函数及其性质（解析版）-2021年高考数学(新高考).pdf

热点04 函数及其性质【命题形式】函数是高考数学中的必考内容，函数中的基本处理方法和解题思想贯穿于整个高中数学，可以说函数是整个高中数学的核心。从难度上来说，难度较大的函数小题经常以压轴题目出现，是客观题中最易出难题的部分。函数题目的功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点。因此，新高考中函数与性质任然是考察的重点内容，要想在新高考中获得较为理想的成绩，抓好这一内容是必须的。下面分析一下新高考数学函数这部分的基本命题方向。1、考察的题型：函数与性质主要集中在客观题上，往年平均每年3个，足见其重要性；特别注意在新题型多选题上的考察。2、考察的内容：主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数和绝对值函数都是重要载体。不仅有对函数知识内部的综合考查，也有与其他主干知识（数列、解析几何、概率、三角等）相关联的交汇考查。3、考察的数学思想：函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。4、高频考题类型：（1）函数的性质与图像：（2）函数零点、方程的根（零点、根的个数或已知个数求参数取值范围）：（3）解函数不等式；（4）分段函数求值问题；（5）求参量的取值范围问题：（6）以数学文化和实际生活为背景的题型。【满分技巧】1、做函数与性质题时要注意以下几点：（1）要克服对函数内容的畏难情绪，首先要抓好基本的常规题型，高考考得是熟练，考的是能力。因为我们所作的所有题目都不是全新的，它们都是需要不断转化，将新问题转化为老问题、熟悉的问题，因此熟练是能力的基础，很难设想一个对知识不熟练的学生能在高考考场上，灵感迸发、才若泉涌，在抓好常规题型的前提下，还要特别关注建立在基本题型下的非常规思路；（2）在易错点上要格外注意，不要忽视定义域、该分类时分类讨论，该舍解时根据条件舍去；（3）有关不等式的题目都要联想到函数单调性，看看是否需要根据特征构造函数；（4）注意解题时极端化思想、排除法、赋值法这些解选填题的解题技巧的灵活运用；（5）不要忽视函数图像的力量，数形结合思想可以帮助你绝地逢生。2、热点问题的解题策略：热 点 1：函数的性质策略：函数的四大性质是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容。在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查。热点2：函数图像的判断策略：根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法。热点3：函数的零点类型一：函数零点（即方程的根）的确定常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定。策略：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以数形结合法求解。类型二：由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题策略：利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解。热点4：不等式恒成立时逆求参数的取值范围（最值）策略：直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握。分离变量法是有效方法。【常考知识】基本初等函数图象和性质、函数的零点和方程的解、函数的实际应用【限时检测】（建议用时：6 0 分钟）一、单选题4%1.（2 0 2 0 天津市高考数学试卷）函数丁 =的图象大致为（）X+1【答案】A【详解】由函数的解析式可得：/（-x）=-r-j =-/（-）则函数/（x）为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C D 错误；4当x =1 时，y=-=2 0 ,选项B错误.1 +1故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.2.（2 0 2 0 年新高考山东数学卷）基本再生数后与世代间隔7 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/）=e”描述累计感染病例数/1）随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r 与兆，7 近似满足尼=l+r 7：有学者基于已有数据估计出限=3.2 8,片6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为（l n 2 心0.6 9）（）A.1.2 天 B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天【答案】BQ O Q _ 1【详解】因 为 凡=3.2 8,7 =6,4=1+,所以r =-=0.3 8,所以/）=e =/的，6设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为。