2021-2022学年湖北省武汉市江岸区高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区高一下学期期末数学试题一、单选题1.已知a，6 e R，a+3i=(6+i)i(i 为 虚 数 单 位),则()A =1,6=-3 B Q=T,b=3 Q a=,b=-3 p a=1,b=3B【分析】利用复数相等的条件可求出.详解】+3i=-l+6 i,而。，方为实数，故。=-=3,故选：B.2.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A.普查 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法B【分析】根据所研究的对象差异性很大，要使样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层抽样.【详解】解：因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层抽样.故选：B.sin 6(1+sin 2。)3,已知sin0+2cos9=0,贝sin0+cos0()3 4 2A 5 B 5 C.5 D.5D【分析】由已知可得tanO=-2,再根据二倍角的正弦公式及平方关系结合商数关系化弦为切，从而可得出答案.八 sin 6.tan 0=-=2【详解】解：由sine+2cos6=0,得 cos,sm 6(1+sin 2。)sin 6(sin 6+cos。)一 .、；-=-=sin 0(sin 0+cos 6)所以 sin 夕 +cos 夕 sinJ +cosg=sin2 e+sin6cos6=sin2 0+sin 0cos0sin2 9+cos2 Gtan2 O+tan0_4 2 _ 2tan2+1 4+1 5故选：D.4.已知AB是平面内两个不共线向量，AB =ma +2 bB C =3 a-b,A,B,C 三点共线，则m=（）22A.-3 B.3 C.-6 D.6C【分析】根据向量共线定理，列方程求加即可.【详解】因为4,B,。三点共线，所 以 石，灰 共线，又是平面内两个不共线向量,所以可设/8=/l 8 C,因为48=加4+2石，B C =3 a b t所 以 而+2%（3力）,所以加=欠,/=-2,所以加=-6,故选：C.5.已知三条不重合的直线加，n,I,三个不重合的平面a,p,y,则下列命题不正确的个数是（）若m!In,na a,则Il a;若/，则 a/?；若 a_Ly,力 _ L y,an/=/,则/，/；z u a,u a,加 /R,/则 a /A.4 B.3 C.2D.1B【分析】根据线面平行的判定定理，可判断；根据面面平行的判定定理，可以判断 ；根据面面垂直的性质定理，可以判断.【详解】对于，u a 时，机a 或机u a,所以错误；对于，已知 a,机，此时平面尸可以是绕直线机旋转的任一平面，所以a/或 见夕相交，所以错误：对于，记a n y =m,6n y =,在平面7任取一点A （不在直线/上），过点A作AB 工 m =B ,A C l n =C 9 因为所以 481a,4 C _ L/?,所以 4 8 1/,4 3 ,即/,乙 所以正确;对于，当机时，平面。与平面尸可以平行，可以相交，所以错误;则不正确的有3个，所以B正确;故选：B.6 .在 A 4 8 C 中，已知（a-c c o s 5）c o s/=a c o s 8 c o s C,那么人4 8 c 一 定 是（）A.等腰或直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形AA+B =-【分析】正弦定理结合二倍角公式化简得s i n 2/=s i n 2 8,可得/=B或 2 ,即可判断Z U 8 C 的形状.详解（a _ c c o s 8）c o s N =a c o s B c o s C,由正弦定理可得：（s i n J-s i n C c o s B）c o s A=s i n A c o s B c o s Cs i n A c o s A=c o s B（s i n C c o s 4 +s i n 4 c o s C）=c o s B s i n B所以 s i n 2 A=s i n 2 B ,所以 2 4 =2 8 或 2 4 +2 3 =,A+B =-即z =8或 2 .所以 A B C是等腰或直角三角形.7 .已知A、B、0 是半径为3 的球0 的球面上的三个点，且 4c 8 =12 0。