2021-2022学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1 .已知复数z=T+2 i,则复数z 在复平面内对应的点位于第（）象限A.B.二 C.三 D.四B【分析】先得到复数对应的点的坐标，进而可得答案.【详解】由题意得，复数z=7+2，对应的点的坐标为（T，2）,所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选B.本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关系，属于简单题.2.我国古代数学名著 九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7 4 8 8 人，南面有6 9 1 2 人，这三面要征调3 0。人，而北面共征调1 0 0 人（用分层抽样的方法），则北面共有（）人A.7 2 0 0 B.8 1 0 0 c.2 4 9 6 D,2 3 0 4A【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果.x 1 0 0【详解】设北面有x人，则十+7 4 8 8 +6 9 1 2 3 0 0,解得.x =7 2 0 0故选：A.3.在中，内角4 B,C的对边分别为a,b,的 且/+/+屏 c ,则A=（）A.1 2 0 B.1 5 0 C.4 5 D.6 0 B【分析】利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：=b2+c2+y/3bc=b2+c2-2bccos A fcos A=-所以 2 ,又 0。4 1 8 0,所以 4 =1 5 0。.故选：B.4.如图所示的是函数y=x)的图像，则函数/a)可 能 是()A y=xsinxB y=xcosx Q y=xsinx+xcosx 口y=xsmx-xcosxC【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.【详解】由图可知：/(X)是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负.若f(x)=x s in x,则/(-x)=(-x)sin(-x)=x sin x,所以函数了=xsinx为偶函数，与条件矛盾，A 错，若/(x)=x c o s x,贝|/(_ x)=(_x)cos(_x)=_xcosx,所以函数y=xcosx为奇函数，与条件矛盾，B 错，./(x)=V2xsin|X-|若/(x)=xsinx-xcosx,贝1 4 人xe 0,|/(x)=V2xsin|0；f&=显兀/(-)=0.工又4 4,.4,所以函数歹=a11+六 05 为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C.5.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大.假设李某能力较强，他独自一人解决项目加 的概率为4=9；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目M,团队成员各自独立地解决项目乱的概率都是0 4 如果这个人的团队解决项目的概率为鸟，且鸟2 勺，则的最小值是(参考数据：也20.30,lg3 no.48)()A.4 B.5 C.6 D.7B【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目”的概率，再由对立事件的概率求出由题意建立不等式求解即可.【详解】解：由题意，这 个人组成的团队不能解决项目/的概率为：尸=(1-0.4)=(|)所以一”.吃，小 自 沁 9,即。,3 1fl 一 5,e N,即的最小值为5.故选：B.6.在A/B C 中，设 就 2-荏 =2而而，那么动点用的轨迹必通过A/8C 的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心C【分析】设 8 c 的中点是,根据题意化简可得而旅=0,即可确定M 的轨迹.【详解】设8 c 的中点是,-2 2 f f AC-A B =U C-A B U C-A B=2A O BC=2AM BC即 须 一 而)元=而反=0,所 以 血 _L网所以动点”在线段5 c 的中垂线上，故动点/的轨迹必通过A48C的外心，故选：C.A关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.7.已知四棱锥P-N 8C。中，底面/8C O是边长为4的正方形，平面P48J.平面Z 8 8,且 PZ8为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）28 112 256-71-7 V -7 TA.3 B.3 C.32万 D.3B【分析】取侧面 P/8和底面正方形“8CD的外接圆的圆心分别为。2,分别过0,作两个平面的垂线交于点0,得到点。即为该球的球心，取 线 段 的 中 点 应 得到 四 边 形 为 矩 形，分别求得。结合球的截面圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，在四棱锥尸一力8 8中，取侧面PN8和底面正方形/8CZ）的外接圆的圆心分别为。1,。2,分别过G ,a作两个平面的垂线交于点0,则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，取 线 段 的 中 点E,连QE,。