2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)19 数列的综合应用(含详解).pdf

专题1 9数列的综合应用【题型归纳目录】题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用题型二：数列中的新定义问题题型三：数列与函数、不等式的综合问题题型四：数列在实际问题中的应用题型五：数列不等式的证明题型六：公共项问题题型七：插项问题题型八：蛛网图问题题型九：整数的存在性问题（不定方程）题型十：数列与函数的交汇问题题型十一：数列与导数的交汇问题题型十二：数列与概率的交汇问题题型十三：数列与几何的交汇问题【典型例题】题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用例1.（2 0 2 3全国高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,8 9,即尸=（2）=1,尸 =尸（N-1）+尸（2乂 W 3,e N*）,此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 4 ,则&+&+%+&0 2 2 的 值 为（）A.2 6 9 6 B.2 6 9 7 C.2 6 9 8 D.2 7 0 0例2.（2 0 2 2新疆喀什高三期末（文）7 0周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象,展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a,其后福天产生的数据量都是前一天的4（1）倍，那么训练天产生的总数据量为（）例3.（2 02 3全国高三专题练习）大衍数列来源于 乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、2 4、3 2、4 0、5 0,则此数列的第2 1项 是（）A.2 00 B.2 10 C.2 2 0 D.2 4 2例 4.（2 02 2 全国模拟预测（理）孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在 算书九章大衍求一术中将此问题系统解决.“大衍求一术 属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题：将正整数中，被 3除余2且被5除 余 1 的数，按由小到大的顺序排成一列数，则 2 8 1是第几个数（）A.18 B.19 C.2 0 D.2 1例 5.（2 02 2 山西太原三模（理）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：=%=1，%=3+4“-2（心 3,”）.已知 备+%+：.+4；是该数歹J 的 第 100项，贝、加一（）A.98 B.99C.100 D.101【方法技巧与总结】（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键读懂题意H一 套肠去薮学支正的酉 俵福康看.!再 盘 和 一由施叠:而连尊宝薮疥最辱百薮的晟遑森；-二 关 系 式 的 模 型0 二二二二二二二二二二二二二二二港 矶 利用所学知识求解数列的相关信息，如求1-推定项工遐项公式或期2项利的公区-一（2）解答数列应用题需过好“四关”审 题 关|4存画而凌君科 认商包薜窗看：0 隔百而豕称曲每瓶薮孕语音 蒋耍标同窗；建 模 关H转化成数列问题,并分清数列是等差数列;.n.；还是等比数列 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 题型二：数列中的新定义问题求 解 关H求解该数列问题0还 原 关 I 雨而隶的结臬这原蓟实标M至审例 6.（2 0 2 2 陕西长安一中模拟预测（理）意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列%满足卬=1,%=1，a =a,T+a“-2（N3,e N）若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为S“，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则其中不正确结论的 是（）c.at+a+a5+-+a2 n =a2 n-l D.4（c-c _.）=a-2 3）例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,.在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列%满 足:%=1,a2=l,4+2=+。“，若%+牝+/+。9=%-。2，则左等于（）A.12 B.13 C.8 9 D.144例 8.（2022全国高三专题练习）高斯函数丁=1 也称为取整函数，其中 月表示不超过x的最大整数，例如 3.4 =3.已知数列 叫 满 足 q=1,%=+4,设数列 备，的前项和为E,则区。2=.例 9.（2022陕西西安二模（理）“0,1 数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0 或 1的数列.