，4 8 =6,A C +B C =2,则三棱锥。-4 8 C 的体积为（）V 6y/b屈A.12 B.6 C.3 D.娓B【分析】计算出“8C的外接圆半径，可计算得出三棱锥-4 8 C 的高，利用余弦定理可求得/OBC,可 计 算 得 出 的 面 积，再利用锥体的体积公式可求得结果.一石【详解因为/8 =囱，ZACB=2 0 所以，“8 C的 外 接 圆 半 径 为,2 s in 12 00所以，三棱锥O-力 8c 的 高 为 =乒/=2&,在A/8 C 中，由余弦定理可得3=AB2=AC2+BC2-2ACBCcos20a=AC2+BC2+ACBC=(AC+BC-AC BC所以，G C =(/C +8 C)、3 =1,所 以,S%c=*8Csi n l 20 邛,v 1 C ,1 V 3 0/r V 6因 为Vn ARC=_3 SM R,C ,h 3 x 4 x 2 7 2 =-6-故选：B.8.已知正方体488一/,的棱长为2,点 为 线 段 C G （含端点）上的动点,/枚，平面a,下列说法正确的是（）生=2 一加A.若点N为 中 点，当+最小时，B.当点“与G重合时，若平面。截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大C.直线48与平面a所成角的余弦值的取值范围为9D.若点M 为CG的中点，平面a过点8,则平面a截正方体所得截面图形的面积为2D【分析】利用展开图判定A、M、N三点共线，进而利用相似三角形判定选项A；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定B；直线力8与平面a所成角的正弦值，即cos NBAM=迫为 直 线 与 平 面 a的垂线4M所成角的余弦值，即cos/8 4 1/,AM，可通 过 的 取 值 范 围 可 以 求 得 8 S N 历进而判定C;利用空间垂直的转化可以得到平面与正方体的截面为8。跖，其中为4A的中点，尸为与4的中点，判断其为等腰梯形，进而计算其面积，从而判定D.【详解】解：对于A：将矩形C G 4与正方形CG2。展开到一个平面内（如图所示）,因为 CCJ/DR,MC=A C=_2_=2_所以。N A D 2V2+2,M C=(2-4 2)D N=J-C C.所以 2,M C 2-y i,x/2-=-=1-即C 2 2,故A错误;对于B：当点”与点G重合时，连接4。、BD、田、A C/G,（如图所示）,在正方体4BCD-4BC1中，CG，平面AB C D ,8。=平面/1 8 8,所以 B C C G,又因为BDL 4C,且4 C n c q=C,所以B o,平面/e g,又NC|U平面/C G,所以8。同理可证 D I A C,因为所以/C J平面4叫易知 4 8 0是边长为2挺 的等边三角形,其面积为3印X。行=2百 周 长 为2后3 =6 1设E、F、Q、N、G、”分别是3、4与、B B、BC、CD、皿的中点，易知六边形E F Q N G H 是边长为正的正六边形，且平面 尸6/平面4 8 ,门 qr 6 x x(/2)-=3 /3正六边形E F Q N G H的周长为6及，面积为 4 ,则“田。的面积小于正六边形E F Q V G的面积，它们的周长相等，即B错误；对于C：直线Z 8与平面a所成角的正弦值，即 为 直 线 与 平 面a的垂线W所成角的余弦值，即c o s,如图所示：连接8 M在正方体中，平面8 C G,8Mu平面3 C G,所以NB,BMc os Z B A M =在R f 4 8M中，A M,点M为线段C G (含端点)上的动点，故即20 4/4 2 G所以 AM L 2 3，所 以 直 线 与 平 面a所成角的正弦的取值范围为型网L2 3 J,故c错误；对于D,取。功 中点为N,连接MN,A N,则M N/C Dt设平面a与 侧 面 的 交线为。,E为平面a与A4的交点，由于C O 1平面M V J.D E ,又：4河 J _ 平面 a ,QEu 平面 a,:.A M 工 DE,又：MN c A N =N ,：.O E，平面D E IN ,又.在 正 方 形4中N为 的 中 点，；.E为44的中点；设平面a与侧面 8 4 4的交线为。尸，尸为平面a与8/的 交 点，同理可得尸为8 d的中点，连接EF，于是截面为BDEF,计算得 8 0 =2 0,EF=叵,DE=BF=BB;+B.F2=7 4 +1=75所以截面为8AE/为等腰梯形，截面为8。跖的面积为+=/故D正确;故选：D.