声,0 D,则 四 边 形 为 矩 形，0 =型 OO-2 G在等边 P/8中，可得尸E=2 6,则-3,即2一 3,在正方形/8 C O中，因为48=4,可得020=2及，在直角 0 0 Q中，可得g=即R=o o K a o T,S=4%R2=2 所以四棱锥P-8 8外接球的表面积为 3.故选：B.二、多选题8.如果凡瓦是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）_ 1 一 2 2A.a=b B.。=6 C.a=bCD【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.【详解】解：因 为 是 两 个 单 位 向 量，同=同=1所以I I门，但两向量的方向不能确定，/第2咽 2=方故 AB错误；CD 正确.故选：CD.9.已知 I II,则 的值可能为（）A.4 B.8 C.10D.H 第D.12AD【分析】根据兀可得”】方向相同或相反，分工，*同向和反向两种情况讨论即可得解.【详解】解：因为卜卜2任=8,所以I+:因为 ，所以“3 方向相同或相反，当润同向时，B+可 用 阵 卜 巴-7|+M =|同-同1 =4当 反 向 时，I I I I .故选：AD.10.在A/8 C中，下列结论中，正确的是（）A.若cos2/=c o s 2 8,则A/8 C是等腰三角形B.若s i n s i n 8,则/8C.AB2+A C2 s in 8,则 切且工,56（0,%），可 得/8,所以选项B 正确；对于选项C,由/+/。28。2,以及余弦定理可得co s 0,即A/8 C 为钝角三角形，所以选项C 正确：.D_ A C .,2百sin D=-sin A-对于选项D,由/=6 0。，A C=4,以及正弦定理可得 BC BC 1,解得8 0 2 瓦且 由 大 边 对 大 角可得A O B C,即 B C 4,所以8 c 长的取值范围是（2 百，4）,所以选项D 错误：故选：ABC.1 1.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点加、N,若线段9的最小值为G-i,则（）44A.正方体的外接球的表面积为12 B.正方体的内切球的体积为3C.正方体的棱长为2 D.线段及亚的最大值为2后ABC设正方体的棱长为。，由此确定内切球和外接球半径，由儿处 的最小值为两球半径之差可构造方程求得。，进而求得外接球表面积和内切球体积；由从火的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为“，百a则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即彳“；内切球半径为棱长的一半，即2.v M，N分别为外接球和内切球上的动点，A4Z 石 。A i MN#n=Q =-a=V3-12 2 2,解得：a=2,即正方体棱长为2,C正确，,正方体外接球表面积为=1 2 ,人正确：内切球体积为丁，B正确;B a +巴=8 +1线 段 的 最 大 值 为2 2,。错误.故选.4BC本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为氏-乙最大值为R+L1 2.已知函数/（x）=|cos2x|+c o s|x|,有下列四个结论，其中正确的结 论 为（）3万3万A./（）在区间1 4 2 上单调递增 B.乃是“X）的一个周期-冬2C.X）的值域为L D./的图象关于y轴对称CD代入特殊值检验，可得A错误；求得/（、+左）的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得cosx的范围，利用二次函数的性质，即可求得/（X）的值域，即可判断C的正误：根据奇偶性的定义，即可判断“X）的奇偶性，即可判断D的正误,即可得答案.3乃。37X G ,ZX G ,3万【详解】对于A：因为 L4 2，所以 L 2 J,/55 4 5 4 V2/、/、1r l fJ（）=COS+CO S=-,J（7T）=|cos 2|+cos=0/（一STT）%）、所以 4,所以x）在区间3万3万4 2 上不是单调递增函数，故A错误;对于 B.f(x +=1c o s2(x+/r)I +cos I x+|=|cos2x|+cos x+/r|cos2x+cos|x所以乃不是X）的一个周期，故B错误;对于 C：/(x+2 幻=1 cos 2(x+2万)I +cos I x+In|=|cos 2x|+cos|x|=/(x)所以 f(x)的周期为2乃，xw 0,f cosxe g,1当 4时，2，e 龙 21f(x)=|c o s 2x I+c o s I x|=c o s 2x+c o s x=2 c o s2 x -1 +c o s x L 2 5 J 43乃 V 2 V 2XG,1 c o s x e -,1当 4 4 时，2 2 J,f(x)=|c o s2x I+c o s|x|=-c o s2x+c o s x =1-2c o s2 x +c o sx345 4 V 2XG ,c o s x e -l,-当 4 4时，2,r 6 9,.i e 01f(x)=|c o s 2x I+C O S I X|=C O S 2x 4-C O S X=2 c o s-x -14-c o s x 25 4 In 4 1 V 2当 4 4 时，1 2 2 ，r%/2 9.2I If(x)=|c o s 2x|+c o s|x|=-c o s 2x+c o s x=1-2 cos x +c o s x 2，8 .X G ,2乃 C O S X -,1 当 4 时，2,f(x)=|c o s 2x I+c o s I x|=c o s 2x+c o s x=2 c o s2 x -1 +c o s xrV2 小e ,2综上：“X)的值域为L ，故 c正确;对于 D：/(-x)=1 c o s(-2x)|+c o s|(-x)|=|c o s 2x|+c o s|x|=f(x),所以八刈为偶函数,即/a)的图象关于V轴对称，故 D正确，故选：C D解题的关键是根据的/(X)解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论,化简计算的能力，综合性较强，属中档题.