2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第36讲 轨迹方程.pdf

第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等蜇关系且这些几何简单明了且易千表达，那么只需把这些关系“翻译“成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点M(x,y)的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点M(x,y）相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x,y，再义，y将代入 已知曲线方程，即得x,y关系式。【典型例题】例1.(2021 福建泉州科技中学高三期中）如图，设点A,B的坐标分别为（石，0)（3,0)直线AP,BP 相交千点P,且它们的斜率之积为一2 y p A.x()求P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C,点MN是轨迹为C上不同于A,8的两点，且满足APII OM,BP II ON,求么MON的面积例2.(2022全国高三专题练习）动点P到定点F(O,l)的距离与到定直线y=4的距离之比为定值；Cl)求动点P的轨迹方程(2)若直线l与动点P的轨迹交于不同的两点M,N,且线段MN被直线2x+l=0平分，求直线l的斜率的取值范围例3.(2021新疆克拉玛依市教育研究所模拟预测（理）已知圆C:(x+l)2+/=16,点A(l,O),P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.Cl)求点Q的轨迹方程；(2)过点B(0,-1)作直线MN交点Q的轨迹千M,N两点，设线段MN的中点为H,判断线段IAH|与|HMI的大小，并证明你的结论2 2 例4.(2021全国高三专题练习）点B是椭圆上+1.;-=I上的动点，A(2a,O)为定点，求线段AB的中点M的a2 b2 轨迹方程例s.(2021全国高三专题练习）已知椭圆王y2=1,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程2 例6.(2021广东石门中学模拟预测）已知动圆P过点A(心，0）且与圆B:(x-2r+y2=12相内切(1)求动圆圆心P的轨迹方程D(2)直线l过原点，且与轨迹D有两个交点M,N轨迹D上是否存在一点Q,使t:,QMN为正三角形，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由例7.(2021全国高三专题练习（理）如图，在AABC中，已知IAB1=4五，且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程y C A。B X 例8.(2012辽宁高考真题（文）如图，动圆cl:x2+y2=!2,ltbO)的长轴长为2.fj_离a2.b2 五心率为一，过点(0,I)的直线与M交于A,B两点，且万江丙2（l)求M的方程；(2)求点P的轨迹方程12.(2020全国高三专题练习）设F(l,O)，点M在X轴上，点P在Y轴上，且MN=2MP,阿1L丙了，P在Y轴上运动时，求点N的轨迹方程；13.(2022全国高三专题练习）P是圆x2+y2=4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足冗7切乔2 y 笠(l)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交千不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程14.(2019安徽蚌埠三楼（理）已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)，是平面 内一动点，P可以与点E,F重合当P不与E,F重合时，直线PE与PF的斜率之积为一1 4(l)求动点P的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围I 15.(2017福建省福州第一中学一模（文）在平面直角坐标系X句中，一动圆经过点（一，0）且与直线x=I 2 2 相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线E(I)求曲线E的方程；(11)设p是曲线E上的动点，点p的横坐标为X。，点B,C在y轴上，6.PBC的内切圆的方程为(x-l)2+y2=1，将lBq表示成Xo的函数，并求6PBC面积的最小值16.(2017江苏丰县高三阶段练习）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(l,O)且与x轴不重合，l交圆A千C,D两点，过B作AC的平行线交AD千点E,求点E的轨迹方程17.