2022年江西省南昌市二模数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

2022年江西省南昌市二模数学试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合4=%G/V|l x 3,B=xx2-6%+5 0,则=()A.0 B.1,2,3 C.(1,3D.2,32.已知i为虚数单位，若z=l +i,则+2i|=（）A.1+i B.y/2 C.2D.T i o3.已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（）A.27 r B.47 r C.6兀D.87 r4.在 A B C 中，角 2,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若b =5,cos A=i sinB=8 16则 Q =()A.8 B.6 C.5 D.35.已知Q =l og62，b=sinl,c =|,则a,b,c的大小关系为()A.a c b B.b a c C.c b a D.a b cx y +1 3 06.已知实数,y满足约束条件+3y-3 N 0,则z =/+y 2的最小值为()%1,A.V 5 B.5 C.D.410 107 .已知函数f(x)=V 出x +|c os x|(；Wx)，则方程f(x)=6的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.如左图，正方体A B C D-4B 1 GD 1中，点P在矩形4 BIGDI内（包含边界），若三棱锥P-4 B C的左视图如图所示，则此三棱锥的俯视图不可能是（）CiDi9.已知p：-1 x 2,q：2Z+1-l og2(x +2)0/0)的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2=2 px(p 0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|P Fi|=I&F2I，则双曲线E的离心率为()A.2+V 3 B.2 C.2V 3 D.V 312.已知函数f(x)=产：二J -；(a 0),若函数/(x)的图象上存在两个点4(%,y)kae L,x 2 B.a 1 C.0 a 1 D.0 a 2第2页，共20页二、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.已知向量总=（1,次），b=1.若d lB，a+b=.14.（/一 ）n的展开式共有8项，则 常 数 项 为.15.从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都 是 红 球 的 概 率 为.16.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离S i（单位：m）关于车速双单位：m/s）的函数模型为S =0.7 58 4V；刹车距离S 2（单位：m）关于车速。（单位：m/s）的函数模型为S 2 =0.0 7 2%，反应距离与刹车距离之和称为停车距离.在某个十字路口标示小汽车最大限速u =5 0 k m （约1 4m/s）,路口宽度为3 0 m,如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮 s（保留两位有效数字）.三、解 答 题（本大题共7 小题，共 8 2.0 分）1 7 .已知 a九 是公差为d（d H 0）的等差数列,%=1,an+1=xan+1.（1）求 an 的通项公式;（2）设%=（-1 产3 尸，求数列%的前1 0 项和S】o.unan+i1 8 .国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如表：档次低体重正常超重:肥胖体重指数x(单位：Zcg/m2)x 17.317.3%23.923.9%27.2学生得分801008060某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布N(23.9,3.32),并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如表：16.316.917.117.518.218.519.019.319.519.820.220.220.520.821.221.421.521.922.322.522.822.923.023.323.323.523.623.824.024.124.124.324.524.624.824.925.225.325.525.725.926.126.426.727.127.628.228.829.130.0请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果.附：参考数据与公式：若 X N(,c2),则 P(-a X p i+a)=0.6827；P(-2 a X n +2a)=0.9545；-3T X b 0)的左、右顶点分别为4(一 2,0),B(2,0),点”是直线I：x=l 上的动点，以点”为圆心且过原点的圆与直线I交于M,N两点.当点H在椭圆E上时，圆H的半径为叵.2(1)求椭圆E的方程；(2)若直线Z M,4V与椭圆E的另一个交点分别为P,Q,记直线P Q,。的 斜率分别为七，k2,判断七七是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.21.已知函数f(x)=V-lnx+ln(a+l)(a 0)(e是自然对数的底数).