2022年中考数学真题分类练习之最值问题及真题答案.pdf

2 0 2 2 年中考数学真题分类练习：最值问题一、选择题1.（2 0 2 2 广东）点（1,凹），（2,%），（3,必），（4,%）在反比例函数歹=4图象上，则 必，%，为，为x中最小的是（）A.2.A.3.乂（2 0 2 2 贺州）1（2 0 2 2 安徽）B.y2 C.y3 D.乂已知二次函数片2/-4 尸 1 在 O W x W a 时，y取得的最大值为1 5,则 a的 值 为（）B.2 C.3 D.4已知点。是边长为6的等边 力 的中心，点。在/比外，丛A B C,X P A B,t P B C,l P CA的面积分别记为S o，S 1,S2,5.若S 1+S 2 +S 3=2 S 0,则线段方长的最小值是（）A.述 B.亚 C.3#）D.速2 2 、24.（2 0 2 2 梧州）如图，已知抛物线、=52+加一2的对称轴是=-1,直线/x轴，且交抛物线于点。（石,必）,。（乙,刈），下列结论错误的是（）A.b S a B.若实数 1,贝 i j a 6 0 D.当歹 一2时，X *2 05.（2 0 2 2 北京）下面的三个问题中都有两个变量：汽车从A地匀速行驶到3 地，汽车的剩余路程y与行驶时间笛将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长石 其中，变量y与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.B.C.D.6.（2 0 2 2 贵港）如图，在边长为1 的菱形中，Z A B C=6 0 ,动点E 在 N8边 上（与点4、6 均不重合），点/在对角线ZC 上，C E 与 3 b 相交于点G,连接N G,。产，若 AF =BE,则下列结论错误的是（）BGfCA.D F =C E B.Z5GC =1 2 0 C.A F =E G -E C D./G 的 最 小 值 为 迪3二、填空题7.（2 0 2 2 甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间f （单位：s）之间具有函数关系h =-5t2+2 0 t r则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间/=s.8.（2 0 2 2 贺州）如图，在 矩 形 5 中，A B =S,BC =6,E,尸分别是4 9,的中点，ZZOC 的平分线 交 加 于 点 G,点尸是线段加上的一个动点，则尸 的 周 长 最 小 值 为.9.（2 0 2 2 北京）在平面直角坐标系X。中，点（1,加）,（3,）在 抛 物 线 歹=2+加+。（。0）上，设抛物线的对称轴为x t.（1）当c =2,/w=时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值：（2）点（X。,加）（公 7 1）在抛物线上，若?c,求，的取值范围及与的取值范围.1 0.（2 0 2 2 广东）如图，抛物线y =/+bx+c ,c 是常数）的顶点为C,与 x 轴交于4 6 两点,/（L 0），/5 =4,点/为 线 段 上 的 动 点，过川乍。8c 交于点0.（1）求该抛物线的解析式；（2）求ACP0面积的最大值，并求此时尸点坐标.1 1.(2 02 2 福 建)在 平 面 直 角 坐 标 系/中，己知抛物线少=4/+以 经过/(4,0),B 4)两 点.P是抛物线上一点，且在直线4 6的上方.(1)求抛物线的解析式；(2)若 06 面积是以6 面积的2倍，求点尸的坐标；(3)如图，8 交 4 9 于 点 C,P D BO交 A B 于息D.记以归l CP B,龙。的面积分别为S 昆，s sS 3.判 断 是 否 存 在 最 大 值.若 存 在，求出最大值；若不存在，请说明理由.1 2.(2 02 2 海 南)如 图 1,矩形48CD中,NP与。C的延长线交于点后4 8 =6,/。=8,点尸在边8c 上，且 不 与 点 氏 C 重合，直线图1图2(1)当 点?是 8c 的中点时，求证：AABP空AE C P；(2)将沿直线NP折叠得到A/P B,点8 落在矩形/BCD的内部，延长尸8 交 直 线 于 点 尸.证明E 4 =F P,并求出在(1)条件下/厂 的值；连接8 C,求 P C*周长的最小值；如图2,B B 交 AE于点，点 6是AE的中点，当N EA B =2 N A E B 时，请判断AB与/的数量关系,并说明理由.1 3.(2 02 2 贵港)如图，己知抛物线 =一/+数+。