(2017江苏丰县高三阶段练习）已知点P是直线2xy+3=0上的一个动点，定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ,求点Q的轨迹方程18.(2022全国高三专题练习）给定双曲线x三=1过A(2,I)的直线与双曲线交千两点片及P2，求线段RE2 的中点P的轨迹方程19.(2012河北衡水高三阶段练习（理）设直线I:Xy+m=O与抛物线C:y2=4x交千不同两点A、B,F为抛物线的焦点(1)求丛BF的重心G的轨迹方程；(2)如果m=-2，求MBF的外接圆的方程20.(2011河北高三专题练习）已知两定点A(-2,0)、B(l,O)，如果动点P满足IPAl=2IPBI,求点P的轨迹方程21.(2021全国高二课时练习）已知1:,.ABC的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),1:,.ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程22.(2021 江西景德镇一中高三阶段练习（理）在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1:x2+y2+2x=8 内切，与圆C2:x2+y2-2x=0外切Cl)求动圆圆心P的轨迹方程E;(2)若直线X=t(fI-)与轨迹E交千A,B两点，直线BC2交轨迹E于另一个点M,连接AM交X轴于点N,9 试探究：是否存在t使得1,MC2N的面积等千？若存在，求出全部的t值；若不存在，请说明理由4 第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等蜇关系且这些几何简单明了且易千表达，那么只需把这些关系“翻译“成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点M(x,y)的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点M(x,y）相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x,y，再义，y将代入已知曲线方程，即得x,y关系式。【典型例题】例1.(2021 福建泉州科技中学高三期中）如图，设点A,B的坐标分别为（石，0),（打，0)，直线AP,BP 相交千点P,且它们的斜率之积为一2 3 y p A.x()求P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C,点MN是轨迹为C上不同于A,8的两点，且满足APII OM,BP II ON,求么MON的面积【解析】(I)由已知设点P的坐标为(x,y)巾题意知kAP.kBP=.AP BP x+3 x-3 3 y=气XF-士f3)，2 2 化简得P的轨迹方程为f+f=t(x士f3)(2)证明：山题意M、N是椭圆C上非顶点的两点，且API/OM,BPI/ON,则直线AP,BP斜率必存在且不为0,又由已知kAP kop=-2 3 因为AP/IOM,BPI ION,所以ko,wkoN=一2 3 2 2 设直线MN的方程为x=my+t,代入椭圆方程土+上=1,3 2 得(3+2m2)y2+4mty+2t2-6=0.(D,设M,N的坐标分别为（-i,Yi),（易义），则Yi+Y2=-4mt 2t2-6 3+2m 2,y心3+2m2 k Y心）1Y2-2t2-6 又koM ko,v=一2=平2myly2+mt(y1五）广3t2-6m2 所以2r-6 2=一，得2t2=2m2+3 3t2-6m2 3 又s11.1 1.I _ 1 Iii24t2+48m2+72 6MON=ltllY1一）J2|，2111.,n1 2 3+2m2 所以s减h|护五凶10N=-:-:r-=,4t-,2 即D.MON的曲积为定伯-森2 例2.(2022全国高三专题练习）动点P到定点F(O,l)的距离与到定直线y=4的距离之比为定值(1)求动点P的轨迹方程：(2)若直线l与动点P的轨迹交千不同的两点M,N,且线段MN被直线2x+l=0平分，求直线l的斜率的取值范围【解析】Cl)设点P(x,y)，依题意，有二飞言了丿ly-41 2、)。y,l-2(Q 为.l2忘3妇l=+I的_x_ 2yN y-4/M l十得=2x_3解）兄,立4为程l丹0=l(立4N2x_3、力l+得迹理轨x+）22x_3YI,V整的,立x!p,I,联M方点平动边以3点两所（设忐忘Xi飞l则飞 y。丁，山题意可得y1+y2=2y。,又因为点M(斗,Y1),=2Yi_4过4+忒，3,五3,v、1-_、IJ,上_ _ 2y_4+立3圆椭在书者I 均,2 x,1、N 产2.,2.2.2 2 _ 2 将上还两个等式作差得斗一书y1-y2=0则x-y2=-4 3 4,xt-x 3 则(y1飞）（y1飞）i,即(y1飞）这i(x广Xi)（斗x2)3(x广Xi)-1 3 4 2 2忘2忘所以K(红）3,即k立e女，一飞了）u飞了+OO)所以直线l的斜率的取值范围是-OO，一气）u气三例3.