新课标人教A版高中数学选修2-2教案.pdf

高 中 数 学 教 案 选 修 全 套【选 修2-2教案|全 套】目 录目 录.I第一章 导数及其应用.1变化率问题.1导数与导函数的概念.41.1.2 导数的概念.61.1.3 导数的几何意义.91.2.1 几个常用函数的导数.131.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.161.2.2 复合函数的求导法则.201.3.1 函数的单调性与导数（2 课时）.231.3.2 函数的极值与导数（2 课时）.281.3.3 函数的最大（小）值与导数（2 课时）.321.4 生活中的优化问题举例（2 课时）.351.5.3 定积分的概念.39第二章推理与证明.43合情推理.43类比推理.46演绎推理.49推理案例赏识.51直接证明一综合法与分析法.53间接证明一反证法.55数学归纳法.57第 3 章数系的扩充与复数的引入.683.1数系的扩充和复数的概念.683.1.1 数系的扩充和复数的概念.683.1.2 复数的几何意义.713.2复数代数形式的四则运算.743.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义.743.2.2 复数代数形式的乘除运算.78第一章导数及其应用1.1.1变化率问题教学目标：1 .理解平均变化率的概念；2 .了解平均变化率的几何意义；3 .会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.新课讲授(-)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积*单位1)与半径4单位:而2)之间的函数关系是丫(r)=如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)分析：r(V)(1)当V从。增加到1时，气球半径增加了 r(l)-r(0)x 0.6 2(加)气球的平均膨胀率为“1；一；()0.6 2(J m/L)(2)当V从1增加到2时，气球半径增加了 r(2)-r(l)0.1 6(r f m)气球的平均膨胀率为“彳一 D 0A6(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从口增加到匕时，气球的平均膨胀率是多少？“)一”匕)问题2高台跳水第1页 共173页在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度以单位：成)与起跳后的时间/(单位：S)存在函数关系 =-4.9尸+6$+1 0.如何用运动员在某些时间段内的平均速3度粗略地描述其运动状态?思考计算：04，4 0.5和1 4/4 2的平均速度丫在O Wf WO.5这段时间里，(6 5)二(0)0.5-0在1 W/W 2这段时间里，3=-力=4.0 5(;/s)；2-1-S.2(m/5)探究：计算运动员在0 4/4受这段时间里的平均速度，并思考以下问题:4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数/2 =-4.9产+6.5什1 0的图像，结合图形可知，力(|)=(0),所以y =-奂-04 9=0(.v /m),虽 然 运 动 员 在 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子 外匕表示，称为函数火X)从X I到X 2的平均变化率2.若设A c =%2 -玉，纣=/(%2)-/(%)(这里A x看作是对于为的一个“增量”可用M+A c代替X 2,同样Af=Ay=f(x2)-f(x1)3c .贝El j平I均变P化率力为 A y =A f =Jf(x42)-f(x1)/(%)+A x)-/(x,)U =-!-!M k x2-X j A x思考：观察函数兀V)的图象平 均 变 化 率 包=/(叱)-/(须)表示什么？A x x2-X j直线A3的斜率第2页 共173页三.典例分析例1.已 知 函 数 於)=/+%的 图 象 上 的 一 点4 1,-2)及 临 近 一 点3(1 +A x,2 +A y),则A x解：-2 +A y =-(-1 +A x)?+(-1 +AX),.A y -(1 4-A x)2 4-(-1 +Z k x)2.=-=3 -zx r x A x例2.求y =/在=尤0附近的平均变化率。2 2解：与 虫 两+以 产 一 改/,所 以 包J x o+)一 。一A x A x=司2+23+=2/+.A x所以y =在x =4附近的平均变化率为2+A x四.课堂练习1 .质点运动规律为s =+3,则在时间(3,3 +Af)中 相 应 的 平 均 速 度 为.2.物体按照s=3尸+/+4的规律作直线运动，求在4 s附近的平均变化率.3.过曲线)，守(x)r3上两点P (1,1)和。(1+Ax,l+Ay)作曲线的割线，求出当Ax=O.1时割线的斜率.五.回顾总结1 .平均变化率的概念2 .函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业第3页 共173页导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法：理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数，(x)=/在 点(2,4)处的切线斜率。Ay f(2 +A x)-/(x).人 二=-人3 =4 +,故斜率为4Ax Ax2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是丫 =产 一1,求f =f“时的瞬时速度。=。+”)一。)=2to+Z,故斜率为 4二、知识点讲解上述两个函数f(x)和V 中，当At (At)无限趋近于0时，竺(竺)都无限趋近于一个常数。t Ax归纳：一般 的，定 义 在 区 间(。