2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市八年级下学期期末考试 数学 试题（学生版+解析版）.pdf

2021-2022学年第二学期期末考试试卷八年级数学温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷每小题做出答案后，把答案正确地填写在答题卷的相应位置上，不要答在试题卷上.不允许使用科学计算器.全卷共12页，其中试题卷6 页，答题卷6 页.满 分 100分，考试时间90分钟.一、选择题（本大题有10小题，每小题3 分，共 30分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）2.使二次根式G 二有意义的X 的取值范围是（）A.x=2 B.工。2 C.x 2 D.x.23.有 5 位同学1分钟跳绳的次数为：17 3,16 9,17 2,16 0,16 5,则这组数据的中位数为（）A.16 5 B.16 9 C.17 0 D.17 24 .反比例函数丁 =；小工0）经过点（一 1,4）,则下列各点也在这个函数图象上的是（）A.（-1,-4）B.（1,4）C.（2,2）D.（2,-2）5 .已知方程口无2-4%+2=（），在口中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（）A.0 B.1 C.2 D.36 .已知四边形A B C。是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.Z A =NB B.Z A=NC C.A B =B C D.ACL B D7 .如图，在平行四边形A B C。中，AB=B D =6,B D V AB,则 AC的 长 为（）A.6B.6 近C.6 石D.3A/58 .电 影 长津湖上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18 亿元，将增长率记作x,则方程可以列为（）A.2+2x+2/=18 B.2（1+X）2=18 C.（1+X）2=18 D.2+2（1+x）+2（l+x）2=189 .若反比例函数y =K（x。，则y =近一不经过第（）象限.A.-B.二 C.三 D.四i o .如图，在平面直角坐标系中，正方形A GA，DE2B2,B2C2D2,口避正出a,A333G o 3按如图所示的方式放置，其中点用在y 轴上，点G，E,E2,C2,E3,E4,g在x 轴上，己知正方形AfiGA的边长为2,ZB,C,O =6 0,与G 鸟。2 员。3.则点4 022的纵坐标为（）a r C D a n./j)c M+M D J)IT二、填空题（本题有10小题，每小题3分，共30分）11.当x=2 时，二次根式j 2 7 x 值是12.一个多边形的内角和等于它外角和的3 倍，则它是 边形.13.用反证法证明，“在a ABC中，NA、NB对边是a、b,若NA NB,则 ab.”第一步应假设14 .已知平行四边形A B C。中，/B=3 NA,则NO=.15 .已知x,y 均为实数，y =J x-2 +J 2 -x +5,则x+y的值为.16 .若“是方程2%2一%5 =0 的一个根，则代数式2 a-4/+1 的值是.17 .如图，在平行四边形A B C。中，NC=6 0,以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点尸，再分别以点8，F为圆心，大于LBF 长为半径画弧，两弧交于一点尸，连接AP并延长交8C于点E，连2接 E E.设 AE 与 所 相 交 于 点。，若四边形A B E F 的周长为16,则四边形A 5 E F 的面积是.AFDO18.反比例函数y 的图象与一次函数y =，n r+的图象交于两点(。,。一1),(。一7,一。)，则不等式k nvc+n的解集为.x1 9 .已知A(),3),5(6,0),点 C 是X 轴正半轴上一点，。是同一平面内一点，若以A、B、C、D 为顶点四边形是菱形，则点。的坐标为.k2 0 .如图，直线A C 与反比例函数y =、(&0)的图像相交于A、C 两点，与x 轴交于点。，过点。作OE L x轴交反比例函数丁=，(4 0)的图像于点,连结C E，点8 为y 轴上一点，满足A B =A C，且 6。恰好平行于x 轴.若 =，则女的值为.三、解答题(第2124题每题6分，25、26题每题8分，共40分)2 1 .(1)计算：V I 8-V 9 +V 2(2)解方程：x(x-4)=5(x-4)2 2 .图、图均为5 x5 正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1,线段A B 的端点均在格点上，完成下列画图(要求：仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹).（1）在图中画出一个以A B 为边的平行四边形，使这个平行四边形的另两个顶点均在格点上，且面积为 6（2）在图中画出一个以A 3为边的正方形，使这个正方形的另两个顶点均在格点上.2 3.2 0 2 2 年冬奥会在北京举行，为了增进学生对冰雪文化的了解，我校开展了冰雪运动相关知识的宣传教育活动，提高了学生对冰雪运动的关注度，并掀起了模拟冰雪运动的热潮.在模拟冰壶比赛中，规定得6分及以上为合格，得 8 分及以上为优秀.学校从参加比赛的七、八年级学生中各随机抽取了 1 5名学生的比赛成绩，他们的成绩如下表:成 绩（分）456789七 年 级（人）125214八 年 级（人）114522模拟冰壶比赛得分统计如下：统计量平均分中位数众数方差合格率统计量平均分中位数众数方差合格率七年级68m62.5680.0%八年级6.87n1.7686.7%（1）m-；n=；（2）你认为哪个年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀？请说明理由；（3）若七、八年级参加模拟冰壶比赛的人数分别60 0 人和4 50 人，求这两个年级共有多少学生的模拟冰壶比赛成绩为优秀等级？2 4.如图，在四边形A B C D中，A C 与 8 0相交于点。，且 A O=C O，点 E 在 8。上，满足Z E A O =Z D C O.(1)求证：四边形A E C。是平行四边形;(2)若A B =BC,C D=1 0.A C =1 6,求四边形4 E C Q的面积.2 5.有一块长2 8 c m,宽1 2 cm的矩形铁皮.口图 1O图2(1)如 图1,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为1 9 2 cm 2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长.(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为1 3 0 c m 2的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长.2 6.在矩形A B C。中，A B =6,N 8 4 c =6 0。，点E是 边 的 中 点，点P是对角线4c上一动点，连接E P,作点A关 于 直 线 的 对 称 点A .(1)若点尸是AC的中点，求痔的长度.(2)若 A EP是以q为腰的等腰三角形，求 的 长 度.(3)直线AE交AC于点。，连接Q E,若A A E。是直角三角形，求律的长度.2021-2022学年第二学期期末考试试卷八年级数学温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷每小题做出答案后，把答案正确地填写在答题卷的相应位置上，不要答在试题卷上.不允许使用科学计算器.全卷共12页，其中试题卷6 页，答题卷6 页.满 分 100分，考试时间90分钟.一、选择题（本大题有10小题，每小题3 分，共 30分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解.【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键.2.使二次根式炉工有意义的x 的取值范围是（）A.x=2 B.C.X2 D.x.2【答案】D【解析】【分析】根据被开方数大于等于0 列不等式求解即可.【详解】解：由题意得,x-20,解得这2.故选：D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.3 .有 5 位同学1 分钟跳绳的次数为：1 7 3,1 6 9,1 7 2,1 6 0,1 6 5,则这组数据的中位数为()A.1 6 5 B.1 6 9 C.1 7 0 D.1 7 2【答案】B【解析】【分析】根据中位数的意义，按照从小到大的顺序排列后，最中间的那个数据就是这组数据的中位数.【详解】解:这组数据重新排列为：1 6 0,1 6 5,1 6 9,1 7 2,1 7 3,所以中位数是1 6 9.故选：B.【点睛】本题考查中位数的意义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.4 .反比例函数y =，化 7 0)经过点(1,4),则下列各点也在这个函数图象上的是()A.(-1,-4)B.(1,4)C.(-2,-2)D.(2,-2)【答案】D【解析】【分析】由点在反比例函数图象上可求出女的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论.k【详解】解：反比例函数y =一(女4 0)经过点(-1,4),xZ =-l x 4=-4.A、-l x(T)=4,不符合题意；B、1x 4=4,不符合题意；C、-2x(-2)=4,不符合题意；D、2x(-2)=-4,符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出左=T.5 .