(2021新疆克拉玛依市教育研究所模拟预测（理）已知圆C:(x+l2+/=16,点A(J,O),P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP千点Q.(I)求点Q的轨迹方程；(2)过点B(0,-1)作直线MN交点Q的轨迹千M,N两点，设线段MN的中点为H,判断线段IAH|与|HMI的大小，并证明你的结论【解析】(1)？点Q在线段AP的垂直平分线上，习AQ=IPQ.又忙月=|CQ+IQ月4,:.ICQ+IQAI=4ICAl=2：点Q的轨迹是以坐标原点为中心，c(-1,0)和A(l,0)为焦点，长轴长为4的椭圆2 2 可设方程为今义l(abO)，则a=2,a2-b2=I a2.b2:.b2=3,:.点Q的轨迹方程为王十义1.4 3(2)结论是：IAHl$1HMICD当直线MN的斜率不存在时，IAHl=LIHMl=3此时IAHlIHMI:当直线MN的斜率k存在时，设MN:y=kx-1 2 2 代入到上十f=l,化简得(4k2+3)x28kx8=0,4 3 设M(斗,Yi),N亿，Y2)8K-8 则X1+Xi=X心4K2+3 4K2+3 此时五仁亿l,y,)，石仁(X2-1,Y2):.西吓（X1l.）（易l)+y心（xll)（七 l)（虹l)（从l)-8-(k2+l()8K (K+1)(k2+1)()=k+1斗X2一(l+k)(x1+x2 +2=-+2 4K2+3 4K2+3 I=-8K:k3-2=-8iK:)0：乙MAN290,点A在以MN为直径的圆上或圆的内部，所以IAH|IHMI.综上所述，IAH|IHMIX2 2 例4.(2021全国高三专题练习）点B是椭圆-+-?.,=I上的动点，A(2a,O)为定点，求线段AB的中点 M的a-b2 轨迹方程【详解】设动点M的坐标为(x,y)，设B点坐标为(xo,yo),则由M为线段AB中点，可得xy:a=x仁言2a，即卢B坐标可表示凡（2x-2a,2y),2=y x2 v2 因为点B(xo,Yo)在椭圆+=l|二，a2.b2 2 2 三立过la2.b2 从而有(2x2a)2(2y)2 a2+b2=1,整理得动点M的轨迹方程为4(x气矿4y2+=1.a2.b2 例5.(2021-全国高三专题练习）已知椭圆土沪1求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程2【详解】设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,Y2),PQ的巾点为M(x,y)2-2 则五2 矿I,(I)立对I,(2)2 2.2(1)-(2)得：l xi-X2 2（对对）0止卫二勺Y1飞）02 X 1-X2)ilY2 又X1十入:2=2x,y1+y2=2y,=2,:.x+4y=0 xlX2 由千弦中点轨迹在已知椭圆内，联V.了+y2=l x飞x+4y=O 故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：x+4y=0(:;x:;)4 4 3 3 例6.(2021广东石门中学模拟预测）已知动圆P过点A(五，O）且与圆B:(x-2r+y2=12相内切(l)求动圆圆心P的轨迹方程D.(2)直线l过原点，且与轨迹D有两个交点M,N轨迹D上是否存在一点Q,使h,QMN为正三角形，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由【详解】设圆的圆心为P(a,h)，半径为r,则由条件知：I PBI=23-r,I PAI=r,故IPAl+I PB1=2石，因此，P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为2)3的椭圆方程故圆心P的轨迹方程D为：三y2=1.3(2)解法：若且线l的斜率存在且不为零故可设l:y=kx且线0Q方程为：x 1-K _ y 叶X2+3y2=3尹3司MNj=2y=kx l+3k2 IMNI=2拉言巧五言了I 同理，得IOQ|二五言言尸启k 打l 因IOQ|-|MNI=3k2+9=l+3k2，此时无解2芦j若百线的斜率为客，此时也无解若首线的斜率不存在，日求出Q（土，0)故Q的坐标为（土石，0)冗解法二：由图形的对称性及什三角形性质，不妨设M(,jcos0,片sin0),Q(,2 cos(0+),r2 sin(0+),冗2 2 代入椭圆方程，得矿cos2B 十斤2sin2 0=l矿3 3 l+2sin切同理片3 l 1+2cos20，由IOQl=310MI 得cosO=0，故存在这样的点Q,其坐标为（土石，0).例7.(2021全国高三专题练习（理）如图，在“ABC中，已知IABl=4五，且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程y c A。B x【详解】由已知得A(-2五o),B(2五o),:2sinA+sine=2sinB,：山正弦定理得：2IBCI+IABI=2IACI,I:.I囮I如IABI=22 2).