(1)当a=1时，试判断/(x)在(1,+8)上极值点的个数；(2)当a =时，求证：对任意x l,/(x)2 2.在平面直角坐标系xO y 中，已知曲线C 的参数方程为：2。&9为参数)，以坐(y SIT LAC C标原点。为极点，X 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcosffi+2)+a =0.(1)求曲线C 的极坐标方程及直线/的直角坐标方程；(2)若直线)与曲线C相交于A,B 两点，且N40B=1,求a.已知函数f(x)=2 l xT I.(1)求不等式/(x)4、的解集；(2)求 y =/(x)+f(x+4)的最小值.第6页，共20页答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合4=%G N|1 x 3=1,2,3,B=xx2 6x+5 0=x|l x/3=67r.故选：C.由题意画出轴截面图形，求出圆锥的底面半径与母线长，再由圆锥的侧面积公式求解.本题考查圆锥侧面积的求法，考查数形结合思想，是基础题.4.【答案】B【解析】解：因为cosA=所以,8因为b=5,sinB=,16A A -辿由正弦定理得，。=誓=*=6.sinB 5 V 716故选：B.由已知先求出sinA,然后结合正弦定理即可求解.本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.5.【答案】A【解析】解：a=log62 sin-=c=-,6 2 2则a,b,c的大小关系为a c 0,/(%)=y/3sinx+|c os x|=V3 s i n x+cosx=2 s i n(x+-),6令/(%)=V5，得2 s i n(x+*)=8，即s i n(%+.)=今 又因为 4工工看所以一名工所以+2 =彳 或%+=2，所以=或x=3；6 3 o 5 L o当1 X W 学时cosx 0,f(x)=V3 s i n x+|c os x|=V3 s i n x cosx=2 s i n(x 1),令f(x)=V 3,得2 s i n(x-勺=遍，BPs i n(x 一 弓=更，又因为g x W J 所以g S x-n 4n6-T-所以所以x=；o 3 o综上所述：方程/(%)=遍 的解的个数为3.故选：C.分两种情况一牌号，X y,计论方程/(X)=再 的解的情况.本题考查分类讨论思想，以及方程根的情况的判断，属中档题.8 .【答案】D【解析】解：如图(1)所示，若点P 为4 D 1 的中点时，此时三棱锥P-4B C的俯视图为选项C；如图(2)所示，若点P 为 的 中 点 时，此时三棱锥P-A B C 的俯视图为选项B；如图(3)所示，取和B i G 的中点E 和尸，连接E F,若点P为E F 的中点时，此时三棱锥P 4 B C 的楣视图为选项A；所以此三棱锥P-4 8 c 的俯视图不可能是选项D.故选：D.分别取点P为4以，C i 和线段E F 的中点，结合三视图的规则，即可求解.本题考查了三棱锥的三视图，属于基础题.9.【答案】B第10页，共20页【解析】解：q：2x+1-log2(x+2)1,:.2x+1 log2(2x+4),即可求一1 x 0,又r p：1 X 2,q：-1 X 2,.4CJ.C。,以C为坐标原点，AC为x轴，C。为y轴，建立坐标系，则C(0,0),A(V2,0)。(0,1)，B(-,-)设0(6,0),则 由=(b,1),OB=v DO=A OB，则y=，(当一)u金故选：B.建系写出坐标，再利用平面向量的坐标运算，向量相等，列出方程组即可求解.本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量相等的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.11.【答案】A【解析】解：由题意 =c,即p=2 c,设P(&,yo),则仍 尸2|=殉+以又IPFil-|P&|=2a,PF1=F1F2=2C,所以|PF2|=2c 2a,x0+c=2 c 2 a,x0=c-2 a,作PH I F 1 F 2于，如图，则|。川=的，H F2 =c-xQ=2 af FXH =c+c-2 a=2 c-2 a,由|PF i一|F1H=PF22 一|F 2 H 得(2C)2-(2 c-2 d)2=(2 c -2 a)2-(2 a)2,化简得 a?-4ac+c2=0,所以 e2 -4 e+1 =0,解得 e=2 +V 3(e=2-次舍去)，故 选:A.作PH I F 1 F 2于H,由抛物线的定义和双曲线的定义，结合已知把|PF i|,PF2,FAH,|F 2 H l用a，c表示，然后由勾股定理列式，得a,c的齐次式，从而可求得e.本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题.12.【答案】C【解析】解：由函数解析式,x 。时,/(x)=a ex-1)/(-%)=ae-d=a ex-1=/(x),x 0时,/(x)=a e-x-1,/(x)=aex-1=f(x),综上/(%)=/(x),所以/(%)为偶函数，易知x 2 0时，/(x)单调递增，x 0,y2 0,因此要使得力力-0,即4 5两点在y的同侧，由/(%)是偶函数，不妨设4 B两点都在y轴右侧，即4 B在f Q)=a e*T(x 0)的图象上,第12页，共20页yry2-%62 0，则%光%i%2，a2exi+x2-2 空 上 二，a X 1 X 2设g(x)=e*T,g(x)=ex-1,设g(x)的图象过原点的切线的切点为(3,y o)，g(x o)=e-1,解得%。