2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第7讲 代数方程的复习(含详解).pdf

第7讲代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整.本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.代数方程二元次方.程 组.列方程解应用题二元二次方程组一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（）A.V+3 x =0 B.X4+2X2-3 =0 C.x4=1 D.x，+l）+8 =0例2.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（）x-l,X+2 1八 C x-l,X+2 1-1-=0 D.-1-3 2 x m n nm例3.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）如果 a 0,y 0,且3%-2 y =yxy,贝吐的值可能是（）A.B.1 C.1 D.以上都无可能4 4例 4.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）下列判断错误的是（)A.方程=x -1 没有负数根B.方程正不2 =x VT不I的解的个数为2C.方程由=3 -x 没有正数根D.方程口 向 笑 詈=0 的解为/=2/2 =3X=1例 5.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）如果 ）y=4x+y=a是方程组 的一组解，那么这xy=b个方程组的另一组解是（）A.x=4y=iB.x=-1y=-4C.=，r，原方程可变形为（）x2+l X x2+lA.y2+2 y-3 =0 B.y2-3 y +2 =0 C.3 y2-y +2 =0 D.y2-2 y +3 =0例 9.如果关于x的方程(k l)x=l 无解，那么相满足()A.m B.m C.D.任意实数.例 1 0.下列方程中，没有实数解的是()A.f =-4-B.1J_x_-_2+x=O C.x4 x2 2 =0 D.x2+y2=1x+2 x+2例 方程组的解的个数是，)A.1B.2C.3D.4例 12.方 程 =的 根 是（).A.%=2,x2=3 B.X j=2,Xj=3C.x=3例 13.等式J16 1 ()A.x4C.x-4D.-4 x 4例 14.若 解 分 式 方 程 二 一 竽 1=四 产生增根，则勿的值x-1 X+X X)A.一 1 或 一 2 B.-1 或 2 C,1 或 2 D.1 或 一 2例 15.分式方程f+-V-2 x-2 =4 中，若设y=x+L,则原方程可化为（）x X XA./-2 y-1 0 =0C.y1-2 y-6 =0B.y2-2 y-8 =0D.y2-2 y-4 =0例 16.甲队为小区安装6 0 台热水器，乙队为A 小区安装热水器6 6 台，两队安装的天数相同，乙队比甲队每天多安装2 台，设乙队每天安装x 台，则下列方程中正确的是（）sA.66 =-6-0-D 66 60 66 60 n 66 60D.-=C.=-1）.-=x x-2 x-2 x x x+2 x+2 x例 17.某项工程若乙单独做要比甲慢3 天完成，现甲乙合作5 天，余下的再由甲独做3 天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x 天，可列方程（）A.-8-1 5=.1 BD.-5-8F-=.1 C.-8 H-5-=1 ,Dn.-8-51 =.1x+3 x x+3 x x x-3 x-3 x例 18.若（x+y-5）2 +（.-6）2=0,则x y 的 值 为（）A.6 B.-1 C.1 D.1 或-1例 19.已知a 为非负整数，关于x 的方程3-a+4=0 至少有一个整数根，则“可能取值的个数为（)A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题rnx+1例 1.（2 0 1 8 上海市行知实验中学八年级期中）如果关于x的方程-1 =0有增根,x-1则 m =.例 2.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）若方程+2=当 有实数根，则 k的取值范围为例 3.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）已知方程a x+b y=8 的两个解为 和y=Ox=产 4则a+b=.i n k例 4.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）已知x=3 是方程+=1 一个根，求 k的值x+2 x例 5.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）若关于x的 分 式 方 程 二=一 无 解，则x-3 x-3例 6.方 程 立 3-华 心=3 的解是x+2 x2+3例 7.（1）方 程 万=x-7 的根是；（2）方程-fx+2-/x-l =1 +工无解,卬的值为.例 11.方 程 工+上产生增根，则公X X 4-1 X例 12.当#_ _ _ _ _ 时，关于x 的方程-2 _ =无解.x+3 x a例 13.