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第八编立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图 自主学习 一口基础自测i.下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答 案D2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30 B,45 C.60 D.90答 案C3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm）,则此几何体的表面积是）2-主视图 左视图俯视图A.(20+4 向 cm2C.(24+472)cm2答 案AB.21 cm2D.24 cm24.（2008 广东，理5文7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A,B,C分别是A G H I三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的左视图为（）答 案A5.一知正三角形ABC的边长为a,那么4AB C的直观图4 4 9仁的面积为A 3 2 R 石 2 p V6 2A.a B.-a C.-a4 8 8()D.此，16答 案D典例剖析例1下列结论正确的是A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意点的连线都是母线答 案D例2（12分）已知aABC的 直 观 图 是 边 长 为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解 建立如图所示的xOy坐标系，AABC的顶点C在y轴 匕AB边在x轴上.，0C为ABC的高.3分把y轴绕原点顺时针旋转4 5 得/轴，则点C变为点C,且OC=2OC,A、B点即为A、B 点，AB=A B.6 分已知 AB=A C=a,在O A C 中，由正弦定理得 =*二，8分sin ZO AC sin 45所以o c=”“=逅,sin 45 2所以原三角形ABC的高O C=a,10分)所以SAMC：12分例3解一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.I x a X V6a=2.2 2且AA LBB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形A B C 的高为2百cm.正三角形ABC的边长为sin 60.该三棱柱的表面积为S=3X4X4+2X-X 42sin600=48+8班(cm2).2体积为 V=S.|AA|=，X42sin60 X 4=16 J i (cm)2故这个三棱柱的表面积为（48+8石）cm；体积为166cm-.例 4 棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解如图所示，4 A B E 为题中的三角形，由已知得 AB=2,BE=2x Y =Ji,2BF=|BE=乎,AF=IAB2-BF2=卜-g=1,.ABE 的面积为S=1 XBE XAF=1 X 6 X J-=y/2.2 2 V3.所求的三角形的面积为VI.-知能迁移 一1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为 等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以卜.四个命题中，假命题是（）A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答 案 B2.一个平面四边形的斜：测画法的直观图是一个边长为a 的 正 方 形,则 原 平 面 四 边 形 的 面 积 等 于.答 案 2后 a?3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图（或称正视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V：（2）求该几何体的侧面积S.?解（1）由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面 匕 己-ABCD是边长为6 和 8 的矩形，高V0=4,。点是AC与BD的交点.该儿何体的体积V X8X6X4=64.3（2）如图所示，侧面VAB中，VE 1AB,则VE=-JVO2+OE2=742+32=5 SA V A B=-X A B X V E-X 8 X 5=20 L2 2侧面 VBC 中,VF BC,则 VF=YIVO2+OF2=“2+4 2=44 i./.SA V B C=-XBCXVF=,X 6 X 4 收二 12五2 2二该JL何体的 则面枳 S=2（SA V A B+SA V B C）:4 0+24 行.4.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是（）答案 B一一活 页 作 业 一、选择题1.利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是正方形，菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是A.B.C.答 案A2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（甲）（乙）（丙）长方体；圆锥；三棱锥；圆柱.A.B.C.