已知方程口/一4%+2 =0,在口中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】设口中的数字为“，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解.【详解】解：设口中的数字为“，则方程为2一4%+2=0,根据题意得：A=Z?2 4ac=16-8 0解得：a 2,：”0,符合题意的有1；故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.6.已知四边形ABC。是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.ZA=NB B.ZA=NC C.AB=BC D.ACLBD【答案】A【解析】【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可.【详解】解：A、二 四边形ABC。是平行四边形，A ZB+ZA=180,NA=NB,:.NA=NB=90,.平行四边形ABCD是矩形，故选项A 符合题意；B、.四边形ABC。是平行四边形，ZA=ZC,选项B 不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B 不符合题意；C、；四边形ABCO是平行四边形，AB=BC,平行四边形ABC。是菱形，故选项C 不符合题意；D、.四边形A8CZ）是平行四边形，平行四边形ABC。是菱形，故选项D 不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.7.如图，在平行四边形ABC。中，AB=BD=6,B D A B,则A C的 长 为()A 6B.6夜 C.6A/5 D.3A/5【答案】C【解析】【分析】令oABCD对角线交点为O,根据平行四边形对角线相互平分的性质，得到0B=0D=LBD=3,OA=OC=-A C ,在中，利用勾股定理，求得。4,即可得到AC2 2长.【详解】解：令口ABCD对角线交煎为0,如图所示，在口ABCD中，0B=0D=、BD=3,OAOC=-A C ,2 2在 RtAOB 中，AB=6,B0=3,B D L A B,则 Q4=yOB2+AB2=36，AC=2QA=2x3指=6逐.故选：C.【点睛】本题考查了平行四边形背景下利用勾股定理求线段长，涉及到平行四边形性质和勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质、定理是解本题的关键.8.电 影 长津湖上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累寸票房收入达18亿元，将增长率记作x,则方程可以列为()A.2+2x+2/=18 B.2(l+x)2=18 C.(l+x)2=18 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=18【答案】D【解析】【分析】设增长率记作x,则第二天的票房为2(l+x),第三天的票房为2(1 +X)2,然后根据三天后累计票房收入达18亿元列出方程即可.【详解】解：设增长率记作X,则第二天的票房为2（1+X）,第三天的票房为2（1 +X）2,由题意得：2+2（l +x）+2（l +x）2=18,故选D.【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二天和第三天的票房.9 .若反比例函数y =（x 0，则丁=丘 一人不经过第（）象限.A.B.-C.;D.四【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得出当x 0,y 随 x的增大而增大，即可确定反比例函数产七（x 0）中&的符X号，然后再确定一次函数产依/的图象所在象限.【详解】解：反比例函数产8（x 0,x.当x 0,y 随 x 增大而增大，：.k0,一次函数广区-%的图象经过第一、二、四象限，.不经过第三象限，故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定/的符号.1 0 .如图，在平面直角坐标系中，正方形A gGA，。&七2 岛，4 8 2 c 2。2，D2E3E4B3,&8 夕3。3 按如图所示的方式放置，其中点用在y 轴上，点G，&，E2,C2,E3,EA,C3 在x 轴上，已知正方形A 4 GA 的边长为2,Z 5,C,O =6 0o,BC B G B3C3.则点40 2 2 的纵坐标为（）G E&G E4 G【答案】C【解析】【分析】利用正方形的性质、含 3 0。角直角三角形性质及勾股定理得出4 的纵坐标，进而得出变化规律即可得出答案.【详解】解：如图，过点4 作轴于点G i,过点8 作 8 声 4 G l 于点Q,过点4 作 A2 G 轴于点&,过点氏作&F 2 _ L A2 G 2 于点尸2,过点4 作 A3 G 3，X 轴于点G 3,过点83 作 83 尸 3,43 G 3 于点月，.