三、填空题2 c o s 200-V 2 c o s 25 _13.计算：2s i n 25 .7 2 TV 2 s i n 25【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于与 石 厂，即可得出结果.【详解】由题意得，2 c o s 2 0 -6 c o s 2 5 2 c o s(45 -2 5 )-&c o s 2 5 2 s i n 2 5 0 2 s i n 2 5 0_ V 2 c o s 2 5 +V 2 s i n 2 5 -4 1 c o s 2 5 _ V 2 s i n 2 5 _ V 22 s i n 2 5 -2 s i n 2 5 一 T旦故答案为14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒，则恰有一粒 种 子 能 发 芽 的 概 率 是.0.26【分析】利用互斥事件及独立事件概率公式即得.【详解】由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发T 七牙，贝IJ所求概率 P=0.8x(1-0.9)+(l-0.8)x0.9=0.26故答案为.2615.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24小时降雨量的等级划分如下：2 4小时降南量（精确到 0.1）0.1-9.910.0 24.925.0 49.950.0 99.9降雨等级小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 m m,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的2 4小时的雨水高度是150 mm（如图所示）,则这2 4小时 的 降 雨 量 的 等 级 是.中雨【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径,求出圆锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案.V=-5A=r1 nh【详解】圆锥的体积为 3 3,因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，-xlx200=50所以圆锥内积水部分的半径为2 2 mm,将/*=50,力=150代入公式可得=125000万（mm、）,图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为M =S”,且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积,S =7(!x 2 0 0了=1 0 0 0 0 (m m2)所以 2 ,仁 也 照则平地上积水的厚度 1 0 0。0 4，因为 1 0 1 2.5 2 5,由题意可知，这一天的雨水属于中雨.故中雨.1 6.拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：”以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点“，在A/I B C中，以BC,CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为。，E,F,若/历1 C =3 O ,0 F =4,利用拿破仑定理可求得A B+A C的最大值为.4卡【分析】结合拿破仑定理求得4 0，,尸，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得N 8+/C的最大值.【详解】设BC=a,AC=b,A B=c,如图，连接/尸，BD,AD.由拿破仑定理知，A D E尸为等边三角形.AD=L-=因为。为等边三角形的中心，所以在 D4 8中，2 s m 6 0 杷,7同理 3.又/B 4 C =3(r,/C 4 F =3 0,44)=3 0,所以 Z D A F =Z B A D +Z B A C +Z C A F=9 0.在 NOF中，由勾股定理可得。尸+1尸，“上即 一 十 ,化 简 得(c)=2 bc+4 8,(ft+c)2 2-f)+4 8 r由基本不等式得 I 2 J,解得6 +c4 4 j 6(当且仅当6 =c=2卡时取等号)，所以=4后.故4KA17.已知4/2是实系数一元二次方程的两个虚数根，且4/2满足方程2 Z 4-（1 -i）z2=3 +5 i 求4和Z 2.（2）写出一个以4和Z 2为根的实系数一元二次方程.（l）Z|=4 +9 i,z2=4-9 i（2）%2-8X+9 7 =0（答案不唯一）【分析】1）根据题意设4=+加，=a-历，代入24+（l-i）z 2=3 +5 i,得到关于a,的方程，再求出。，b,即可可解决此问题：（2）利用根与系数关系，即可解决此问题.