答 案A3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是正方体 圆锥 三校台 正四棱锥A.B.C.答 案D4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：cf i z t LS:主视图 左视图 俯视图根据三视图回答此立体模型的体积为A.4 B.5 C.6()D.()D.()D.()D.7答 案B5.棱长为1的正方体ABCD A.B.C.D,的8个顶点都在球0的表面上，E、F分别是棱AA、DD,的中点，则直线EF被球0截得的线段长为)A.B.1 C.1+D.7 22 2答 案 D6.（2 008 湖北理，3）用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为加，则球的体积为（）A.B.盛 2 C.8 以 D.3 3 3答 案 B二、填空题7 .用小立方块搭个儿何体，使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的儿何体至少要 个小立方块.最多只能用一个小立方块.答 案 9 1 48 .（2 009 兴化市板桥高级中学高三1 2 月月考）如下图所示，一个空间几何的主视图和左视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一个直径为1 的圆，那么这个几何体 的 全 面 积 为.答 案等三、解答题9 .正四棱台A C：的高是1 7 c m,两底面的边长分别是4 c m和 1 6 c m,求这个棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是0,、0,BC和B C 的中点分别是匕 和 和 连接0旧、EE O B、O B、0 E、0E,则四边形0B B。,和 0E E。都是直角梯形.V A i B i=4 c m,A B=1 6 c m,A 0i E i=2 c m,0E=8 c m,0i B i=2 V 2 c m,0B=84 1 c m,B B J0Q 2+(O B-O B.)M 6 1 c mE i E M h O J(O E-O E)2=3 2 5 c m2,.B B 二 1 9 c m,E i E=5 V 1 3 c m.答 这个楼台的侧棱长为1 9 c m,斜高为5 而c m.1 0.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，轴截面的面积等于3 9 2 c m；母线与轴的夹角是4 5 ,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x c m,3 x c m.延长A A,交00：的延长线于S,在 R t Z X S O A 中，Z A S 0=4 5 ,则N S A 0=4 5 ,/.S 0=A 0=3 x,.*.00：=2 x,又 S 轴 截 而 二 (6 x+2 x)2 x 3 9 2,x 7.2故圆台的高00=14 (cm),母线长1=60。=14 亚 (cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为百，侧 棱 长 为 近，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解 如图所示，正棱锥S-ABCD中高0$=行，侧棱SA=SB=SC=SD=V7,在 Rt Zk SO A 中，0A=7SA2-O S2=2,.AC=4.，AB=BC=CD=DA=2 亚.作 O E J_AB于 E,则 E为 A B 中点.连接S E,则 S E 即为斜高,则SO _LO E.在 RSSOE 中，VOE=1BC=V2,so=62：.S=4 5 ,即侧面上的斜高为石.12.如图所示的几何体中，四边形A A B B 是边长为3 的正方形，CC,=2,CC,AA”这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2 的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形A B B A 中，在 AA 上取点E,使 AE=2；在 BBi 上 取 F使 BF=2；连 接 C.E,E F,C.F,则过G E F 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCE F C”其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥G E ABF.8.2 空间几何体的表面积与体积 自主学习 Q基础自测1.(2008 山东，6)如图是个儿何体的三视图，根据图中数据，可得该儿何体的表面积是()A.94答 案DB.10 万俯视图C.11 乃D.12乃2.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD A B C D中,p是AB上一点，且PB产LAB,则多面体P-BCCB的体积为（4)AY3B.33D.16答 案B3.如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4,一个内角为60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为)AfB.7 1俯视图D.2)C.四2答 案B4 .已知正方体外接球的体积为这7 1，那么正方体的棱长等于3)A.2拉R2石D.