经过2(0,3)和 6(,一()两点，直线与x 轴相交于点G 尸是直线上方的抛物线上的一个动点，P O _ L x 轴交A 5 于点(1)求该抛物线的表达式；(2)若 P E x 轴交48于 点 反 求尸。+PE的最大值；(3)若以4 P,为顶点的三角形与/0 C 相似，请直接写出所有满足条件的点?，点的坐标.1 4.(2 02 2 甘肃武威)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线=；(x+3)(x a)与x 轴交于A,5(4,0)两点，点。在V轴上，且OC=O B,D,E分别是线段4 C,上的动点(点。，E不与点A,B,C(1)求此抛物线的表达式；(2)连接OE并延长交抛物线于点P,当。轴，且 4 E =1 时，求。P的长；(3)连接8 0.如图2,将 B C D 沿x 轴 翻 折 得 到/G,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;如图3,连接CE,当C 0 =NE时，求 8 D+CE的最小值.1 5.(2 02 2 北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度V (单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y =a(x。)2+左仅0).某运动员进行了两次训练.（1）第一次训练时，该运动员的水平距离X 与竖直高度y的几组数据如下:水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系了 =。（-。）2+左伍 0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度了与水平距离入近似满足函数关系、=-0.04。-9）2 +2 3.2 4.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为小,第二次训练的着陆点的水平距离为a，则4 出（填1 6.（2 02 2 北京）在平面直角坐标系x Q y 中，已知点M（a,b）,N.对于点p给出如下定义：将点P向右仅 2 0）或向左（a 0）平移同个单位长度，再向上3 2 0）或向下3 0）平移例个单位长度，得到点P，点P 关于点N的对称点为Q,称点。为点尸的“对应点（1）如图，点点N 在 线 段 的 延 长 线 上，若点尸（-2,0）,点。为点p的“对应点”.在图中画出点。；连接尸 0,交线段ON于点T.求证：NT=-O M-2（2）。的半径为1,又 是。上一点，点N 在 线 段 上，且 ON=f（；/1）,若尸为。外一点,点。为点尸的“对应点”，连接尸。.当点/在。上运动时直接写出尸。长的最大值与最小值的差（用含/的式子表示）41 7.(2 0 2 2 梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线丁 =-1*-4分别与*,y轴交于点4 B,抛物线写出点的坐标，并判断点 是否在此抛物线上：3若点。是 y轴上的任一点，求取最小值时，点 2的坐标.1 8.(2 0 2 2 海 南)如 图 1,抛物线y =2 +2%+经过点/(-1,0)、C(0,3).并交x 轴于另一点6,点P(x,y)在第一象限的抛物线上，彳尸交直线8c于点。.图1 备用图(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点尸的坐标为(1,4)时，求四边形8 0 C 0的面积；PD(3)点 0 在抛物线上，当的值最大且A/尸。是直角三角形时，求 点。的横坐标;AD1 9.(2 0 2 2 安 徽)如 图 1,隧道截面由抛物线的一部分/期和矩形力版构成，矩形的一边比为1 2 米，另一 边 为 2 米.以 6 c 所在的直线为x 轴，线段比 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系x 片,规定一个单位长度代表1 米.后(0,8)是抛物线的顶点.图1图2图3(方案一)图3(方案二)(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内(含边界)修建“E”型 或“R”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，舄在x轴上，必 与矩形4巴A勺的 一 边 平 行 且 相 等.栅 栏 总 长/为 图 中 粗 线 段pp，楙 长度之和.