设n是一个有限“0,1数列”，/（/）表示把4 中每个0 都变为1,0,1,每 个 1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1 数列“，例如力=1,0,则/）=0,1,0,1,0,1.设 4 是一个有限“0,1 数列“，定义4 1 2,3.若有限“0,1 数列“4 =0,1,0,则数列4 侬 的 所 有 项 之 和 为.例 10.（2022甘肃张掖高三阶段练习（文）已知数列 4 满足%=1 筹2（一）.给出定义：使数列 4 的 +1前k项 和 为 正 整 数 的 N+）叫做“好数”，则在 1,2022 内的所有“好数”的和为例 11.（2022山东潍坊模拟预测）对于项数为皿左3）的有穷数列 凡,若存在项数为机+1 的等比数列也,使得“做如，其中2,m,则称数列抄“为。,的“等比分割数列”.已知数列7,14,38,60,则该数列的一个“等比分割数列”可以是.（写出满足条件的一个各项为整数的数列即可）例 12.（2022全国高三专题练习）已知 x 表示不小于x的最小整数，1x 表示不大于x的最大整数，如 1.6 =2,艮 1=3,数列%满足4=；,且对有4用=1|+。,+6，若 ,为递增数列，则整数b的 最 小 值 为.例 13.（2022江苏南通高三期末）数列“,：1,1,2,3,5,8,称为斐波那契数列，该数列是由意大 利 数 学 家 菜 昂 纳 多 斐 波 那 契 从 观 察 兔 子 繁 殖 而 引 入，故又称为“兔子数列”.数学上,该数列可表述为6=%=1，a“+2=a“+i+,（e N*）.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式。“=等.借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到=。“+|（。”+2-。“）=，从而易得a；+W+裙+境6 值的个位数为例 14.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在数列 中，n w N，若广厅=4（左为常数），则称 ,为“等差比数列“，下列是对“等差比数列”的判断：人不可能为0;等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其 中 所 有 正 确 的 序 号 是.例 15.（2 0 2 2 全国高三阶段 练 习（文）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈1-4-271.这就是数学史上著名的“冰雹猜想 （又称 角谷猜想 等）.如取正整数机=6,根据上述运算法则得出6-3-1 0-5-1 6-8-4-2-1,至少需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）.一般地，一个正整数“首次变成1需经过个步骤（简称为步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列%满足an 当a 为偶数时4=7（加为正整数），。,田=万 ，若4。=1，即9 步“雹程”对应的胴的所有可能取值的中位3 a “+1,当a“为奇数时数为.【方法技巧与总结】（1）新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.（2）新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”,逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.题型三：数列与函数、不等式的综合问题例 16.（2 0 2 2 山西吕梁二模（文）已知 ,是各项均为正数的等比数列，4=；，/=，且+2 +。3 -卜。上，则人的最小值是.例 17.（20 22山东烟台三模）已知数列出 的前项和为S“，q=g,当 2 2 时，S；=anS-a.求 S,；（2）设 数 列 的 前 项 和 为 7；,若2（4 2+9）2恒成立，求力的取值范围.例 18.（20 22全国高三专题练习）设等差数列 4 的前项和为S“，S3 5 0.若对任意的正整数，都有S“2 耳，则整数k=（）A.3 4 B.3 5 C.1 8 D.1 9例 19.（20 22四川省泸县第二中学模拟预测（文）已知等差数列 4 的前项和为S ，S4=2S2+8,=3.若对任意 N+且 2 2,总有7二十 4+不=二丸恒成立，则实数力的最小值为（）-1 3 3 T 3 T3 2 1A.1 B.-C.-D.-4 3 3例 20.（20 22河南模拟 预 测（理）已知数列 叫 中，,=1,则满足%人 的的最4 a +2 an+i n +1 1 0 0 0大 值 为（）A.3 B.5 C.7 D.9例 21.（20 22四川树德中学高三开学考试（理）已知数列 ,的首项q =1,且满足“向-勺=（e N ）,则存在正整数，使得（。“-4（。“+1+/1）0 成立的实数/1 组成的集合为（）人卜,-HK）B.朋 c切 D.（IMK）例 22.（20 22宁夏银川一中三模（文）已知数列 可 满足a,=2,a=a +（；）（2 2 且 e N，）,若。