2022年4月河北省保定市2022届高三高考一模数学试题卷（附答案详解）.pdf

绝密启用前2022年高三第一次模拟考试数学试题注意事项班级姓名1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=y I y=z 1x1,集合B=x Ix;,3，则AnCRB=A(3)B.(O,3)C l,3 D 1,3)-2 2已知复数z言，复数z是复数z的共辄复数，则Zz=A.1 B.,fJ.C.2 D.2.fi.3已知a控和log37,c=ln27,则a,b,c的大小关系为A.a B.b C.b D.c aO,w 0,11气）所示，则下面描述不正确的是A.(J,)兀=-C.f(3)=1,2 y C.20n B.=巴6 的图象如图D.f(3)=-1 2 D 24n 7巳知双曲线，b=1 的右焦点为F,在右支上存在点P,Q,使得POQF为正方形(0为坐标原点），设该双曲线离心率为e,则a丘,.3思丁B.3污C 9尽.2 D.9+怎高三数学第1页（共4页）X 8已知f(x)=3+2axlnx的图象上存在点M,g(x)=2-4aeln(2-x)图象上存在点N,使得M,N关于点(1,1)对称，则实数a的取值范围是A.(0士B.上，十00)2e C.(-oo,Q)u杻00)D.(-oo,一亡u(O,十oo)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知向量0A=(1,1)，将向量d杜绕原点O逆时针旋转goo得到向量m扫各向量d杠绕原点O墨肚针蓝转135得到向量oc，则l l 1 l l A.OA+OB+OC=0 B.I BC l=I CA I C.OA OB=0 D忒菇22 2 10巳知椭圆M:+=l(ab 0)的左、右焦点分别为F1(迈，O)，花(-/3,o)，过点F2的直线与该椭圆相交于A,B两点，点P在该椭圆上，且IABI 1，则下列说法正确的是A存在点P,使得LF1PF2=90 B满足6.F1PF3为等腰三角形的点P有2个C若LF1PF2=60，则SF1PF2迈=-3 D.I P F1 I-I P F2 I的取值范围为-23,2司11已知数列a,的前n项和为S,，且满足a1=1,a2=2,+1=4an-3a九1,则下面说法正确的是A数列a,打一a,为等比数列C.钰3正1+1B数列an+l-3an为等差数列D.S九亡1+2 4 2 12下面描述正确的是A已知aO,bO,且a+b=l,则logza+logzb冬2B函数f（x)=/lgx/,若0C已知上十二1（劝O,y 0)，则3x+y的最小值为2+2迈x+l 2x+y D已知x2沪Xy-xy+2=O(xO,y 0)，则xy的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分13若函数f(x)=lnx言m在(1,f(l)）处的切线过点(0,2)，则实数m=_ 14.2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有种15,已知定义在XE 3亢亢，上的函数f(x)=sin(x三sin2x1:Ex=4 4 4)在6处取得最小值，则最小值为-，此时COSO.=._高三数学第2页（共4页）16在如图直四棱柱ABCD-A1凡C1队中，底面ABCD为菱形，AA1=2AB=4,LBAD=60,点M为棱AA,的中点，若N为菱形A;B,C,D;内一点（不包含边界），满足MN平面BDCj设直线MN与直线cc;所成角为a,则tana的最小值为_ 四、解答题本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知数列a,的前n项和为S.,且Sn=.3n+1_ 3 2(1)求数列a,的通项公式，(2)设bn=4 log沪nlog妞n+1.求b。的前n项和T18（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADIIBC,AD=AB=CD=l,6BCD=60,现将DAC,沿AC折起至PAC,使得PB=.(1)证明AB上PC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值B二c19（本小题满分12分）已知在6ABC中，6A=120,6A的角平分线与BC相交于点D(1)若AC=2AB=2,求CD的长，(2)若AD=l;求丛ABC面积的最小值，20（本小题满分12分）c 2021年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量y（单位百件）与月份x之间的关系月份TI 2 3 4 5 6 7 销量y6 11 21 34 66 101 196 高三数学第3页（共4页）(1)画出散点图，并根据散点图判断y:ax+b与y=cdx(c,d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y与月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？