=1，g(i)=-t=1,所以g(x)=ex-x 0)的图象过原点的切线斜率为1,即g(x)=ex-x 0)的图象上的点与原点连线的斜率的最小值是1,设C(x ,g(x i)，。3，9(尤 2)，则 ue ：-等价为专 kD，(*)兀 1冗 2 a要使得存在C，。使得(*)式成立，则2 1 X 1,又Q 0,所以0 V a V 1.故选：C.确定函数的奇偶性与单调性，分析得出4 8 只能在y 轴同一侧，然后不妨设4 B 两点都在y 轴右侧，不等式%丫2-%尤 2 空 士，设g(x)=T,设C Q i，g(Xi),。2,9(X2)，不等式即为专,k oo，因此利用导数求得g(x)的图象过原点的切线斜率后可得结论.本题考查了函数的奇偶性、单调性、导数的几何意义及综合应用，也考查了转化思想,难点在于将不等式为旷2-M2 0 变形为2 ,属于难题.C l Xj%213.(答案】V 5【解析】解：因为d =(l,V 5),b=1，alb，所以 I 方+b/=I a|2+2 a -b +|b 2=4 +1=5,故I五+3|二岳.故答案为：V 5-由已知结合向量的数量积的性质即可求解.本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题.14.【答案】【解析】解：根据题意得n =7,（炉 一壶）7的展开式通项为北+1 =。（-）7 （一册）r=（一”小 2 1 4，由21一 夕=0得r=6,所以常数项为（一6妗=看.故答案为：三.64根据题意得n =7,然后写出二项展开式通项，可求得常数项.本题考查二项式定理应用，考查数学运算能力，属于基础题.15.【答案】|【解析】解：从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，选到的两个球颜色相同的情况有或+以=9种，都是红球的情况有盘=6种，所以在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为P =g=|.故答案为：根据条件概率公式计算即可.本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题.16 .【答案】3.9【解析】解：依题意当小汽车最大限速f =5 0 k m/i（约14 m/s）时，反应距离S i =0.7 5 84 X 14=10.6 17 6 m,刹车距离s?=0.0 7 2 x 142=14.112m,所以停车距离为 10.6 17 6 +14.112=24.7 29 6 m,又路口宽度为30 m,所以 s +24.7 29 6 =5 4.7 29 6 m,所以时间t =-=匕 竺 3.9 s.v 14故答案为：3.9.依题意求出反应距离S i，刹车距离S 2,即可得到路程s,再根据速度、路程、时间的关第14页，共20页系计算可得.本题考查了函数的生活中的应用，也考查了学生的计算能力，属于基础题.17.【答案】解：（1）因为Q九+1=XQn+l（x W 0）,所以an+2=XQn+1+=0），两式相减可得d=x d,因为d w o,所以 =1,则Qn+1=册+1，所以d=1,因为臼=1，所 以=的+（九 一 l）d=n；（2）因 为 期=以%=（一1严，所以小=（一1尸 嘉 言=（T）E+扁，则 a。=（_;）+（_ +G+舄+$=_ 1+2=一小【解析】（1）根据Qn+1=+1，得到。2，3，然后根据。3。2=。2=d解出乙从而可得a九 的通项公式；（2）由（1）得b =（-l）ny,然后裂项相消求和法求解即可.本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题.18.【答案】解：增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下:档次低体重正常超重肥胖体重指数式单位：kg/m2）x 17.317.3%23.923.9%27.2人数325175其中肥胖率为方=0.1,调整前，肥胖率为P(X -c)=一：827=0.15865 0.1,超重概率为P(X n +a)=罗=034135,正常体重概率为P(-2o X i i)=卓 竺=0.47725,低体重的概率为P(X 一 2 =限=而81+36诟=T所以直线B E 与平面4 B C D 所成的角的正弦值是在；4(2)四边形4 0E”中，D E=D A.D EH =乙D AH =(DH=D H,则4 D EH =DA H,所以4H z M=Z.H D E=AADE=g,所以4 =A D t c m g =6 g,所以(0,0,6g)，因此有G(0,6,6g)，BG=(0,0,6b)，设平面B E G 的一个法向量是沅=(x,y,z),则晒.岖=9=6y +3 岳=0,取 =2得而=(2,3,0),1m -BG -6y/3z 0假设线段4 B 上是存在点M,使得DM 平面B E G,设A M =3则”(0/,0),丽=(一 65,0),丽1 沆，DM-m=-12+3 t =0,t =4.所以B M =6-t =2,所以存在满足题意的点M,且8 M =2.【解析】(1)利用面面垂直，线面垂直，线线垂直的相互转化，证明4,D,E,共 面,同理得B,C,F,G 共面，然后以4。，AB,A H为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角；(2)假设线段A B 上是存在点M,使得DM 平面B E G,设A M =t(0 S t S 6),求出平面B E G 的一个法向量万，则 两 与法向量沆垂直求得参数值，得结论.本题考查了线面角的计算和线面平行的应用，属于中档题.20.