“恒成立，则 的 最 小 值 是（）9 5A.2 B.C.-D.34 2例 23.（20 22 浙江高三专题练习）数列包 的前项和为E,且q +3 生+3%,=3，若对任意 e N*,S.2（-1）久 恒成立，则实数4 的取值范围为（）A.-3,4 B.卜2四,2 0 C.-5,5 D.-27 2-2,27 2+2例 24.(20 22全国高三专题练习)已知数列 “的通项公式为4,=丁 二；，前项和为S,若实数4 满足n(n+2)(T)葭 3 +(一 1)，”5 对任意正整数恒成立，则实数2 的取值范围是()A10,9 10.9 9,10 9.10A-4 B-T24 C-44 T D-A尸()恒成立=4 尸；a F()恒成立 o a F(n)m i n.题型四：数列在实际问题中的应用例 26.(20 22上海长宁二模)甲、乙两人同时分别入职48两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为37 0()元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加30 0 元；B公司第一年月基础工资数为4 0 0 0 元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.0 5 倍.(1)分别求甲、乙两人工作满1 0 年的基础工资收入总量(精确到1 元)(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为b”元,记 c.=%-b”,讨论数列%的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.例 27.(20 22全国高三专题练习)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.20 21 年 7月，国务院办公厅发布 关于加快发展保障性租赁住房的意见后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划20 21 年新建住房4 0 万平方米，其中有25 万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以20 21 年为累计的第一年）将首次不少于4 7 5 万平方米？（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于8 5%?例 28.（20 22内蒙古海拉尔第二中学高三期中（理）某高校20 21 届毕业生春季大型招聘会上，/,8两家公司的工资标准分别是：/公司许诺第一年的月工资为30 0 0 元，以后每年月工资比上一年月工资增加30 0元；8公司许诺第一年月工资为35 0 0 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被4 B两家公司同时录取，试问：（1）若此人分别在N 公司或8公 司 连 续 工 作 年，则他在第年的月工资收入分别是多少？（2）此人打算连续在一家公司工作1 0 年，仅从工资总收入作为应聘的标准，此人应该选择哪家公司？参考数据：1.0 5 晨 1.6 29.例 29.（20 22全国高三专题练习）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款 5 0 0 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2 0 0 2 年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式（年利率5%,按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费1 8 万元.其余部分全部在年底还建行贷款.（1）若公寓收费标准定为每生每年8 0 0 元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2 0 1 0 年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）？（参考数据：I g l.7 3 4 3=0.2 3 9 1,l g l.0 5=0.0 2 1 2,1.0 58=1.4 7 7 4）例 30.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2,4,6,8,.；依次选出来的数可组成等比数列，如：2,4,8,1 6,.12 23 4 4,o 记第行第加个数为/（,加）,4 o o o5 8 1 2 1 6 1 6（I）若 23,写出,2）,3）的表达式，并归纳出了（，加）的表达式；（I I）求第1 0 行所有数的和例 31.（2 0 2 2 全国模拟预测（文）某企业年初在一个项目上投资2 千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的5 0%,为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出5 0 0 万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目.