2022届福建省莆田市高三下学期第六次检测数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=x|xl,6=%1 ,则()A.=B.=C.=D.A c3 =xOxvl2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()I*/逞/输出t A 储菊4032 2015 2016 2015A.-B.-C.-D.-2017 2016 2017 1008243.在AABC1中，角A 8,C所 对 的 边 分 别 为 已 知C=-,c=l.当变化时，若2=6+而存在最大值,则正数的取值范围为A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(1,3)4.设a,b e氏，是虚数单位，则“复数z=a+i为纯虚数”是“必=0”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件5.正AABC的边长为2,将它沿8 c边上的高AD翻折，使点3与点。间的距离为百，此时四面体A-BCD的外接球表面积为()A.-B.4万 C.D.73 36.在A4BC中，。为AC的中点，E为AB上靠近点8的三等分点，且BD,CE相交于点P,则 丽=（）2 1 1 1 一A.-A B+-A C B.-A B +-A C3 2 2 41 1 2 1 -C.-A B +-A C D.-A B +-AC2 3 3 37.数列 斯,满足对任意的G N+,均有an+an+l+a+2为定值.若由=2,4=3,侬=4,则数列”“的前100项的和S i o o=（）A.13 2 B.299 C.6 8 D.998.已知将函数/（x）=s i n（的+。）（06,一 夕2=4 0底 0）的焦点为尸，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B 两 点,与）轴的正半轴交于点S,与准线/交于点T,且|E 4|=2|AS|,则宣=（）I I2 7A.-B.2 C.-D.35 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .已知矩形AB C D,AB=4 ,B C =3,以A,B为焦点，且 过C,D两 点 的 双 曲 线 的 离 心 率 为.14 .已知实数二二满足（2二-二）；+4二；=上 则2二+二 的 最 大 值 为.jr 3 7r 1215 .在平面直角坐标系M）中，点P（%,%）在单位圆。上，设40 P=。，且若c o s（a +）=-一,4 4 4 13则/的值为.16 .在四棱锥PA BCD中，底面A 3 C D为正方形，以，面 钻 从 二 四 二 分2尸 也 分 别 是 棱 心/心/的中点，过瓦尸,”的平面交棱CO于点G,则四边形E F G”面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为5级，若第二次质量把关这2位行家中有1位 或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为g,且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为8级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.18.（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间 20,40）内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数2184814162（1）求图中实数。的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间 25,30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间 20,25）或 30,35）内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售 价 120元，根据表1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望.19.（12 分）已知函数/（x）=（2-x）e*+ox.（I）已知x=2 是/（x）的一个极值点，求曲线/（%）在（O J（O）处的切线方程（H）讨论关于X 的方程/（%）=。111%（0 用根的个数.20.（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4 名男教师、1名女教师，非党员学习组有2 名男教师、2 名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2 名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记 X 为选出的4 名选手中女教师的人数，求 X 的概率分布和数学期望.2 221.（12分）在平面直角坐标系xO y中，已知椭圆。：+2=1（。0/0）的短轴长为2,直线/与椭圆C 相交a b1兀于 A,3 两点，线段A B 的 中 点 为 当/与。连线的斜率为一二时，直线/的倾斜角为一2 4（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若卜 2,P 是 以 为 直 径 的 圆 上 的 任 意 一 点，求证：|0尸|4 622.（10 分）已知a+b+c=l,求证：(2)-1-1-N-3。+1 3/?+1 3c+1 2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】求 出 集 合 8,计 算 出 4nB和 AU8,即可得出结论.【详 解】;A=x|x l ,B =x p 1 =X|X 0 ,.1 Ac3=x|x 0 ,Au3=x|x l .故 选：C.