故答案为：千f=l(x句以2丘为实轴长的双曲线的右支（除去与X轴的交点），例8.(2012辽宁高考真题（文）如图，动圆cl:x2+y2=t2l t3,X 2 与椭圆C2:+y2=1相交千A,8,C,9 D四点，点A,4分别为C2的左，右顶点(l)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；v y(II)求直线AA1与直线B交点M的轨迹方程工【解析】（l)设A(x0,y。)，则矩形ABCD的面积S=4伈IIy。|2 由豆矿l得对l立，从而9 9 l 9 2 9 心。？心（l豆）（x。2-)+9 9 2 4.明,9-2 证2 0、丿x2 当（,时I-2 _ 2,o,-smax=6从而t石时，知形ABCD的血积最大，最大面积为6.由A(x。,y。)，B(x0,y。)，Al(-3,0),Ai(3,0)知直线机的方程为y=(x+3)Q)X。+3-y。直线B的方程为y=(x-3)X。-3由0得Y2-y0 2=(x-X。-99)2 又点A(x。,y。)在椭圆C上，故对1立9 x2 将代入得-y2=l(x3,y 0)9 X 2 因此点M的轨迹方程为-y2=I(x3,y O)9b2.b2 因为椭圆经过点P(3,0)，所以得b=l,所以椭圆的方程为土l=I,9 若焦点在Y轴上，设椭圆的方程为上土l(b 0),9b2 b2 囚为椭圆经过点P(3,0)，所以得h=3,2 2 所以椭圆的方程为上+土=I,81 9 所以椭圆的标准方程为立沪l或上十三9.81 9(2)设点C的坐标为(x,y)(y-ct-0),=1,因为边AC,BC所在直线的斜率之积等千,4 9 4 所以一仁y，化简得4x江9y2=144，即=1(X-cf.6),X+6 X-6 9.-.,.36 J 6 2 2 所以顶点C的轨迹方程上十z.:_=(X#6),36 16(l 2.(2021全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，动点M到定点l,o的距离比到Y轴的距离大求动点M的轨迹方程【答案】y2=2x(x习O)和y=O(xO)【分析】设出点 M的坐标，根据题意列出x,y所满足的方程，化简方程可求得M的轨迹方程【详解】2 设M(x,y)，由题，意：.l(x;+y2=|x|+;1 两边平方用得：x+y2斗x|+l 4 4 当xO时，化简可得y2=2x(x以0)当x 1)【分析】设P(x y,),Q伈，y2),B(x,y)，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程【详解】解：设P(xly1),Q(马,y2),B(x,y)代入得厂：4斗y;=4易(y1五）（y1飞）4(x,飞），化简得2y-=4y2=2(x+l),x+l 叶y2=4xx=l,y2=2x+2 所以线段PQ的中点B的轨迹方程为y2=2x+2(xl).4.(2021全国高三专题练习）已知点P到直线y=-3的距离比点P到点A(O,l)的距离多2.(l)求点P的轨迹方程；(2)经过点Q(O,2)的动直线l与点P的轨迹交千M,N两点，是否存在定点R使得乙MRQ乙NRQ?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(I)x2=4y;(2)存在，定点R(O,2).【分析】(I)由IPAI等千点P到直线y=-1的距离，结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程；(2)由对称性确定点R必在y轴卜，再由乙MRQ乙NRQ可得kMR+k,vR=O,联立直线l与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R(O,-2).【详解】(l)由题知，IPAI等千点P到宜线y=l的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y l为准线的抛物线，所以具方程为x2=4y.(2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R,则点R必在y轴上，可设其坐标为(0,r)此时山乙MRQ乙NRQ可得知叶妇0设M(x,y,),r,Yi-r N伈，Y2)，则+=0 乌由题知肖线l的斜率存在，设共方程为y=kx十2,与x2=4y联寸得x2-4虹8=0,则x,+x2=4k,x心2=8Y,-r,y2-r kx,+2-r虹2-r_,(2-r)(x,+x2)k(2-r)=+=2k+=2k x=0 X2,Xi X凸2故r=-2,即存在满足条件的定点R(O,-2)【点i行】关键点睛：解决问题一时，关键是山抛物线的定义得出轨迹力程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R必在y轴卜，进而设出其坐标5.