若（x+与=9,则（x 产的值为.X X例 14.已知关于x 的分式方程史2 =1的解是非正数，则a 的取值范围是.x+1例 15.一本书有a 页，若每天看b页,则需 要 一 天 看 完；若每天多看3 页，则需要天看完；若要比原来提前3 天看完，则每天需要比原来多看_ _ _ _ _页.例 16.两个连续的正偶数的和的平方是1 9 6,这 两 个 数 是.例 17.方程4 2+3-32+5丫-3=0 的解中，x、y 互为相反数的解是例 18.若方程组卜一 2尸=6 有两组相等的实数解，则卜的值为_ _ _ _ _ _.+y=3例 19.若 卜=是 方 程 组 的 一个解，则这个方程组的另一个解是y=b xy=n例 20.方程组卜,+3肛=2 8,由+得q +2y）2 =3 6,则 原 方 程 组 可 化 为 厂+x y +4/=8 xy+4y-=8与 两个方程组.例 21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了 450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是/千米每小时，根据题意可列方程.例 22.若 5 7-3+3（。+36）2 =0,则。=,匕=.例 23.当机 3 a -81 1-3 a 三-a +22解关于 x 的方程：X2-3X+3/X2-3X=106.解下列关于x的方程:(1)X4-7X2+10=0；(2)x2+x-2 +k(x2+2x)=0 .7.解下列关于x的方程:(1)3ax-b=4；(2)Z?2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.8.解下列方程:(1)V2X-14-V 3-2X=2；(2)(2 x+l -JX+2=2 6 9.解下列方程组:(1)x2+2xy-3 y 2 =2x+3y=2(2)广V=3 x2-2xy+/=1(3)x2-7xy+2y2=0 x2-4 xy+4/=41 0.若x=2是方程/如+9 1 一 /7 +2）=0的根,求加的值.为何值时，方程组厂一4%-2 +1=0y=kx+2（1）有两组相等的实数解？（2）有两组不相等的实数解？（3）没有实数解?12.A,6两地相距18公里，甲工程队要在4、3两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在46两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道.13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少2 0个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少？14.分式方程+工=上9-有解，求力的取值范围.x x-x(x-1)15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2；3若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍 少16天.如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的9后，工程队又承包了东段的改造工6程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由.17.已 知 由 二 Z-4 4 7=1有一个增根是4,求a 的值.18.已知4(-1,4)、B(2,3),点？在 x 轴上，且/明是直角三角形，求点P的坐标.19.如图，在矩形165 中，AF6cm,加=1 2.，点P从4开始沿48边向点8以1 cm/s的速度移动，点 0从点8 开 始 沿 边 向 点。以 2a/s的速度移动，如 果 只 0 同时从4B出发，经过的时间是t 秒，(1)S表示 版 的面积，写出S和 的函数关系式;(2)t为何值时，S等于8平方厘米？(3)为何值时，五 边 形a力的面积最小?最小值是多少?第7讲代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整.本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.有理方程代数方程二元次方.程 组.二元二次方程组J无 理 方 程 列方程解应用题一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（）A.V+3 x=0 B.X4+2X2-3 =0 C.f=1 D.x，+l）+8 =0【难度】【答案】C【解析】如果一元 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是零.【总结】考查二项方程的概念.例2.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（X-1.x+2 1c n X-1 x+2 1 nC.-1-=0 D.-1-=03 2 x m n nm【答案】c【分析】A、B 选项分母上都没有未知数，所以不是分式方程；D 选项是分式方程，但不是关于x 的分式方程，只有.C 正确.【详解】根据分式方程的定义得：等-1 =0 是分式方程，故选C.