【点 睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.D【解 析】循环依次为 s=1,/=1,i =2;s=3,f =1 +,i =3;s=6,f =1 +1+,i =4;3 3 6一，I 1直至/=1 -I-1-1 F1+2 1+2+31/=1 +11 +2+-+20 1 5=20 1 6;结束循环，输出-1-k H-1 +2 1 +2+3 1 +2+-+20 1 5=2(1-+-+-+2 2 3120 1 5 20 1 6)=2(1-120 1 6、20 1 5 注)=-，选 D.1 0 0 8点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪 代 码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3.C【解 析】因 为 C=V，C =l，所 以 根 据 正 弦 定 理 可 得 号=4 所 以 a =*s i n A,b=s i n B,所以3 si n A si n B si n C J 3 43 J32 22 2 7i 2 2z=h+A a=j=si n B +j=si n A =j=si n B +A si n(-B)=(1-)si n B +/3 03，3 3 J3 2c o s B=l(l-)2+()2 si n(B +0),其中 ta n =J j,0B_LCD,OBcCO=。，故4)，平面B C D,所以OQJ/A。，因为4 9,平面B C D,。1匚平面B C D,故A D L O Q,故。仪。，所以四边形。Q D Q为平行四边形，所以。=。2=乎,所以。=、跖=也，故外接球的半径为五，外接球的表面积为4万x 2=7乃.V 4 2 2 4故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.6.B【解析】AP=xAB+yAC,贝 ij/=x丽 +2),而，AP=-AE+yAC,3 r由8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，可知x +2y =l,+y =l,解得MN即可得出结果.2【详解】设 4月=+y A。，则 A P =x A B +2y A ),AP-AE+yAC,因为8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，3 x 1 1所以x +2y =l,+y =l,所以x =_,y =_.2 2 4故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7.B【解析】由4+/+1+%+2为定值，可得4+3 =4，则 4是以3为周期的数列，求出4吗，4，即求Sg【详解】对任意的 eN+,均有an+a向+an+2为定值，(4，+i +q+2 +4+3)一(4,+4 M+4+2)=。,故 4+3=%，.4是以3为周期的数列，故 4 =。7=2,%=。9 8 =4,=9 =3 ,S|g(j =(4 +出+/)+,+(佝7+%8+)+q(x)=3 3(q +c i-,+%)+q=3 3(2+4+3)+2=29 9.故选：B.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.8.B【解析】首先根据三角函数的平移规则表示出g(x),再根据对称性求出力、4【详解】解：由题意可得g(x)=si n o(x-()+,7 1.7 1 +(P=k.TT-JI 4 2又/(%)和g(x)的图象都关于X =对称，4 TC 7 1co-co-(p 解得三口=(Z 1-%2)=(勺乂2 wZ),即 0 =3(匕-%2)(4&W Z)”.巾用,.s喂司考据).正确，错误.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题9.B【解析】由 等 比 数 列 的 性 质 求 得,再由对数运算法则可得结论.【详解】数列an是等比数列，,a 3 a 8+%=2 4%。=18,axaw=9 ,l o g3 ax+l o g 3%+l o g 3 4 o =l g 3(%|0)=l o g3(i i o)5=即可求出f(x)的解析式，从而验证可得;(仁,右e Z),T +y冗9 又()69 6,:=3,(p 94=0,5 10g 3 9 =10.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.10.C【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点A,B,。不共线，贝！I（A B +AC）BC（A 6 +AC）-B C =O （A B +AC）-（A C-A f i）=AC2-A f i2=0 =/2 =病同=国”;故（丽+恁）_ 1 及”是“|词=|狎，的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.11.B【解析】转化（l+i）（z-l）=l-i,为 z l =g,利用复数的除法化简，即得解【详解】复数 Z 满足：（l +i）（z l）=l -i所以z _ l =匕2=T1+z 2z =1+i故选：B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.12.B【解析】过点A作准线的垂线，垂 足 为 与）轴交于点N,由|E4|=2|A S|和抛物线的定义可求得|T S|,利用抛物线的性1 1 2 ,质而+时=/可 构 造 方 程 求 得 忸 耳，进而求得结果.【详解】过点A作准线的垂线，垂足为M,AM与 轴交于点N,由抛物线解析式知：尸(p,0),准线方程为x =一 .由抛物线定义知：=.S月=2 p,.-.|7 5|=|S F|=2 p.1 1 2 1 3 1 1 ,由抛物线性质gA F +而BF 广 丁2 p =一p 得：丁4 +,BF =一p，解得：1 族1=4，.囹 同 一 五一 .故选：B.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.2【解析】根据A3为焦点，得c =2；又|4 一忸=2。求得。，从而得到离心率.【详解】A 8 为焦点=2 c =4 =c =2C在双曲线上，贝!|A C|忸C =2 a又|A C|=5=2a=2 =a=lc-：.e-2a本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.【解析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：（2二-二）;+4二；=八二-：二1故二二+二 W0,当2二一二=2二，即二=苧，二=时等号成立.故答案为：、工【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.【解析】T T 1 9 71根据三角函数定义表示出演）=c o s a,由同角三角函数关系式结合c o s（a +勺）=一一求得s i n（a +j）,而4 1 3 4（71x0=c o s a =c o s +，展开后即可由余弦差角公式求得修的值.【详解】点？（玉）,y 0）在单位圆。