(2020全国高三专题练习（理）如图所示，已知圆A:(x+2)2+/=1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程V p X(1)丛PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心）；(3)圆P与圆A外切，且与直线x=l相切(P为动圆圆心）2 2 4 2 I【答案】（I)令奇l(y=t:0);(2)4x2一百y=1（飞）（3)y2=-8x【分析】（l)由题意可得到P+IP科64=IAB|，再根据椭圆的定义即可求解；(2)由题意可得到IPAI-IPBI=1 4=IA,故P点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=$,2.2 动点P的轨迹方程为：土+=l(y:;cO):9 5(2)设圆P的半径为r则仍=r+l,伊科r,寸PAI-IPBI=r+J-r=J IABl=4,由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=l,2c=4,沉即a=,c=2,b=,2 2 4 动点P的轨迹方程为：4x2飞y2十分），(3)由题意知：动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距窝，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4,动点P的轨迹方程为：y2=-8x.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义l l 2 6.(2020全国高三专题练习（理）已知A(-,0),B是圆：(x-)y2=4(F为圆心）上一动点，线段AB2 2 的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程4y2【答案】x2+2I.=1.3【分析】先根据题意可知IPFl+IP月正好为圆的半径，而忆=IPB|，进而可知IPFl+IPAl=2根据椭圆的定义1-1J知，点P的轨迹为以A、F为焦点的椭圆，根据A、F求得a,C,进而求得b,答案可得【详解】作图，则IPAl=IPB卜IP月IP科2,:.IPFI+IPA=2目大于IAFl=l.即动点P的轨迹为以A、F为焦点的椭圆，a=l,c=l,b2=i,2 4 所以动点P的轨迹方程为x气=I.4y2 3 v x 7.(2021全国高三专题练习（文）如图，已知圆C,:(x+3)斗f=l和圆C2:(x-3)斗y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程丫无【答案】丑=I（迁I)8【分析】设动圆的半径为R，根据圆外切的条件得到IMC1l=R+l,IMC2l=R+3，消去R，得到MC2HMC仆2，根据双曲线的定义得到M的轨迹，并由定义得到a,c的值，进而得到方程【详解】依题意，知圆G的圆心为Ci(-3,0)，半径为1，圆G 的圆心为C2(3,0)，半径为3.设动圆的半径为R，则MC1l=R+l,IMC2l=R+3,所以IMC如MC仆21Di02I:动圆圆心M(x,y)到点Oi(-3,0)和02(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为点Oi(-3,0)、02(3,0)，长轴长等千12的椭圆设该椭圆的长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c;:.2c=6,2a=12,:.c=3,a=6.b2=369=27 动圆圆心轨迹方程为王十上l,轨迹为椭圆36 27【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练準握椭圆的定义是解题关键9.(2020全国高三（理）已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的之比为Cl)求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；(2)求点M到直线2x+y-13=0的距离的最大值和最小值【答案】（1)点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4,以（1,0)为圆心，2为半径的圆；(2)d毗时5+2,drrun=35-2【分析】Cl)设M(x,y)，利用点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比为；，建立方程，化简可得结果；(2)先求出圆心到直线2x+y-13=0的距离d，酘大值为d+r,最小值为dr.【详解】(I)设M(x,y),？点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比为,卢l =-?如3）2+y2 2 化简可得(x+l)+y2=4,即点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4,以（1,0)为圆心，2为半径的圆(2)圆心(-l,0)到肖线2x+y-13=0距离为d=1-2-0-131 卢=3$,点M到直线2x+y-13=0的距离的砓大值为d+r=35+2,最小值为d-r=3石2【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学牛的计算能力，屈千中档题10.