设经过（eN*）年后，该项目的资金为万元.（1）求证：数列%-1 0 0 0 为等比数列；（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（l g 3 0.5,l g 2 0.3）例 32.（2 0 2 2 辽宁实验中学模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（M E RV）和严重急性呼吸综合征（S4?5）等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为6 0%,现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得 分 1 分，持 续 进 行 试 验.设 得 分 为 时 的 概 率 为（1）进行两次试验后，总得分为随机变量X,求 X 的分布列和数学期望；（2）求证：例33.（2 0 2 2 全国高三专题 练 习（理）足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.（I ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次.下表是某同学6次的训练数据，以这1 5 0 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为求J的分布列及数学期望；点球数203030252025进球数101720161314的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第 1 次触球者，第次触球者是甲的概率记为匕，即8 =1.（力 求，鸟（直接写出结果即可）；（）证明：数列 匕 为 等 比 数 列，并判断第1 9 次还是第2 0 次触球者是甲的概率大.【方法技巧与总结】现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决.（1）数列实际应用中的常见模型等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项可与第 +1 项 a+1的递推关系还是前项和S.与前 +1 项和S+1之间的递推关系.在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系.(2)解决数列实际应用题的3个关键点根据题意，正确确定数列模型；利用数列知识准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义.题型五：数列不等式的证明例 34.(2 02 2 浙江模拟预测)己知正项数列 4 满 足%=0,。：“-a；=2(+1),e N.求证：；%1 I 1,(2)求证：+0),其中a 为实常数.(1)若函数g(x)=/(x)-二土.0定义域内恒成立，求a的取值范围；1 +X(2)证明：当a =0 时，卒,，1;X(3)求证：-+-+bi(l+-+-+.2 3 /7 +1 2 3 n例 36.(2 02 2 广州二 模)已知数列%和 满足q =，且对任意 e M 都有可+也,=1,曲=：.M 1-%(1)求数列”“和 “的通项公式；(2)证明：+&+二+.+&/(1 +)幺+”+2+A 仇 b 4 b,l+l b b2 b 3 b例 3 7.(2 02 2 秋 泰 山 区 校 级 月 考)设 函 数=+其中6(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当c N+且 比2时证明不等式：打 弓+1)(；+1)一(：+1)+*+*+土.例 38.(20 21 山东嘉祥县第一中学高三期中)已知函数/(x)=l n x-x+1,xe(0,+o o),g(x)=s i n x-ar (o eR).(1)求/(x)的最大值;(2)若对V X I 0,+8),总存在e(0，$，使得/(xj g(x2)成立，求实数。的取值范围；(3)证明不等式s i n 仕+s i n +(其中e是自然对数的底数).n J n j n J e-1例 39.(20 21 四川射洪中学高三 月 考(文)已知函数/(x)=l n x-x+l,xe(0,+o o),g(x)=ex-ax.(1 )求/(X)的最大值；(2)若对立1 (0,+8),总存在工2 1，2 使得/(再)”(占)成立，求。的取值范围；(3)证明不等式：n n n e-例 40.(20 21 全国高三专题练习)已知正项数列 可 的前项和为S,且S,=”+D.(1)计算6、%、%，猜想数列 0“的通项公式；(2)用数学归纳法证明数列”“的通项公式；(3)证明不等式3+；+；+g 3(a“+2),且 =*+，+“+(,证明北 2；(3)在(2)的条件下，若对于任意的“e N,不等式“(1 +)-2(4+2)-6 d +1)+=+7 +4 月.2 3 n J Z J n 2 n+I【方法技巧与总结】(1)构造辅助函数(数列)证明不等式(2)放缩法证明不等式在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大(或缩小)分式的分子(或分母).