2022-2023学年江苏省苏州某中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）.pdf

2022-2023学年江苏省苏州十六中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一.选 择 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1.。的半径为6cm,点 A 到圆心O 的距离为5cm,那么点4 与 的 位 置 关 系 是（）A.点A 在圆内 B.点A 在圆上 C.点 A 在圆外 D.不能确定2.下列命题中，正确的是（）A.三个点确定一个圆B.等弧所对的圆周角相等C.直角三角形的内心与外心重合D.与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线3.如图，是半圆的直径，点 O 是总的中点，ZABC=50,则ND4B等 于（）4.如图，A 2是 的 直 径，弦于点E,已知，8=8,AE=2,则。0 的半径长5.如图，AB是。0 的直径，点 C、。在上，ZCDB=20,过 点 C 作。的切线交AB的延长线于点E,则/E 等 于（）A.40B.50C.60D.706.小 明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）B.第块C.第块 D.第块7.如图，四边形A8CZ）是。的内接四边形，ND4B与NOCE的关系是（）C.互补 D.无法确定8.若将半径为12c,的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A.2cm B.3cm C.4ctn D.6cm9.如 图 1,一个扇形纸片的圆心角为90,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠，使点A 与点。恰好重合，折痕为C。，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）10.一个长为4”，宽 为 3c机的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板 点 4 位置的变化为A-4-A 2,其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成 3 0 的角，则点4 滚到4 位置时共走过的路径长为（）7 23 4 5A.Jlcir B.-n cir C.Jlcir D.Tlcir2bsz二、填空题(本大题共8 小题，每小题3 分，共 24分)1 1 .半径为4的圆内接正三角形的边长为,面积为.1 2 .过。内一点M的最长弦为l O c/n,最短弦长为8 c m,那么O M的长为 cm.1 3 .如图，A、B、C是。上的三个点，Z A B C=1 3 0 ,则NAOC的度数是.1 4 .已 知 直 角 的 两 直 角 边 的 长 分 别 为 6、8,则此直角三角形的内切圆的半径为.1 5.如图，四边形A B C。是菱形，。0经过点A、C、D,与 BC相交于点E,连接A C、A E.若Z D=7 8 ,则N E A C=.1 6 .圆锥形冰淇淋的母线长是1 2 c,侧面积是6(h r c v n 2,则 底 面 圆 的 半 径 长 等 于.1 7 .如图，直线y=-圣+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点 P是以C (-1,0)为圆心，1 为半径的圆上一点，连接P A,P B,则 P A B 面积的最大值为1 8 .如 图，在扇形AOB中，/A O B=9 0 ,。4=2,点 C是弧AB上一点，C D L O B,垂足为 D,点 P是 O C C 的内心，连接AP,则 AP的最小值为.三、解 答 题(本大题共9小题，共7 6分)1 9 .如图，在。中，半径O A _ L O B,N B=2 8 ,求/B O C的度数.2 0 .如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C,其中点2坐 标 为(4,3).(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心。的坐标(2)的半径为.(3)求仄丽的长(结果保留T T)2 1 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1 0,0),点B的坐标为(8,0),点C、。在以O A为直径的半圆”上，且四边形。C Q B是平行四边形，求点C的坐标.2 2 .如图，是。的直径，B是令的中点，弦AC、0 8的延长线交于点E,弦A。、C B的延长线交于点F.(1)求证：B E=B F；(2)若 8。=3,C E=4,求。的直径.2 3 .如图，点A、8在。0上，直线A C是。的切线，O C _ L O B,连接A B交0 C于点.