2022年高考真题数学（浙江卷）试题(含答案解析).pdf

2022年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学姓名 准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4 页，选择题部分1至 3 页；非选择题部分3 至4 页.满 分 150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：如果事件A,B互斥，则 柱体的体积公式P(A +B)=P(A)+P(B)如果事件4,8相互独立，则P(A 8)=P(A)-P(8)V=Sh其中S表示柱体的底面积，/7表示柱体的高锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p,则次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P“(k)=CA(1-p)j(Z =0,1,2,)台体的体积公式V 小+糜+S2)其中S1,S2表示台体的上、下底面积，力 表示台体的高V-Sh3其中S表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式S=4万店球的体积公式4 ,V=-TTR33其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A=1,2 ,B =2,4,6 ,则()A.2 B.1,2 C.2,4,6 D.1,2,4,6)2 .已知a,/?eR,a +3 i =(Z?+i)i (i 为虚数单位)，则()A.a-,b-3B.a ,h 3C.a =-l,b =3 D.a =1,0 =33.若实数X,y满足约束条件x 2 2 0,2九+y-7 W 0,贝！J z =3 x +4 y的最大值是(X y-20,)A20B.1 8C.1 3D.64.设尤w R,则“si n%=l”是“cosx =0”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积（单位:cn?）是（）A.2 2兀B.8 7 12 2C.7 C31 6D.n36.为了得到函数y =2 si n3 x的图象，只要把函数y =2 si n 3 x +g）图象上所有的点（)A.向左平移个单位长度B.向右平移2 个单位长度C.7 T向左平移一个单位长度1 5D.7 T向右平移一个单位长度1 57.已知2 =5,1（吸3 =8，则4心=（A.25B.5C.2 59D.)538.如图，已 知 正 三 棱 柱 =E,尸分别是棱BC4G上 的 点.记 所 与A4所成的角为a ,E户与平面A B C所成的角为夕，二面角P BC-A的平面角为/，则（）A.a (3 yB.f 3 a yC./3 y aD.a y P9.已知若对任意 R,a|x-/?|+|%4|一|2天一5|之0,则()A.a 3 B.4 Z 1,/?1,/?3 D.a l,b 310.己知数列%满足q =1,。+=。一$贝ij()5 5 7 7A.2 IO。0n -B.100。1no 3 C.3 100tz.m D.100tzim 1,cos 2尸=_ _ _ _ _ _ _ _ _若当工 出力 时，l 4/(x)。力 0)的左焦点为居 过尸且斜率为的直线交双曲线于点斗(玉,X)，交双曲线的渐近线于点3(%，%)且 玉 0 l.记%的前项和为S”(e N*).(1)若$4-2a 2a 3+6 =0，求 S.；(2)若对于每个 e N*，存在实数c“，使4+c“,氏+1+4%,凡+2+1 5q,成等比数列，求d的取值范围.21 .如图，已知椭圆.+y 2=i.设A,B是椭圆上异于P Q 1)的两点，且点。(0,；)在线段A8上，直线 分 别 交 直 线y =g x +3于C,。两点.(1)求点P到椭圆上点 距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.A22.设函数/(元)=+l n x(x 0).(1)求X)的单调区间;(2)已知a,b e R,曲线y =/(x)上 不 同 三点(%,/(西),(工2，/()，(工3，/(七)处的切线都经过点(a,b).证明:(i)若a e,则0 c b _/(&)万(ii)若 0 Q e,玉 /1-p)-(女=0,1,2,-,n)台体的体积公式v=；(E+斥+2及其中S i.s?表示台体的上、下底面积，力 表示台体的高V-Sh3其中S表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式S=4TTR2球的体积公式4 ,3其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=1,2 ,8 =2,4,6 ,则()A.2 B.1,2 C.2,4,6 D.1,2,4,6)【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】AUB=1,2,4,6 ,故选：D.2 .已知a,0 e R,a +3 i=（/?+i）i （i 为虚数单位），则（）A.a=l,b=3 B.a=l,b=3 C,a=,h=-3 D,a=i,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求。,从【详解】a +3 i=l+，而。力 为实数，故。=-1,。=3,故选：B.x 2 0,3 .