，力)上 的 函 数/(x),x0 G (a,b),当A x无 限 趋 近 于0时，包=f(x.+Ax)-/(/)无限趋近于一个固定的常数4,则称/(x)在x =x 0处可导，并称A为了(幻在Ar AxX =X。处的导数，记作f(xr)或/(x)，上述两个问题中：(1)/(2)=4,(2)()=2%三、几何意义：我们上述过程可以看出/(%)在x =/处的导数就是/(%)在x =玉)处的切线斜率。四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数(1)/(x)=x2+,x =2 (2)/(x)-2x l,x =2第4页 共173页(3)f(x)=3 ,x =2例2、函数/(幻 满 足 尸(1)=2,则当x无限趋近于0时,(1)AH-2x(2)f(l +2 x)-“)X变式:设f(x)在X=X o处可导,(3)4+4AA-)-/(X。)无限趋近于1,则/)=(4)二4A x)一八分)无限趋近于1,则f xQ)=Ax(5)当 无 限 趋 近 于0,)所对应的常数与f(x0)的关系。Ax总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例 3、若/(x)=(x-1)2,求 尸(2)和(2注意分析两者之间的区别。例4：已知函数/(%)=,求/(x)在x =2处的切线。导函数的概念涉及：/(x)的对于区间(。/)上任意点处都可导，则/(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为/(x)的导函数，记 作/(X)。五、小结与作业第5页 共173页1.1.2导数的概念教学目标：1 .了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3 .会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：创设情景（-）平均变化率（二）探究：计算运动员在0 4/4国这段时间里的平均速度，并思考以下问题：4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数人=-4.9产+6.5r+1 0的图像，结合图形可知，/?（）=/j（0）,4 9_ 蟾）-（。）所以 v =-=0（5/m）,6 5-04 9虽 然 运 动 员 在 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 为0（“加），但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二.新课讲授1 .瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，r =2时的瞬时速度是多少？考察r =2附近的情况：第6页 共173页思考：当加趋近于0时;平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当加趋近于。时，即无论，从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度：都趋近于一个确定的值 1 3.1.从物理的角度看，时 间 间 隔 无 限 变 小 时，平均速度G就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在，=2时的瞬时速度是一 1 3.b n/s为了表述方便，我们用l im 2土 一 =一1 3.1表 示“当Z =2,4趋近于0时，平均速度v趋近于定值一 1 3.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数)守田在X=x o处的瞬时变化率是：丽/8+).(/)=H m 筮 加：X我们称它为函数y =/(x)在x =x 0出的导数，记作/(%)或y忆与，即f D=l im/(天+r)-/(An)A x说明：(1)导数即为函数y=/&)在户x o处的瞬时变化率(2)AY=X-X(),当 A x 0时，x0,所 以/(%)=l i m )。x-xQ三.典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=l处的导数.分析：先求户)，=/(1 +AJOTA 1 )=6 AX+(AX)2再 求 包=6 +A r再求l i m A =6A%Ar-0 K解：法一(略)3%2-3-I2 3(x2-I2)法二：/I .=l i m =l i m =l i m 3(x+l)=6.v 1%X TI x|x-l(2)求函数火x)=-/+x在 工=1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：包=-(T +AX)2+(-1+AX)-2=3 A x A x、.A y (1 +A x)2+(-1 +A x)2 小 人、af(-1)=l i m =-=l i m (3-A x)=3.0 A x A x第7页 共173页例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x力时，原油的温度(单位：C)为/(X)=X2 7X+15(04X4 8),计算第2时和第6时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2/i时和第6时，原油温度的瞬时变化率就是/(2)和/(6)根据导数定义，=/(2+8)/(/)AJC A r=-(-2-+-A-x-)-2-7-(-2-+-A-r-)-+-1-5-(-2-2-7-x-2-+-1-5)=AAx-3、A r所以(2)=l i m 竺=l i m(A r-3)=-3同理可得：/(6)=5在第2时和第6时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2附近，原油温度大约以3 C 7的速率下降，在第6附近，原油温度大约以5 C/z的速率上升.