正方形 AiBCQ i 的边长为 2,Z B1 C|0=6 0,SG 82 c 2 B3 c 3,：.DE=B2E2,D 正3=BSE4,A C BO=A DC E=A C2B2E2=ZC3B34=30O,/BiO G=N 4Q Bi=9 0 ,.OII=OCI=AI 尸产;BCi=l,.,.2B2=1,在 放Ab OG 中，OB产 d B g-O C：=V22-l2=百，,ZO GIFI=Z BIOCI=Z GIFIBI=90,.四边形。BiF iG i是矩形，A F 0=O B 尸布,a A，4 GI=FIGI+4 FI=6 +1=（）-+（）3 3即点4 的纵坐标为：（*5）+（立）；3 3同理可得：点 A2 的纵坐标为：（、5）。+（、3）|；3 3点 4 的纵坐标为：（）4 （）2；3 3点 4 的纵坐标为：（无）-2+（正）叫3 3A 点 42 0 2 2 的纵坐标为：（&）2。2。+（蛇）2 0 2 1.3 3故选：C.【点睛】本题考查了正方形的性质、含 3 0。角直角三角形性质，勾股定理等知识，得出点4 的纵坐标变化规律是解题关键.二、填空题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1 1 .当x=-2 时，二次根式J 27 x 的值是.【答案】4【解析】【分析】把 X=-2 代入已知二次根式，通过开平方求得答案.【详解】把 x=-2 代入，2-7 x 得：，2-7 x（-2）=瓦=4.故答案为4.【点睛】本题考查了二次根式的定义及性质，注意二次根式的结果是非负数是解答此题的关键.1 2 .一个多边形的内角和等于它外角和的3 倍，则它是 边形.【答案】八【解析】【分析】根据题意可得这个多边形的内角和为3 窗 6 0 =1 0 8 0?,再根据多边性的内角和定理，即可求解.【详解】解：根据题意得：这个多边形的内角和为3 窗 6 0 =1 0 80?,设这个多边形的边数为,.(n-2)x 1 80 0 =1 0 80,解得：”=8,即它是八边形.故答案为：八【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和综合题，熟练掌握多边形的内角和与外角和定理，多边形的外角和等于360。是解题的关键.1 3.用反证法证明，“在AABC中，/A、N B 对边是a、b,若/A N B,则 ab.”第一步应假设【答案】a N B,则 ab.”第一步应假设a m x +n的解集为.x【答案】0 c x 4或x 3#x-3 或0c x mx +n的解集为0vx 4或-3 ，故答案为：0vx 4或 0）的图像相交于A、C两点，与X轴交于点D,过点。作Xk /、轴交反比例函数y=（%0）的图像于点E,连结C E,点8为y轴上一点，满足AB=AC,且 恰 好 平 行 于X轴.若SmCE=1，则左的值为.y【答案】6【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得2F=FC,即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出AF=CN,进而利用全等三角形得出点E的横坐标为3”，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得上的值.【详解】解：如图，过点A作轴，交BC于 点 凡 垂 足 为 过 点C作。V_Lx轴，垂足为M,/ABAC,：.AF=FC,由于点A、点C在反比例函数y=仅0）的图象上，X（Q设点A。，一，I a）即 3/=OM=a,AM=-,a：ON=BC=2BF=2a,点（2吟），k即 CN=J2ak：.A F A M-C N ,2a:.AF=CN,在AFC和CND中ZAFC=2CND=90 0）的图象上,k.点E的纵坐标为4，3a即O E =幺.3a*A DC E=1，即,O E.N ）=1,2/.k=6.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键.三、解答题（第2124题每题6分，25、26题每题8分，共40分）21.（1）计算：VI 8-V9 +V2（2）解方程：x（x-4）=5（x-4）【答案】（1）4及 一3；=4,x2=5【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；（2）移项后利用提公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.【详解】解：（1）VI 8-V9 +V2=372-3+72=4 7 2-3;(2)x (x-4)=5 (x-4),x(x-4)-5 (x-4)=0,(x-4)(x-5)=0,x-4=0 或 x-5=0,解得：即=4,&=5.【点睛】本题考查了二次根式的加减和解一元二次方程，能正确根据二次根式的加减法则进行计算是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键.22.