勾l盼。)令 ,、4、ISO 120 90 60 30。I 2 3 4 5 6?干.,.上立一.-J(3)考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份(x的取值依次记作1到12)，每百件该产品的利润为p=io-o.osx2+o.6x元，求2021年几月份该产品的利润Q最大参考数据100,34(2)根据(1)的判断结果及表中的数据，求y关千x的回归方程，并预测2021年8月份的销贵，62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中v1=lgy1,v=扭伈vi.参考公式凸对于一组数据(u1飞），（U2飞），,(Un因）其回归直线v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为P=言厂;:-nn订u2勹廿际21（本小题满分12分）直线l:y=kx+t交抛物线x2=4y于A,B两点，过A,B作抛物线的两条切线，相交千点C,点C在直线y=-3上(1)求证直线恒过定点T,并求出点T坐标，(2)以T为圆心的圆交抛物线于PQMN四点，求四边形PQMN面积的取值范图22（本小题满分12分）已知f(x)=x2-x,x -l,x+3,x -1,(1)存在x。满足f(x。)g(x。)，f(x。)g(x。)，求a的值，(2)当a:4时，讨论h(x)=f(x)g(x)的零点个数。2位2年高三第一次模拟考试数学参考答案昙且1:1;|:1:I;|;|:l B乙IA心1A监1盓l.D 解析：根据题意得集合A=yp1=2lIy阮:?!I所以集合A=斗-?I,RR=入.lx3，所以AnRB=斗飞心，故选 D命题窑图考查指数的值域，集合的补集与集合的运算2.C 解析：根据题意得z-;=I牢1了气1叶F=公故选C命题烹图考查复数的运莽，复数的模俞灵活应用3.B 解析：根据题意得2勺sa勺五订芍一.3,b=!og37ln e3=3,所以bac,故选B命题慈图考查指数与对数的比较大小，利用特殊值为中介比较数的大小4.A 解析：根据题意可得利润函数J(.x)=(x-4)e飞，欲求函数Kx)的砓大值，所以求导可得f(x)=e飞一(x-4)e-x=(5-x)e飞，所以当x=5时，函数j(x)取最大值，故选A命题意图考查实际问题中的砐值问题，以函数模型为背采，利用求导得到最值5.C 解析：根据题意设底面!:,ABC的外心为G,根据余弦定理可得BC=2寸诠AG=-2 笠2，所以该外郓叩己径R满足炉心）i（AG)2=5邻4如20兀，故选C命题恣图考查三棱锥的外接琦问题1，考查空间想象能力兀兀5 吵解析：根据题意：可得A=2,兀5 6 5T 2冗2 0了千T=6尹5，此图象响。），所以2sin（和扣）0叶叶切兀-少：，所以函数j(入）2sin（尽飞），所以，应）2sin(1x2号）I,./(3)=2sin弓X3巴I,故选D(x3+)命题京图考查三角函数的图象与性质问题7.B 解析：根据题意可得，当POQF为正方形卧点P的坐标为传9，伐入寸；8 8 可得一一lb屯心d-=4d-b2(c2-a2)d-+uc2知炉_,ai片e4-6e2+4=0吐=34d-4b2 诉，故选B.命题忠图）考歪利用图象分析和解决双曲线中的离心率问题8.C 解析：根据题恶得函数g(x)=2-4aeln(2-x)与函数y=4aelnx的图象关于点(1,I)对称，j(x)=3+2釭lnx的图象上存在点M,1f.x)=2-4aeln(2-x)图象上存在点N,使得M,N关于点(1,I)对称，则方程3+2adnx=4a啦有解，显然acl=O,所以问题转化为(x-2e)3 2e lnx=一有解，设从x)=(x-Ze)Jn.1,b仓）户lnx+l一为增函数，且h(e)=O,所以从x)在2a 3(o,e)上递减，在(e+）上递增，且x-+切时，h(x)一十,所以一一劲(e)=-e,所2a 归贮姐难醴是（一鼠。叶3 云，十00)，故选C.命题意图考查在函数关于中心对称的性质求解函数中参数的取值范围 9.BCD 解析：根据题意可得扮=(.,1),OB=(-1,I)，改（o,一5.),可得动顷嗳（0i2心）呻选项A错误：劂固石石石，选项B正确；况函=O.