若实数x,y 满足约束条件 2 x+y 7 4 0,则 z =3 x+4），的最大值是（）x-2 0,A.2 0 B.1 8 C.1 3 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z =3 x+4 y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：x=2 x=2 /、由 c r c 可得 c,故 A 2,3),2 x+y-7 =0 1 y=3故 Z m a x=3 x 2 +4 x3 =1 8，故选：B.4 .设X ER,贝 飞缶工=1 是 35尢=0 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为si n?x+c o s?x=l可得：当si n x=l时，c o sx=0,充分性成立；当c o sx=0时，si n x=l,必要性不成立：所以当x e R,si n x=l是c o sx=0的充分不必要条件.故选：A.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c m3）是（）1 6D.7 13A.22K B.8兀 C.T t3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1 cm,圆台的下底面半径为2 cm,所以该几何体的体积V=X 7r xl3+7r xl2x2+-x 2 x（7tx23+7i xl：:+VK X22 xn xl2）=cm3.2 3 3 1 ）3故选：c.6.为了得到函数y =2si n 3x的图象，只要把函数y =2si n 3x+：J图象上所有的点（）7TT TA.向左平移二个单位长度 B.向右平移个单位长度兀7 1C.向左平移一个单位长度 D.向右平移一个单位长度1 5 1 5【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.【详解】因为y =2si n 3x=2si n +|,所以把函数y =2si n（3 x+1）图象上的所有点向右7 T平移西个单位长度即可得到函数y =2si n 3x的图象.故选：D.7.已知2 =5,l o g 8 3=b,则4丘3 6=（）25 5A.25 B.5 C.D.-9 3【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.14 （2）5 2 25【详解】因为2=5,=l o g83-l o g23,即2汕=3,所以4 昉=而=/8 =丁 =玄.3 4（2功）39故选：C.8.如图，已知正三棱柱A B C 44G，A C =AA，E,尸分别是棱B C，AG上 的 点.记 所 与A A 1所成的角为a,E/与平面A B C所成的角为 夕，二 面 角/-BC-A的平面角为/,则（）A.a P yB.P a yC./3 yaD.a y /3【答案】A【解析】【分析】先用几何法表示出外B，/.再根据边长关系即可比较大小.【详解】如图所示，过点尸作F P L A C于P,过P作于连接PE,则 a=NEFP，P=NFEP,y=FMP,tana=PEFPABtanp=殁4tan/=&2必 加 PE PE PM PE所以aW/W y,故 选:A.9.已知a,R,若对任意XR,|X-A|+|X-4|-|2X-5|2 0,则（）A a3B.a.bl,b3D.al,h3【答案】D【解析】【分析】将问题转换为a|x 以2x 5|一|不一4 ,再结合画图求解.【详解】由题意有：对任意的x w R,有|工一以2x 5|一|x 4|恒成立.设%)=|工 _ 力g(x)=|2 x-5|-|x-4|1 X,X W 一23x-9,x 4即尤)的图象恒在g(x)的上方(可重合)，如下图所示:故选：D.10.已知数列 叫 满足=l,a“+i=a”一；d（eN*）,则（）5 5 7 7A.2100。1U U 2 B.一2 1004In5oJ 3 C.3 100t7jm 2 D.2100 10n 彳,累加可求出一 -(r t+2),得出1004Go 3,再利用%+i%3-。“3 an 3。向4L=3 1 a,一3二!一一=13（1 +_!+_ J 累加可求出1 1|.2【详解】V,=1,易得4 =e（0，l），依次类推可得（0,1）再次由 题 意,n+1 1-11 3,1 1即 4+1 4。一%）a 3-ani i1 1-一%a.3-4，3,111111即-,-a2 4 3 a3 a2 3_ L _ J _ _ L 1a4 a3 3 1 1 ,c、-,(2),an-3累加可得,即-：(+2),(2 2),a”3 an 33/、1 1 0 0 /+2 几_ 2)即Go o -34 1 111 17=3 +2_-=-2)+1i ia2 q231 +11i _ _ i _2a2 3a4 a3 3J _ _ _ _1 _a“%3用,1 ,1/累加可得1 彳(31 f 1 1 z,、311-1 33+-(-+-+-+|33+-1|-1x 4 +-1x 9 4|39,“2 3 99 J 33(22 66)即|；综上：l OOt Ji o Q 2 2填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=H-c 2a2-I 2，其中 a,b,c 是三角形的三边，S 是三角形的面积.设某三角形的三边4=血,。=百,0 =2，则该三角形的面积S=.【答案】叵.4【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出.辛 侪71 田小 C 1 2 2 fc2+2-2Y 1 LV9/4+2 3丫 723【详解】因为S=J c a-，所以S=J 4x2-=-I 2)4 I 2 J J 4故答案为：叵.412.已知多项式(X+2)(%-1)4=%+/+。4%4+%/，则。2=%+。2 +/+。4 +。5 =.【答案】.8.-2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 =0求出与，再令X=1即可得出答案.