2022届福建省福州市福建高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数/(x)=3cosx+4sinx在 时 取 得 最 小 值，贝ijcos(9=()3 4 4 3A.-B.-C.-D.-5 5 5 52.ABC的内角A,B,C的对边分别为。，仇c,已知。力=1,8=3 0,则4为()A.60。B.120。C.60 或 150。D.60。或 120。3.设 a=log73,b=10g，c=3。，,则 a,b,c 的大小关系是()3A.abc B.cba C.bca D.ba0力 0)的左右焦点，过点工与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一a b条 渐 近 线 于 点 若 点M在以线段G8为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A.(2,+00)B.(V3,2)C.(V2,5/3)D.(1,0)5.某人2018年的家庭总收入为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为()储蓄衣食住旅行就医储蓄衣食住旅行就医A.21250兀 B.28000 兀 C.29750兀 D.85000元6.已知抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点尸的距离比点”到，轴的距离大g,则抛物线的标准方程为()A.y2=x B.y2-2x C.y2-4x D.y2-8x7.设c分别是AABC中D5,NC所对边的边长，则直线sin A-x-ay-c=()与 法+sin8-y+sinC=()的位置关系是（）A.平行C.垂直8.等差数列 q中,B.重合D.相交但不垂直4+%=1。，%=7,则数列 q前6项和 6为（）A.18 B.24 C.36 D.729 .复数l+i=()iA.-2 z B.-i C.0 D.2 z21 0 .下列不等式正确的是()A.sin 1 3 0 sin 4 0 lo g?4 B.t a n 2 2 6 ln 0.4 t a n 4 8 0C.c o s(-2 0 )sin 6 5 sin 8 0 lo g5 21 1 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为()A.3 7 2 B.2亚 C.2瓜 D.2 7 7CILLIUl L IU U .1 2 .在A A 3 C中，点。是线段3 c上任意一点，2 A =A Z），B M A A B +A C ,则兀+=（1 1A.B.-2 C.-D.22 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。)1 3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.1 4 .已知i为虚数单位，复数z =，则 忖=.1 5 .已知函数/(x)=2 s i n(s+),对于任意都 有 吗+幻=吗 一 幻，则/(令的值为.1 6 .九章算术卷 5 商功记载一个问题“今有圆堡崩，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡璇就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡璇(圆柱体)的体积为V =x (底面圆的周长的平方x 高)，则由此可推得圆周率乃的取12值为.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)已知函数/(x)=l n x +q-a,g(x)=-+竺(a G 7?)x x 2 e(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)在定义域内有且仅有一个零点，且此时,f(x)N g(x)+m恒成立，求实数，的取值范围.1 8.(1 2 分)已知等比数列 4 是递增数列，且+%=，%=4.(1)求数列 q 的通项公式；(2)若 以=“(e N*),求数列 ,的前项和S.1 9 .（1 2 分）如 图（1）五边形 A B C D E 中，E D=E A,A B/C D,C D =2AB,NEDC=1 5 0 ,将 AEW沿 AO折 到 的 位 置，得到四棱锥P-48 8,如 图(2),点 M 为线段PC的中点,且 B A 7 _L 平面PCD(1)求证：平面A 4 Z J _平面A3CD；2 0.(1 2 分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 v-7*/6 COSO L(a是参数)，以原点。为极点，不轴的正半y=sina轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕s i n e -=血.(1)求直线/与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；(2)记直线/与y轴的交点为。,M 是曲线C上的动点，求点M,Q的最大距离.2 1.(1 2 分)已知动圆E与圆M:(x-l)+y 2=z 外切，并与直线x =相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点。