放缩法证不等式的理论依据是：A B,B Cn A C；A B,B C =A C.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.方 法 1：对 进 行 放 缩，然后求和.当 既 不 关 于”单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对可进行放缩，使目标变成可k=l求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.方法2：添舍放缩方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含n的式子看作是一个数列的前n项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有7 1 的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.方法4：单调放缩题型六：公共项问题例 43.（2 0 2 2 全国高二课时练习）已知两个等差数列5,8,1 1,，3 0 2 与 3,7,1 1,3 9 9,则它们所有公共项的个数为（）A.2 3 B.2 4 C.2 5 D.2 6例 4 4.（多选题）（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知将数列 4 +1 与数列6 的公共项从小到大排列得到数列 6,则（）A.a =5n B.an=5C.。“的前项和D.%的前项和为 2 5 7）4 2 4例 45.（2 0 2 2 江苏苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列“：5,8,1 1,与 ：3,7,1 1,它们的公共项组成数列 q,则数列 g 的通项公式q,=；若数列%和 的项数均为1 0 0,则%的项数是.例 46.（2 0 2 2 北京昌平高二期末）数列 4：,a2,L,%,L.也 :，b2,L,L,定义数列a&b :at,a2,b3,a4,as,bh,%,L.设%=-为奇数2,为偶数2=1，1M 2 0 2 2 成立，则 的最小值为.例 51,（2022全国高二课时练习）在-9和 3之间插入个数，使这+2 个数组成和为-21的等差数列，则=（）A.4 B.5 C.6 D.7例 52.（2022全国高二专题练习）已知数列%的通项公式为。“=2,在q 和生之间插入1个数孙，使q,X”，4 成等差数列；在。2和。3之间插入2 个数 2 1,22,使。2户2 1，工 2 2，。3成等差数列；在4 和4+1之间插入个数X,.,使%,4,%,%,3.成等差数列.这样得到一个新数列也:“”孙,出,。3，X3132户3 3，。4，记数列 的前项和为S,，有下列结论：X”+/+.+匕.=3 2”%=3072$5 5 =14337其中，所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4例 53.（2022全国高二课时练习）已知数列 叫满足在可，。“之间插入个1,构成数列也:卬，1,a2,1,1,%，1,1，1，/，则数列 4 的 前 100项的和为（）A.211 B.232 C.247 D.256例 54.（2022全国高二专题练习）在a,6中插入个数，使它们和。力组成等差数列a,%,十,则t z,+a2+-+an=（）A.n（a+b）B.）（、（+l）（+b）D（+2）（a+6）2 T例 55.（2022全国高二课时练习）等比数列%的通项公式为a“=2?i,现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 4 ,那 么 162是新数列也,的A.第 5项 B.第 12项 C.第 13项 D.第 6 项例 56.（多选题）（2022吉林松原高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第（eN*）项与第”+1项之间插入首项为2,公比为2,的等比数列的前“项，从而形成新的数列 q ,数列 对 的前项和为S“，则（）A.a2O2l=25 B.a202l=26C.邑必=3x26?+59 D.S2021=2 64-3例 57.（多选题）（2022湖南永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数 列 1,2进行构造，第 I次得到数列1,3,2；第 2 次得到数列1,4,3,5,2；第（e N）次得到数列1,X”X2，X3,，xk,2；记4,=1+匹+%+演+2,数列“的前项为S,则（）A.k+=2 B.f l+=3a-3 C.an+3n）D.Sn=-|（3,+l+2,?-3）题型八：蛛网图问题例 58.（2 0 2 2 秋虹口区校级期中）已知数列 a,J 满足：4 =0 ,%”=/（*+e N*）,前项和为S.，则下列选项错误的是（）（参考数据：Ini-0.6 9 3 ,1.0 9 9）/.是单调递增数列，%“是单调递减数列an+a+1/3C,S2 0 2 0 0,an+l=a -an+,n w N*，S,表示数列-i-1 前项和，MJ则下列选项中错误的是（）4 若 0%|,则%1B.若:%4（-1-2）2%2D.若 q =2 ,则 o o o -例 6 0.