请解决以下问题：(i )修建一个“E”型栅栏，如图2,点鸟，鸟在抛物线4口 上.设 点的横坐标为m(O w 0,x.在每个象限内，y随 x的增大而减小，4.点（1,%）,（2,%）,（3,%）,（4,%）在反比例函数丁 =一图象上，x必%，故选D.2.（2 0 2 2 贺州）已知二次函数尸2/-4 X-1 在 0 W 右 a时，y 取得的最大值为1 5,则 a的 值 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】解：；二次函数片2 N-4 尸1=2 （1）2-3,.抛物线的对称轴为广1,顶 点（1,-3）,V l 0,开口向上，.,.在对称轴A=1的右侧，y随 x的增大而增大，.当O W x W a 时，即在对称轴右侧，y取得最大值为1 5,当产a 时,尸 1 5,：.2（a-1）2-3=1 5,解得：a=4 或 a=-2 （舍去），故a的值为4.故选：D.3.（2 0 2 2 安徽）已知点。是边长为6的 等 边 的 中 心，点户在4%外，X A B C,/P A B,f P B C,i X P CA的面积分别记为E）,E，S2,S 3.若S|+S 2 +S 3=2 S ,则线段“长的最小值是（）A.迪 B.C.3 也 D.拽【答案】解:如 图，S?-SP D B+SABDC,S 3 -S.PD A+S&A DC，+S?+S 3 =S +(S.PDB+SABDC)+(SAPCM+S“农)=S +(S 4P DB +SPDA)+(S 4B DC+S A/1 D C)二 S|+SJA B+S“5 C二 S|+S|+S o=2 S +S（）=2 S o,二 S 1=-5 1 0，设 4%中/方边上的高为九，为8中 加边上的高为4，则品=AB-h=1r 6也=3%,S =；/8坊2 =；，6/2 =3%，3九=-3 A,2；.%2h2,/阿是等边三角形，A2 =36/?-,=-%-Ji,2 2 2/.点在平行于AB,且 到 的 距 离 等 于 1 V 3 的直线上,当点尸在刀的延长线上时，。取得最小值，过 0 作0E1BC于E,：.CP=h,+h2=1 7 3 ,/0是等边/回的中心，OELBC二/。制=3 0 ,C-B C =32：.0C=20E：OE2+CE2=OC2，：.OE2+32=(2 O )2,解 得0拄坦,：.(X=2y/3 8 aB.若实数加 H-l,则 a-b v a/J+b/wC.3 a-2 0D.当 y -2 时，x,-x2 0,b2+8 a=4a2+8 a 0；.-8 a，故 A说法正确，不符合题意；.抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线尸-1,当 下 t 时，y 最 小 值=4 一6 一2,.当实数相。一 1,则a 6-2a”/+/w?-2，当实数相。一 1 时，a-b a m2+bm，故 B 说法正确，不符合题意;,当x =l 时，y=a+b-2 0,：.a+2a-20,即 3 b 2 2,；直线/与抛物线的两个交点分别在y 轴的两侧，A X,-X2 NCB片60,:.NGCNGBO6Q,及笛=180-60=180 k/GCN/GBC)=120,故 B 项答案正确，:NAB尺/BCE,ZBEOACEB,二戚s 翊.BE _ CEGEBE；BE2=G E-C E，,/AF=B E,A F2=GEC E，故 C项答案正确，V Z 5G C =1 2 0 ,叱 1,点 G在以线段比1为弦的弧回上，当点G在等边/欧的内心处时，/G 取最小值，如下图，I%是等边三角形，BOX,：.BF 1 A C,AP=A=,N应4 30,：.AG=2GF,A（?=G衿+A甬A AG +（g）解得/年 半，故 D项错误，故应选：D二、填空题7.（2022甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度人（单位：m）与飞行时间/（单位：s）之间具有函数关系:h=-5 r+2 0/，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=s.【答案】解：./F-5/+20片-5(t-2)2+20,且-5/的周长最小，最 小 值 为 觥 明:E,尸分别是 ，4 9 的中点，二心法切自3,仍 4,Z.7 2=5,：FK VCD,:.N DK六 N A=N A DC=g/,二四边形4 伊为矩形，.游 仍 4,侬 仍 6,：.HK=,F H =l FK2+H K2=历,:.FI-E户5+国,即APE77的周长最小为5 +历.故答案为：5 +V 3 7三、解答题9 .