(2,0)的直线/交曲线C于 A,B 两 点,若曲线C上存在点尸使得N A Q B =9 0,求直线/的斜率4的取值范围.2 2.(1 0 分)已知等腰梯形ABCO中(如 图 1),A B =4,B C =C D=D A =2,尸为线段CO的中点，E、M为线 段 上 的 点，A E =E M =1,现将四边形AEED沿 EF折 起(如 图 2)图1图2(D求证：AM平面B C。；（2）在 图2中，若 B D =&,求 直 线CO与 平 面8 C F E所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本 题 共1 2小 题，每 小 题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解 析】利用辅助 角公式化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的最值，求 得/“）在x=e函数取得最小值时c o s。的值.【详 解】解：/(x)=3 c o s x +4 s i n x =5 -c o s x +s i n x =5 s i n(x +a),其 中，s i n e z =-,4c o s a-5故 当e +a =2 k一色(k e Z),即8=2%/一2一a(k e Z)时，函 数 取 最 小 值/(6)=5 ,2 2 v 7所 以c o s0=c o s(2 Z)-z)=c o s(-a)=-s i n a =-,2 2 5故选：D【点 睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题.2.D【解 析】由正弦定理可求得s i n A =火，再 由 角4的范围可求得角4.2【详 解】由正弦定理可 知，一=一，所以芭,解 得s i n A =,又0 A 仇 所 以A =6 0 或s i n A s m B s i n A s i n 3 0 21 2 0 o故选：D.【点 睛】本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.3.D【解析】l a =l o g73 0,=370,C=3 1 得解.3【详解】l a =l o g73 0,=C=3 7 1,所以匕 a|O F i|,即有+-c1,4 4 a2,2 3,即 b】3 a i,a A c1-a 1 3 a i,即 c l a.则 e=-La.双曲线离心率的取值范围是（1,+0 0）.故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.A【解析】根 据2 0 1 8年的家庭总收人为80 0 0 0元，且就医费用占1 0%得到就医费用80 0 0 0 x 1 0%=80 0 0,再根据2 0 1 9年的就医费用比2 0 1 8年的就医费用增加了4 7 5 0元，得到2 0 1 9年的就医费用，然后由2 0 1 9年的就医费用占总收人1 5%,得到2 0 1 9年的家庭总收人再根据储畜费用占总收入2 5%求解.【详解】因为2 0 1 8年的家庭总收入为80 0 0 0元，且就医费用占1 0%所以就医费用80 0 0 0 x 1 0%=80 0 0因为2 0 1 9年的就医费用比2 0 1 8年的就医费用增加了 4 7 5 0元，所以2 0 1 9年的就医费用1 2 7 5 0元，而2 0 1 9年的就医费用占总收人1 5%所 以2 0 1 9年的家庭总收人为1 2 7 5 0 +1 5%=85 0 0 0而储畜费用占总收入2 5%所以储畜费用：85 0 0 0 x 2 5%=2 1 2 5 0故选：A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.6.B【解析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y 2=2 p x (p 0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大;，根据抛物线的定义可得=；,：.p=,所以抛物线的标准方程为：y 2=2 x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题.7.C【解析】试题分析：由已知直线酬1 1 4%一少一。=()的 斜 率 为 1,直线法+s i n 8-y +s i n C =0的斜率为一,又 由 正a sm B弦定理得 史 上=中,故里-右)=-1,两直线垂直考点：直线与直线的位置关系8.C【解析】由等差数列的性质可得%=5,根据等差数列的前项和公式$6 =3爱X6 =幺 爱X6可得结果.【详解】,等差数列%中，4+火=10，,2%=10,即=5,.Sc!+ab/+g x 5 +7 _.f i=-Lx 6 =-x 6 =-x6 =3 6 ,6 2 2 2故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题.9.C【解析】略10.D【解析】根据s i n 4O l l o g 3 4,l n 0.4 0s i n 6 5,利用排除法,即可求解.【详解】由 s i n 40 1 l o g3 4,I n 0.4 ()s i n 6 5,可排除A、B、C 选项，又由 t a n 410*=t a n 5 0 1 s i n 8 0 =l o g5 石 l o g5 2,所以 t a n 410 s i n 8 0 l o g5 2.