(1)求证：A C=C D；2 4 .在矩形ABC。中，点0在对角线B D上，以0 D为半径的。与AD.B D分别交于点E、F,且(1)求证：2 E与。相切;2 5.如图，已知 ABC内接于。O,是直径，点力在。上，0 D/B C,过 点 力 作O EL A B,垂足为E,连接C C交。边于点F.(1)求证：X D O E s NBC；(2)求证：N 0 D F=N B D E；(3)连接0 C,设 O O E的面积为与，四边形BC。的面积为S 2,若 井=二求 s in A的值.c2 6 .如图所示，菱形ABC。的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点。在y轴的正半轴上，/8 4。=6 0 ,点A的坐标为(-2,0).(1)求线段A O所在直线的函数表达式；(2)动 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A=D=C=B=A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为，秒、求，为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线A C相切.2 7 .在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点4坐 标 为(1,0),以0 4为边在第一象限内作等边O AB,C为x轴正半轴上的一个动点(O C 1),连 接B C,以B C为边在第一象限内作等边 BC D,直线D 4交)，轴于E点.(1)如图，当C点在x轴上运动时，设A C=x,请用x表示线段A O的长；(2)随着C点的变化，直线A E的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线A E的解析式.(3)以线段B C为直径作圆，圆心为点凡 当C点运动到何处时直线E F直线B0?此 时 和 直 线B0的位置关系如何？请说明理由.G为C C与。尸的交点，为直线。尸上的一个动点，连接，G、HC,求HG+/C的最小值，并将此最小值用x表示.参考答案一.选 择 题（本大题共有1 0小题，每小题3分，共3 0分）1 .。的半径为6cm,点、A到圆心。的距离为5cm,那么点4与。的位置关系是（）A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.解：Q O的半径为6 a”，点A到圆心O的距离为5cm,即点A到圆心O的距离小于圆的半径，.点A在。内.故选：A.【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。的半径为/，点P到圆心的距离O P=d,则有点P在圆外时，d r；点尸在圆上时，d=r；点尸在圆内时，d ,根据圆周角定理得NA B D=Z C B D,贝 ijNA8=25,再根据直径所对的圆周角为直角得到N4OB=90,然后利用三角形内角和定理可计算出ND 4B的度数.解：连接B。，如图，:点。是余的中点，即弧。=弧 4。，；.NABD=NCBD,而N4BC=50,：.ZA B D=X50=25,2；AB是半圆的直径，:.NADB=90,：.ZD AB=90-25=65.故选：C.【点评】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角.4.如图，A 8是。的直径，弦 C C A B 于点E,已知，CD=8,A =2,则。的半径长是（）A.10 B.6 C.5 D.3【分析】连接O C,根据垂径定理求出C E,根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.解：设半径为R,是。的直径，弦 C C A B 于点E,CD=8,：.ZCEO=90 ,C E=D E=4,由勾股定理得：OCCG+OE1,R2=42+(R-2)2,解得：R=5,则。的半径长是5,故选：C.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能求出CE=D E是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦.5.如图，AB是。的直径，点 C、。在。上，ZCDB=20 ,过 点 C 作。的切线交A 8的延长线于点E,则/E 等 于()A.40 B.50 C.60 D.70【分析】连 接 O C,如图，根据切线的性质得NCOE=90,再根据圆周角定理的性质得Z A=Z C D B=2 0a,于是得到NCOB=2N4=40,然后利用互余计算N E 的度数.解：连接O C,如图，为切线，OCA.CE,：.ZCOE=90 ,：N 4=N C)B=20,.N C O B=2/A=40,在 RtaOCE 中，ZE=90-Z C O=50.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.6.