图、图均为5 x 5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1,线段AB的端点均在格点上，完成下列画图(要求：仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹).F1-1r -1-1-i-i-1A1111A1Ii11-一 T-一-1 一 4一1-T1A-11-1 i-1L1-1 _11-J11L -1ri一 L 一11_ _1_ 1111-111rV-111111k1-11-J-1 4r -1X1-1-11-1111I1iB11L一 L 一1 -L.图 图(1)在图中画出一个以AB为边的平行四边形，使这个平行四边形的另两个顶点均在格点上，且面积为6(2)在图中画出一个以A3为边的正方形，使这个正方形的另两个顶点均在格点上.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】Q)利用数形结合的思想画出图形即可；(2)根据正方形的判定画出图形即可.【小 问1详解】如图，平行四边形4 B C O即为所求；【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.23.2022年冬奥会在北京举行，为了增进学生对冰雪文化的了解，我校开展了冰雪运动相关知识的宣传教育活动，提高了学生对冰雪运动的关注度，并掀起了模拟冰雪运动的热潮.在模拟冰壶比赛中，规定得6分及以上为合格，得 8 分及以上为优秀.学校从参加比赛的七、八年级学生中各随机抽取了 15名学生的比赛成绩，他们的成绩如下表：成 绩（分）456789七 年 级（人）125214八 年 级（人）114522模拟冰壶比赛得分统计如下：统计量平均分中位数众数方差合格率统计量平均分中位数众数方差合格率七年级6.8m62.5680.0%八年级6.87n1.7686.7%(1)m=；n=；(2)你认为哪个年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀？请说明理由；(3)若七、八年级参加模拟冰壶比赛的人数分别6 0 0 人和4 5 0 人，求这两个年级共有多少学生的模拟冰壶比赛成绩为优秀等级？【答案】(1)6；7 (2)八年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀，理由见解析(3)3 20【解析】【分析】(1)根据一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后中间的数叫做中位数，出现次数最多的数叫做众数，即可求解；(2)从平均成绩、众数、方差、合格率几方面分析，即可求解；(3)分别求出七年级和八年级的比赛成绩为优秀等级人数，即可求解.【小 问 1 详解】解：.七年级1 5 人的成绩的第8 个数为6 分，七年级1 5 人的成绩的中位数为6 分，即机=6；.八年级1 5 人的成绩中最多的是7 分，.众数为7 分,即=7,故答案为:6；7；【小问2详解】八年级模拟冰壶比赛成绩更优秀，理由如下：从平均成绩看，两个年级的成绩一样，从中位数看，八年级的成绩好些，从众数看，八年级成绩更好，从方差看，八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，方差越小，成绩越稳定，故八年级成绩比七年级成绩稳定，从合格率看比年级成绩的合格率比七年级成绩的合格率高，综合以上几点，我认为八年级的模拟冰壶比赛成绩更优秀；【小问3详解】1+4 2+2解：6 0 0 x +4 5 0 x =3 2 0 .1 5 1 5【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，利用方差、平均数、中位数做决策，利用样本求总体数量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.2 4.如图，在四边形ABC D中，AC 与 8D相交于点0,且=点E 在 BD上，满足/EAO=/DCO.CD0,A B(1)求证：四边形A E C D是平行四边形；(2)若A B =B C,C D =1 0,A C=1 6.求四边形A E C O的面积.【答案】(1)见解析(2)9 6【解析】【分析】(1)证明AE4O丝O CO可得。0 =OE,即可求证；(2)根据等腰三角形的性质可得AC从而得到四边形A E C D是菱形，再 由 勾 股 定 理 求 出 即可求解.【小 问1详解】证明：在AEA。和0 CO中，ZEA O=Z D C OV J Z D O C =ZEOA ,A O C O：.EAOADCO(ASA),O D =OE,又Q 4 =0 C,四边形A EC。是平行四边形.【小问2详解】：A B=B C，OA =O C，ACA.BD,.