注：一般地，/(X。)反映了原油温度在时刻与 附近的变化情况.四.课堂练习1 .质点运动规律为s =+3,求质点在r =3的瞬时速度为.2.求 曲 线 八x)=/在x =l时的导数.3.例2中，计算第3时和第5/z时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五.回顾总结1 .瞬时速度、瞬时变化率的概念2.导数的概念六.布置作业第8页 共173页1.1.3导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：创设情景(-)平均变化率、割线的斜率(-)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=/(x)在 x=的处的瞬时变化率，反映了函数y=/U)在户加附近的变化情况，导数/(%)的几何意义是什么呢？二.新课讲授(-)曲线的切线及切线的斜率：如 图 3.1-2,当匕(乙，/(七)(=1,2,3,4沿着曲线/(幻趋近于点尸(%,/(%)时，割线P匕的变化趋势是什么？我们发现，当点勺沿着曲线无限接近点P即 A x-0 时，割线P P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P7称为曲线在点P处的切线.第9页 共173页问题：割线P2 的斜率k,与切线P T的斜率k有什么关系？切线P T的斜率k为多少?容易知道，割线P 匕 的 斜 率 是 腕=也 上 公）,当点与沿着曲线无限接近点尸时，勺无限趋近于切线P T的斜率k,即2=l i m J也+-J曳=/，（/）-A x说明：（1）设切线的倾斜角为a,那么当A x-0 时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在X =/处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=/（x）在 x=x o 处的导数等于在该点（/，/（/）处的切线的斜率，即/（%）=l i m /（/+/）-3 A x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求出产点的坐标；求出函数在点3 处的变化率/（a）=l i m X。）=%,得到曲线在点（X o，/（X o）的切线加 T O j x的斜率；利用点斜式求切线方程.（-）导函数：由函数人X）在产均处求导数的过程可以看至I J,当时,/（/）是一个确定的数，那么，当 X变化时，便 是 X的一个函数,我们叫它为式X）的导函数.记作：/（X）或 y ,即：f （x）=y =l i m -A0 A x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数/（X）在点X。处的导数/（七）、导函数/（X）、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数/（%）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/（x）在点/处的导数/（%）就是导函数尸（x）在x =x 0处的函数值，这也是求函数在点方处的导数的方法之一。三.典例分析例 1:（1）求曲线产危0=/+1 在点P（l,2）处的切线方程.第10页 共173页(2)求函数)，=3/在点(1,3)处的导数.解N：(八1)、y,i,(1+AX)2+1-(12+1)r 2AX+AX2 cv_=lim -=hm-=2,-Ax A%所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为丁一2=2(尤一1)即2x y=03r2-3-I2 3(x2-I2)(2)因为 y|-=lim-=lim-=lim3(x+l)=6I I x-l x-l所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y 3=6(x 1)即6x y 3=0(2)求函数_/(x)=f+x在x=_ i附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：包=-(-1+-1+-=3Ax Ax八 A)，(1 +Ax厂+(1 +A%)-2 八、af (-1)=h m=-=lim(3-Ar)=3Ax 1。例2.(课本例2)如图3.13,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数(x)=-4.9f+6.5%+10,根据图像，请描述、比较曲线(f)在、4、V附近的变化情况-解：我们用曲线(/)在力、乙、G处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当，=%时，曲线依。在2处的切线平行于x轴，所以，在，=小附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当f=4时，曲线在6处的切线4的斜率/?&)0,所以，在t=%附近曲线下降，即函数/?(%)=一4.9/+6.5x+10在t=4附近单调递减.(3)当f=f2时，曲线力)在G处的切线4的斜率人”2)o A,AX-O函数导数y=cy=oy =0表示函数y =c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若 y=c 表示路程关于时间的函数,则 y =0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数y=/(x)=x的导数因 为 电=f(x+Ax)-/(x)=x+A x-x =iAx Ax Ax所以 y=li m 竺=li m l=lAx-o A,AX-O函数导数y=xy=1y =1表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1 .