二、多选题9.A.z已知i是虚数单位，若_ 3复数z的 虚 部 为5则（B.1 3.z=+15 5C.复数z对应的点在第二象限D.2-1 =1）AD【分析】根据复数的乘除法运算求出义依次判断选项即可.1 3.z=-15 5,结合共桅复数的概念和复数的几何意【详解】由题意得,_ 3-i _ 3-i=（3-i）（3-4 i）_ _（2+4 =i T （3+4i）（3 _ 4 i）一113-13.-z=I 1故 其 虚 部 为5,5 5.J _ _ 3复数z对 应 的 点 为5,在第四象限，故选：AD.1 0.A.B.|z-l|=/5 5z3 2 +(-)=1_ 2若数据X”X2.X,“的平均数为X,方差为4,数据力，H.为的平均数为方差为斗，下列说法中一定正确 的 有（）mx+tiy这机+个数据的平均数为若这m+n 个 数 据 的 平 均 数 为 则 这 m+n 个数据的方差为:ms+(X-69)2+/7 区 +(y-0)2 m+nC.若，=，=%+g=l,2,%则歹=忒+6D,若用=，如=1,2,%则 s：=a,+bA B C【分析】直接利用均值和方差的关系，方差和均值的性质，应用判断A,B,C,D的结论.【详解】解：对于A,若数据X 犯，X”的平均数为无，数据力，刃，%的平均数为少,nix+ny则加+个数据的平均数为 机+,故选项A正确；nix-riyco=-对于B,由于加+个数据的平均数为?+，若数据X/,X2，X机的方差为S；,数据以，/，川的方差为，由方差的计算式得，这 机+”个数据的方差为:Z(占-0)2 +Z(%-0)2 Z x；-毛 +机疗+Zy；_ 2 s：=-=-=3-=a2 0-=a2sn n n n故选项D错误.故选：ABC.1 1.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台0 0 2,在轴截面4BCD中,4B=4D=BC=2 cm,且CZ)=2/8,下列说法正确的有()A.4DC=30。B.该圆台轴截面/8CZ)面积为3豆cm?卑cn?C.该 圆 台 的 体 积 为3 D.沿着该圆台表面，从点C到 中 点的最短距离为5cmBCD【分析】A由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角大小即可；B应用梯形面积公式求轴截面面积；C利用圆台的体积公式求体积；D将圆台侧面展开，结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点的最短距离.cos ZADC=-0 ZADC 中CE=j4r-+3-7=5 c m,即 C 到/。中点的最短距离为5 c m,正确.故选：BCD1 2.已知函数/（x）=s i n k lT c os x,下列关于此函数的论述正确的是（）A.兀是/（X）的一个周期B.函数”无）的值域为卜 1I3 兀 4 7 rC.函数/（X）在14 3 上单调递减D.函数/（“）在 I 2 兀，2 句 内有4个零点B C D【分析】判断A选项，举出反例即可；判断B、D选项，从函数奇偶性和 HO,+8）,/（x）=/（x+2）,得到周期为2 兀，进而得到函数的图象性质，得到零点和值域；判断C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.【详解】解：选项A：因为 R=0 +/一 兀不是/（X）的一个周期，故 A错误；选项B、D：函数/（X）定义域为R,并且/（-、）=/（x）,所以函数为偶函数；因为xe 0,+8）,x）=/（x+2 n）,为周期函数，故仅需研究函数“X)在区间1 0,2 可上的值域及零点个数即可，因为xe 0,5 U 5,C,/(J C)=sin x-cos x=-Jl sin(x)2 利时，4 .x e f(x)=sin x+cos x=V2 sin(x+)当 2 ,2 时，4 .勺 伫 x-=t e -11 If 1当xe 0,2)2 ,2 汨时，令 4 4 ,4 4 ,4 ,_ 1 兀 兀 i l I r 5 兀 7 兀 则”友 si n，RU,TJ,可得”-垃，I且仅一个零点；当 YU兀2 ,早3兀 时，令 +i丁t 耳3兀，7丁兀1 ，则y=Vsinf,日r3彳n，T7兀】J,可得ye 一行，1 且仅一个零点；所以函数/*）的值域为1 且在“2兀，2可上有4 个零点.故选项B 正确，选项D 正确.选项C:函数f（x）在3 上，有，4,所以 4 i,1971五，则得函数“X）在该区间上为单调减函数.故选项C 正确.故选：BCD.三、双空题1 3.