天，则*3 8(2 =2 e 0 3 8 ,所以 e 3 跖=2，所以 0.3 甑=In 2,所以：=In 20.3 80.6 90 3 8a l.8 天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.3.(2 0 2 0 青铜峡市高级中学高三期中(文)已 知 是 定 义 在 R上的函数，且满足f(x +2)=/(x),当 x e 0,l)时，/(x)=4 -l,则/(一5.5)的 值 为()A.2 B.-1 C.-D.12【答案】D【详解】f(x+2)=f(x)：.T=2/(-5.5)=/(-5.5 +2 x 3)=/(O.5)=40 5-1 =2-1 =1故选：D【点睛】本题考查函数周期、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.4.(2 0 2 0 年北京市高考数学试卷)已知函数/(x)=2 x-l,则不等式/(x)0 的解集是().A.(-1,1)B.(7,-1)(1,-K X )C.(0,1)D.(-o o,0)u(l,+o o)【答案】D【详解】因为 x)=2-x-l,所以/(x)0 等价于2 x+l，住 同 H角坐标系U作1 1,v=2 租y=-v+l i j图象力 图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2 x+l的解为x l.所以不等式 x)0 的解集为：(f,0)5 1,+8).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.1 +In x,0 x 15.(2 0 2 0 福建莆田高三其他模拟)已知函数/(x)=41 ，若方程尸(“+。一。)/(另一。=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(-c o,0)B.(0,1)C.。，+8)D.(0,+8)【答案】B1 +In x,0 x 1可画函数图象如下所示:/2(x)+(l-a)/(x)-a =0，(/(x)+D(/(x)-a)=。，/(x)=-1 或 x)=a要使方 程 尸(x)+(l a)/(x)。=0恰有三个不同的实数根，则/(力=。有两个不同的实数根，即函数 =/(%)与 丁 =。有两个交点,由图可得0。1，即a e(O,l)故选：B【点睛】本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题.6.(2020年新高考山东数学卷)若定义在R的奇函数/X x)在(-8,0)单调递减，且/(2)=0,则满足1)2 0 的 x的取值范围是()A.-1,1 3,+a)B.-3,-11 0,1C.-l,0 u l,4 w)D.-l,01u n,3【答案】D【详解】因为定义在R上 的 奇 函 数 在(3,0)上单调递减，且/(2)=0,所以/(x)在(0,+0,当 x e(-2,0)(2,+8)时，/(%)0,所以由犷1)20可得：%0或,-2 x-l 0 0 x-l 2或 x =0解得IWXWO 或 l W x 3,所以满足的x的取值范围是-1,0。口,3,故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.l o g(*+1)1 r lA.2,2 B.(o o,2 C.1 D.O,+00)【答案】D【详解】一I c x W l 时，/(x)e(-o o,l ,当X1 时，/(X)=X2-2 ,分两种情况：(/)当aWl时，(X?-2o x)1 2。，所以只需 1一2。41,得a 2 0.即O W a W l()当时，(*2 =一。2，所以只需一 片 1显然成立，得4 1.综上，a的取值范围是(),+8).故 选:D.【点睛】本题考查分段函数的值域，注意先考虑不含参数的函数在相应范围的函数值的范围，再结合已知的值域判断含参数的函数的性质，本题属于中档题.*3 Q8.(2020年天津市高考数学试卷)已知函数/(x)=若函数g(x)=/(x)收2乂 (Z e R)恰有4个零点，则的取值范围是()A.1 8-/(2/2,+00)B.1 8，i/)(0,2/2)C.(-o o,0)(0,27 2)D.(-o o,0)(27 2,+o o)【答案】D因为/z(x)=当=0时,当后 0 x 1,x =依-2与y =f相切时;联立方程得f-盘+2=0，令 =()得公一8=()，解得女=2及(负值舍去)，所以女 2夜.综上，左的取值范围为(一8,0)(20,+8).故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.9.（2020 云南文山高三其他模拟（理）对于奇函数/）,若对任意的为,（-1,1）,与工，且（王一赴）/（王）一/伍）（），则当/（。21）+/3 2）0时，实数a的取值范围为（）A.（-V2,V2）B.匕，&J C.（1,V2）D.g【答案】D【详解】/（X）是奇函数，.-./（2-1）+f Q a-2）0 可转化为/（2-1）/（2-2）,又：对任意的西,（-11），力马，且（为一工2）/（%）一/（工2），/（X）在（一1/）上为单调递增函数，c i -1 2 2。91；一 1 -1 1 ,解得一。1.一12-2。1故选：D.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.1 0.(2 0 2 0 太原山西大附中高三期中)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)=/(x),且当时，/(x)=f,若函数g(x)=lo g/x +l|图 象 与 的 图 象 恰 有1 0个不同的公共点，则实数a的取值范围为()A.