(2020湖南雅礼中学高三阶段练习（理）已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=士2x,且该双曲线过点(2,2).(l)求双曲线C的标准方程；(2)点A为双曲线C上任一点，F）、庄分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作乙F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P,求点P的轨迹方程2 2【答案】CI)土1=-=l.(2)x2+y2=3 3 12【分析】(l)根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果；(2)根据题邸，由二角形全等，结合双曲线的定义，推出点P满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程【详解】(I)根据题意，双曲线的渐近线方程是y士2x,则设双曲线方程为：4x2-y2入，（样0),点(2,2)代入得：入12,则双曲线方程为：4x2-y2=12,2 2 即卢义-=l.3 12 2 2(2):Fi，庄是双曲线i-义-=I的左右焦点，3 12 过庄作角的平分线AB的乖线，垂足为P,并且交A几千Q,连接OP,如下图所示：X 则OP=F;Q,OP II F;Q,2 显然MQP兰MF2P故IAQ曰AF2I,习F1Ql=IA和IAQl=IAFd-IA闷2a,习OPl=a扛，由圆的定义可知，点P的轨迹是以点0为圆心，3为半径的圆，所以P的轨迹方程为：x2+y2=3.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，屈综合基础题11.(2018西藏拉萨中学高三阶段练习（理）已知椭圆M:+=1(abO)的长轴长为25，离a2.b2 五心率为，过点(0,l)的直线l与 M交于A,B两点，且可迄丙2(1)求M的方程；(2)求点P的轨迹方程x2【答案】(1)+l=l;(2)x2+2y2=2y.2【分析】C J(1)根据题意2a=2.f,.;，一，解方程组即可求解a 2(2)当直线AB的斜率存在月不为0,设百线AB的方程为y=kx+l,将肖线与椭圆联立，求出交点坐标，冉根据中点坐标公式诮k即可求出轨迹方程【详解】（l)由题意可知，长轴长2a=2五，即a=2，离心率e=-，c五a 2 则c=1,b2=a2一 c2=I,所以椭圆M的方程为王y2=1;(2)当直线AB的斜率存在且不为0,设肖线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,)2),P(x,y),y=kx+l 联立方程组x2，消去y,整理得(l+2炉）卢4缸0,+y2=l 2 解得xl=0-4k l-2K2,x2=1+2k2 y,=1,沪，l+2K2 由题意可知，P为AB的中点，所以:l+-2产，消去k，整理得卢2y2=2y,l+2K2 当斜率不存在时，ACO,1),B(O,-1),则P(0,0)，满足i2+2y2=2y,所以点P的轨迹方程x2+2y2=2y.【点眙】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位悝关系以及求曲线的轨迹方程，屈千巾档题12.(2020全国高三专题练习）设F(l,O)，点M 在X轴上，点P在Y轴上，且MN=2MP,阿7上万:p在Y轴上运动时，求点N的轨迹方程；【答案】y2=4x(x-:t=O)【分析】根据且豆正2MP,可得P为MN的中点，利用万7上万瓦可得冠百平0从而可得点N的轨迹C的方程：【详解】解：设N(x,y)，则由MN=2而，得P为MN的中点，又因为点 M在X轴上，点P在Y轴匕所以M(-x,0),P（吟）西（三），砰（气）又丙7J_万瓦.丙i秤0-x门）（勹0:.y2=4x(xO);【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向揽知识的运用，屈千基础题I 13.(2022全国高三专题练习）P是圆x2+y2=4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点 M满足冗7一万5.2,.A(l)求动点 M 的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交千不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程【答案】（1)点M的轨迹C的力程为+y2=1,轨迹C是以(-3,0),(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆4(2)x2+4/-6x=O(Ox0求得k2一；利川韦达定理表示出X1+X2与y产）分，根5 据平行四边形和向量的坐标运算求得m;，消去k后得到轨迹力程；根据k2 0,解得设A(x凸），B伈，Y2)，则X1+X2=24K2 l+4K2 1-5 2 k 24K3.Y,+Y2=k(x,-3)+k(x2-3)=k(x,+Xi)-6k=-6k=-6k l+4K2 l+4K2 四边形OAEB为平行四边形.OE=0A+0B=(x+)24k1-6k l易，y1+y2,(1+4K2l+4k又氓（x,y)。