已知“8 C,内角4 民C 所 对 的 边 分 别 是 c,。=1,NC的 角 平 分 线 交 于点。,若sinN+sinB=2sin/N C 8,则。+6=,的取值范围是2(3叵4T【分析】利用正弦定理角化边可直接得到a+g 设=2，(02。”)，利用面积桥和余弦定理可构造方程，将 8 表示为关于cos的函数的形式；利用基本不等式可求得cos。的范围，进而确定8 的取值范围.【详解】由正弦定理得：a+b=2 c,又c=l,:.a+b=2.,CD 为 NC 的角平分线，设 NC=2O(O28 C D a h CS 0 =4Cos0.a+b .3,3：ab-=1 -V 2 (当且仅当 时取等号)，4cos-6?，即 4,G .3(3 疗0 cos(9l Z c o s。4 V又 2,2,1 ，2 叵即CO的取值范围为（4 2-b3【分析】先表示出与 同向的单位向量，再求）在B方向上的投影，然后由投影向量的定义直接可得.【详解】因为3 在B方向上的投影为W c sl3 5 =-&,与5同向的单位向量为W 3品_-b所以。在6方向上的投影向量为 3 .1 6.一个封闭的正三棱柱容器的高为2 a,内装水若干（如图（1）,底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2）,一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点（3 疔故2；.关键点点睛：本题考查解三角形知识的综合应用，本题求解角平分线长度取值范围的关键是能够利用面积桥和余弦定理将角平分线的长度表示为关于c o s。的函数的形式，通过确定c o s 的取值范围来确定角平分线长度的取值范围.四、填空题1 4.某篮球队有8 名运动员，身 高（单位：c m）如下：1 86,1 94,21 6,1 98,1 92,20 1,21 1,20 8,则身高从低到高的第4 0 百分位数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ c m.1 98【分析】由百分位数的定义即可得出答案.【详解】将 8 名运动员身高从低到高的排列为：1 86,1 92,1 94,1 98,20 1,20 8,21 1,21 6,而8x 0 4 =3.2,所以身高从低到高的第4 0 百分位数是第四个数即1 98.故 1 98.1 5.已 知,1=2,出|=3,万与万的夹角为1 3 5 ,则1 在各方向上的投影向量为【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可.【详解】设正三棱柱的底面积为S,图(1)中水面的高度为力，则 水 的 体 积 匕 因 为13E,F,耳，片分别为所在棱的中点，所以之皿一7 S ttm:4S,所以图(2)中水的3 3 3体积一K=(-4S)x(2a)=2-Sa.又匕T7=匕T7，所以 h=2-a.3 a故 2五、解答题1 7.已知平面直角坐标系中，点。为原点，(2，T),B(T，2).若忖=1 且 与 方 的夹角为4 5。，求IQ+8)的值；(2)设工为单位向量，且工,方，求工的坐标.(1)T 3-年 2亚、-,V5 275.e=(,)e=(-,-)5 5或 5 5【分析】(1)先由4 8 两点求得向量方的坐标，再根据题目条件以及向量的运算法则即可得到结果(2)根据单位向量的自身性质以及两向量垂直数量积为0的条件即可得到结果【详解】方=1 3),|邳g仔=3 双-万).(+存)=2忖 +7 在-画2=2+同 画 3-|研=2x l、l x 3 五 x 1-(3 何=-1 3 04=(2,-1),设e=(x j),因为工1 口,所 以 屋 况=01 8.在A48C 中，角4 民。所对的边分别为a,b,c且满足csin/=4C0sC(1)求角C 的大小；百 sin/-cos(8+工)._(2)求 4的最大值，并求取得最大值时角4 8 的大小.c=A=巴,B3.(1)4；(2)最大值为2,此时 3,12【详解】(1)由正弦定理得sinC sin/=sinNcosCA.sinZ 0.从而 SMF以则sC.cosC 0,tan C=1,C-因为0 N 匹所以 4n 3乃 ,B=-A.(2)由(1)知 4 于是V3 sin J -cos(8+)=73 sin cosQr-A)4=/3 sin/I+cos A=2sin(Z+令.0 4 网，.工力+工 v-，2 2 t，-5 -J 2 85 5V3 X2-3X2 3 -=2=6+3x742=164343/=12二 力：=128+5x782-16434=14114.