，选项C正确:G违=(1,1叭E)（一2、0)=-2,选项D正确，故选BCD命题窑图考查以向拉中的旋转问题为背采的向俭运绊2b2 10、心D解析：根据题意：可得c寸，IAB1的砓小值为1,所以lABl=-1士a=2,a 2 b=l,C3,所以椭圆方程为+y2=1,当点P为该椭圆的上顶点时，此时LF1PF2=12趴所在存在点P,使得乙F1PF2=90,所以选项A正确：当点P在椭圆的上、下顶点时，浦足凶1PF2为等腰三角形，又因为2寸诠;|PFz12+寸3)I厮F21=-,满足P和阳阳的点P有两个，同理满足1PF1|=|F1时的点P有两个、所以选项B不正确；若乙氐PVi=60?，则60五泌F1PF2=b2ta,r,;-=，所以选项C正确:对于选项凸IPF计一IPF平司P和一(2a-JPF11)=2 3 2IPF1J-4，分析可得1PF咋2寸2寸，旧凡1眸昨-2寸，六E，所以选项D正确，故选ACD.命题惹图考查椭圆中有关焦点的定义与焦点弦、焦点三角形的性质II.ABD 鲜析：根据题意得a,+1=4a,-3a仆一1尹n+t+kau=(k+4)a,，一3an一1=(k+4)仁土年1），令k=二玉4k+3=0或1或k=-3，所以可得：811+1-an=k+4 扣an-I)或a,1+1-3a,1=a,3a一1，所以数列彻1-a1.,为公比为3的等比数列，故选项Aan+1-an=IX3-1 3-1+1 3-1 正确；如1)a11+1-3an为常数列，故选项B 的确；玉呤a,m-3an=-1 2 4 n 十一，可得选项C错误，选顶D正确故选A应2（命题意图考查数列中三朕项的递推关系式中的通项公式的求解问题，辅助数列问题12.AC 解析：对千选顶A,.aO,bO,a+b=I,.I=a+b袤ili,占ab女，当4 且仅当3二b一时取等号，logia+log2b=logzablog2-;=-2,占A正确；对于选项B：因2 4 2 2 为ab=l，所以a+2b=a十一，又Oa3，故B不正确；对于选项已根据题意，已知3x+y=(x+l)（公y)-1,则(x+I)（汰十y叽寸产云切3兰子户4苦苦）袤2.2，所以3x心对，故C正确；对于选项D,x2+y1一x-Y-Y+2=O叫(x+y)1 2-(x+y)=3.J-2,令x+y=tO,所以t2-t多了，所以3xy诊扣畛合，此时x+y：主，无解，所以选项D不正确，故选ACxy万命题意图考查不等式中的各种问题，灵活运用不等式的知识求解问题13.6 解析：根据题惹得E(X)一 I m-2-2 才飞,f(l)=2，又f(l)=m-2,.=X2 1-0 2,:.m-6（命题惹图考笞对数函数的切线问题4.Q/平A1N l 面BDCa,故点N在线段PQ上因为AA劝CC”所以4如MN=a,故tana一一如N.沁M2 正在心A1PQ中，当A1N.LPQ时，A1N取得最小值2，故ICII1a的最小值为乎分）命题怠图考查立体几何中的线线角的最值问题3”+l-3 17.解：（l）因为Sn=,2 当n=l时，a1=3,(2分）当n之时，Su一1竺产，可得：aSnSnj=3n（影动），（4分）当n=I时a1=B满足上式，所以a产；3.n,6分）(2)由(1)得bn-4 4(l _J=4仔)，（7分）岭吵即扣1-n(n+I)-,nn+l 所以Tn=b1+b汁阮十忱4X（叶叶妇叶土）小士）击10（命题惹图考查数列中的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和18.解：（l）在等腰梯形ABCD中，过A作AE.l.BC于比过D作DF.J.J3-o于F,在6CFD中，CD=l,CF生，BC=2,BD=./j,.BD2+CD2=BC2,.,BD.lCD,(2分）同理AB上AC,(3分）又因为AP=AB=I,PB寸，.AP2+AB2=PB气AB上AP,(4分）又ACnAP=A,AC,AP仁平面ACP，所以AB上平面ACP,所以AB.lPC.(S分）(2)取AC的中点为M,BC的中点为N,以MN所在直线为x轴，以MC所在直线为y轴，以MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(o,一乎，o），叫乎对o(0,乎，O）,p(o,O，生），克（从卓占）的（I,一卓分），（7分）平面衄C的一个法向扯为m气石（1,0,0),(8分）题设平面PBC的一个法向拯为n=(x,Y-),元0,卒护Q,飞:，气卢一-n如I,诉），（10分）所以co.s（由，几皿尘=五IIm加,-1x-v=,-7,(11分）翠为二面角A-PC-B为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为平(12分）（命题意图考查平面图形中利用翻折得到的立体图形，证明垂直问题与求烙二面角的问19.