（2 0 2 2 北京）在平面直角坐标系S 中，点（1,2）,（3,）在抛物线;/=。x2+/+（?（。0）上，设抛物线的对称轴为x =t.（1）当c =2,/w=时，求抛物线与y 轴交点的坐标及，的值；（2）点（%,加）（7 1）在抛物线上，若m“G求/的取值范围及的取值范围.【答案】（0,2）；23（2）f 的取值范围为2 f 2,x 的取值范围为2 /t时，y随*的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点（1,掰），点（3,），（2t,c）均在对称轴的右侧时；当点（1,相）在对称轴的左侧，点（3,“）,（2力，c）均在对称轴的右侧时，即可求解.（1）解：当c =2 时，y=ax2+b x +2,当 x=0 时,y=2,.抛物线与y轴交点的坐标为（0,2）；m =n,：.点（1,加）,（3,）关于对称轴为x =t对称,1 +3 ct -=2；2（2）解：当A=0时，产c,.抛物线与y轴交点坐标为（0,c）,.抛物线与y轴交点关于对称轴x =。的对称点坐标为（26 c）,：a 0,.当x W f时，y随x的增大而减小，当x ,时，y随x的增大而增大，当点（1,加），点（3,），（23 c）均在对称轴的右侧时，t 1,V/M c,1 Z,即f-（不合题意，舍去），2当点。,加）在对称轴的左侧，点（3,）,（2t,c）均在对称轴的右侧时，点（天）,加）在对称轴的右侧，1 f 3,此时点(3,)到对称轴x =t的距离大 于 点 到 对 称 轴x =t的距离,t 3t )解得：Z 2)；m n c,i 3,g|J /-,23 /2,2,/(x0,m),(1,m),对称轴为 x =/,%+1。-f23%ol 2 i 解得：2 X03,2 23：.t的取值范围为5 t 2,x。的取值范围为2 x03.10.（2022广东）如图，抛物线y =x 2+b x +c ,c是常数）的顶点为C,与x轴交于4,6两点,力（1,0）,4 8 =4,点夕为线段4B上的动点，过户作尸。8c交/C于 点0.(1)求该抛物线的解析式；(2)求AC。面积的最大值，并求此时P点坐标.【答案】(1)解：,:点 A(1,0),A B=4,.点6的坐标为(-3,0),将点力(1,0),6(-3,0)代入函数解析式中得：0=1 +b +c0=9 3b +c 解得：b=2,r=-3,/.抛物线的解析式为y=x2+2x-3 i(2)解：由(1)得抛物线的解析式为y =f+2 x 3,顶点式为：y=(x+l)2-4,则。点坐标为：(-1,-4),由夕(-3,0),C(-l,-4)可求直线比的解析式为：尸-2尸6,由1(1,0),(7(-1,-4)可求直线/C的解析式为：尸2尸2,：P Q/B C,设直线A O的解析式为：尸-2/，与x轴交点卦，由，y=-2x +n 尸2-2解得：。+2-2.,。在线段4 6上,；-3 一 1,2 的取值范围为-6 V/7 V 2,则 S&CP Q =S4CPA _ S 4/p。n1-x f 1-|x 4-x|1n77-2222x=T +2 y+2当k-2时，即/(-1,0)时，SM P Q最 大,最大值为2.11.(2022福建)在平面直角坐标系x火中，已知抛物线少=42+b x经过/(4,0),6(1,4)两点.是抛物线上一点，且在直线4 6的上方.(2)若 06面积是以6面积的2倍，求点夕的坐标；(3)如图，O P 交 A B 于 或 C,P D BO交.A B 千点、D.记丛CDP,/CP B,的面积分别为 ,52,s sS 3.判 断 扇 是 否 存 在 最 大 值.若 存 在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：(1)将/(4,0),6(1,4)代入 y =4/+旅，16。+4 6 =0得V 7 4 ,a+h=41 4a=解得3b=3I 3所以抛物线的解析式为丁=-1 x2+x.(2)设直线4 7的解析式为y =A x +/(4H0),将 4(4,0),8(1,4)代入歹=丘+，4左+/=0得，,k+t -4解得3.16t =34 16所以直线4 6的解析式为y =+过点。作Mdx轴，垂足为弘制/交四于点M过点8作 B EL P M,垂足为反pX所以 S 4P A B =S 4P N B +S&P N A=wPNxBE+PNxAM2 2=P N x（BE+AM）=*因为力（4,0）,4（1,4）,所以 Zo”=；x4x4=8.因 为 的 面 积 是 为 打 面 积 的2倍，&X所以2x=PN=8,PN=2 3设 川/%-/+号加）（1加4）,则N（加 加+所以尸=（_ 1加2 +号加+号）=,0tl4,2 20 16 8即一彳加+77?