=x 6 2 y 4+2 x.得k 去肖、4-K,22 2kk k464+I+4 2 ll=xy,V.1-5 2 k.24K2 61+4K26 6 8 x=1+4K2=(1+4K=6-.l+4K2 E(0,5)顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=O(Ox勹）【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建寸起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略X的取值范围14.(2019安徽蚌埠三模（理）已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)，是平面内一动点，P可以与点E,F重合当P不与E,F重合时，直线PE与PF的斜率之积为(1)求动点P的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围【答案】CI)X 4【分析】+y2=I;(2)8,10).l CI)当P与点E,F不重合时，根据直线PE与 PF的斜率之积为一，直按可求出动点P的轨迹方程；当P4 与点E,F币合时，P（2,0)或P(2,0)，最后写出动点P的轨迹力程；(2)记矩形面积为S,当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设具中一边所在直线方程为y 虹m,则对边方程为y=kx-m1 1 另一边所在的直线为y=-;-x+n,则对边方程为y=-;-x-n,k k x2+4/=4 联立：，得(l+4k2)x2+Skmx+4尸）0,y=kx+m 则A=0，即4炉1=1沪矩形的一边长为d,=叫五言了回4 d 2=同理：fi+l=n?，矩形的另一边长为厂:S=d.d|2m|2n|9 I =4二E(8,10，综上S E8,lO【详解】解：（I)当P与点E,F不觅合时，1 勹kPE.kPF=，得Y Y l x=，即一-4 x+2 x-2 4 4 当P与点E,F蜇合时，P(-2,0)或P(2,0).+y2=1(y-:t-O),x-综上，动点P的轨迹方程为+y2=l.4(2)记矩形面积为s,当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y=kx+m,则对边方程为y=kx-ml l 另一边所在的直线为y=-7x+n,则对边方程为y=-7x-n,k k 联立：x2+4y2=4，得1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,y=kx+m()()则A=0，即4k2+l=m.2.矩形的一边长为d1=12ml 1 五言了旧4 d2=同理：了l矿，知形的另一边长为厂:S=d,d,=*1-t,=勹门三+4)=4 I 14K4+l7k2+4=4(K2+l)2=4/4+9 炉+i-+2E(8,10 综上：SE8,IO.【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取俏问题，考杳了基本个等式的应用15.(2017福建省福州第一中学一模（文）在平面直角坐标系双订中，一动圆经过点（一，0）且与直线x=一2 2 相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线EC I)求曲线E的方程；(II)设p是曲线E上的动点，点p的横坐标为x,i，点B,C在y轴上，6PBC的内切圆的方程为(x-l)2沪1,将因表示成x(l的函数，并求APBC面积的最小值【答案】(l)y2=2x(2)凶，BC面积的最小值为8.【解析】试题分析：（l)山抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程；（2)山三角形的内切圆方程可得，圆心与三角形的三条边所在直线相切，根据点线距等于半径，可得关千x的二次方程，马出韦达定理，可将线段BC表示成Xo的函数，进而写出三角形的面积农达式，再由基本不等式即可求得面积的最小值试题解析解：（J)由题总用知圆心到（一，0）的距离等千直线x=的距离，由抛物线的定义可知，曲线2 2 E的方程为y1=2x(lI)设P(x。,y。)，8(0,b),C(O,c)直线PB的力程为:(y。-b)x-x。y+x。b=O,又圆心(1,0)到PB的距离为I,所以|y。-b+x。外如b）2+X。2整理得：（x。2)b2+2y。b-x。