-3答 案D5.（2008 福 建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为石，则 其 外 接 球 的 表 面 积 是.答 案9万6.三棱锥SABC中，面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2,则三棱锥SABC的表面积是.答 案3+6典例剖析例1如图所示，长方体并且 a b c 0.求沿着长方体的表面自A到C,的最短线路的长.解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.ABCD-A1B1C1D1 中，AB-a,BC-b,BBi二c,三个图形甲、乙、丙中AC,的长分别为:（a+b）2+c2=y/a2+b2+c2+2ab,yja2+(b+c)2=72+b2+c2+2hc,y(a+c)2+b2=-la2+h2+c2+2ac,.a b c 0,.,.a b a c b c 0.故最短线路的长为yla2+b2+c2+2bc.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积（其中NBAC=30）及其体积.解 如图所示,过C作CO.1AB于01,在半圆中可得NBCA=90,NBAC=30,AB=2R,厂M/.AC=V3 R,BC=R,C0i=R,2/.S 球=4 7：R2,s削 隔。网二乃X乎R X百R二g乃R-,5加0网二T X日R X R二 日1 R；.S几何体表=S球+S国相2蒯+s阈 狗 叫 制=U万R/3万N=叵乃内2 2 2 旋转所得到的几何体的表面积为小 叵 不 乂2又V域=g 7i R3,加 箱 小Q=g -AOi 冗C0:=（万中 AOi1小怖时=3 BO i 乃 C0.二;i BOi 7i R9V几何体二V理 一（加 幅已+M m推8 a）=-7：R-R3=-R ：3 2 6例3 如图所示，长方体ABCD 4 9 C T/中，用截面截下一个极锥C AT）。，求棱锥C 4。的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱A D D,A,BCC,B,.设它的底面A O 0 A面积为S,高为的 则它的体积为V=S h.而棱锥C A,D D,的底面面积为S,高是h,2因此，棱锥C 4。的体积Vo-A D O X S h S h.3 2 6余下的体积是sh-Lsh=ash.6 6所以棱锥c 4。少的体积与剩余部分的体积之比为1 ：5.例4（12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的-:棱锥的外解由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.方法一 作A F 1平面D EC,垂足为F,F即为aDEC的取EC的中点G,连接DG、AG,过球心0作0H _ 1 _平面AEC.则垂足H为4A EC的中心.工外接球半径可利用O H AS/X G F A 求得.A F=J1-争=号,在4AFG和4人即中，根据三角形相似可知，也.A H=g，0A=G=2 1 3 =近3 AF 76 4T外 接 球 体 积 为X0A3=l 兀 啤=3 3 43 8方 法 二 如 图 所示，把正四面体放在正方体中.显然，的外接球就是正方体的外接球.,正四面体的棱长为1,.正方体的棱长为也，2外接球直径21?=百,2.R-R46分6分9分.,.体 积 为 全.圉=誓.该三棱锥外接球的体积 为 逅z.12分8知能迁移1.如图所示，在直三棱柱ABC-ABC中，底面为直角三角形，ZACB=90.AC=6,BC=CC；=A cp是BC,上一动点，则CP+P A；的最小值是_ _ _ _ _ _ _.答 案5上普42.如图所示，扇形的圆心角为90。，其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分，这两部分 二-卜，Jq各以A 0为轴旋转一周，所得旋转体的体积明和火之比为A.1 ：1C.1：2B.1 ：72D.1 ：石3.如图所示，三棱锥ABCD-条侧棱AD=8cm,底面一边BC=18 c m,其余四条棱的棱长都是17 c m,求三棱锥ABCD的体积.解取BC中点M,连接AM、DM,x取AD的中点N,连接M N /K：AC=AB=CD=BD,/ABCIAM,BCDM,_又.AMCDMM,/；.BCJ_平面 ADM,BC=18,cAC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4 V13,A/.NMAD,.-.MN=8V3./、1SAAD产一 M N AD2=-8/3 8=326.2VA-BCD-VB-ADW+VCAD M=-X SAAWX（BM-CM）=-X32V3 X183 3=192 T i（cm3）.4.如图所示，已知正四棱锥S ABCD中，底面边长为a,侧棱长为拉a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.A解（1）设外接球的半径为R,球心为0,则0A二0C二0 S,所以。