若 y=x表示路程关于时间的函数,则 y =l可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动.第13页 共173页3.函数y=/()=上的导数 y/(x +Ax)-/(x)(x+Ax)2-%2因 79-=-=-Ax Ax Axx2+2x Ax +(Ax)2-x2 8=-=2尤 +AxAx所以 y=li m =li m(2x +Ax)=2xAx-o Ar -函数导数y =x2y =2x9 =2%表示函数 =/图 像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x 0时，随着x的增加，函数=/增加得越来越快.若y=f表示路程关于时间的函数，则y =2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.4 .函数y=f(x)=的导数X1 _ 1因 为 =/(x +Ax)-/(x)=x +Ax 尤AJV AJC_ x-(x +Ar)_ 1x(x +Ax)Ax x2+x -Z k r所以 y =li m =li m(-)=V 一0 Ax +x Ar JT函数导数1y二X,1y=一rX(2)推广：若 y=/(x)=%(Q*),则尸(x)=yi三.课堂练习1 .课本P13探 究12.课本Pi 3探究24 .求函数y=&的导数第14页 共173页四.回顾总结五.布置作业函数导数y=cy=0y=xy=iy=x2y=2x1X1y=-7Xy=f(x)=x(n&Q)y=nxnl第15页 共173页 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的四则运算法则；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：-创设情景四种常见函数y=c、y=x、y=2、y 的导数公式及应用二.新课讲授(-)基本初等函数的导数公式表函数导数y=cy=0y=/(x)=x (e Q*)y=nxnxy=s i n 冗y=c os xy=c os xy=-s i n xy=/(x)=ay 二优 I n Q(Q 0)y=f(x)=exy-ef(x)=log(,Xf(x)=log xf(x)(a 。且a /1)xma第1 6页 共1 73页f(x)=l n x1f(x)=-X(-)导数的运算法则导数运算法则1./(x)g(x)=/(x)g (x)2./(%)g(x)=f (x)g(x)/(x)g (x)Q /(X)/(x)g(x)-F(x)g (x),小 士 G3 -=-?-(g (x)w 0)(2)推论：y(x)=cf (x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)三.典例分析例 1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价(单位：元)与时间/(单位：年)有如下函数关系p Q)=Po(l+5%),其中Po为t =0 时的物价.假定某种商品的p 0=l，那么在第1 0个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有.p。)=1.05 I n 1.05第17页 共173页例2.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)所以 p (1 0)=1.051 I n 1.05 a o.08 (元/年)因此，在 第1 0个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.y =x3-2x+31 11 +y f x 1 xy =x s i n x-I n x；xy=77；41-l n xy =-.1 +l n xy=(2JC1 25 x+1)ex(1)因为c (9 0)=(g o _ g o.=52.8 4,所以，纯净度为9 0%时，费用的瞬时变化率是52.8 4元/吨.(2)因为c(9 8)=5 2 84 1 3 2 1,所以，纯净度为9 8%时，费用的瞬时变化率是1 321元/(1 00-9 0)-吨.函 数/(%)在 某 点 处 导 数 的 大 小 表 示 函 数 在 此 点 附 近 变 化 的 快 慢.由 上 述 计 算 可 知，c (9 8)=25c (9 0).它表示纯净度为9 8%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为9 0%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.s i n x-x c o s xy =-:c o s x +x s i n x【点评】求导数是在定义域内实行的.求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为C(X)=(80 X 0)y=/(X)=e*y =e，(x)=l o g“%f(x)=l o g,4(x)=(a。且a +1)x m a/(x)=l n x1f(x)=-X1./(x)g(x)=f x)g x)2./(x g(x)=，(x)g(x)/(x)g (x)(-)导数的运算法则导数运算法则3./(X)g (无)=小圆上萼gg(x)HO)g(前(2)推论：=cf x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)二.新课讲授第2 0 页 共 1 7 3 页复合函数的概念 一般地，对于两个函数 =/(“)和=g(x),如果通过变量“，y可以表示成X 的函数，那么称这个函数为函数y =/()和“=g(x)的复合函数，记作y =/(g(x)。复合函数的导数 复 合 函 数 y =/(g(x)的 导 数 和 函 数 y =/3)和“=g(x)的导数间的关系为=为.；，即 y对 x的导数等于y对的导数与”对 x的导数的乘积.若 y =/(g(x),则 =/(g(x)=r(g(x)-g(x)三.