【答案】(1)解：由题意知a =2,因为卜正)2-12=三，所以H(L J)，Y 2，2 乙92 2所以工+2=1，所以廿=3,即椭圆方程为+一=1.a2 b24 3(2)解：A M；y =k(x +2),A N：y =t(%+2),可得M(l,3 k),N(l,3 t),“(1,),因为。例 J.O N,所以9 kt =一1,(y=f c(x +2)由但 旺=,整理可得：(4攵 2+3)/+1 6 e 工 +(16/-12)=0,(4 3-所以Xp (2)=1.6k2-124k2+3则不6-8 1 _ 1 2k4k2+3 VP-4k2+3同理可得：沟=累佻=品,12k 12t所八 人以 禽1=丝*=呵=也 M =_ 2 X -,X p-X Q 6-8 k2 6-8 t2 4(fc+t)3 6 k+t4 H+3 4 t2+3因为k 2=k +t),所以七/2=-3【解析】(1)求出(1,土|)，即得解；(2)设4 M：y =k(x +2),A N：y =t(x +2),根据O M _ L O N,所以9 kt =一1,再把直线方程和椭圆方程联立，得到P,Q 的坐标，求出的，七即得解.本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的运算能力，属于中档题.21.【答案】解：(1)当Q=1时，/(%)=、-Inx 4-ln2,则 f，(x)=产,-I)_1=(XT)(T-M),设W(x)=e、T 一 喜，则9(久)=蜻-1 1 在(1,+8)上是增函数，当 为 T1+时，(%)-8,(p(2)=e -2 0,所 以 存 在(1,2),使得3(沏)=0,当 6(1,%。)时，(p(x)0,则/(久)V 0,即/(%)在(L&)上单调递减，当 G (%o，+8)时，0,则(%)0,即/(%)在(1,&)上单调递增，所以/(%)在(1,+8)上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明：由f，(x)=e，-a(.l)_/=(x-l)(e*-a 一 土),设h(x)=e a -三,则/i(x)=e-a _ 1-2 在(1,+8)上是增函数,当X T 1+时，九(%)8,因为a =，所以h(a +1)=e -1-：0,所以存在%o (l,a +1),使得八Q o)=-含=0,当xE(l,X o)时，h(x)0,则/(%)0,即/(%)在(1,&)上单调递增，故x=殉是函数/(%)=丁 一)+l n(a +l)(a 0)的极小值点，也是最小值点,ex0-a则/(%)/(%0)=-l n xo+l n(a +1),xo又因为靖。=含，所以f(殉)=-l n x0+l n(a +1),XQ L XQ 1即证对任意%1,-lnx0+l n(a +1)J,XQ-I a第18页，共20页11即证对任意%1,%()-1-lnxQ -a-ln(a 4-1),设。(无)=-I n x,则g(x)=W m%在(1，+8)上单调递减,因为%o 6(l,a +1)，所以g(x()g(a+1),故 六-lnx0 i-ln(a +1),XQI a故对任意%1,/(%)，【解析】(1)求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；(2)求出函数的导数，构造函数/t(x)=e X-a-W，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值f(X。)=六一m勺+ln(a+1),故可将原问题转化为对任意XQ-111x l,-lnx0+ln(a+1)p再构造函数，利用其单调性即可证明结论.XQ-1 a本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立问题，考查了转化思想，极限思想和函数思想，属难题.22.【答案】解：由题意，忧篇:“，得 CHr 上则有(x-l)2 +y2=i,即/+y2 2%=0,化为极坐标方程为：p2 2pcos6=0,直线pcos(。+$+a=0,即乎 pcosd-y psind+Q=0,所以直角坐标方程为：V2x V2y+2a=0,(2)圆C经过原点0,ZLAOB=45,余 所 对圆心角为CB=90,B|JA 4cB为等腰直角三角形，AB-yj2f圆心C到4B的距离为d=CA-sin45=,2则(1,0)到直线注-V 2y+2a=0的距离d=蚂 理=?，V2+2 2解得a=0或【解析】(1)利用sin2a+cos2a=1对曲线C的参数方程进行化简可得曲线C的 普 通 方 程，由 二 就;可 求 出 J 的直角坐标方程；(2)由题意，AOB=4 5 ,得出A/ICB为等腰直角三角形，再根据点到直线的距离公式求出a的值即可.本题考查参数方程，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题.23.【答案】解：(1)/(%)=2吐/(x)2吐】1 22Z|x-1|2x,当x 12 0,即x 2 1时，贝 I%1 W 2x,二 2 1,二 x 2 1,当 1 0,即x 1时，则1-x W 2x,x 2 x 1,综上，不等式/(x)4、的解集为白+8).(2)y=/(x)+/(%+4)=Z U +2比+31,当x 1时，则y=2T+23=y -2工 为增函数，当 x=l时，y的最小值为17,当一3 x 3=A +8-2X 2V16=8,当且仅当真=8 2 即”一1时取等号，7 的最小值为8,综上，y的最小值为8.【解析】(1)根据零点分段法解不等式，即可求出.(2)由分类讨论，结合指数函数的单调性，基本不等式即可求得函数的最小值.本题考查了绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，基本不等式的应用，属于中档题.第20页，共20页