【详解】含尤2项为：x C：x-(iy+2-C%x2.(1)2=7 x 2 +12x2=8x2,故=8；令 x=0,即 2=q),令九=1 ,艮|J 0=。0+4+。2+。3+。4+。5，。+出+生+。4 +。5 =-2,故答案为：8；2.13.若3sina sin，=,则sina,cos 2=【答案】.上 叵 .-10 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a,接下来再求夕.【详解】a+/=,sin/?=cosa,即 3sina cosa=，艮网等sin a-噜c o s m令sin8=*W噜,则 V15sin(a-9)=5/i5,：.a-9 =%+2kjv,k e Z、即=8+2%乃，sin a=sin。+巳+2Z)I 210则 c o s 2=2c o s 2 夕一 1 =2s i n2 l,.X（i n则/5 =若当时，则A a的最大值是一【答案】【解析】c 37.28.3+G#舟 3【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值功的最大值即可.1 1 V 7 7 7 4 37【详解】由已知/(/=一f +2=；，/北+厂1 =忌,所 以/吗啜,当 xW l 时，由 l /(x)4 3 可得 1 一%2+2 1 时，由 l K/(x)K 3 可得 l V x+工-1 K 3,所以 l x 4 2 +百,X1 4/(X)3等价于-1 4 x 4 2+百，所以口 向0一1,2 +6 ,所以匕一a的最大值为3 +6.故答案为：，3 +J .2 81 5.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为久 则 尸4=2)=,E4)=.【答案】,.#1-3 5 7 7【解析】【分析】利用古典概型概率公式求尸C=2),由条件求4分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1 2 2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C：+C；C：种，所以P=2)=,；=,由己知可得占的取值有1,2,3,4,D至唱S 噜C2 3 1 1,p(g=3)=,P(=4)=G 35 1 7 C 35所以E e）1X12+2X +3XA+4X=35 35 35 35 7故答案为：3512T2 216.已知双曲线-1 =130力 0）的左焦点为凡 过尸且斜率为“的直线交双曲线于点A（%,y）,交双曲线的渐近线于点6（%，%）且 石 0彳 2.若|F B|=3|E 4|,则双曲线的离心率是【答案】巫4【解析】h【分析】联立直线A 3 和渐近线/,：）,=x 方程，可求出点8,再根据|F 8|=3|E 4|可求得点A,最后a根据点A 在双曲线上，即可解出离心率.b b b【详解】过尸且斜率为 的直线A 3:y =（x+c）,渐近线4：丁二一x，4。4。a联立 4。，得FB=3FA,得 -b 3 3a）9 9a Jy=xI a而占人左m 曲砧L H1 325c2 b2c2 1能,旦 c2 81 后1“南、药 3娓而点A 在双曲线上，于TH-.-=1 J解得：,所以离心率e=-.8 1/8 1/a2 24 4故答案为：巫.41 7.设点p在单位圆的内接正八边形444的边44上，则 而;+%?+.+忒 的 取值范围是【答案】1 2 +2&J6【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，4A 3所在直线为X轴，44所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设p（x,y）,再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到P A1 +P A2 +-+P A8 =8（X2+/）+8,然后利用c o s 2 2.5Y|OP区 1 即可解出.【详解】以圆心为原点，4A 3所在直线为X轴，A A所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：g,(0,-1),4（也也A 一#，自，设尸（羽丁）,于是丽；+丽;+：=8卜2 +/）+8,因为c o s 2 2.5 W|O P|W l,所以l+c；s 4 5.2 +y 2 ,故 西；+；+所;的取值范围是 1 2 +2 7 2,1 6 .故答案为：1 2 +2 ,1 6 .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 8.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为小b,c.已知4 =&c,c o s C =g.(1)求s i n A的值：(2)若人=1 1,求AABC的面积.【答案】(1)；5(2)2 2.【解析】【分析】(1)先由平方关系求出s i n C,再根据正弦定理即可解出；2 2 2(2)根据余弦定理的推论c os C=一厂以及4 a =&c可解出”,即可由三角形面积公式labS=L a/?s i n C求出面积.2【小 问1详解】3 4 1-由于c os C=,0 l .记 4的前项和为S“(eN*).(1)若 S 4 -2 a 2 a 3 +6 =0，求 S“；(2)若对于每个 e N*，存 在 实 数%,使4+4%,。“+2 +1 5%成等比数列，【答案】(1)S“二 (eN*)2(2)l d L所以d=3,所以为=3-4 ,所以 S =(q+%)=3、5,2 2【小问2详解】因为 an+l+4 c ,a“+2+1 5 q,成等比数列，所以(。