典例分析例 1 求 y =s i n (t a n x2)的导数.【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例 2求 y =的导数.V x2-2a x【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.例 3求 y =s i n4x +c o s 4x的导数.【解法一y=s i n 4x+c o s 4x=(s i n2x +c o s2x)22 s i n2c o s2x=1 s i n22 x1 3 1=1 (1 -c o s 4x)=+c o s 4 x.y =s i n 4x.4 4 4【解法二】y =(s i n4x)/+(c o s。)=4 s i n3x(s i n x)+4 c o s3x (c o s x)r=4s i n3x c o s x +4c o s3x(s i nx)=4 s i n x c o sx(s i n2x c o s2x)=2 s i n 2 x c o s 2 x=s i n 4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步.例 4 曲线y =x (x +1)(2-x)有两条平行于直线y =%的 切 线，求此二切线之间的距离.【解】y =x3+x2+2 x y =-3 x2+2 x +2令=1 即 3 X22 x 1=0,解得 x=g 或 x =1.1 1 4于是切点为 P(1 ,2),。(一一，)，3 2 7过点P 的切线方程为，y -2=x-1即x y +1=0.,1 1 4|-1-F1 1 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 一=?行.四.课堂练习c i n 2 x1 .求下列函数的导数(l)y =s i n +s i i T x；(2)y =-;(3)l o gr/(x2-2)2x-l2 .求l n(2，+3 x +i)的导数第2 1页 共173页五.回顾总结六.布置作业第2 2页 共173页1.3.1函数的单调性与导数(2 课时)教学目标：1 .了解可导函数的单调性与其导数的关系；2 .能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一.创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时.，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.新课讲授1 .问题：图 3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度力随时间f 变化的函数)=-4.9/+6.5f +1 0 的图像，图 3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间f 变化的函数v(f)=/?(f)=9.8f +6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间r 的增加而增加，即/?)是增函数.相应地,v(Z)=A(f)0 .(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间 的增加而减少，即(/)是减函数.相应地,v(t)=h(t)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(幻 在/附近单调递增；在x =%处，/(/)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数/(X)的下列信息：当l x 0；当 4,或x l时，/(%)0 ；当x =4,或x =l 时，/(%)=0试画出函数y =f(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x 4,或x l时，/(x)0因此，/()=丁+3%在R上单调递增，如图3.3-5 (1)所示.(2)因为/(x)=f2 x 3 ,所以，/(x)=2 x-2 =2(x-l)当f(x)0,即x l时,函 数/(x)=f2 x 3单调递增；当/(x)0,即x l时，函 数/(为=%2 2 x 3单调递减；函数/(x)=x 2 -2 x 3的图像如图3.3-5 (2)所示.(3)因为/(x)=si n x-x x e(0,)，所以，/(x)=c o sx-l 0,即 时，函数/(X)=X2-2X 3；当f(x)0,即 时，函 数/(无)=/2 x 3；函数/3)=2/+3f一2 4+1的图像如图3.3-5 (4)所示.注：(3)、(4)生练例3 如 图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度人与时间，的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：一(0，-(小，-(。)，(4)-(。)第2 5页 共173页思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示，函数y =/(x)在(0,8)或(a,0)内的图像“陡峭”，在(乩+8)或(-0 0,4)内的图像“平缓”.例4 求证：函数y =2 x +3 x 2 -1 2 x +l在区间(2,1)内是减函数.证明：因为 y =6 x2+6 x 1 2 =6,+x 2)=6(x-l)(x+2)当2,1)即一2 x l E I寸，y 0为增函数，/(x)0；当。a时，函 数 单 调 递 减，”。)0；这就说明，在/=a附近，函数值先增(/0)后 减(f a,”0).这样，当在。的附近从小到大经过。时，/先正后负，且 连续变化，于是有(a)=0.对于一般的函数y =/(x),是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.