【详解】（D解：因为马/2是实系数一元二次方程的两个虚数根，则4/2互为共扼复数,设 Z =a+6 i z2=a-hi代入2 Z 1+Q T)Z 2=3 +5 i 中,得 2a+2b i+(1 -i)(a-h i)=3 +5 i整理得3 6+(b-o)i =3 +5 i ,3a-b=3 a=4j=5,解得 M=9.Z|=4 +9 i,z2=4-9 i(2)Z+z2=4 +9i+4 9i=8.z-z2=(4+9i)(4-9i)=97以4和Z 2 为根的实系数一元二次方程可以为-8 X+9 7 =0.0=(3,1),5 =(-：,小1 8.已知 I 2 ，,求左为何值时:a 入(2)力 心(3)。与坂的夹角为钝角.V【分析】(1)根据平面向量共线的坐标表示列出方程即可得解；(2)根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解；(3)由 与5的夹角为钝角，可得且 I 不共线，列出不等式组，解之即可得解.【详解】解：因为33 4 +1 =0所以 2 ,k=-解得 2 .(2)解：因为3 x(-3+左=0所 以 1 2),k=一金额的 2.(3)解：因为 与书的夹角为钝角，所以 吟 且 3不共线，,9+2 02k k /(=平面 P/8,二.平面平面”CZ)；(2)解：设8 c的中点为，连接-AB=A Ct所 以8 c是等腰三角形,A H 1 BC,即 是 梯 形 底 边 上 的 高，A H =AB-BH2=2加,由题意知，M D =2,所 以SBBCcDmM.=2-、(DM+BC AH=2 x 2石=10百,八-PA=4.N是尸。的中点，N到底面的距离为2,-x4x105/5四棱锥N-8 C Q M的体积为3 3；40综上，四棱锥N-5C Q”的体积为 丁.21.记ZUBC的内角4 B,C的对边分别为“，h,c,已知A.Acos sin 一2 2A.A sin 3cos I-sin-2 2=cos B 若c4,求&(2)若/+b2kc2=0(%e R),求符合条件的k的最小值.n(1)6(2)472-57 t 万 2zrC=+B C =【分析】(1)由三角恒等变换得出 2,再由 3,得出8；,a2+b2 1 T,(2cos2 5-1)+1-COS25k=；C=F B k=(2)由 。结合正弦定理以及 2 得出 cos-8,令x=cos2Bf结合基本不等式得出女的最小值.A.Acos +sin【详解】(1)2 22A.A A 1 +cos A sin A2 2 2 _ 2 2 _ l+cos?i-sinJ _ sinn+in r c 1 +cosJ sin J 1 +cosZ+sin/cos52 2 2 2 2,即 sin B+sin B cos A+sinA sin B=cos B+cos A cos 3-sin Z cos B,sin B+sin(4+B)=cos B+cos(4+B)sin B cos B=-sinC-cosC,两边平方得 l-2sin BcosB=l+2sinCcosC,即 sin(-28)=sin 2c,汽：-IB (-2肛 0),2C e(0,21),8+C G(0,).-28+2C=乃,C=5 +8 2-2万 加 万v C=B=-=3,3 2 6.C=-+B 7 r-B +B=A(2)由(1)可得，2,贝|J 12),0 -+B+B I ,0 -2L cos B 则【2)4,2sin A=sin 乃 一 一+8+8=cos28=2cos?8 1(2 J_/+/_ s ii?/+5-8 _(2谒3-1+1一 漏 4由 /+/一 h2=0(左 R)得，。2 sin2 C cos2 B1 ,7-x 1设 则 2.a1+b2(2x-l)2+l-x 4x2-5x+2.2 2 _ ./r-_k=-=-=-=4x+一 一 5 2 2 5=4V2-5C X X X V X.2 V24x=,x=当且仅当 X 2 时，等号成立即符合条件的的最小值为4夜-52 2.由倍角公式cos2x=2cos2x1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x,我们有 cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-l)cosx_2(sinxcosx)sinx=2cos3x-cosx_2(1 cos2x)cosx=4cos3x_3co&v可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地，存在一个次多 项 式 使 得cos x=尸 (cosx),这些多项式尸称为切比雪夫多项式.(1)求证：sin3x=3sinx-4sin3x；(2)请求出P M),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；(3)利用结论 cos3x=4cos3x3cosx,求出 sin 18的值.(1)见解析(2)cos 4x=8 cos4 x-8 cos2 x+1亚-14【分析】(1)由倍角公式化简证明即可；(2)由倍角公式求解即可；(3)由倍角公式结合cos3x=4cos3%3cosx,得出sinl8。的值.详解】sin 3x=sin(x+2x)=sin x cos 2x+cos x sin 2x=sin x(1 2 sin 之 cos x-2sinx-cos x=sin x-2 sin3 x+(1-sin2 x2 sin x=3 sin x-4 sin3 xcos 4x=cos(2 2x)=2 cos2 2x-1 =2(2 cos2 x-1 )-1二2(4 cos4 x-4 cos2 x+1)-1 =8 cos4 x-8 cos2 x+1:sin 36=cos 54,2sinl8 cos 18=4 cos3180-3 cos 184 sin?18。+2 sin 180-1 =0,sin 180=叵14(小于-1 的值舍去).