【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键.例 3.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）如果x a 0,y A 0,且3 x-2 y=J 亚 则（的值可能是（）A.B.1 C.；D.以上都无可能4 4【答案】B【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可得到y 与 x 的关系，从而解决问题.【详解】将方程3 x-2 y =后两边同时平方，并整理得，9x2 13xy+4 y2=0 （其中 3 x-2 y 0）即（9x-4 y）（x-y）=0,解得，y-x,或丫=乂，4当y=时，3 x-2 y=-|x,V x 0,:.3 x-2 y 0,符合要求.，?=1,故选B.【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y0.例4.(2019 上海八年级单元测试)下列判断错误的是()A.方程+5=1没有负数根 B.方程Vx+2=x x +2的解的个数为2C.方程V F i耳=3 x没有正数根 D.方程=0的解为X1=2,打=3【答案】D【分析】解各个方程即可得到结论.【详解】A.V%+5=x-1 A x+5=(x I)2解得，X1=4,X2=-1经检验，x=-l,是增根，.原方程的解为：x=4.故选项A判断正确.B.方 程 田”=4/短两边同时平方得，x+2=x2(x+2),x+2-x2(x+2)=0/.(x+2)(1 x2)=0解得，%i=-2.x2=1.x3=1经检验，x=T是增根.Xi=-2,x2=1是原方程的解，故B判断正确；C.方程STT百=3%两边同时平方得，x+9=(3 x)2解得，x=0,或x=7,经检验，x=7是增根，.原方程的解为：x=0,故选项C判断正确：rx-2 =0D.根据题意得，x+3=0,解得，x=-3.故选项D判断错误，x2-4 0故选D.【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的方法是解题的关键.x =1例 5.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）如 果 y=4是方程组 x+y,-a的一组解，那么这xy=b个方 程 组 的 另 一 组 解 是（）*x =二 4x=-1x =-4x=4A.,B.C.D.=1y=-4J =T【答 案】A【分 析】将 x =1x+y =xy=ba求 得,C lb二=54,再解方程组|x+y=5.,即可得解xy=43 二4代 入 方 程 芈x =1x+y =a1 +4 =a =5【详 解】将 y=4代 入方程组，xy=b中得:B.m =C./n#1 D.任意实数.【难度】【答案】B【解析】当加一1=0时，(m l)x =0 31,帆=1【总结】考查方程无解的条件.例1 0.下列方程中，没有实数解的是（）r2 4 _A.=-B./x 2+x =O C.x4 x2 2 =0 D.x2+y2=1x+2 x+2【难度】【答案】B【解析】中无 一2 2 0即x之2 ,lx-2 0,x 2,./x-2 +x 2 ,，无解【总结】考查无理方程的解的情况.例1 1.方 程 组 广 二 的 解 的 个 数 是（）x2-y2+2 =0A.1 B.2 C.3 D.4【难度】【答案】B【解析】由式知/=丁-2代入式得+-3 =0,=1 +1 2 =1 3 0，有两个解.【总结】考查方程的解法.例1 2.方程J 3 x-5=x-l的 根 是（）.A.x,=2 x2=3 B.X =-2 ,毛=-3 C.x=3 D.x =-3【难度】【答案】A【解析】两边同时平方得：3 x-5 =d 2 x +l,即f-5 x +6 =0,即：（x-2）（x-3）=0,解得：%=2,=3,经检验，与=2,超=3均是原方程的解.【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根.例1 3.等式J 1 6 3 ()A.x 4C.xNYD.-4 x=:8解得：6 2=8,，a+b=-4,故答案为：-4.Z=4【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型.in k例 4.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）已知x=3 是方程+=1 一个根，求 k 的值x+2 x【答案】-3【分析】根据方程的解的定义，把 x=3 代入原方程，得关于k 的一元一次方程，再求解可得 k 的值.in k 10 k【详解】把 x=3 代入方程2 +勺=1,得 义+8=1,x+2 x 5 3解得k=-3.故答案为：-3.【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义，属于基础题型.例 5.（2 0 1 9 上海八年级单元测试）若关于x的 分 式 方 程 匚=一 匕 无 解，则x-3 尤一3【答案】2【分析】因为关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即 x=3,据此即可求解.【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=l+m,方程无解，说明有增根x=3,所 以 l+m=3,解得m=2,故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键.