小 明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）B.第块C.第块D.第块【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第块可确定半径的大小.解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线,就交于了圆心，进而可得到半径的长.故选：B.【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.7.如图，四边形ABC。是。的内接四边形，/D 4 B 与NOCE的关系是（）互余C.互补D.无法确定【分析】根据圆内接四边形的性质和邻补角的概念解答即可.解：；四边形A8CC是。的内接四边形,：.ZDAB+ZDCB8Q0,VZC+ZDCB=180,，ZDAB=ZDCE,故选：A.【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.8.若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是()A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm【分析】易得圆锥的母线长为12c?，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2 n 即为圆锥的底面半径.解：圆锥的侧面展开图的弧长为2TTX 12+2=12T T(c m),圆锥的底面半径为12n+2n=6(c m),故选：D.【点评】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.9.如 图 1,一个扇形纸片的圆心角为90,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠，使点4 与点O 恰好重合，折痕为CD 图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为()【分析】连 接。，如图，利用折叠性质得由弧A。、线段AC和 C。所围成的图形的面积等于阴影部分的面积,A C=O C,则 OQ=2OC=6,C Q=3 j,从而得到NCQO=30,NCOO=60,然后根据扇形面积公式，利用由弧4 0、线段AC和 CO所围成的图形的面积=S 扇 形 A O -S2C OD,进行计算即可.解：连接0。，如图，,扇形纸片折叠，使点4 与 点。恰好重合，折痕为CQ,：.AC=OCf：.OD=2OC=6,:CD=52-32,：.ZC D O=30,/。=60,2由弧A。、线段AC和CD所围成的图形的面积=S M A O D-SA W=鲍&国_-lx 3360 2X 3 百=6TT-，阴影部分的面积为6 7 r -生巨.故选：A.【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.记住扇形面积的计算公式.也考查了折叠性质.1 0.一个长为4 c m,宽 为3 c m的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板 点 A位置的变化为A-4fA2,其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30的角，则点A滚到上 位置时共走过的路径长为（）7 23 4 5A.c i r B.-r-T T c n C.JT c n D.T T c i rN b S /【分析】将点4 翻滚到A 2位置分成两部分：第一部分是以3 为旋转中心，B A 长 5cm为半径旋转9 0 ,第二部分是以C为旋转中心，4c 加为半径旋转60 ,根据弧长的公式计算即可.解：.,长方形长为4cmf宽为3c/w,.A B=5cmf第一次是以8为旋转中心，8 A 长 5c 7%为半径旋转9 0。，此次点A走 过 的 路 径 是 义 工 芋=2 口 （cm）,180 2第二次是以C为旋转中心，4a”为半径旋转60 ,此 次 走 过 的 路 径 是 吗 芦=金（5。，180 3，点 4 两次共走过的路径是名兀+卷JT （cm）.2 3 6故选：B.【点评】本题主要考查了弧长公式/=里卢，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同.180二、填 空 题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24分）11.半径为4 的 圆 内 接 正 三 角 形 的 边 长 为 一 百 面 积 为 12、万.【分析】欲求 A B C 的边长，把 A B C 中 BC边当弦，作 BC的垂线，在中,求BD的长；根据垂径定理知：B C=2 B D,从而求正三角形的边长，再根据三角形的面积公式求出面积即可.解：如图所示：.半径为4 的圆的内接正三角形，在 R t ZX B O。