解：（I）因为AC=2AB=2,乙A=l200,利用余弦定理可得：BCZ=ACZ+AB2-,U8况4-CX cos./4=7,沉C寸，（2分）在!:.ABD中BD AB sin 60-sin乙ADB在!:.ACD中CD AC=sin 60-sin乙ADC(4分）BD AB I 两式相除可得一一，CD AC 2 泣所以CD=矗（5分）(2)根据题意得!:.ABC的面积等于!:.ABD的面积与!:.ACD的面积之和，（6分）又AB=c,AC=b,所以长丈Xbc4泣XbXI+.!.XXcXI,bc=b+c,(7分）2 2 2 2 2 2.bc=b妇之忐当且仅当b=c=2时取等号，（9分）.:.求2.以be吝4,-(10分）1正1五所以S丛贮亏X勹Xbc今了X2X4=心，即!:.ABC面积的最小值为./3.(12分）障题洷图考查解三角形中正、余弦定理，角平分线问题的解决20.解：（l）散点图如下图，210 y 180 150 12(60 30。I 2 3 4 S 6 1:x(2分）根据散点图判断，y=c小适合作为销噩y与月份x的回归方程类型（3分）(2)对y=ccf两边同时取常用对数得：lgy=lgc+xlg d,设lgy=v,则v=lgc+xlg d,因为r4y.v、气54，工寸一140,t=I 所以lgd错误乒韦限！错误!=0.25,(5分）把样本中心点(4,J 54)代入v=lgc+xlg d,得：lgc=0.54,所以v=0.54+0.2沁即lgy=0.54+0沁所以y关于仑的回归方程为庐IO),所以当x=8或9时，伈）取最大值，（II分）即2021年8月份或9月份利润枭大（12分）命题意图考查实际间题中线性回归间题，作出散点图，求出回归直线，利用函数思想求最值21 解：（l）证明：设A(xi,y1),BG,;九）t”m-劾则kAc学知学(I分）直线AC的方程为：X1 y-y产于x-心)y乎凇同理直线BC的方程为：y号兀(2分）把C(m,-3)代入直线AC,BC方程得厂二YI,(3分）2 y,xm _ xm 二A(入.1,y1),B（心力）都满忠霆顽3=了y，即y=了+3,(4分）这就是直线AB的方程，故直线（恒过定点T(O,3).(5分）(2)如图，设圆T的半径为r,M(x,y1),N(x片），Q(一1,y心P（一心沁），把t2=4y代入圆T方程夕十(y-3j户整理得y-2y+9-户=0,由题意知：此关千y的一元二次方程有两个不等实报所以:)2一：户）0,2森K3.(6分）I片9户O,I也网s劝4N=1v,-yil=2（耘如）卜对汕沪动忑扣yil=2二=4刮（1+炸）炉8），（8分）令=t,则由动r3得OtI,SPQMN=4刮(1+t)(1-f)（9分）令j(t)=(I+t)(I一t2)，则f(tJ一（3t一l)(t+I),因为OtO,2,:-年）为增函数（2分由如严0得rp(x)=O有唯一解，郎xo=I,所以a=O,(3分）叶3=1n(.O+a),飞一时，l=_J_.O+a 解得：a=4.(4分）综上，a=O或4.(5分）(2灼aO,则x-aO,I邸）入.2-oc-ln(灯a)入斗.x-ln x=rp(x),p(x)2x-1-:,o,:.p(x)为增函数，而rp(I)=O,当xE(O,I)时，p（:X)O,双x)O,故aO时，零点个数为0.(6分）a=O时，沁）:Z-x-lnx,由知仅当1时，知）0,故零点个数为1.(7分）O一a),h(x)=2-I石:;,h(x)=2+0,(x+a)2 a 2 1.If(x)为增函数，1i-i)=-a-J-峦h(l)=l-o,O l+a.h(x)=O仅有一符设为,Sa.(-a,Xo)上，h(x)O,h(x)最小值为知），故知O)幼(l网又小卫）二垣一一In已o,.岆2)=2-fo（加.n)O.故（芞xo),(xo,2)上，历）各有一零2 4 2 2 2 点(8分）勺刁水4时I K一-a-,一1)上，h(l:)=x+3-ln(x+a)x+3-ln(x+4)伈），沁）1=0尹3=沁）劲（一3)=0,:.h(x)无零点；x+4 一I,+oo)上，h(x)产x-ln(x+a),lt(x)=2x一1一一，h().=;:2十一一邓x+Q(x守凇(x)为增函数，h(-1)=-3-卢产.h.(1）=1甘o,二片的气）有唯一解，设为x，则心)从1)Q.,故（一I,x),(x,2)上，试x)各有一个零点，即h有两个零点，（JO分）a=4时，由(I)知：（4,一1上，h(x有唯一零点;，守3;（一1,OO）上，由以上讨论知：h(x)有两个零点，故h（汾有3个零点（II分）综上可知：aO时，h(x)零点个数为0;a=O时，li(x)零点个数为I:Oa4时，h(x)零点个数为2;a=4时，h(x)零点个数为3.(12分）命题意图考查函数与导数的实际应用，利用分类思想求解零点问题