例 6.方程-学 3=3的解是_ _ _ _ _.x+2 x2+3【难度】【答案】玉=5,%=-1.+34【解析】令 尸 上 二，则原方程变形为y 2 =3,即4=0,解得：=-1,=4,x+2 yy-2 I a丫2.Q当 上 士 =一 1 时，X2+X+5=0,无 解；当 =4 时，(x-5)(x+l)=0,解得:x+2x+2%=5,毛=-1 ,经检验芭=5,%=T 是原方程的解.【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验.例 7.(1 )方程y/x-l=X-7 的根是;(2)方程Jx+2 程 2 x-l-6 =o 的根是.【难度】【答案】(1)x=10；(2)x=l.【解析】(1)首先考虑x-1 2 0,即x N l,两边同时平方得：X-1=X2-14X+49,即(x-5)(x-10)=0,解得：=5,x2=1 0,经检验内=5 是原方程的增根，所以原方程的根为：x=10；(2)由x+2 2 0 且 2 x-l 0,x -;对原方程两边同时平方得：2X2+3X-5=02即(x-l)(2x+5)=0,.芭=1,&=-|,经检验与 =-|是原方程的增根，所以原方程的解为：x=i.【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验.例 8.方程2 x4+/n，3 =o有个实数根.【难度】【答案】2个.【解析】首先用换元法，令f =降次得2/+血-3 =0,根据一元二次方程根的判别式,可知：A 0,则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系(韦达定理)可知方程两根之积为负，则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值.【总结】考查高次方程的解的个数.例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛2 1场，则参加比赛的选手有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 名.【难度】【答案】7【解析】假设参赛选手有人，那么每个人都要和除了自己以外的(-1)个人去打比赛，则个人就要打(-1)场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2,即可得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：=解得：炉7,即参赛选手有7名.【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展.例1 0.(1)当卬 时，方程G石=2-加有实数解；(2)方程Cx-1 =1 +加 无 解,勿 的 值 为.【难度】【答案】(1)m 2；(2),n-.【解析】(1)由2 得桃M 2：(2)由l+/n0,得/w e 1.【总结】考查二次根式的非负性的运用.例1 1.方程上+二_=其 产 生 增 根，则公-x X +1 /1【难度】【答案】A=-3或=1.3【解析】两边同时乘以f-l，可得：-2 x-8 =63即x =T-3 k；当x =l或-1时，方程有增根，所以当-4-3 4 =1时，k=；当一4一3 R =1 时，k=-,综上所述1=-2或 =-1.3【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算.例1 2.当a=时，关 于*的方程_ 2 _ =，二无解.x +3 x-a【难度】【答案】a=-3或0.【解析】当 归-3时，方程可化 为 二3-=二3 ，无解；当a=0时，方程可化为33=0,无x+3 x+3 x+3解.【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论.例1 3.若(x +3 =9,则 x-)2的值为.X X【难度】【答案】5【总结】考查完全平方公式的应用.例 1 4.已知关于x的分式方程史2=1 的解是非正数，则”的取值范围是.x+1【难度】【答案】且 力-2.【解析】由题意，先去分母，得：a +2 =x+l,解得：x=a+1.首先，因为方程解是非正数，那么：x =a +l 0,解得：a -4xl2x(2公+1)=48公-48=0,解得：无=1.【总结】考查方程组有两组相等的实数解的问题，最终转化为一元二次方程的解进行求值.例19.若 卜=：是 方 程 组 的 一 个 解，则这个方程组的另一个解是_ _ _ _ _ _.y=b xy=n【难度】【答 案】彳 .【解 析】将 方程组的解 尤=:代 入 原方程组，可 得|+,=帆，y=b ab=n可以发现，只要满足这样的关系，就可以是方程组的解，那 么 我 们 考 虑 把X、y互换位置x=b即方程组的另一个解可以是(7 =0【总 结】考查方程的解的问题，以后碰到类似的情况仍然可以使用这个办法，因 为 、y是不分先后的.例2 0.方 程 组 忆3：；由+得(a国 则 原 方 程 组 可 化 为 ；：*与 两个方程组.【难 度】【答 案】尤 +2 y =-6x y +4 y2=8【解 析】由 题 意,我 们 将(x +2 y)2=36开 方,得x +2 y =6,故答案为x+2y=-6xy+4 y2=8【总 结】考查二元二次方程组的因式分解问题.