中，08=4,ZOB D=30 ,.*.B D=c o s 30 X 0 B=掾 X4=2%,:B D=C D,:.B C=2 B D=4 g,故它的内接正三角形的边长为4 ,O D=OB=2,2即 40=4+2=6,所以 A B C 的面积为义4X 6=12百，故答案为：4遥，123.【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出/。8。=30是解题关键，此题难度一般，是一道比较不错的试题.12.过。内一点M 的最长弦为10c”?，最短弦长为8 c?“，那么0A 7的 长 为 3 c m.【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出.解：由已知可知，最长的弦是过M 的直径AB最短的是垂直于直径的弦C D,最短的是垂直平分直径的弦C Z）,已知 AB=10。*，C D Scm,则 0D=5cm,M D=4cm,由勾股定理得0M=3c?.【点评】此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用.13.如图，A、B、C是O 上的三个点，NA8C=130,则NAOC的 度 数 是100【分析】首先在优弧AC上取点。，连接AZ),CD,由圆的内接四边形的性质，可求得NAOC的度数，然后由圆周角定理，求得/A O C的度数.解：如图，在优弧AC上取点。，连接A。，C D,；N A 5c=130,：.ZA D C=lS0-ZA B C=50 ,.NAOC=2NAZ)C=100.故答案为：100.【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.14.已知直角ABC的两直角边的长分别为6、8,则此直角三角形的内切圆的半径为2.【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，即可计算出内切圆半径.解：直角三角形的两直角边分别为6,8,.直角三角形的斜边是：62+g 2=|(),内切圆的半径为：(6+8-10)4-2=2.故答案为：2.【点评】此题考查了三角形的内切圆的知识与勾股定理的知识.解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.15.如图，四边形A B C Q是菱形，。0经过点A、C、D,与B C相交于点E,连接A C、A E.若Z D=7 8 ,则 N E A C=2 7 .【分析】根据菱形的性质得到(1 8 0 -Z D)=51。，根据圆内2 2接四边形的性质得到N A E B=/O=7 8 ,由三角形的外角的性质即可得到结论.解：；四边形A BC。是菱形，/。=7 8 ,：.ZA C B=Z D C B (1 8 0 -N D)=51 ,2 2四边形A E C D是圆内接四边形，:.N A E B=N D=78 ,ZE A C=ZA E B -ZA C E=21,故答案为：2 7.【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练学握菱形的性质是解题的关键.1 6.圆锥形冰淇淋的母线长是1 2 C 7 7?,侧面积是6 0 7 T C 7 H 2,则底面圆的半径长等于5c,加.【分析】设圆锥的底面圆的半径长为rem.根据圆锥的侧面积公式构建方程即可解决问题;解：设圆锥的底面圆的半径长为W加.则工 X2nrX 12=60n,2解得：r=5(c m),故答案为5cm.【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.1 7.如图，直线y=-g x+6 与 x 轴、y 轴分别交于A、8 两点，点 P 是以C(-1,0)为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA,P B,则P4B面 积 的最大值为32【分析】求出A、B 的坐标，根据勾股定理求出A B,求出点C 到 4 8 的距离，即可求出圆 C 上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可.解：；直 线 产-与+6 与尤轴、y 轴分别交于A、B 两点，4；.A(8,0),B(0,6),；.OA=8,OB=6,AB=10,点P 是以C(-1,0)为圆心，1为半径的圆上一点，过 C 作 CMLAB于连接BC,SAABCX 10X CM X 6X 8H -X 1X6,2 2 2：.CM=97,5当P,C,M 在一条直线时，PM最大，即APAB的面积最大，即 PM=+=,5 5.PA8面积的最大值=X X 10=32,2 5故答案为：32.【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线A 8的最大距离，属于中档题目.1 8.如图，在扇形AOB中，N4O8=90,0 4=2,点 C 是弧4 8 上一点，C D L 0 8,垂足为。，点尸是0C。