故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.C【解析】根据三视图，可 得 该 几 何 体 是 一 个 三 棱 锥 A B C,并且平面SAC 1平面ABC,A C Y B C,过 S 作连接 B O ,AD=2,A C =2,B C =2,SD=2,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：s由三视图得：该几何体是一个三棱锥S A B C,且平面S A C J,平面ABC,A C V B C,过 S 作 S D _ L A C,连接 5 0,贝 IJ49=2,A C =2,B C =2,SD=2 ,所 以 勿=yjDC2+B C2=V20，SB=JSD2+BD2=2瓜，SA=S D2+A D2=2也，SC=ISD2+A C2=2 7 5，该几何体中的最长棱长为2#.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12.A【解析】设 BljnkBCj,用 无 瓦 恁 表 示 出 丽，求出几,的值即可得出答案.【详解】设 丽=面=左 前 k通UULUI UKX1由 2 A M =A DZ-2*-JK-21-2.丸 +=故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。513.一2【解析】根据流程图，运行程序即得.【详解】第一次运行S=15,k=l;第二次运行S=15,k=2；第三次运行S=?,%=3；2第四次运行S=*2 2故答案为：上.2【点 睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为a+瓦的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15.-2或2【解 析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果【详 解】.x=9是函数 f(x)=2s i n(o x+(p)的一条对称轴.【点 睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.16.3【解 析】1 I,根 据 圆 堡 璇(圆 柱 体)的 体 积 为 丫 =不、(底面圆的周长的平方x高)，可 得 丁 x(2%”-=万，进而可求出乃的值12 12【详 解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为h，由题意知,x (2乃h=兀户h，解 得n =3.故答案为：3.【点 睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思，结合方程的思想即可求出结果.三、解答 题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)时，f(x)在(0,+8)上单调递增，。0时，/(x)在(0,a)上递减，在(a,一)上 递 增.(2)(一,-1.【解 析】(1)求 出 导 函 数/(x),分类讨论，由/(x)o确定增区间，由/(x)0,/(X)单调递增；”()时，令/(x)=0得x =。，0 xa时，/(x)0,f(x)递 增，综上所述，时，.f(x)在(0,+8)上单调递增，“0时，/(犬)在(0,。)上递减，在(a,y)上递增.(2)易 知/(1)=0,由函数单调性，若/(x)有唯一零点，则“4 0或a =l.a-1当。4 0时，g(x)=-,/(x)-g(x)=l n x+a,X X从 而 只 需a =0时，/(x)-g(x)N加 恒 成 立，即2W l n x +,，x令(x)=l n x+,，/z V)=-1 =./z(x)在(0,1)上递减，在(1,y)上递增，X x x X 做=1,从 而 加 1.X 1。=1 时，g M=r9/(x)=l n x+-l,e x1 x X 1 1 X 1 1令 z(x)=f(x)-g(x)=l nx+1 1，由/(X)=7T=(x-1)(F +F)，知/(X)在(。，D 递 减，在(L ”)x e x e x e上 递 增，)m i n=r(l)=-l,综上所述，机的取值范围是.【点 睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.1 8.(1)。“=2-2 S,=：+(1)2 T【解 析】（1）先利用等比数列的性质，可 分 别 求 出,生的值，从而可求出数列 为 的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求 出 数 列 也 的前项和S.【详 解】1 7解：（1）由 ,是递增等比数列，,+a5=,a2a4=ata5=4,联 立 4+41 7T,解得2或 0可 得q=2,4数 列%的通项公式：an=2-2；(2)由2=%(e N ),二2=小2 2；.&=(；那么 S“=1*2T +2*2+3x 2i+-2-2,贝!1 2s“=1 x 2 +2x 2+3x 2?+(-1)2 +n ，将 -得:【点 睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.1 9.