的+A,)=(+%)(4+2 +1 5%)，(4-l +4 q J =(-l+nd-d+cn)(-l+nl+d+1 5cn),c：+(1 4 d-8nd+8)c+J2=0,由已知方程c；+(1 4 J-8 M+8)g +d2=0的判别式大于等于0,所以 =(1 4 d 8加 +8)2 4 i/2 2 0,所以(1 6 4 8加/+8)(1 2-8加+8)2 0对于任意的 w N*恒成立，所以(“一2一1 (2-3 一2 2 0对于任意的6 1 0,当=2时，由(2 d-2 d-l)(4 d 3 d 2)2 0,可得d 4 2当3时，(n-2)J-l (2 n-3)J-2(n-3)(2 n-5)0,又dl所以l J _ 6 后,2|3 左+1|5|3%+1 -5|3A +1|5当且仅当 时取等号，故|C D|的最小值为竽.【点睛】本题主要考查最值 计算，第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题.2 2.设函数/(x)=f +I nx(xO).2x(1)求 x)的单调区间；(2)已知a,/?eR,曲线y =/(x)上不同 三点(%,/(芭),(2，/(工2)，(3，/(%3)处的切线都经过点(a,b).证明:(1)若”6,则0 0-/(。)；/_1 1;2 e-a 1 1 2 e-a(i i)若。v e,$/工3，则 一 +/2 一+-7 T .e 6 e 2 x3 a 6 e(注:e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数)【答案】X)的减区间为(o,9 ,增区间为1,+8 .(2)(i )见解析；(i i)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(i )由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(i i),X.a 2k=,则题设不等式可转化为乙+八一2 *玉 e m(m-1 3(m2 一机+1 2)-d7一L,结合零点满足的方36/(4+幻程进一步转化为I n m +-17 2(m+l)0,利用导数可证该不等式成立.【小 问1详解】/(力=-32x-e2x2当0 x|,/g x)0,故/(x)的减区间为0,、,4-00./【小问2详解】(i)因为过(a,。)有三条不同的切线，设切点为(E,/(七)=1,2,3,故/(%)匕=,故方程力一力=/(力(工-。)有3个不同的根,该方程可整理为x 2x2 ex-ci)-In x+/?=0,2x设 g(x)x-ae 1 ,-In x+Z?,2x+卜(了1 +了e(/、匕 1 +彳e,“X)的 增 区 间 为 1 e则 9合1一彳(x-e)(x-a),当0 x a时，g )0；当e x 0,故g(x)在(0,e),(a,+oo)上为减函数，在(e,a)上为增函数,因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,故ee-a)-lne+0,1 ea e整理得到：h -YG=f (a),此时-12 ea+41-2ea 1 3 e-1 =-in a,2e 2 2 2。3 e设(Q)=5-In ci t 则/(Q)=e-2。2a20,3 e故()为(e,+8)上的减函数，故(卜万一-lne=0,故0(一 1).(i i)当Ov e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(O,a),(e,+a)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 xl x2 x3 f 则。玉 。/v e&，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得到：-1-1 /?-bln。，2e 2e因为王 X2 X3,故0 玉 Q e V X3，/、Q +e ea,又 g(x)=1-+-Inx+Z7,X N X设，=，=/?G(0,1)，则方程l-1-5 lnx+/?=。即为:x e x 2x2a+ee e e记:=一，/2 =一也=一，x x2 x3则为一(m+l)，+,产+lnf+8=0有三个不同的根,要证:2 e a I I 2 e a e a 2e e a一+-十 TT，即证2+r3-e 6e-x,x2 6e 6e a 6e即证:13-m2 -m即证:13-mzi+t3-o2 -m0,不即证:2(m-l3)(/n2-m+12)t,+人一2-7-r-m 3 6/7 7&+，3),27 777而一(zn+l)：+Z j2+lntx+6=0且一(加+1).+lnZ3+Z?=O ,故 I nZ j In-，；)一(?+1)(4 _g)=0,-2 2 I n t,-I n L rl+r3-2-=-x-故即证:2*I n.I nq,则/，(女)=1一；一21晨 0,)k-1 仅-1)1 人 71 1 2 2 2设“()=&-21 nA ,则(4)=1 +不一一-=0即0 (左)0,k k k k k故9(Z)在(l,+oo)上为增函数，故(p(k)(p(m),所以(k+1)如 女(m-1 3)(m2-m+1 2)(z n+l)lnm(m-1 3)(w2-/n+1 2)k-l-7 2-1 2记 6 y (z)=I n m +1 3)(z n2 机+1 2)7 2(加+1),Qml,(m一 1)-(3 d-20/-4 9，”+72)(加一 1)-(3，/+3)7 2 机+72 2(Z+1)所以少(利)在(0,1)为增函数，故6 y(2)勿(1)=0,j,(加一 1)(加一 1 3)(/一根+1 2)(m +l)lnm(m-l3(m2-m +l2)故 I n m +-o,7 2(任1)m-1 7 2故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.