=,3 3 3 3解得叫=2,加2 =3.所以点尸的坐标为（2,果或（3,4）.（3）V PD/BO:.AOBCSP DC.CD PD _ PC-5c-记C Z W,/CP B,龙。的面积分别为S,S2,S 3.则 U U =2 f2 x*C-C zC OB如图，过点8,尸分别作x轴的垂线，垂足分别b,E,PE交AB于点、Q,过。作x的平行线，交PE于点G3(1,4),.1.F(1,O):.O F=1：P D/O B,D G /O F:.“DPGS AOBFP D PG D G O B B F O F 设-1 /+号/n)(l(加 4)4 16V直线4 6 的解析式为y =-.设Z)卜，一 +号)，贝 i jG?,一+?“4 2 16 4 16P G -m H-m +n-3 3 3 3D G-m-n4 ,(W-4/M-7 7 +4)3 _ m-n1整理得4n=m1 2-m +4,S,S2 C D .P C 2 P P S,S 3 B C OC O B=2 丝O F=2(m-w)z 2、.(m-w +4=2 t n-=(加2 5加+2Vc S S Q二 加=二时，g +苦 取得最大值，最大值为一2 s 2 /81 2.(2 0 2 2海 南)如 图1,矩形/8 C Q中，力8 =6,/。=8,点P在边8c上，且 不 与 点 从C重合，直线Z P与。C的延长线交于点“(1)当点一是8C的中点时，求证：AABP咨AE C P；(2)将Z P8沿直线Z P折叠得到Z P8,点8 落在矩形/8 C O的内部，延长尸8 交 直 线 于 点 片证明E 4=P,并求出在(1)条件下 的 值；连接B C，求尸C 8 周长的最小值；如图2,B B 交AE于点，点G是NE的中点，当N EA B =2 Z A E B 时，请判断AB与 的 数 量 关 系,并说明理由.【答案】(1)解：如图9-1,在矩形N 8 C。中，A B DC,图9-1即 A B/D E，N 1 =N E,N 8 =N 2.点。是8C的中点，B P =C P.M P丝ECP(AAS).(2)证明：如图9-2,在矩形/S C O中，AD/BC,：.Z3=NFAP.由折叠可知N3=N4,ZFAP=Z4.FA=FP.在矩形/BCD 中，BC=AD=S,.点户是8 C的中点，BP=-BC =-x S =4.22由折叠可知 AB=AB=6,PB=PB=4,ZB=AABP=ZABF=90.设E4=x,则 灯=x.FB=x-4.在放A/6 户中，由勾股定理得工/2 =82+8下2,x2=62+(x-4)2,13,X=,213即 AF=.2图9-3BP=BP.CPCB.=CP+PB+CB=CB+CB=8+CB.由两点之间线段最短可知，当点3 恰好位于对角线/C上时，CB+AB最小.连接NC,在此N OC 中，Z D =9 0。，/C =AD2+DC2=V 82+621 0,：.C B =AC-AB=W-6=4,Q/w 最 小 值=8 +CB=8 +4=1 2.解：与A G 的数量关系是N 8 =2 G.理由是:如图9-4,由折叠可知N 1 =N 6,Z 8 =48,3 8 _ L 4E 图9-4过点3 作BM/DE,交AE于点M,V AB/DE,；AB/DE/BM,N l =N 6 =N 5 =ZAED.：.AB=BM=AB,.点是N A/中点.V ZEAB=2ZAEB,即 N 6 =2 Z 8 ,Z 5 =2 Z 8 .N 5 =N 7 +N 8 ,Z 7 =Z 8./.BM=EM.BM=EM=AB=AB.点。为/E 中点，点 是 中 点，AG=-AE,AH =-AM .2 2:.HG=AG-AH=g(AE-AM)=；EM.：.HG=-A B.2AB=2HG.1 3.(2 0 2 2 贵港)如图，已知抛物线夕=f+bx +c 经过Z(0,3)和 g)两点，直 线 与 x 轴相交于点G。是直线上方的抛物线上的一个动点，PZ)_ L x 轴交于点.yfk（i）求该抛物线的表达式；（2）若PE x轴交N8于 点 反 求尸。+P E的最大值；（3）若以4 P,为顶点的三角形与 N O C相似，请直接写出所有满足条件的点尸，点的坐标.【答案】（1）解：（1）.抛物线夕=f+b x +c经过40,3）和66,一（）两点，c=31 、2 7,9I 2 2 4解得：b=2,c =3,，抛物线的表达式为y =-x?+2x+3.(2)解：V J(0,3),5 ，-,3直 线 表 达 式 为y =-,x +3,.直 线 与x轴交于点C,点C的坐标为(2,0),轴，PE|x轴，:.RtADPEsRtAAOC,P D -,OA _ 3 _-.fPE OC 2：.PE=-PD ,32 5则尸。