四边形A E C D是菱形，：AC=16,；.0C=8,8 =1 0,D O =I C D2-O C2=6，：.DE=2,四边形A C 的面积=，A C?RD ,仓4 6 1 2 =9 6.2 2【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键.2 5.有一块长2 8 c m,宽12cm的矩形铁皮.-_ 图 1图 2(1)如 图 1,如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为192cm之的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长.(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2 的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为130cm,的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长.【答案】(1)2cm(2)1cm【解析】【分析】(1)设裁去的正方形边长为x c m,然后根据长方形面积公式列出方程求解即可；(2)设裁去左侧正方形的边长为acm,然后根据长方形面积公式列出方程求解即可.【小 问 1详解】解：设裁去的正方形边长为xcm,由题意得：(282x)(122x)=192,解得士=2,x2=18(舍去)答：裁去的正方形边长为2cm.【小问2 详解】解：设裁去的左侧正方形的边长为cm,由题意得：(1 2-2 a)(2 82 a)130,解得4 =1,4 =19(舍去)答：裁去的左侧正方形的边长为1cm.【点睛】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键.2 6.在矩形A8CZ)中，A B =6,Nfi4c=60。，点E 是边A。的中点，点 P 是对角线A C 上一动点，连接E P，作点A关于直线E P的对称点A.（1）若点P是AC的中点，求 的 长 度.（2）若 尸 是 以 为 腰 的 等 腰 三 角 形，求 的 长 度.（3）直线HE交A C于点。，连接QE,若A A EQ是直角三角形，求E P的长度.【答案】（1）EP=3（2）=3百 或 3（3）“=9一3 6或9&+3 或3或3百2 2【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得E P的长；（2）分两种情况：AE=E尸和A P=P,分别画图根据含3 0 的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；（3）分两种情况：当N AE Q=9 0 时，当/AQ E=9 0 时，分别根据对称的性质和直角三角形的性质可解答.【小 问1详解】.四边形A8 C 3是矩形，：.A B=C D=6,点E是边A。的中点，点P是A C的中点，是 AD C的中位线，.E P=gc =g X6=3；【小问2详解】当E 4=E P时，如 图1,图1 四边形ABC。是矩形,A ZB=90,./B4C=60,；./A C B=30,VAB=6,.BC=AD=6yfj,是 AO的中点,:.AE=EP=3G；图2：.AG=EG=-AE=,22：AD/BC,：.ZDAC=ZACB=30,A-3为AGP 中，P G=-,2:.PE=AP=2PG=3；综上，E P的长是3 6 或 3；小问3 详解】解：分两种情况：当N A EQ=90时,(?)如图3,当A 在矩形ABCD内部时，过点P 作尸H L 4E 于 H,图3由对称得：ZAEP=ZAEP=45a,.EPH是等腰直角三角形，设 EH=x,M PH=x,EP=&x,AH=y/jPH=y/jx,：AE=3y/j,，6 x+x=3 陋,._ 9-3.X-，2.“_ 9嬷-3指2他)如图4,当A 在矩形A 8C O 外部时，过 点 P 作 P/LAE于从A由对称得：NAEN=NAEN=45,ND4P=30。，.EP/是等腰直角三角形，设 E/=x,则 EP y/2 x,Ai y/j PI x,；AE=3 百,*&*-x=3 逝,.9+3 百.x=-,2N/EP=45,_ 972+3762图5；/EAQ=30,ZAEQ=60,/作点A关于直线EP的对称点A：/.ZA EP=ZPEQ=30 ,:AE=3 0 m-L A T 36 匕 Q ALL-，2 2上 3P E Q 中，P Q=,2，P E=2 P Q=3；当N AQ E=9 0 时，如图6,连接A P,由对称得：N A=N E 4 P=3 0 ,A A P E ZA PE,：/4 Q P=9 0 ,巩=6 0 ,A Z A P E=3 0 =ZEA P,：.EP=A E=3y/j；综上，E P 的长是9.+3后或9版 一3#或 3 或 3522【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，运用分类讨论的思想，并构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.