的内心，连接A P,则 A P 的 最 小 值 为 记 二【分析】根据三角形内切圆的性质证明NOPC=135,连 接 P B,然后证明COP妾ABOP(SA S),可得/O PC=N O PB=135,作0 P 8 的外接圆，圆心为0,连接。O,O B,根据圆周角定理可得N 0 0 3=90,得 0。=M，连接O A 交圆于点P ,此 时 的 最 小，过点。作 O 4 0 的延长线于点E,证明a。0 E 是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可解决问题.解：-：CDLOB,.*.ZODC=90,：.ZCOD+ZDCO=90,:点尸是OCQ的内心，：.PO,PC 分别平分NCOQ,ZDCO,：.ZPOC+ZPCO=(ZCOD+ZDCO)=45,2A ZOPC=135 ,如图，连接尸8,在COP和BOP中，O C=O BC=90,然后由弧长公式，求得答案.解：（1）如图，作线段AB与 BC的垂直平分线，交点即为点圆心。的 坐 标 为:(2,-1)；故答案为(2,-1)；(2)连接A O,则 AD=VAE2+D E2=7 22+42=2收；故答案为：2，；(3)在4。尸和 D C G中，D F=C G=2/MC2-CF2=V52-42=3.点C的坐标为(1,3).【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线.2 2.如图，A B是。的直径，8是而的中点，弦A C、0 8的延长线交于点E,弦A Z)、CB的延长线交于点F.(1)求证：B E=B F；(2)若 B O=3,C E=4,求。0 的直径.【分析】(1)根据圆周角定理得到N A C B=/A O 8=9(T ,再利用圆心角、弧、弦的关系得到B C=B D,然后证明A B C E出 BDF,从而得到结论；(2)先利用勾股定理计算出B E=5,再证明A C=A D,设A C=A D=x,在中利用勾股定理得到/+8 2=(x+4)2,解方程得到A C=6,然后利用勾股定理计算A B即可.【解答】(1)证明：是。的直径，.乙4。?=乙4。8=9 0,.B是面的中点，B C=B D，：.BC=BD,在8 C E和B。尸中，Z B C E=Z B D F，B C=B D ，Z C B E=Z D B F:.A B C E乌 A B D F(A S A),:.BE=BF；(2)解：,:B C=B D=3,而 CE=4,*-B E=VBC2-K：E2=VS2+42=5，VC=VA B2-B C2 A =VA B2-B D2)而 BC=BD,：.AC=AD,设 A C=A Z)=x,在 R t Z V L D E 中，x2+82=(%+4)2,解得 x=6,即 A C=6,在 Rt/MCB 中，A B=yj+=3近,即。的直径为3娓.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.2 3.如图，点 A、8 在。0 上，直线AC是。的切线，O C L O B,连接AB交 OC于点。.(1)求证：AC=CD；【分析】(1)由直线A C是。的切线，O C 1O B,易得NADC=NDAC,根据等角对等边，可得AC=CD；(2)由ta n/O C 4=Y 5,可 得 处 无，则可设A C=2 x,则人。=遥 ，由勾股定理,2 A C 2求 得 O C=3 x,继而可表示出AC=C=2x,可得OC=2尢+1,即可得方程3 x=2 x+l,继而求得答案.【解答】(1)证明：,直线4 C 是。的切线，:.OA.LAC9：.ZOAC=90,即NOAB+ND4C=90,:OCLOB,：.ZB+ZODB=90,.OA=OB,：./B=N D A B,9：Z O D B=Z A D C1：.Z A D C=Z D A Cf：.A C=C D；(2)解：在 RtaOAC 中，Z O A C=9 0Q,tan N OCA=。，2,O A 遍 二-,AC 2设 A C=2 xf 则 AO=yx,由勾股定理得：OC=3x,；AC=CD,.AC=CD=2xt；OD=1,OC=2x+l,.2x+l=3x,解得：x=l,：.AC=2.【点评】此题考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.2 4.在矩形A8CD中，点。在对 角 线 上，以 0。为半径的。与 A。、8力分别交于点、F,且 N A 5E=/O 3C.(1)求证：BE与 相 切；(2)sinZABE=,C D=2,求。0 的半径.3【分析】(1)首先连接。E,由四边形A8CQ是矩形，/A B E=N D B C,可证得N2+N1=90,即可得NBEO=90,则可证得BE与。相切；(2)由 sinNABE=2，CD=2,NABE=NDBC,则可求得 8C、AE,8E 的长，继而可3求得O E的长，然后连接E R易证得AD EFsAD AB,然后由相似三角形的对应边成比例，求得。歹的长，即可得。的半径.【解答】(1)证明：连接。四边形A8CO是矩形，J.AD/BC,ZC=ZA=90.