+尸石=尸。+尸。=/尸。，3 3设点的坐标为（m,一 机2+2机+3）,其中机0,则点的坐标为（利,一|+3）,/PD-(加2 +2m+3)-7 Y 494)1 6PD+PE=-(3 1 4j2 45d-48,-,/AP L A B，kAP kAB 1,kAB 3(-w+2)x(-)=-l,3.点的坐标为点夕的坐标为4 353，-9，满足条件的点P,点的坐标为尸(2,3),。(2,0)或尸4 35,DP1 5(4,0),B,C14.(2022甘肃武威)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线歹=；(x+3)(x-a)与x轴交于A,两点，点。在V轴上，且OC=O8,D,E分别是线段4C,4 5上的动点(点。，E不与点A重合).(1)求此抛物线的表达式；(2)连接OE并延长交抛物线于点P,当Q E L x轴，且4E=1时，求。尸的长；(3)连接80.如图2,将BCD沿x轴翻折得到ABRG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;如图3,连接C E,当CD=ZE时，求8O+CE的最小值.【答案】(1)解：巩 儿。)在抛物线y=；(x+3x )上，；.；(4+3)(4 “)=0,解得a=4,y=+3)(x-4),BPy=x x 3；(2)在 y=:(x +3)(x 4)中，令 y=0,得玉=-3,x2=4,3,0),OA=3 OC=OB=4,.-.C(O,4),/4E=1,n r 4DE=AE-tan NCAO=AE-=l x-OAOE=OA-AE=3-l=2,.(-2,0),D E J _ x 轴，Xp-xE=12,i3-yp=(-2+3)(-2-4)=-，3PE=,243 34 3 1 7:.DP=DE+PE=+=.3 2 6(3)连接Z)G交8于点，如 图1所示:B C D与ABRG关于*轴对称，A DG LAB,DM=GM,设 O M=a(a 0),则 Z A/=CM-Q M=3 a,MG=MD=4Z A/t an ZCAO=-(3-a：.G-a,1(a-3)4 i.点G -a,-(a-3)在抛物线歹=区(8+3)-4)上,i4 (-。+3)(-a-4)=-(a-3),4解得q=3 (舍去)，出=，在下方作=且Z 0 =8C,连接E 0,CQ,如图2所示:AE=CD,：./AEQ=ACDB（SAS）,EQ=BD,.当C,E,。三点共线时，BD+CE=EQ+CE最 小,最小为C。，过C作垂足为，：OCAO8,0C=0B=4,，NC8N=45。，BC=4 6，；ZCAH=180 NCAB-ZEAQ=180 ZCAB-ZDCB=ZCBA=45,AC=yOA2+OC2=V32+42=5，AH-CH-乎 AC-,HQ=AH+AQ=AH+BC=+m=，CQ=y/CH2+HQ2=历，即3。+CE的最小值为 质.15.（2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度了（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x ）2+左仅0）.某运动员进行了两次训练.（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y =a(x-力)2+以a 0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度了与水平距离不近似满足函数关系、=-0.0 4。-9)2+2 3.2 4.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为小,第二次训练的着陆点的水平距离为由，则4_ _ _ _ _ _d2(填或【答案】(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,2 3.2 0),:,h =8 ,k-2 3.2 0 ,即该运动员竖直高度的最大值为2 3.2 0 m,根据表格中的数据可知，当x =0时，歹=2 0.0 0,代入歹=a(x 8)2+2 3.2 0 得：2 0.0 0 =a(0-8+2 3.2 0,解得：a =-0.0 5,函数关系关系式为：y=-0.0 5(x-8)2+2 3.2 0.(2)设着陆点的纵坐标为f,则第一次训练时，/=0.0 5(x 8)2 +2 3.2 0,解得：x =8 +5 2 0(2 3.2 0-.)或x =8-j 2 0(2 3.2 0-t),.