为AS AC的外心，即4S AC/的外接圆半径就是球的半径.b-W由正弦定理得2R二 二 sin ZASC sin 60AB因此，R=a,VM F-4 R =-a .3 3 2 7(2)设内切球半径为r,作S E _ L底面A B C D于E,作S F _ L B C于F,连接E F,则有 S F=ysB2-B F2=(V 2 )2-(y)2=，a .S/A S S语B C S F a X a=五 a .S 博r冷 二4 sASSC+S 底=(+1)a .2 2 2 4又 S E=ISF2-EF2=J(g a)2 _ 1)2 =*a ,.,.V t t =l sl f th=l a2X -a=a3.3 3 2 6A R 3.3 V棱 锥 6 a 4 2-7 6 q _4 2 _ 4-V 7 2.r-=-=-a,o 7 T r-冗 a .S 棱 雄 全(J 7 +l)a 2 1 2 3 一 活页作业一 一、选择题L如图所示，E、F分别是边长为1的正方形A B C D边B C、C D的中点,沿线A F,A E,E F折起来，则所围成的三棱锥的体积为()答案 D2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1 ：2 ：3,对角线长为2而，则这个长方体的体积是A.6 B.1 2 C.2 4 D.4 8答案 D3.已知三棱锥S A B C的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心0在AB上，S 0 _ L底面A B C,A C=V r,则球的体积与三棱锥体积之比是()A.n B.2 万 C.3 乃 D.4 乃答 案D4.如图所示，三棱锥P A B C的高P 0二8,A C=B C=3,/A C B=3 0 ,M、N分别在B C和P 0上，H.C M=x,P N=2 C M,下面的四个图象中能表示三棱锥N A M C的体积V与x (x (0,3)的关系的是答案 A5 .已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为1 6,则这个球的表面积是)A.1 6 nB.2 0 乃C.2 4 乃D.3 2 万答 案C6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）.373A.-4答 案c二、填空题B83旧D.后V27.（2008 四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为石，且对角线与底面所成角的余弦值为巫，则该正四楂柱的体积3等于.答 案28.（2008 上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1,其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=./v w 答 案1+6三、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是3cm,2（D求三棱台的斜高;（2）求三棱台的侧面积和表面积.解（1）设6、。分别为正三棱台ABC-ABC,的上、下底面正三角形的中心，如图所示,则0 Q=2,过 5作0D_LBC,0 D 1 B C,则D D为三棱台的斜高；2显然，A,01,5三点共线，A,0,D三点共线.2过Di作DE_LAD于E,则D后0 6 1，2因 0 D=3 X3=,0D=X 6=73,6 2 6则 DE=0D-0,D,=73.2 2在 RtzXDQE 在D D=J Q E 2+E D2=J g)2+(尊 2=6(2)设c、c分别为上、下底的周长，h?为斜高,Sra=l (c+c)h=1 (3X3+3X6)X 百(cm?),2 2 2S&二S 侧+S I.+S 产 +3 X 3 立 X 6J (cm2).2 444故 三 棱 台 斜 高 为 百 呵 侧 面 积 为 季10.如图所示，正AABC的边长为4,D、E、cm1,表面积为996cm.4F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将aAB C沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后./2 X=,V a、=1.2 2 8.a 为 巫 时，三棱锥的体积最大为工.28方法二 取 S C 的中点D,可通过VSTBFSAAWSC,3转化为关于a 的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系自主学习一。基础自测1 .给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线L、L 与同一平面所成的角相等，则 L,L 互相平行；若直线L、I?是异面直线，则与L、L都相交的两条直线是异面直线.其 中 假 命 题 的 个 数 是.A.1 B.2 C.3 D.4答 案 D2 .已知m、n为异面直线，mu平面a,n u 平面夕，ad夕=1,则 I（）A.与m、n 都相交 B.与m、n 至少一条相交C.与m、n 都不相交 D.至多与m、n中的一条相交答案 B3 .若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分答 案 C4 .如图所示，点P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上，且是所在梭的中点，则直线P Q 与R S 是异面直线的一个图是（)答 案c5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为AF、AD、BE、DE的中点，将AABC沿 DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH 与 IJ所成角的度数为()A.90 B.60 C.45 D.0答 案B典例剖析一 例 1如图所示，空间四边形ABCD中，E,F、G 分别在AB、BC,CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1,CG:GD=3：1,过 E、F、G 的平面交AD于 H,连接EH.