=12：w 一 2F2 14114-2 x 842,5,.=-=-=1 2 2第四组学生实际成绩的平均数为8 4,方差为1.2 1.如图菱形48C。和平面四边形Z8E尸的面积相等，且菱形/8 8 和平面四边形/B E F 所在平面互相垂直，A4BE是等腰直角三角形形，A B=A E,乙E A F=3 0。,A B A D=120(1)设尸是线段CD上一点，且 丽=3而，在直线/E 上是否存在一点，使得PMI平面 8C E?若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(2)求二面角F-BD-A的正切值.E M =-E A(1)存在点/0,且 3，证明见解析 2(百-1)【分析】(1)设B E C 平面PCM=N,连接CN,由线面平行的性质定理和判定定理可证E M MN P C 得 P C H M N,即可得出E A AB CD 3,即可得出的位置.(2)过尸做于 ，过 H 作 H T 1 B D 于 T,连接F T,可 证 得 TH即为二面角“ta n ZF7 7/=的平面角.求 出“”7,代入 T 即可得出答案.【详解】(1)设 8 ECI 平面P C M=N,连接C N,由PMI 平面8 C E 知 PA/I I CN,X C D UB,A B E,平面/8 E,故 CO|平面/BE.又 C Q U 平面PC N M,平面PCMWf l平面A BE=MN,故 尸 C|A/M所以四边形PCN M为平行四边形.EM MN P C EM=-E A且 3(2)过F做F H L A B于H,由菱形A B C D和平面四边形A B E F所在平面互相垂直知,平面AB C D.过 作H T L B D于T,连接F T,则4尸 7 7/即为二面角F-B D-A的平面角.不妨设A B=2,由菱形A B C D和平面四边形A B E F的面积相等知2 x2 xsi n l2 0 =X2X2H x2 x/Fxsi n 3 0。2 2解得/F =4(百-1),:.FH=6-2 瓜 A H =2/-1),又=8 xsi n 3 0 =Gta n /F T H =2(G -1)H T2 2.已知函数/(x)=4si n(+si n x+(c o s x+si n x)(c o s x-si n x)-l(1)求函数/G)的最小正周期;n 2 万(2)常数。0,若函数y =/3 x)在区间L 万3 上是增函数，求切的取值范围;(3)将函数/(X)的图象向左平移5 个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2旭，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的万，得到函数g(x)的图像，若存在非零常数2,对任意x e R,有g(x+)=g(x)成立，求实数m的取值范围.(1)2万(3)答案见解析【分析】(1)化简x)=2sinx.所以7=2万，即可得出答案.冗2万(2)先求出A s)的递增区间,又因为函数V=/(x)在区间-上是增函数,71 2万当 =0 时，有!2 37t712 2 ，解不等式即可求出答案.(3)求出,由题意求出以上1,讨论2=T 和1=1,使得g(x)=sin(27wx+yg(x+/L)=g(x)成立，即可求出实数,的取值范围./(x)=2 1-cos【详解】(1)-y+x I sinx+cos2 x-sin2x-1=(2+2sinx)sinx+l-2 sin2 x-1=2sinx,:.T=2兀ci 冗,小、冗 2k兀 7i 2左 乃 n2k兀-cox ZKTT+-x 07 T 冗：.-2(0 2兀、2万 八 3 f A 3 2 0 3(一 0,12。3,解得 4,二。的取值范围是1 4 g(x)=sin 2tnx+(3)由题 I 3 人 存在非零常数4,对任意的x eR，g(x+Q =4g(x)成立,g(x+在 R 上的值域为 7,l Mg(x)在 R 上的值域为-1刈J/.|=1当久=1时，g(x+l)=g(x),I为g(x)的一个周期，即1为g(x)最小正周期的整数倍,k冗_ 所 以 蔡 一,即m =且%工0)、,、g(x-1)=si n (2 mx+g 2加)=-g(x)=-sin=si n 2 mx+g+4)当1时,团_ (2 +l).兀 w z由诱导公式可得2 m =(2 +1)叫EZ,即加 2 所以当4=1时，加=%乃(左Z且 w O)；吁 巨 虫 也，w Z当2 =7时，2