（2 0 2 2 浙江模拟）已知数列 a“满足：q=0,a,=加（浮+1）_%（*）,前项和为S,（参考数据：0.6 9 3,M 3 1.0 9 9）,则下列选项中错误的是（）/用._ 是单调递增数列，%是单调递减数列B.a +a+1 ln3C S?o 2 o 6 6 6D.。2 -1 0,且 屋=3 匕 2 川（e N*）,下列说法正确的是（）A.若则B.若=2,则l +（|y TC.4+%,2%D.|an+2-a+1|.y-|a t l-a|例 6 2.（多选题）（2 0 2 2 秋 9月份月考）已知数列%满 足：%=0,a+l-ln ea+1）-an（n e N*）,前N项和为S,（参考数据：/”2 a o.6 9 3,比3 a 1.0 9 9）,则下列选项正确的是（）4%一 是单调递增数列，的是单调递减数列B-a +a+l/3C$2 0 2 0 S,N，).(1)求数列 4 的通项公式；(2)判断数列13”-高为 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论.例 6 4.(2022福建省福州格致中学模拟预测)在=(+2)%,邑=卓。“这两个条件中任选一个Tn n 3补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2 的数列 4 的前 项和为S.,前n项积为T,且.(1)求数列 七 的通项公式；(2)在数列 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.例 6 5.(2022天津耀华中学一模)设数列 q,(eN*)是公差不为零的等差数列，满足的+6=%，%+短=6a,.数列 (e N*)的前项和为S,且满足4S,+26,=3.求数列m 和 也 的通项公式；(2)在4 和仇之间插入1 个数为，使 仄,孙，打成等差数列；在仇和4 之间插入2 个数孙，心，使打，孙,X22，4 成等差数列；在“和2+I 之 间 插 入 个 数Xn 2,Xnn,使“，X,Xn 2,Xlm,4+1成等差数列.(i)求 ,=如+1+22)+(/+X32+33)+L+(xn,+Xn 2+L +Xnll);(i i)是否存在正整数?，使(,=罗成立？若存在，求出所有的正整数对(也)；若不存在，请说明理由.例 6 6.(2022江苏南通模拟预测)已知等差数列 满足。产16,“7=22,正项等比数列 加 的前项和为S n,满足S6=5S,一4s2,且 b=。八(1)求“和 加 的通项公式；(2)是否存在使得 e Z,若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.例 67.(2022江苏模拟预测)已知正项数列 4 的前项和为S,现在有以下三个条件：数列 码 的 前n项和为T”=笼；=1,%+|=J 叱L ；4=1,。2=夜，当2 3 时，(”“+%)(S“-2S,”|+S“_J=1 .从上述三个条件中任选一个，完成以下问题:(1)求数列 4 的通项公式；(2)设数列也 满足&=1 也=an-an_ n2),试问他,中是否存在连续三项4也+|也十?，使得，gL，构成等差数列？请说明理由.例 6 8.(2 0 2 2 辽宁辽阳二模)2 7,为等差数列，且?=；为 等 比 数 列，且生=(.从两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在数列%中，卬=；，.(1)求 叫的通项公式；(2)已知 4 的前八项和为S，试问是否存在正整数p,q,r,使得5,=。-照“？若存在，求p,q,厂 的值;若不存在，说明理由.例 6 9.(2 0 2 2 全国高三专题练习(理)等差数列%(/*)中，卬叼牝分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的H，%，%组合，并求数列 4 的通项公式.(2)记(1)中您选择的 勺 的前项和为S，判断是否存在正整数4,使 得 卬 4，耳,2 成等比数列?若存在,请求出的值;若不存在，请说明理由.例 7 0.(2 0 2 2 天津耀华中学模拟预测)己知数列 助 的奇数项是首项为1 的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列 汨 前项和为S ,且满足Sj=a“03+05=2+04(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 a 前 2 人项和S 公(3)在数列“中，是否存在连续的三项?，a m.,a m+2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足 条 件 的 正整数的值；若不存在，说明理由.例 7 1.(2 0 2 2 浙江舟山市田家炳中学高三开学考试)已知数列 4 是公差大于0的等差数列，其前项和为5“，且%”3=1 5,品$2，5成等比数列.(1)求数列 氏 的通项公式；2(2)设 2 =eN*),其 前 项 和 为 则 是 否 存 在 正 整 数 见(加H)，使得七二成等差数列？若un+1存在，求出机，的值；若不存在，请说明理由.例 7 2.(2 0 2 2 河南南阳中学模拟预测(文)已知等差数列%的前项和为,公差4*0,4+%=8,且小是q与生的等比中项.