上，设Nx OP=a，由三角函数定义可知c o s a =M）,s i n a =%,3乃、r,71（71 因为a （7，J 50ot+e ,n ,所以由同角三角函数关系式可得5皿(a+7)=小 干7 =，一 =得,“7所以/=cos。=7 14(乃、7 T.(乃、.乃=cos a +cos+sin a+sin I 4；4 I 4J 412 V2 5/2-70=-x-1-x-=-13 2 13 2 26故答案为：zZ也.26【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.16.4G【解析】设G是CD中点，由于瓦 ”分别是棱PB,BC,PD的中点，所以E F/IPC,E F =-PC,H G/P C,H G =-P C,2 2所以E F/HG,E F=G,所以四边形EFG H是平行四边形.由于P A _L平面AB CD，所以A4，3 0,而3。_L AC,P A C A C =A,所以3 0,平面PA C,所以由于E G/B D,所以B G L P C,也即EG_LEE,所以四边形4F G 是矩形.而 E F =、P C =2区 FG =、B D=2日2 2从而 SEFGH=2G x 2V2=46.故答案为：4/6.BH【点睛】本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)可能是2 件；详见解析O 1【解析】(1)由一件手工艺品质量为3 级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；(2)先求得一件手工艺品质量为。级的概率为7石，设 10件手工艺品中不能外销的手工艺品可7能是J 件，可知J 8(10,()，分别令隼卢芸1、噌可 求 出 使 得=最大的整数人 进而可求出io件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；分别求出一件手工艺品质量为4、5、C、。级的概率，进而可列出X 的分布列，求出期望即可.【详解】(1)一件手工艺品质量为8 级的概率为C；xgx(lI1 1 7(2)由题意可得一件手工艺品质量为O 级的概率为C；x(-)2 x(l-)+Cx(-)5=,设 10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是J 件，则 8(10,),7 on则 P C =Q =Cfo(，)&f)g,其中2=0,1,2,L ,10,A+i/7、女+|,20、9-女P C ;k+1）_苏苏 _ 70-7%尸（J =幻 一 J（Z）“竺）。一 人 一 20%+20由储T和 吾,整 数 攵 不 存 在,由 一 勺 1 得 人 当 所 以 当 Z W I时，PC =Z+1)P(J =6,即 P C=2)P C=I)P C=O)，由 募 号 1得 心 景 所 以 当 人 2 时，P C=k+l)P(J=k),所以当Z=2 时，P(&=k)最 大,即 10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2 件.由题意可知，一件手工艺品质量为A 级的概率为(1-。3=2,一件手工艺品质量为B级的概率为3,一件手工艺品质量为C级的概率为C；xlx(l-l)2x C xlx(l-l)+(I)2=胃,3 3 3 3 3 o 17一件手工艺品质量为D级的概率为二，27所以X 的分布列为：o1(L on 7 a 1 no则期望为 E(X)=900 x+600X +300X +100X =：-.27 81 81 27 27X900600300100P8271681208?727【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.(1)a =0.080(2)详见解析【解析】(1)由频率分布直方图中所有频率(小矩形面积)之和为1 可计算出。值；(2)由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为，!，.，选 2 件产品，支付的费用X 的所有取值为240,2 3 6300,360,420,480,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望.【详解】解：(1)据题意，得 0.008x5+0.032x5+54+0.024x5+0.036x5+0.020 x5=1所以 a =0.080。)，则g(x)=，T(x 0)，所以g(x)在(0,1)上是增函数，在(1,内)上是减函数，故 g(x)g =T 加(2)=2-】n 20,所以当()x l时，A(x)l时，/?(%)0,函数(x)在(1,内)是增函数，因为0 x l时，(x)0,(1)=一e,/(2)=(),所以当a -e时，方程无实数根，当-e a 即 a=V2a-2二椭圆C的标准方程为+/=12（2）当直线/斜率不存在时，|QR=I0-2k2+1 21+1M一 2km m 2k2+l2k2+i JOM由加后J衣噂产=22k2+1化简，得加2/+2|OM=+1 1（2 产+.2心+12k2+24左2+1(2/+1)(2公+2)令4-+1 =电1，则OMf=4t(，+1)。+3)t当且仅当f=6时取等号4；OM“-2百=6-1：OPOM+：.OPyf3当且仅当公=1二1时取等号4综上，【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题22.(1)见解析；见解析.【解析】(1)结合基本不等式J茄 色 吆,痴 竺，疝士 可 证 明;2 2 24I4 4(2)利用基本不等式得 +(3。+1)22、=一3。+1)=4,即:;一3-3 a,同理得其他两个式子，三式相3a +l 3a+l 3a +l加可证结论.【详解】,、r-r/a+b n.,b+c I,c+a(1),*,V cib 4-,be W-,5/cci W-92 2 2A(a+b+yfc)1=。+。+c +2yab+2bc+2ycaK(a +c)+(a +S +c)+(c +)=3,当且仅当 a=b=c 等号成立,fci+yjb+c W 5/3（2）由基本不等式一+（3。+1）2一 （3。+1）=4,3+1 V3a+14 4,42 3-3ci 9 同理 2 3-3b 9 -2 3-3c,3。+1-3b+1-3c+1二4(二 一+二 一+3一)2 9 3(a+8+c)=6,当且仅当a=b=c等号成立3ci+1 3b+1 3c+1,1 1 1 、33。+1 3b+1 3c 4 1 2【点睛】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立.解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法.