二.新课讲授1 .问题：图 3.3-1 ,它表示跳水运动中高度随时间，变化的函数/。)=-4.9 尸+6.5 r +1 0 的图像，图 3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间，变化的函数丫。)=/。)=一 9.8/+6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(3)运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间，的增加而增加，即力。)是增函数.相应地,(4)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间，的增加而减少，即 Q)是减函数.相应地,第2 8页 共173页v(r)=力(f)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在/附近单调递增；在 =玉 处，/(x0)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(幻 在 占 附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(。,切内，如果那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数/(X)的下列信息：当 1%0；当为 4,或x l时，/(%)0 ；当x =4,或x =l 时，/(%)=0试画出函数y =/(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x 4,或x l时，/(x)0因此，/(幻=_?+3%在/?上单调递增，如图3.3-5(1)所示.(2)因为/(x)=f2x 3,所以，/(x)=2x-2=2(x-l)当即x l时，函数/(x)=f2%一3单调递增；当/(x)0,即x l时，函 数 八 幻=/2一3单调递减；函数/(x)=f2x 3的图像如图3.3-5(2)所示.(5)因为/(x)=s i n x-x xw(0,)，所以，/(x)=c o s x-l 0,即 时，函数 f(x)=x2-2x-3；当 f(x)0,即 时，函数/(x)=f-2 x 3；函数/3 =2，+3白24 +1的图像如图3.3-5(4)所示.注：(3)、(4)生练例6 如 图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间，的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：-，-(A),f(D),(4)f(C)思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”;反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示，函数y =/(x)在(0,)或(a,0)内的图像“陡峭”,在(九+8)或(T,。)内的图像“平缓”.例7 求证：函数y =2V+3x2 I 2x+1在区间(2,1)内是减函数.第3 0页 共173页证明：因为y =6%2+6 x 1 2=6(A：2+x-2)=6(xl)(x+2)当xw(-2,l)即一 2 x l时，y 0 为增函数，/(x)0 为减函数.2例8 已 知 函 数./(x)=4x+a x2了3。氏)在区间 一 1 川 上是增函数，求实数。的取值范围.解：f x)=4+2a j c-2x2,因为/(x)在区间 1,1 上是增函数，所以f(x)2 0对x w 1,1 恒成立，即/一处一2 4 0对恒成立，解之得：一i W a W l所以实数。的取值范围为 1,1 .说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 f(x)N 0；若函数单调递减，则/(x)K 0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四.课堂练习1 .求下列函数的单调区间,11.6X2+7 2.f i x)-+2xX3.y(j c)=s i n x,x e 0,2万 4.y=x l n x2.课本P 1 0 1 练习五.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y =/(x)单调区间(3)证明可导函数X)在(a,b)内的单调性六.布置作业第3 1页 共173页1.3.3函数的最大（小）值与导数（2 课时）教学目标：1 .使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数/（X）在 闭 区 间 上 所 有 点（包括端 点 a,。）处 的 函 数 中 的 最 大（或 最 小）值必有的充分条件；2 .使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一.创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果y是函数y =/（x）的极大（小）值点，那么在点小附近找不到比/（%）更 大（小）的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小.如果与是函数的最大（小）值，那么/（%）不 小（大）于函数y =/（x）在相应区间上的所有函数值.二.新课讲授观 察 图 中 一 个 定 义 在 闭 区 间 上 的 函 数/（x）的图象.图中/（再）与/（不）是极小值，/（）是极大 值.函 数/（x）在 a,以上的最大值是/（。），最小值是/（马）.1 .结论：一般地，在闭区间 凡“上函数y =/（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y =/（x）在 a,上必有最大值与最小