(1)求 AH ：H D；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.解 V =2,.EF AC.EB FBEF 平面 ACD,而 EF u 平面 EFGH,且平面EFGH n 平面ACD=GH,：.EFGH.而 EFAC,.ACGH.4 W =CG=3 即 A H:m=3:1H D GD(2)证 明,.EFGH,且 竺=4，=1,AC 3 AC 4；.EFKGH,.四边形EFGH 为梯形.令 EH PFG=P,则 PC E H,而 E H u 平面 ABD,P6FG,FGu平面 BCD,平面 ABDC 平面 BCD=BD,.,.PGBD.AEH,FG、BD 三线共点.例 2如图所示，正方体ABCDA B C D 中，M、N 分别是AB-B C 的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由：(2)D,B和 CC,是否是异面直线？说明理由.解(1)不是异面直线.理由如下：.M、N 分别是A B、B C 的中点.MNAC,又,：NA D,D,而 又 CC,/.A,A C.C,二四边形AACCi为平行四边形.；.AC 虑 得 至 IJMNAC告/.A,M、N、C 在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线，证明如下：假设D B与CC,在同一个平面DCi内,贝UBW平面CGD，CW平面CCP.BCu 平面 CCD,这与正方体ABCD A B G A中BC_L面CCD相矛盾.假设不成立，故D B与CC,是异面直线.例3(1 2分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，NDAB=60,对角线AC与BD交于点0,P0_L平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解(1)在四棱锥P ABCD中，.P0_L平面 ABCD,Z P B 0是PB与平面ABCD所成的角，即 NPB0=60。，2 分在 RtaPOB 中，,.BO=AB sin30=1,又 PO_LOB,.-.PO=BO tan600=73,底面菱形的面积S=2X 1 X 2 X 2 X =2/3.2 2/.四棱锥PABCD的体积Vp A B a=X 2 y3 X y/3 2.3(2)取AB的中点F,连接EF,DF,IE 为 PB 中 点,：.EFPA,NDEF为异面直线DE与PA的夹角(或其补角).在 RtZXAOB 中，6分8分AO=AB-cos300=V3=0P.A S RtAPOA+,PA=6,EF二逅210分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=V?,由余弦定理得.cosZDEF=D*+E*-D F。2DEEF2、，逅 一一 双丁2所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为 也.412分知 能 迁 移 一1.如图，E、F、G,H分别是空间四边形AB、BC、CD,DA上的点，且EH与FG相交于点0.求证：B、D、0三点共线.证明 VES AB,HEAD,；.E G平面 ABD,HG平面 ABD.；.EHu 平面 ABD.VEHnFG=0,.Od平面 ABD.同理可证OG平面BCD,.OW 平面 ABD A 平面 BCD,即 OeBD,所以B、D、0三点共线.2.在正方体AC.中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F,磔 BE并延长交AD的延长线于点G,也妾FG.求证：直线FG u平面ABCD且直线FG直线AB.证明 由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于AW平面ABCD,EG平面ABCD,所以A Eu平面ABCD.又AECBC=F,从而FW平面ABCD.同理GG平面ABCD,所以FG u平面ABCD.因为 EC IAB,故在 RtZFBA 中，CF=BC,一 2同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BC A D,所以CF DG,所以四边形CFGD是平行四边形，所以 FGCD.又 CDAB,ABAB,所以直线FG直线AB.3.如图所示，等腰直角三角形ABC中，ZA=90,BC=V2,DAAC,D A A B,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解 取AC的中点F,连接EF,B F,在4ACD中，E、F分别是AD、AC的中点,；.EFCD,A ZBEF即为异面直线BE与CD的夹角或其补角.在 RtaEAB 中，AB=AC=1,AEAD，.-.BE=,2 2 2在 RtZXEAF 中,AFA C=L AE=1,.,.EF=,2 2 2 2在 RtaBAF 中，AB=1,AF=1,.B F=,2 2在等腰三角形EBF中,1EFcosZFEB=-BE2 异面直线BE与 CD所成角的余弦值为叵.10-活页作业一一、选择题1.若直线a 与 b 是异面直线，直线b 与 c 是界面直线，则直线a 与c 的位置关系是A.相交B.相交或异面C.平行或异面 D.平行、相交或异面答 案 D2.