例2 1.若飞机在无风 时 每 小 时 飞 行16 5千 米，飞机依直线飞行了 4 5 0千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设 风 速 是x千米每小时，根据题意可列方程【难 度】【答 案】4 5 04 5 0+0.5 .16 5-x 16 5 +x【解 析】设 风 速 是 X,根据来回所用的时间差，可列方程：/_ =*_ +0.516 5 x 16 5 +x【总 结】考查分式方程，先找准等量关系是关键，再依据题意列方程即可.例 2 2.若 5 +3,+3。）2 =0 ,贝 汁。=,%=.【难 度】【答 案】。=9,h=3.【解 析】由题意知：“+-3=。、+3，=0,J。+-3 =0、。+3b =0,b+:b=T ,a =9 .【总 结】考查绝对值与平方的非负性的运用.例 2 3.当 加 0，则 x有两个不相等的实数解，所以方程组也有两个实数解.【总 结】考查含参数的方程组的应用.三、解答题1.（2 0 19 上海八年级单元测 试）k为何值时，方 程 组 x2+.,2=16只有唯一解?x-y =k【答 案】k=4&.【分 析】将方程组转化为一元二次方程，根据=（）求解即可.【详 解】P+y 2=6x-y -k(2)由(2)得,y=x-k (3)将（3）代 入（1）得，2/2日+公 一16 =0,要使原方程组有唯一解，只需要上式的=（）,即（一2&）2-4*2*（/-1 6）=0,解 得，k=4、历.l lx2+y2=16所 以 当k=4五 时，方 程 组 只有唯一解.x-y=k【点 睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键.2.（2 0 19 上海八年级单元测 试）已知直角三角形周 长 为4 8厘米，面 积 为9 6平方厘米，求它的各边长.【答 案】12 cm、16 cm、2 0 cm.a+b+Ja2+b2=4 8【分 析】设 两 宜 角 边 为a、b,则斜边为J7左，根据已知得：1 求ab=9612解即可.【详 解】设该直角三角形的两条直角边为a、b,则斜边长 为 病I”，根据题意得，a+b+y/a2+b2=4 8,1 ,ab=9612解得a=l2,/或6=16a=6b=n经检验，。=16-都是方程的解，所以斜边长为J12?+伺=20cm.。二 1，。二 12和Vb=16答：该直角三角形的三边长分别是12 cm、16 cm、2 0 cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出g a=96,然 后 由 勾 股 定 理 导 出 是 关 键.2x A T I+X+3.(2 0 1 9 上海八年级单元测试)若解分式方程一一7n=：产生增根，则 mx +1 x(x +l)X的值是多少？【答案】m=l 或 m=-2.【分析】方程两边都乘以最简公分母x (x+1)化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值.【详解】方程两边都乘以x (x+1)得，2 x J m-l=(x+1)若分式方程产生增根，则 x (x+1)=0,解得x=0 或 x=T,把 X =0代入整式方程，得0-(根+1)=1.解得 m=-2；把 X=-1 代入整式方程，得 2 x(-1)2 一 (加+1)=(-1 +以.解得加=1./m=l 或 m=-2.【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于。的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可.4.(2 0 1 9 上海八年级单元测试)解下列方程,、1 以 2,c、1 25 24(1)-1-1-1 (2)-1-=-3-x+2 x 4 2 x x2x2 x 2x+2 x 2 x+l【答案】(1)X i=l;(2)X i =-1,X 2=3,X 3=2,x =4.【分析】(1)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；(2)运用换元法求解即可.【详解】(1)方程两边同乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4 x-2(x+2)=(x+2)(x-2),即 x?-3 x+2=0,X i=l,X2=2.检验：x=l 时,(x+2)(x-2)WO,知 x=l 是原方程的解；x=2 时,(x+2)(x-2)=0,知 x=2 是原方程的增根.故原方程的根是x=L(2)设 x?2 x=y,则原方程变形为1 25 _ 24-2 y+2 y+1(y+2)(y +1)+2 5 (y-2)(y+1)=2 4 (y2-4)整理后，得 y 一 1 l y +2 4=0.解得 y i=3,y2=8.当 y=3 时，X2-2X=3,解得 X i 1,x?=3,当 y=8 时，X2-2X=8.解得 X 3=2,x 4=4.经检验：X i =-1,X 2=3,X 3=2,x,i=4 都是原方程的解.【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.3(2 3 -85.