称;2等边三角形.2 3.(1)选作为条件，作为结论，见解析；9 1;3 或2【解析】【分析】(1)选作为条件,作为结论;根据长方形的性质得到8 C,推出/4/腔;由ACAG,得到/g 4 GC理 由 三 角 形 外 角 的 性 质 得 到 由 此 得 到4ACB=3/BCE.(2)过点C 作G H L A F T H,证明?!耸 自 双 推 出G H=CB=Akk当N作N物州的角平分线,交腑于点Q,过 点。作QR LNP千 R,由/m/物 升 9 0 ,证得N A+2/M 39 0 ,得到/%是“近直角三角形”，利用勾股定理求出A 已证明朗偿必过推出PR=P*6,MQ=R Q，结合勾股定理得NR2+RQ2=N O?,求出MQ;当 24 件/加份9 0 ,A Q V也 是“近直角三角形”，如图，延长八物到/,使劭值呼8,延长/俨到E,证明制足PMN(SAS)得 H P=N!0,/生/4 根据三角形的外角性质得到/孙小2/人进而证得/t!佐9 0 ,由 仍优戚+,修 好 一 游 求 出，姆即可.(1)解：选作为条件,作为结论;理由如下：在长方形 ABCD 中,AD/BC t/除 9 0 ,BC=AD,：.Z.F=BCE,：ACAG,:.乙 ACG=4AG C,30第 3 0 页 共 3 9 页章复习与巩固（培优）专项练习题：4G AF=4F,：.ZACG-ZAG(=2ZFf A C B=B C E.(2)解:/夕*=2 2.5。，：.Z/ZBCE=22.5 f ZAC&-3ZBCE =6 7.5 ,过 点。作G H 1AF于H,则 N A 9 0 /4 6 7.5 ;NACB,：AC=AGf:C=G F,又/ABO/F H G郑)；:.MAC哙F G H kAAS：.G H=CB=AD-,即点G到 直 线 的 距 离 是1；如图，作N柳卯的角平分线,交磔于点。,过点0作QR 1NP于R,VZ 9 0 ,m N例g 9 0 ,A Z M 2 Z.W 9 00,:Z Q N是“近直角三角形”，在 R t 月 初V中，/P M N=9、PM=6、MN=8.NP=ylMN2+M P2=V82+62=1 0,，:PQ 平 4 分 4MPN,：.2MPH/R PQ,/QR L.NP,第31页 共39页312 0 2 2 年八年级数学下 勾股定理全章复习与巩固(培优)专二./般 乙 沪 9 0 ,：PQ=PQ,:,MPQ&X R PQ,:.PR=PM-0 MQ=W,二 喇 0-6=4,/在 Rt/w 中，n r2+R。=NQ.42+A/02=(8-A/0)2解得J 3;当 2NM/八 汽 t9 0 ,&#也 是“近直角三角形”，如图，延长八 到H,使物仁阱8,延长泌至U E,:MH=MN,NPMH=ZPM；箕90 ,MP=MP,.41 侬 !我(S45),:.H P=N%0,AH=ZN,：.ZH PE=2N,评 0 9 0 ,：.4H PE +4NP牛90 ,:.NQPH 冯 G,由勾股定理得:仍 M个 初3一4 巴.,36 2=(8+,第 2 1 0 2,9解得：，除 2,9综上,阳=3或2 .【点拨】此题考查了长方形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、等边对等角求角第 3 2 页 共 3 9 页322022年八年级数学下 勾股定理全章复习与巩固(培优)专项练习题度、直角三角形的两锐角互余、角平分线定义、全等三角形的判定及性质、勾股定理、解一 元一次方程等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.2 4.120;证明见解析；4后【解析】【分析】(1)延长跖到交4C于/,根据等边三角形的性质可以得到力 是成的垂直平分线，/曲 介 分30,/力 於60,即 可 得 到/能a次由旋转的性质可以得到B左E F,2六/ABH,再根据4 F E 4 4 F+4F B424F BH,N C fifN为?/改方力/即可求解；在砌上截取B(AE,过 点 作 夕 于K连接E G,由等腰三角形的性质可以得到4后儆A M =ylAE2-M E2=AE再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 2，即可求解；(2)将48绕点A逆时针旋转9 0 到AT,连接E F,证明出3 Z X 7E4,得到BH=E T,即可得到B出C拄BE+E T,要想如位的值最小，即“的 值 最 小，当B、E、T三点共线时,质7的值最小，由此求解即可.【详解】解：延长秋到交/C于H,Y三角形4笫是等边三角形,四是6C边上的高，是比的垂直平分线，/胡 庆/。方30,/游60,:.BE CE、：.4E B&/E CB,由旋转的性质可得:除俄N代N/做V 自4 F B+24F BH,4 CE+/E B O 4 E C快24 E BC、:乙 CE用/CE/H E F=2/F B件E BO2 4 A Be Y1S;33第3 3页 共3 9页图1如图，在 BA上截取BG=AE,过 点 作 EMUB于M,连接EG,：B及 FE,:BM=FM、又A省BG,：.4忙 G M,；N 必加30,:F2ME,AM=y/AE2-M E2=AE：.2,AG=AM+MG=2AM=&E，AB=BG+AG,A B=AF+6AE.，如图，将四绕点力逆时针旋转9 0 到 AT.连接EF、窗后/比/60,A E gB C,NBA户90 :A芹 CH,:.ABH(层色 TEA(SAS),第 3 4 页 共 3 9 页34:.B*E T,：B芹 CE,:.B小 C拄 BE+E T,:要 想 小 位 的 值 最 小，即 册 外 的值最小,二 当 反E、T 三点共线时，筋 71 的值最小，/.此时/6 7为等腰直角三角形，.BT =1 AB，+AT?=4 72 ,，即 的 最 小 值 为 4 0.图2【点拨】本题主要考查了等边三角形的