：.Z3=ZDBCf ZABE+Z1=9O.V OD=OE,NABE=NDBC,N 2=N 3=N A B .N2+N1=9O0.：.ZBEO=90.丁点E在。上，3 E与。O相切；(2)解：:NABE=/DBC,/.sin Z DBC=sin AABE=.3VDC=2,ZC=90,:.DB=6,V ZA=90,：.BE=3AE.:AB=CD=2,利用勾股定理，得4七=4，A Q=4 j.：,D E=-.2连接丁。/7是。的直径，：.ZDEF=ZA=90.:,ABEF.:.ADEFSXDAB.DE DFAD BD【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.2 5.如图，已知 A B C内接于A B是直径，点D在。上，O D H B C,过 点 力 作。EL A B,垂足为E,连 接C O交。E边于点E(1)求证：C O E s A B C；(2)求证：N O D F=N B D E；S i 2（3）连接。C,设 O O E的面积为0,四边形B C。的面积为S 2,若求 s i n A【分析】（1）根 据 圆 周 角 定 理 和 垂 直 求 出Z A C B,根据平行得出N D O E=ZABC,根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出N O O E=/A,根据圆周角定理得出N A =N B C,推出 N O O E=/B O C 即可;(3)根据4。七 6 N 4 3。求出品他。=4 5 0=451,求出 S m o c=2 S,求出 2BE=0E,解直角三角形求出即可.【解答】(1)证明：:A B 是。0 的直径，A ZACB=90,9：DE LAB,：.ZDEO=90,：./D EO=/ACB,*：ODBC,：.ZDOE=ZABCf:DOESAABC；(2)证明：,:DOEsXkBC,：.ZODE=ZAfN A 和NBOC是前所对的圆周角,NA=NBDC,：/ODE=/BDC,：/ODF=/BDE；ABC 研4即 SAABC=4SAOOE=4SI,：OA=OB,ABOC=2AABC,S&BOC=2sl,.至节，2=A B 0C +A D O E +A D B E =2 S 1 +5 1 +S&)B E，*,S/kD B E 蒋S y B E 总 O E，9 9即 O E-O B-f O D，o o/.s i n A=s i n Z O D E=-O-E-=2.O D 3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.2 6.如图所示，菱形A B C。的顶点A、8在x轴上，点A在点8的左侧，点。在y轴的正半轴上，N B A D=60 ,点A的坐标为(-2,0).(1)求 线 段 所 在 直 线 的 函 数 表 达 式；(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A=Q=C=8=A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为r秒、求f为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线4 c相切.【分析】(1)在R t Z V l O O中，根据O A的长以及N B A。的正切值，即可求得0。的长,从而得到D点的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式.(2)由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：在R t A O A Q中，易 求 得 的 长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么 N O A C=N B A C=/B C A=N Z)C A=3 0 ；当点尸在线段A。上时，若OP与A C相切，由于N P 4 C=3 0 ,那么A P=2 R(R为0P的 半 径)，由此可求得月。的长，即可得到，的值；的解题思路与完全相同，只不过在求f值时，方法略有不同.解：（1）.,点 A 的坐标为（-2,0）,ZBA=60,ZAO=90,.O=04tan6O。=2我，.点。的坐标为（0,2百），（1分）设直线AD的函数表达式为ykx+b,f-2k+b=0lb=2V 3解得44=如b=2V3二直线AD的函数表达式为丫八bX+2V3.（2）.四边形ABCO是菱形，.N O C B=N aW=6（r ,A Z 1 =Z 2=Z3=Z4=30,AO=DC=CB=BA=4,如图所示：点P 在 A上与AC相切时，连接 PE,则 PiE A C,PiE=r,：/1=3 0 ,.A P=2r=2ft=2.点 P 在。上与4 c 相切时，CP2=2r=2,：.A D+D P2=69 =6.点 P 在 8C 上与AC相切时，CP3=2r=2,A+C+3=10,.73=10.