=0,同理可得：（x。2)c2+2y。c-x。=0,所以b,C是方程(x。-2)x2+2y。x-x。=0的两根，-2y。-X。所以b+c=一一!.,be=,X。-2x。-2 依题意bc2)X。-2l 4 所以S=IBC伈（x。2)+4;?:82 X。-2当x。=4时上式取得等号，所以6PBC面积的蚊小值为8.=I 16.(2017江苏丰县高三阶段练习）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(l,O)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E,求点E的轨迹方程【答案】三+=l(y:;t:O)4 3【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求试题解析：因为IADl=IACI,EBIIAC,故乙EBD乙4CD=L.ADC，所以IEBl=IEDI,故IEAl+IEBI叫EAl+IEDl=I ADI又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而IAD1=4,所以IEAl+I EB1=4,x2 v2 题设得A(-1,0),B(l,0),IABl=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为=l(y:;t:0)4 3 考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用17.(2017江苏丰县高三阶段练习）已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ,求点Q的轨迹方程【答案】2x-y+5=0.【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思祀进行探求试题解析：山匙意知，M 为PQ中点，设Q(x,y)，则P为(-2-x,4-y)，代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.考点：代点消元法求轨迹方程的运用18.(2022全国高三专题练习）给定双曲线x仁-?-=1过A(2,I)的直线与双曲线交千两点片及E，求线段RE2 的中点P的轨迹方程【答案】2x2-y2-4x+y=O【分析】设R(x1,y,）片（,Y2)，代入双曲线方程们和减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P的轨迹方程再讨论斜率不存在时是否满足方程即可【详解】2 2 设R(斗,y,)，片(x心），代入方程得x+=l,x;f=1 两式相减得：(x五）（XI飞）；（Y1飞）（y1飞）0又设中点P(x,y)将X1+X2=2x,Y 1+Y2=2y代入，当X1-c/=X2时得2x红yl-y2=0 2 X1一，乌义kYi-Y2 _ y-l-=XI X2 代入得2x2-y2-4x+y=O 当弦P1P2斜率不存在时，其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是2x2-y2-4x+y=0【点眳】本题考查了肖线与曲线相交的中点弦问题，点差法觥决巾点问题的用法，屈千某础题19.(2012河北衡水高三阶段练习（理）设直线I:Xy+m=O与抛物线C:y2=4x交千不同两点A、B,F为抛物线的焦点(1)求MBF 的重心G的轨迹方程；(2)如果m=-2习还ABF的外接圆的方程【答案】解：O设(x。,y。J趴飞、i汕F(10，重心（外），。），.么1吵令戈:飞V-4V-4m=0 切y+m=O.:心0m 1且入二一；（6分）3-3)如z=-2，则）l-4y-8=D，设AB中点为（乓“,e):十),2、飞伈=2.x。=V-m=一J,?=4 _.t-:;-.-Q 4髻那么AB的中垂线方程为x+y-6=0令1:-:.ABF外接圆圆心为C位6-a)叩Bl=R-IY!已叫4-J6,C到AB的距离为c(序号）1勺平平(2石）：十il(2a-8、;_ Ji),、2、2二K-1丑6幻、19./19 7.-e,1?.:1,.,:i a=l了了，：-ICFI:.=1？士i-=169 2 2 _J;勹，；勹i、三，、三玉、.,.-.,.-.l、所求的圆的方程为i 19;，于、169 i.X-：十iv+.:.!=-.“鲁、.2!-?、二J-J,-【解析】(I)设A(x1,y1),B(x扣沪),F(l,O)，重心G(x,y),)1 2=4x,y2-4y+4m=O,广汁m=O汕0玉l且x(7分）(2)若m=-2,则y2-4y-8=0,设AB中点为（入o,yo,):.yo=宁2,心yo-m=2-m=4,那么AB的中垂线力程为x+y-6=0,令D.ABF的外接圆圆心为C(a,6-a),又IAB|勹巨Y21=4拆，C到AB的距离为d=,12a-s1 迈+(6-a芦a=,19 2:.c占的坐标为詈勹:.1c旰勹尸（计:9,:所求的圆的方程为（X罕尸（y+订:习CAJ=JC平(2石）千了）2=(a-1