给出下列命题：若平面a 内的直线a 与平面月内的直线b 为异面直线，直线c 是a 与/的交线，那么直线c 至多与a、b 中的条相交;若直线a 与b 为异面直线，直线b 与 c 平行，则直线一定存在平面a 和异面直线a,b 同时平行.其中正确命题的序号是A.B.答 案 C3.已知a,b 是异面直线，直线c直线a,则 c 与bA.一定是异面直线C.不可能是平行直线答 案 C4.若P 是两条异面直线I、m 外的任意一点，则A.过点P 有且仅有一条直线与I、m 都平行B.过点P 有且仅有一条直线与I、m 都垂直C.过点P 有且仅有一条直线与I、m 都相交D.过点P 有且仅有条直线与I、m 都异面 与c 异面；().C.D.()B.一定是相交直线D.不可能是相交直线()答 案 B5.(2008 辽宁文，12)在正方体ABCDA B C D 中，E、F 分别为棱AA C G 的中点，则在空间中与三条直线A D、EF,CD都相交的直线()A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条答 案 D6.正四棱柱ABCD-ABCD中，AA,=2AB,则异面直线A B 与AD：所成角的余弦值为()A.-5B.-5C.-5D.-5答 案 D二、填空题7.如图所示,在三棱锥CABD中，E、F 分别是AC和 BD的中点,若CD=2AB=4,EF1AB,则 EF与CD的夹角是.答 案 308.已知a、b 为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则a、b 在a 上的射影可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线;一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正 确 结 论 的 编 号 是（写出所有正确结论的编号）.答 案 三、解答题9.如图所示，正方体ABCDABCD,中，E、F分别是AB和AA,的中点.求证：（1）E,C,D,.F四点共面；（2）CE.D.F,DA 三线共点.证明（1）如图所示，连接CD：,EF,AB,；E、F分别是AB和AAi的中点,EFA B且EFAB,2又 AD BC,JL四边形KBCDi是平行四边形，ABC D i,，EFCDi,EF与C 5确定一个平面a ,/.E,F,C,Di G a ,即E,C,D,F四点共面.(2)由(1)知 EFC 5,且 EF=CD,2二四边形CD.FE是梯形，.CE与D：F必相交，设交点为P,则 PCCEu 平面 ABCD,且 P W D F u平面 A.ADD.,.Pe平面 ABCD 且 PW平面 AADD,.又平面ABCD H平面A,ADD,=AD.APGAD,ACE,D,F,DA 三线共点.10.定线段AB所在的直线与定平面a相交，P为直线AB外的点，且P不在a内，若直线AP、BP与a分别交于C、D点,求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明 设定线段AB所在直线为I,与平面a交于。点，B|J I n a =0.由题意可知，APPI a=C,BPn a=D,.,.Ce a ,De a.又；APnBP=P,.AP、BP 可确定一平面且c e D .,.CD=a n p.夕，BSyff,A le：p,.o e .,.o e a n p,BP oeCD.,不 论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为CG、AA1的中点，画出平面BEDF与平面ABCD的交线.解 在平面AADD内，延长DF,VD.F与DA不平行，因此D F与DA必相交于一点，设为P,则 PCFDi,P6DA.又.4 u平面 BEDF,A D u平面 ABCD,.P e平面BEDF,P e平面 ABCD.又B为平面ABCD与平面BEDF的公共点，连接PB,A P B即为平面BED F与平面ABCD的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，=Lt AB=CD二3,EF=，求AB、CD的夹角ED FC 2的大小.解 如图所示，在线段BD上取一点G,使 阴=1.连接GF、GE、EF.G D 2AE _ B G _ BFED GD FC1 2=-,GEA B,且 GE=*AB=2,2 3同理，GFC D,且 GF=，CD=1,3 2 12 _ j 1在aEGF 中,cos ZEGF=上上-=-,2x2x1 2NEG F=120.由GFCD,GEAB可知,AB与CD夹角应是NEGF的补角为6 0.8.4直线、平面平行的判定及性质自主学习K3基础自测1.卜.列命题中，正确命题的个数是（）若直线I上有无数个点不在平面a内，贝卜 a :若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都平行;如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都没有公共点.A.OB.1C.2答 案B2.下列条件中，能判断两个平面平行的是A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一 个 平 面内有无数条直线平行 于 另 个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答 案D3.对于平面a和共面的直线m、n,下列命题中真命题是A.若 m _La,m n,则 naB.若 ma,n/a,则 mnC.若 m u a,na,则 mnD.若m、n与a所成的角相等，则mn答 案C4.