(2 0 1 9 上海八年级单元测试)已知a是非零整数，且满足卜 1 1 3 ，解关-a +2I 2于 x 的方程：x2-3x+3lx2-3x=1Oa【答案】X E l，X 2=4【分析】首先解不等式组求得a的范围，然后根据a是非零整数，即可求得a的值，然后利用平方的方法即可求得.3(2。-1)3。-8【详解】解：1 1 1 一3 a a +2 ，解得：a ，解得：a/2,x2=V2 )x3=y/5 ,xA=x/5 ；(2)Xj=-2 ,x2=-.【解析】原方程可分解为：(幺-2)(1 一5)=0,.,.分=延=5,解得原方程的解为：x,=7 2 ,x2=-V2 ,x3=A/5,x4=/5 ；(2)原方程可化为(x +2)(x-l)+依(x+2)=0,即(x +2)(k+l)x-l =0,解得原方程的解为：x1=-2,Z+l【总结】考查简单的整式方程的求解，注意含字母参数时要讨论.7 .解下列关于x的方程：(1)3 o r+b=4；(2)b2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.【难度】【解析】(1)移项得：36=4一 6：分类讨论：当。=0,6=4 时，方程左边=0,右边=0,有无数个解：当a =O,6/4 时，方程左边=0,右边,0,无解：当a w O 时，方程有唯一解：x=；3a(2)观察方程每一项都含有从，故而考虑消去从，而题中没有说明匕不等于零，那么要分类讨论：当6 =0时，方程左边=右边=0,有无数个解：当 bwO时，方 程 左 边 右 边 可 同 时 约 掉 从，方 程 化 为：Y+b2d=1 +从，即(1 +b2)x2=i +b2,得 x?=1,所以%=1,X j =7.【总结】考查含参数的整式方程的解法，注意要分类讨论.8.解下列方程：(1)J 2 x 1 +j 3-2 x =2 :(2)y/2x+l-y/x+2=2y/3.【难度】【答案】(1)x =l；(2)7 3.【解析】(1)两边平方得：2+2 j(2 x-1)(3-2 x)=4 ,J(2 x-1)(3 2x)=1 ,两边再平方得：-4X2+8X-4 =0,解得：x=l，经检验x=l是原方程的解;(2)在R =4 7 1 +2 6，两边平方，整理得x-13=4,3(x+2),两边再平方，整理得：X2-7 4X+73=0-解得：药=1，刍=73,经检验，产1是原方程的增根，所以是原方程的解为x=73.【总结】考查无理方程的解法，通常整理后两边平方即可，注意解完后要检验.9.解下列方程组：(x2+2xy-3y2=2x+3y=2x1-y2=3x2-2xy+y2=x2-7xy+n y2=0(J)x2-4xy+4y2=4【难度】5x=【答案】(1)4玉=2 Jx,=-2 Jx,=6 JX2=-6 X3=4 X4=-4y=ll%=T；b=2，U=-2，U=l，U=-l【解析】(1)由 f+2 盯一 3y2=2 可得(x+3y)(x-y)=2,代入得，2(x-y)=2,即K y=l,再与原方程组式子联立，即可解得原方程组的解为：，5x=41y=一,4(2)原方程组化为(,x+y)2(x-y)=3，两式相除，得阳：-x-+-)Q,Q 2 o=3,x+y=3x-3y,x=2y(x-y)2=x-y再把x=2y代入任一式，即得y=l.所以原方程组的解为:x=2(x7=-2 原 方 程 组 化 为 仁弟丁。,所以fi,当x =3y时，解得y =2；当x =4y时，解得y =l；%】=6X =2故原方程组的解为x2=-6 xy=4 Jx4=-4%=-2,，=”=_【总结】考查二元二次方程组的解法，通常采用因式分解的方法，然后代入解出方程的解.1 0.若x=2是方程J z x +9 一 /m+2x=0的 根,求 勿的值.【难度】【答案】2 =0或m=-4.【解析】由题意，把产2代入原方程，得J2？+9=1 +J-+4,两边平方得：2/7 7 +9 =1+/H +4+2j m +4,整理得：m +4 =2ltn+4 再两边平方得：(/n +4)2=4(m +4),整理得：m(m+4)=0,解得：m=0或机=-4.【总结】考查对无理方程的解得理解及简单应用.A为何值时，方程组卜jx-2 y+1=0y=kx+2(1)有两组相等的实数解？(2)有两组不相等的实数解？(3)没有实数解？【难度】【答案】(1)k=l；(2)%.解析】把式代入式得：(自+2)2-4x -2(依+2)+1 =0,整理得：k2x2+2/-2)x+1 =0,(1)当 公 羊0且A =4(Z:-2)2-4公=0时，x有两个相等的值，解得：k=L(2)当二HO且 A =4(k-2)2-4k2 。时，x 有两个不相等的值，解得：且左片0；(3)当 公*0 且 =%k-2 y-4 公 0时，方程无实数解，解得：kl.【总结】考查含字母系数的方程组的解法，注意分类讨论.12.A,8 两地相距1 8 公里，甲工程队要在/、8 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在4、8两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1 公里，甲工程队提前3 周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道.【难度】【答案】甲工程队每周铺设管道2 公里，则乙工程队每周铺设管道3 公里.【解析】设甲工程每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道(x +1)公里.