根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离4=8 +7 2 0(2 3.2 0-/),第二次训练时，/=0.0 4(x 9)2+2 3.2 4,解得：x =9 +j 2 5(2 3.2 4-7)或x =9-J 2 5(2 3.2 4 7),根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离为=9 +j 2 5(2 3.2 4-f),；2 0(2 3.2 0-/)2 5(2 3.2 4-z),2 0(2 3.2 0-/)2 5(2 3.2 4-/),/.dx d2.故答案为：V.1 6.(2 0 2 2 北京)在平面直角坐标系x Q y 中，已知点(a,b),N.对于点尸给出如下定义：将点尸向右(心 0)或向左(a 0)平移同个单位长度，再向上3 2 0)或向下(6 0)平移打个单位长度，得到点P ,点P 关于点N的对称点为Q,称点。为点尸 的“对应点(1)如图，点(1 4),点N 在线段OM的延长线上，若点尸(2,0),点。为点 尸 的“对应点”.r 11111Iy i卜 111111111111L _11111I11111111_ JL _111_1 _1111111-1-N：7T111_1 _11111_1 _1111111_L _i11111111111111_1 _1111111111111111_,一 一P111111O11111111111111111111X I在图中画出点0;连接尸0,交线段O N于点T.求证：NT=-O M;2(2)。的半径为1,又 是OO上一点，点N在 线 段 上，且O N =/(g /l),若尸为。外一点,点。为点尸的 对应点，连接尸。.当点M在。上运动时直接写出尸。长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)【答案】(1)W：点0如下图所示.点 M(L 1),.点P(-2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P，.点尸 关于点N的对称点为。，N(2,2),二点0的横坐标为：2 x 2 (-1)=5,纵坐标为：2 x 2 7 =3,二点。(5,3),在坐标系内找出该点即可；证明：如 图 延 长 至 点/(3,3),连接；A Q/O P,/.AAQT=NOPT,在 A4 0 T 与 A/O P T 中，AAQT=AOPTTO=-OA=-4 1,2 2a/9NT=ON-OT=2y/2-7 2=-12 2：.NT=-O M；2(2)解：如图所示，(a b),点P向右(a 2 0)或向左(a 0)平移同个单位长度，再向上(b 2 0)或向下 0)平移网个单位长度，得到点尸，；.PP=OM=1,.点P关于点N的对称点为。，：.NP=NQ,又,：OP=OS,：.OM/ST.加 为 公 尸 。7的中位线，NM/QT,NM=QT,：NM=OM-ON=-t,：.TQ=2NM=2-2 t,：.SQ=ST-TQ =-(2-2 t)=2 t-1,在 APQS 中，P S-Q S PQ 6,N内。90.”到 x 轴的距离为6-3=3,.点 的坐标为(6,3),当；v=3 时，=X62-X6-4=3,18 2二点少在抛物线上；过点一作PQ1AB于Q,又NA0a9Q,:A O件/PQB,在 RtZ4?0 中，J 4,二由勾股定理得：49=5,V AAOB-APQB,NABUNPBQ,.46M ZW 0,.AO PQ,布一丽.l_ P Q ，5 BP3二 PQ=-B P ,3:，BP+EP=PQ+E P,3:.当P,E,0三点共线，且 此 L四 时，一5P+E P 取最小值，：EPLAB,3设 直 线)解 析 式 为 y=-x +m,4又 (6,0),3 X 6+=0,49.m=,23 9 直线 绪解析式为y=-x-,9当A=O时，尸一5，9 点户坐标为(0,18.(2022海 南)如 图 1,抛物线卜=狈2+2%+0经过点4-1,0)、C(0,3),并交x 轴于另一点6,点P(x,y)在第一象限的抛物线上，力尸交直线8 C 于点.备用图(1)(2)图1求该抛物线的函数表达式;(3)当点。的坐标为(1,4)时，求四边形8 0 c p的面积；PD点0在抛物线上，当的值最大且右/。是直角三角形时，求 点。的横坐标;AD【答案】(1)解：.抛物线y=公2+2x+c经过点4-1,0)、C(0,3).Q 2+c=0c=3解得a=-c=3：.该抛物线的函数表达式为y=-，+2x+3.(2)解：如图，连接。P,令y=x2+2x+3=0*X j=l,工？