点 P 在 AB上与AC相切时，4P4=2r=2,:A D+D C+C B+B P4=14,AM=14,.当，=2、6、10、14时，以点P 为圆心、以 1为半径的圆与对角线AC相切.【点评】此题主要考查了一次函数解析式的确定、解直角三角形、菱形的性质、切线的判定和性质等；需要注意的是（2）题中，点 P 是在菱形的四条边上运动，因此要将所有的情况都考虑到，以免漏解.2 7.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点 A 坐 标 为（1,0）,以 OA为边在第一象限内作等边045,C 为 x 轴正半轴上的一个动点（OC1）,连 接 B C,以 8C 为边在第一象限内作等边B C D,直线D 4交），轴于E 点.（1）如图，当 C 点在x 轴上运动时，设 A C=x,请用x 表 示 线 段 的 长；（2）随着C 点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式.（3）以线段3 c 为直径作圆，圆心为点尸，当 C 点运动到何处时直线）直线BO i此时。尸和直线B0的位置关系如何？请说明理由.G 为 C。与。尸的交点，H 为直线。尸上的一个动点，连接”G、HC,求 HG+HC的最小值，并将此最小值用x 表示.【分析】(1)根据等边三角形的性质，可得NOBA与NQBC的关系，根据等式的性质,可得N 0 8 C=/A 2。，根 据“S4S”得到OBC丝”,即可得到对应边A。与 0C 相等，由 0C 表示出4。即可；(2)根据全等三角形的性质，可 得/94力=/8。7=6 0 ,根据等边三角形的性质，可得/5 4。=60,根据平角定义及对顶角相等，可得NOAE=60,根据tan60。的定义求 出 0 E 的长，确定出点E 的坐标，根据待定系数法，将点A 和 E 的坐标代入即可确定出解析式；(3)根据平行线的性质，可 得 E F与 E 4重合，根据三角形的中位线，可得A 为 0C中点，根据线段中点的性质，可 得 C 的坐标：根据等边三角形的性质，可 得 DFLBC,根据平行线的性质，可得BF与。8 垂直，根据切线的判定，可得答案；根据等边三角形的“三线合一”，可 得 O F 垂直平分8 C,根据轴对称的性呢，可得GB为 HC+HG的最小值，根据圆的性质，可得FB,FC及 FG相等，根据直角三角形的判定，可得BCG为直角三角形；根 据“三线合一”，可得NCBG为 30,根据锐角三角函数，可 得 B G,根据等边三角形的性质，可得及A M,根据勾股定理表示出BC的长即可.解：(1).OAB和BCD都为等边三角形，；.OB=AB,BC=BD,NOBA=/OBC=60,B|J ZOBA+ZABC ZDBC+ZABC,：.ZOBC=ZABD,在O8C和A3。中，OB=OA Z0BC=ZABD)BC=BD.OBC丝AB。（SAS）,，A）=O C=l+x；（2）随着C 点的变化，直线AE的位置不变.理由如下:由OBC四A B D,得到NBAZ）=NBOC=60,又；/区4。=60,.ZD A C=60,：.ZOA E=60,又。4=1,在直角三角形AOE中，tan60=当，则 0丘=加，UA点 E 坐 标 为（0,-7 3）A（1，0）,设直线AE解析式为=依+6 把 E 和 A 的坐标代入，得(k+b=0I b=-,/3解得：k=V3bS所以直线AE的解析式为y=J x -百:（3）根据题意画出图形，如图所示1：/B O 4=/D 4C=60,E A/OB,5LE F/OB,则 EF与 E4 所在的直线重合,二点 F 为。E 与 3 c 的交点，又 F为 BC中点,；.A 为 OC 中点，又 A O=1,则 OC=2,.当C 的坐标为（2,0）时，E F/OB-,这时直线8。与。尸相切，理由如下：.BCD为等边三角形，尸为8 c 中点,J.D F LB C,5LE F/OB,：.F B A _OB,即/f BO=90,故直线8 0 与O F 相切；根据题意画出图形，如图所示:由点8,点 C 及点G 在圆厂的圆周上得：FB=FC=FG,即 FG=a2C,.CBG为直角三角形，又BCD为等边三角形，；.8 G 为NCB。的平分线，即/C 8 G=30,过点8 作 x 轴的垂直，交 x 轴 于 点 由 OAB为等边三角形,为 0A 中点，即 MA=，M C A C+A M x+.2 2 2在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：B C=VBM2+M C2=VX2+X+1,垂直平分BC,.和 C 关于。尸对称,：.H C=H B,则H C+H G=B G,此时BG最小，在直角三角形BCG中，BG=BCcos30=1 V 3X2+3X+3-【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质：（2）利用了全等三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求函数解析式；（3）利用了直线与圆的位置关系；利用了轴对称-最短路线问题.