已知直线a,b,平面a,则以下三个命题：若 ab,b u a,则 a a;若2卜2二，则6二；若 a a ,b a,则 a/7b.其中真命题的个数是A.OB.1 C.2答 案A5.如图所示，在三棱柱ABCABG U，M、N分别是BC和AB1的中点求证：MN平面AAiCi.D.3()()D.3证明 设A C中点为F,连接NF,FC,：N为AB,中点，；.NFB C,且 NFBC,2又由棱柱性质知BC BC,又M是BC的中点，-A NF MC.JL四迈形NFCM为平行四边形.；.MNC F,又 C Fu平面 AAC,MNz 平面 AAC,；.MN平面 AAC.典例剖析例1如图所示,正方体ABCD A B C D中，侧面对角线AB”BC,上分别有两点E,F,且BBGF.求证：EF平面ABCD.证明 方法一 分别过E,F作EM_LAB于M.FN_LBC于N,连接M N.：BB 平面ABCD,ABBilAB,BB,1BC,，EMBB；,FN/BB.,；.EMFN.又；B,E=CF,/.EM=FN,故四边形MNFE是平行四边形，EFM N.又 MNu平面 ABCD,EFx平面 ABCD,所以EF 平面ABCD.方法二 过E作EGAB交BB,于G,连接GF,则需第,.B,E=CiF,B,A=GB,-i =,；.FGB CBC,CB B,B又 EGCFG=G,ABCBC=B,.平面EFG平面ABCD,而E F u平面EFG,.EF平面 ABCD.例2已知P为aABC所在平面外一点，Gi、Gz、&分别是APAB、APCB,APAC的重心.(1)求证：平面GiGG平面ABC：(2)求SAG,G2G,SAMC-(1)证明 如图所示，连接PG,、PG；,、PG,并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F,做 DE、EF、F D,则有PG；：PD=2：3,PGz：PE=2：3,：.G岛DE.又G G不在平面ABC内，平面ABC.同理G G平面ABC.又因为GGCGGFGZ,二平面G 6 平面ABC.B(2)解 由(1)知 旦=竺2=2,GG=2DE.PD PE 3 3乂 DE二，AC,.二GG二，AC.2 3同理 GGLAB,G.GF-BC.3 3GGG3 s a c A B,其相似比为 1：3,SA Gfi2G3-SA M C=1：9.例3（12分）如图所示，平面a 平面夕，点A d a,c e a,点B e/,D e p,点E,F分别在线段AB,CD上，且AE：EB=CF：FD.(1)求证：EF尸;(2)若E,F分别是AB,CD的中点，ACM,BD=6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长.(1)证 明 当AB,CD在同一平面内时，由a ,平面a n平面ABDC=AC,平面夕 Cl 平面 ABDC=BD,；.ACBD,2 分VAE：EB=CF：FD,/.EF/BD,又 EFa ,B D u p，；.EF以 4 分当AB与CD异面时,设平面 ACD C/二DH,且 DH=AC.：a /p,a D 平面 ACDH=AC,.ACDH,.四边形ACDH是平行四边形，6分在 AH 上取一点 G,使 AG：GH=CF：FD,X V A E ：EB=CF：FD,.，.GFHD,EGBH,又EGCGF=G,.平面EFG平面夕.T E F u平面EFG,；.EFQ.综上，EF6.8分(2)解 如图所示，连接A D,取AD的中点M,连接ME,MF.VE,F分别为AB,CD的中点，；.MEBD,MFAC,且 MEBD=3,M F,A C=2,2 2A ZEMF为AC与BD所成的角(或其补角),A ZEMF=60 或 120,10 分.在EFM中由余弦定理得，EF=JME 2+2-尸 cos NE MF=32+22+2X3X2X1=V136,即 EF=77 或 EF=M.12分8一 知 能 迁 移 一1.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC,SG为ASAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.GEB解SG平面DE F,证明如下:方法一 连接CG交 DE 于点H,如图所示.V D E 是4 A B C 的中位线，.DE AB.在4 A C G 中，D 是AC的中点，且 DHAG.；.H为CG的中点.A F H 是A S C G 的中位线，；.F HSG.又SGC B、Ai A的中点.求证：(1)BF HD,；(2)E G平面 BBDD；(3)平面BDF 平面BDH.证明(1)如图所示，取 BB-的中点M,易证四边形HMCP 是平行四边形，.HD/Ma.又 TMGBF,.BF/ZHD.(2)取 BD的中点0,连接E 0,D,0,则 0E /DC,2又 D G&D C,A0E 4 G,.四边形0E GD,是平行四边形，AGE N DO.又 D Q u 平面 BB,DD,；.E G平面 BBDD.(3)由(1)知 D,HBF,又 BDB,D,B D、H D y 平面 HBD,BF、BDu 平面 BDF,且 BDCHD k D”D B C B F=B,平面 BDF 平面 BDH.3.如图所示，四边形E F GH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB平面 E F GH,CD平面 E F GH.(2)若AB=4,CD=6,求四边形E F GH周长的取值范围.(1)证 明 I四边形E F GH为平行四边形，E F HG.T H G u 平面 ABD,，E F 平面 ABD.T E F u 平面 ABC