(1)求 叫的通项公式；(2)设=工，是否存在一个非零常数，使得数列也,也为等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，n +t请说明理由.题型十：数列与函数的交汇问题例 7 3.(2 0 2 2 龙泉驿区校级一模)已知定义在H上的函数/(x)是奇函数且满足/g-x)=/(x),/(-2)=-3 ,数列 勺 是等差数列,若。2=3，%=1 3,则./(%)+/(%)+/(%)+/(。2015)=()A.-2 B.-3 C.2 D.3例 7 4.(2 0 2 2 日照模拟)已知数列”的通项公式%=+Q，则-。2 1 +1。2-d3 1+1。99-00 1=(n)A.150 B.162 C.18 0 D.2 10例 7 5.(2 0 2 2 新 郑 市 校 级 模 拟)已 知 等 差 数 列 也 的前项和为S，若(生-炉+2 0 10(%-1)=1，(出财-+2 0 10(a2 0 0 9-1)=-1,下列为真命题的序号为()2009=2 0 0 9 ；S2 0 10=2 0 10 ；“2009 a 2 ；*2009 2 ,A.B.C.D.例 76.(2 0 2 2 秋仁寿 县 月 考)设 等 差 数 列%的前项和为S“，已 知(%-1)3+2 0 12(%-1)=1，(。2009-I),+2 0 12(%)0 9 1)=-1，则卜列结论中正确的是()A .5,20|2=2 0 12，。2009 “4C.82012=2 0 11，。2009 “4 D.S2012=2 0 11，“2 0 0 9”4例 7 7.(2 0 2 2 琼海校级模拟)已知函数x)=si nx +ta nx .项数为2 7 的 等 差 数 列 满 足 为G,且公差d/0,若/(q)+/(%)+/(出。=0，当/(%)=0 时，则人的值为()A.14 B.13 C.12 D.11例 7 8.(2 0 2 2 秋 江 苏 期 中)已 知 定 义 域 为 R的 函 数/(x)满 足 x)=2/(;0),曲线y =x)在点(1,/(1)处的切线在y轴上的截1 +X距为2(1)求a;(2)讨论g(x)=x(/(x)2 的单调性；(3)设 q=1 ,an+i=%),证明：2-2 2 lna,-lnl|0,“0),曲线y =/(x)在点(1,/(1)处的切线在y轴上的截距为03-：.(1)求 a；2 x(2)讨论函数 g(x)=/(X)-2 x(x 0)和 (x)=/(x)(x 0)的单调性；2 x +l2(3)设4=(，%=g,求证：5-2 向 1-2 0(.2).3 2 an例 8 1.(2 0 2 2 武侯区校级模拟)已知/(X)=si nx ,g(x)=Inx，其中a w =g-(x)与y =g(x)关于直线=x对称)(1)若函数G(x)=/(l-x)+g(x)在区间(0,1)上递增，求。的取值范围；(2)证明：Y si n(1+4(3)设 F(x)=g T(x)-/nr2 _ 2(x +l)+b(,”0 恒成立，求满足条件的最小整数6 的值.例 8 2.(2 0 2 2 揭阳一模)已知函数/(x)=a x ,g(x)=Inx,其中 a e 2,(e 2.7 18).(1)若函数尸(x)=/(x)-g(x)有极值1,求a的值;(2)若函数G(x)=/(si n(x-l)-g(x)在区间(0,1)上为减函数,求a的取值范围；1(3)证明：Y si n0,函数X 人 取?+b（x e R）.若/。一）,/（5）,/（$+。成等比数列，则平面上点（s,f）的轨迹是（）A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线例 94.（2022江西信丰高三月考（理）已知ABCD-AIBIG DI为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是A A i-A Q i-，黑蚂蚁爬行的路线是 A B-B B i-，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2 与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设白，黑蚂蚁都走完201 1 段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是A.1 B.2 C.退 D.0例 95.（多选题）（2022吉林长春市第二实验中学高二期中）已知双曲线耳,：/-/=余（且*201 9）,设直线x =2 与双曲线E在第一象限内的交点为4,点4在E的两条渐近线上的射影分别为纥,记 4,纥C 的面积为4,，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为=x B.氏=余C.数列%为等差数列 D.4+/+-+。刈9=竽例 96.（2022湖北黄石高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，”是圆0：/+/=2上两个不同的动点，尺是M 的中点，且 满 足 西.西+2设K,N“到直线/:百x +y +2+=o 的距离之和的最大值为%,则下列说法中正确的是（）A.向 量 西“与 向 量 丽”所成角为1 20。B.