=3.5(3,0)。(0,3),尸(1,4),OC=3,08=3,%=1,4=4.1 3 1,*e So0=.Xp=3,s ABOP=5 Jp=6(3)解：如图，作 尸尸x轴，交 直 线 于 点8.P D P F7D7B,/6 =4是定值,p r p F.当。尸最大时，=最大.A D A B设为c =日+b，C(0,3),B(3,0),y=-x+3.设尸(加,-m2+2机 +3),贝！F m2+2m+3).P F =m -nr-2 w)=-m2+3 m=3 9 3 1 5、当加=3时，小 取 得 最 大 值 二 此 时p；.2 4 1 2 4 J设点。(/,户+2/+3),若AP。是直角三角形，则点。不能与点久力重合,3下面分三类情况讨论：2若N/P 0 =9O,如图，过点。作尸轴于点8,作。6,交鸟产的延长线于点片，则尸I Q s 4/g p.,P P A P2-3 _ 1 5 3T.1,，c 、1 5 -3,.一产+2,+3-+14 2321 3.1 2 ,l-26若N P/0 =9O。，如图，过点。作直线尸4 lx轴于点4,过点0作24 J_ x轴于点4,1 4 QA2,1 5.4 _ 1 +12+1 t2-2t-323 12 r-31 1若N Z。P=90,如图，过 点。作 _ L%轴于点Q,作PG，9。交。的延长线于点0 2,则 P 0 0s.PG QQi,Q Q j AQ.3.F=_*+2f+3竺一（一产+2/+3）一 /+13,t 丰一,t#1,2PD 7 11 5综上所述，当r的值最大且A/尸。是直角三角形时，点Q的横坐标为二，,1.AD6 3 21 9.（2 0 2 2 安徽）如 图 1,隧道截面由抛物线的一部分/勿和矩形四（力构成，矩形的一边比1 为 1 2 米，另一边4?为 2米.以留所在的直线为x 轴，线段比 的垂直平分线为了轴，建立平面直角坐标系xa,规定一个单位长度代表1 米.2（0,8）是抛物线的顶点.图1图2图3（方案一）图3（方案二）（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修 建“rn”型 或“R ”型栅栏，如图2、图 3 中粗线段所示，点 片，舄在不轴上，助 V与矩形巴巴巴的一边平行且相等.栅栏总长/为图中粗线段鸟，p p，与巴，网，长度之和.请解决以下问题：（i）修建一个“E”型栅栏，如图2,点6，1在抛物线/口上.设点的横坐标为w（O?6）,求栅栏总长/与勿之间的函数表达式和/的最大值；（i i）现修建一个总长为1 8 的栅栏，有如图3 所示的修建“E”型 或“R ”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形写巴4面积的最大值，及取最大值时点4的横坐标的取值范围（在与右侧）.【答案】(1)由题意可得：A(-6,2),D(6,2),又(),8)是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为尸a/+8,将4(一6,2)代入，(-6)2 a+8=2,解得：a=,6 抛物线对应的函数表达式为 尸-二+8；6(2)(i ),点的横坐标为0(0 V 忘6),且四边形尸也2此为矩形，点 斗 在抛物线力皮上,工乃的坐标为(R,+8),6APXP2=P=-+8,乃=2加61 3 (吠+8)+2 s=/+2勿+2 4=(m2)2+2 6,6 2 21一一0,2，当 2时，/有最大值为2 6,即栅栏总长/与 之间的函数表达式为/=-,苏+2/2 4,1的最大值为2 6：2(i i)方案一：设8A=，则鸟鸟=1 8 3，矩形打鸟久片面积为(1 8 3)=-3+1 8=-3(Z 7-3)2+2 7,V-3 0,.当=3时，矩形面积有最大值为2 7,此时鸟八=3,8A=9,令/+8=3,6解得：x=7 3 0，此时A的横坐标的取值范围为 一 廊 +9 WG横坐标W V 3 0，方案二：设月眉=，则月月=9一，9 81,矩形6面 积 为(9 一4)=(刀)2 H ,2 4V-lOC（当且仅当点7在线段必上时，等号成立），.当。、T、，在同一直线上时，）最大，在 4 C O和ABCO中，AC=BCv(3)如图，当点4 6运动到ON=0 8时，AZOB的面积最大，证明如下：以 为 斜 边 在 其 右 侧 作 等 腰 直 角 三 角 形 连 接 必 交46于 点T,在07上取点使.0斤BE,连 接 朋由(2)可知，当0 C J.4 8时，QC最大，87=3,当 CM=08 时，NBOC=-NAOB=x 45=22.5,2 2此 时07最大，:.AAOB的面积最大，0