根据题意得：-更-=3,方程两边同时乘以x(x +l),得：1 8(x +l)-1 8 x =3x(x +l),X x+1化简得：(x +3)(x-2)=0,解得：X,=2,9=一 3,经检验=2,=-3 均是原方程的解，但 刍=-3 不符合题意，故舍去，故甲工程队每周铺设管道2 公里，则乙工程队每周铺设管道3 公里.【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验.1 3.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就会减少2 0 个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8 000元利润，售价应为多少?这时该进货多少？【难度】【答案】8 0元或50元，进货为200个或8 00个.【解析】设涨价/元，根据题意可列方程：(20+司(600-20)=8 000,解得：%=2 0,%=T O,.售价为8 0元或50元，此时进货为2 0 0 个或80 0 个.【总结】考查方程在利润问题中的应用.1 4.分式方程+工=卫 旦 有解，求力的取值范围.x x-x(x-1)【难度】【答案】2 工-6 且 2 工3.【解析】方程两边同乘以：x(x 1),得：3(x l)+6x =3 +n z,即：9 x 7 2 1 6=0,因为方程的增根是x =O 或 =1,那么：当 =0时，m=-6；当x =l 时，m =3；所以当机=-6 或帆=3时，方程有增根，故要使原方程有解，则 2 W-6 且 2 W 3.【总结】考查对分式方程有解的理解，最终转化为求增根的问题.1 5.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2 ；3若由甲队先做1 0 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作3 0 天可以完成.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万 元.工程预算的施工费用为50 万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.【难度】【答案】(1)60、9 0；(2)够用.【解析】(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲对单独完成这项工程需要2%天，3则：1 2.+3 0(-?-+1)=1,解得：x =9 0；经检验：x =9 O 是原方程的解且符合题意.L 2 x故甲、乙两队单独完成这项工程各需60 天、9 0 天.设甲乙两队合作，完成这项工程需y天，贝 米 哈+-1)=1，解得：1 6需要施工费用(0.84+0.56)x 3 6=50.4 50,所以预算的施工费用不够用，需加预算0.4万元.【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验.1 6.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4 天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍 少 1 6天.如果甲、乙两组合做2 4天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的*后，工程队又承包了东段的改造工6程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由.【难度】【答案】(1)能；(2)甲组.【解析】设规定时间为x 天，则3-+二 一=1，解得：x,=2 8,X2=2,2x+4 2x-16经检验芯=2 8,x2=2 都是原方程的解.但产2不符合题意，舍去.由 2 4 2 8,所以甲单独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙单独做剩下工程所需时间：改 天.因为2 0+竺=2 6劣 2 8,所以乙单独做3 3 3剩下工程能在规定时间内完成.所以我认为抽调甲组最好.【总结】考查分式方程的综合应用，找到题目中的等量关系从而列出方程是关键.1 7 .己知，2 x-4-J x +a=l 有一个增根是4,求。的值.【难度】【答案】5.【解析】原方程变形得：两边同时平方得：x-5-a =2Jx+a.两边再同时平方得：(x-5)-2 a(x-5)+“2 =4(x +”)，将尸4 代入得：1 +2。+。2 =1 6 +4。，解得：4=5,%=-3,当 x=5 时，符合要求，增 根 产 4；当。=-3 时，不符合要求.综上可得。=5.【总结】本题考查无理方程产生增根的条件.1 8.已知4(-1,4)、6(2,3),点尸在x 轴上，且4 5月是直角三角形，求点尸的坐标.【难度】【答案】点尸的坐标为(，0)或(1,0).【解析】由题意：因为点在x 轴上，所以设该点坐标为：(x,0)(1)若 Z 4 P 8 是直角，则根据勾股定理，AP2+B P2=A B2,根据两点间距离公式：(x +T+4 2+(x-2 +3 2 =(2 +1)2+(3-4 ,该方程无解；(2)若 N f i 4 P 是直角，则根据勾股定理，APi+A B1=B P1.根据两点间距离公式：(x +l)2 +4 2 +(2 +1 尸 +(3-4)2 =*-2)2