（1）见 解 析（2）也7【解 析】试题分析：（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证得成立；（2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示，求 出 平 面P D B的法向量，根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析：（1）证 明：取 的 中 点N,连接A N,M N,则M N CZ）,N =LCD,2又A B/C D,A B =C D,所以M N/A B,M N =A B,则 四 边 形 为 平 行 四 边 形，所 以A N/BM,2又8W_L平面P C D,二 4V_L平面 PCD,；.A N PD,AN CD.由D=E4即PD=Q4及N为RD的中点，可得A/%。为等边三角形,二 NPZM=60,又 NEDC=150,，NCZM=9 0,二 8 J_ AD,二 C D 1 平面 PAD,C D u 平面 A B C D,:.平面P A D，平面A B C D.(2)解：AB/CD,NPCD为直线PC与AB所成的角，P D 1由（1）可得NP）C=90，tan/PCO=,：.C D =2PD,C D 2设 PD=1,则 CD=2,PA=AD=AB=1,取AD的中点。，连接P。，过。作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,I 4 4)一.(1所以。月=(1,1,0)，P月=Q、1，-*丽=-0书，取x =3,则万=(3,-3,一6)为平面P 8 O的一个法向量，.c os 5,丽=上方=-半 同 则国 朋 7，2则直线B M与平面P D B所成角的正弦值为名豆.7点睛：判定直线和平面垂直的方法:定义法.利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.平面与平面垂直的判定方法:定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.T T20.(1)+/=1,y=x+2,直线/的倾斜角为一6 4G 3而W -5【解析】x=pcosO(1)由公式s iV a +c os 2a =1消去参数得普通方程，由公式.八可得直角坐标方程后可得倾斜角；y=p s in g(2)求出直线/与)轴交点Q,用参数表示M点坐标，求 出|因，利用三角函数的性质可得最大值.【详解】由 卜=辰 皿，消去a得C的普通方程是：+/=y=s ina,6由 p s in(。一()=夜，得Q s inO一 夕c os 6=2,X=PCOS0将”.八代入上式，化简得y=x+2y=psmff直线/的倾斜角为m4(2)在曲线C上 任 取 一 点c os a,s in a),直线/与)轴的交点。的坐标为(0,2)贝！J I A/。=J(V c os a-O)+(2-s ina =V-5 s in2 c if-4s in6Z +1 0当且仅当s ina =-1时，|M Q|取最大值生詈.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.求两点间距离的最值时,用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题.【解析】(1)根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；(2)设出直线/的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则(),结合由N A P B=90。得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆E与圆M：(x-1)2+V=L外切，并与直线尢=一:相切，4 2所以点E到点M的距离比点E到直线工=一的距离大2 291 I因为圆：(-1)-+：/=1的半径为5，所以点E到点M的距离等于点E到直线x =-l的距离，所以圆心E的轨迹为抛物线，且焦点坐标为。,0).所以曲线C的方程y2=4x.(2)设A(%,y),B(x2,y2)y2=4x ,由 “.得由2 4y+8)=,y=kx+2)k 丰0 O&由-J -k 0 2 2X+M=74，y%=82kk J o f _)。一弘 _ 4 4P A X 0-X 1%?城 为+x ,同 理%=-V n I V c由/APB=9 0,得44=-1即%?+%(/+%)+%=T 6,所以 为2+7%+24=0，k由 八 二-960,A:+OE2=BE?，所以 BO_LOE；V4 2 2又DOcBO=O,且。O u 平面BOO,B O u平面3O),所以EO_L平面BOD；因此，平面8CFE_L平面80。；所以点。在底面8CFE上的投影必落在直线0B 上；记H为点。在底面3CFE上的投影，连接。“，HC,则。，平面BCEE；所以NDCH即是直线CO与平面BCFE所成角，因为BD=R,所以。=二+如 一 ,2OBOD 3因此。=0 sin/)08=直，OH=DO-cosADOB=,2 3 3 2 3 6故 BH=BO OH 一 直=;2 6 3因为 ZOFC=NEFC=ZFCB=120,所以 NHBC=ZOBC=360-120-120-90=30,因此 C“二 yjBH2+BC2-2BH-BC-cos ZHBC=-，故 CD=DH2+HC2=6，所以sinNZ)C=也 =3.c。3即直线CD与平面BCFE所成角的正弦值为立.3EBM【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.