(4,+o o)B.(6,+o o)C.(1,4)D.(4,6)【答案】1)【详解】因为函数“X)满足x+2)=/(x),所以函数7(%)是周期为2的周期函数，又函数(x)=lo gj x+l|的图象可由函数y =lo g“国 的图象向左平移一个单位可得，所以函数g(x)=lo g/x+l|的图象的对称轴为x =-l,当时，/(力=/，所以函数/(x)的图象也关于x =T对称，在平面直角坐标系中作出函数y =/(x)与y =g(x)在 =1右侧的图象，数形结合可得，若函数g(x)=lo ga k+l|图象与/(x)的图象恰有1 0个不同的公共点,则由函数图象的对称性可得两图象在x =-l右侧有5个交点，a 1则 g(3)=k g“4 l故 选:D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.二、多选题1 1.(2 0 2 0 广 东湛江高三其他模 拟)已 知 a=lo g3 ,8=lo g.3,c =lo gn1,则()A.ab.a-b.b-c B.a c V b+c V b cC.a c b c b+c D.b+c a b a+b【答案】C D【详解】因为 0 V lo g.3 V l V lo g3 =0 V 6 V l V a,又 c =lo g,0,所以 a c 6 c l,所以正确，/错误.故选：C D1 2.(2 0 2 0 福建莆田高三其他模 拟)函 数/(x)在团，句上有定义，若对任意引，x2e a,b,有/(弋 三),，；/(%)+/()，则称f(x)在必，句上具有性 质 产 设/(x)在口，刃上具有性质产，下列命题正确的有()A./(幻在U，3 上的图象是连续不断的B./(Y)在 1,上具有性质PC.若/(X)在 x =2处取得最大值1,则/(x)=l,X G 1 ,31).对任意 X 1,X2,x3,x4 e f l,3 ,有)(3+三;乜+%),；(再)+/5)+，(七)+/5)【答案】C D1 .2【详解】对 A,反例f(x)=j 2、在口，3 上满足性质尸，但 f(x)在 1,3 上不是连续函数，故 A1 2,x =3不成立；对 B,反例f(x)=-x 在 1,刃上满足性质/,但/*2)=一 2 在口，6 上不满足性质尸，故 B不成立;x+4-x 1对 C：在1,3上，/(2)=/(-2-)-/(x)+/(4-x),7(X)+/(4-X).2./(x),J(尤)3 =/=1,故/(x)=l,.对任意的X1,Xj e l,3,/(x)=1,/(4 r)J(x)s=/(2)=l故 C成立；对 D,对任意 X1,x2,x3,x4 e 1,3,1 z、1,、有 x+z+w+z +士”/+乙)J v )-J 2)/上士卫 红 H.)2 2 2 g (/(%)+/U2)+g (/U3)+f(x4)=i/(X1)+/U2)+/(A3)+/(X4),/(X+电；+),/U1)+/U2)+/(x3)+/(x4)故 D 成立.故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时说明一个结论错误时，只需举出反例即可，说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立.三、填空题213.（2020年江苏省高考数学试卷）已知尸/（X）是奇函数，当 x 2 0 时，同=/，则/V8）的值是.【答案】-42【详解】-8）=娟=4,因为幻为奇函数，所以/（一 8）=-/（8）=T故答案为：-4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.（2020 广 东湛江高三其他模拟）已知f（）是定义域为 的偶函数，且在区间（-8,o 上单调递增，则不等式，/（2）的解集是.【答案】（一；,1）【详解】因为/（x）是定义域为的偶函数，且在区间（-8,0 上单调递增,所以函数在 0,+8）上递减，因为 f (3 x-l)/(2),所以/(|3 x l|)/(2)所以|3 x l|2即-2 3 x-l 2,解得3故答案为：,1)1 5.(2 0 2 0 江苏苏州中学高三其他模拟)若二次 函 数/(月=一/+2以+4。+1有一个零点小于-1,一个零点大于3,则实数。的取值范围是.【答案】【详解】因为二次函数/(力=-%2+2以+4,7 +1的图象开口向下，且在区间(-0 4所以；/,解得a ./(3)=-9 +6 +4 a +10 5所以实数a的 取 值 范 围 是+8).故答案为：【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题.1 6.(2 0 2 0 云南曲靖一中高三其他模拟(理)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且/(x +4)=/(2 -x).若当 x e 3,0 时，/(x)=2：则/(2020)=.【答案】4【详解】因为/(x+4)=/(2-x),且f(x)是定义在R上的偶函数，所以/(x+4)=/(x 2),令f =x-2,则x =，+2,所以/。+6)=/，即/。)=/(%+6),所以函数/(X)的周期为6,所以/(2 0 2 0)=f(3 3 6 x 6 +4)=/(4)=/(-2)=/(-2)=22=4.故答案为：4