2022年湖南省湘潭市中考数学试卷解析版.pdf

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8 个小题，每小题3 分，共 24分.在每小题给出的4 个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1.（3 分）如图，点A、3 表示的实数互为相反数，则点8 表示的实数 是（）D.-12）D.ab*2c 3 4._ g_ _.-2 0A.2 B.-2 C.122.（3 分）下列整式与为同类项的是（A.a2b B.-2ab2 C.ah3.（3 分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具数量 35 47 50 48 42 60 68（件）则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）A.48,47 B.50,47 C.50,48 D.48,504.（3 分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A.B.5.（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为4 0条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的 是（）A.x+y=40 l4x+3y=12Q jx+y=40 l3x+4y=126.（3分）在 口ABC。中（如图）,B.产=12I 4x+3y=40D.什 12I3x+4y=40连接 A C,已知N B 4 c=40，ZA C 8=80,则 N 3 C Q=（C.120 D.1407.（3分）在。中（如图），点。、E分别为AB、A C的中点,则 MADE:SAA B C=（）AC.1：3D.1：48.（3分）中国古代数学家赵爽在为 周髀算经作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为b a为直角三角形中的一个锐角，则tana=（）A.2 B.3 C.1 D.近2 2 5二、选择题（本题共4 小题，每小题3 分，共 12分.在每小题给出的4 个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）（多选）9.（3分）若。儿则下列四个选项中一定成立的是（）A.a+2b+2 B.-3 4 -3b C.AA D.a-l b-14 4（多选）10.（3分）依 据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟.某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数 据 分 成3组：0VxW30,30 xW60,60%W90）.则下列说法正确的是（4频数)0 30 60 90 时间/minA.该班有40名学生B.该班学生当天完成作业时长在30V%W60分钟的人数最多C.该班学生当天完成作业时长在0V%W30分钟的频数是5D.该班学生当天完成作业时长在0V%W60分钟的人数占全班人数的80%（多选）11.（3分）下列计算正确的是（）A.4a-2a=2 B.a3,a2=a5 C.（3a2）2=6a4D.a6-i-a2a4（多选）12.（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：作线段A B=2,分别以点A、8为圆心，以A8长为半径画弧，两弧相交于点C、D；连接AC、B C,作直线CD,且CQ与A3相交于点”.则下列说法正确的是（）DA.A A 3c是等边三角形 B.AB LCDC.AH=BH D.ZACD=45三、填空题（本题共4 个小题，每小题3 分，共 12分.请将答案写在答题卡相应的位置上）13.（3 分）四个数-1,0,1,旧中，为 无 理 数 的 是.214.（3 分）请写出一个y 随增大而增大的一次函数表达式.15.（3 分）2022年 6 月 5 日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科学记数法表示为米.16.（3 分）如图，一束光沿CQ方向，先后经过平面镜03、OA反射后，沿 E/方向射出，已知NAOB=120,ZCDB=20,则ZAEF=四、解答题（本大题共10个小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）1 7.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A B C 的三个顶点的坐标分别为 4（-1,1）,3（-4,0）,C （-2,2）.将A B C 绕原点O顺时针旋转9 0 后得到 4 B G.（1）请写出4、8、G三点的坐标：Ai,B,C i2上立区，其中=2.x+1 x21 9.（6 分）如图，在。中，直径4 B 与弦CQ相交于点E,连接A C、BD.(1)求证：A A E C s D E B；(2)连接 A D,若 AZ)=3,ZC=30,求。O 的半径.20.（6 分）5 月 3 0 日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级（一）班由Ai、4、4 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛.（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若A、4 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、。的 3 张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由4 随机摸取1 张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1 张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求4、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概 率（请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.A“杂交水稻之父”袁隆平B“天眼之父”南仁东C”航天之父钱学森21.（6 分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后,进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念,设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中也仁0.618）：伞柄4”始A H终平分NBAC,A B=A C=2 0 c m,当N3AC=120时;伞完全打开，此时N8DC=90.请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：加 心1.732）22.（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级2 0名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集25354615343675834734数据整理本数 0%W 4V%W 6%W2 4 6 8组别 A B C D频数 2 2 6 3数据分析绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题：(1)在统计表中，m=；(2)在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为；(3)若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4 本以上的人数.23.(8 分)为落实国家 关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和 21加长的篱笆墙，围成I、II两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在I 区中留一个宽度A E=l m的水池，且需保证总种植面积为32m2,试分别确定C G、D G的长；(2)方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？DAE图24.(8 分)已 知 A(3,0)、B(0,4)是平面直角坐标系中两点,连接AB.(1)如图，点 P 在 线 段 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达；(2)如图，点N 是线段0 8 上一点，连接AM 将AON沿AN翻折，使得点O 与线段A3上的点M 重合，求经过A、N 两点的一25.（10 分）在3c 中，ZBAC=90,A B=A C,直线/经过点 A,过点8、。分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.(1)特例体验：如图，若直线/3C,A B=A C=近,分别求出线段3。、CE和。石的长;(2)规律探究：(I )如图，若直线/从图状态开始绕点A旋转a(0 V a 4 5 ),请探究线段8 0、C E 和 OE的数量关系并说明理由；(I I)如图，若直线I从图状态开始绕点A顺时针旋转a (4 5 a b,则下列四个选项中一定成立的是（）A.a+2b+2 B.-3a-3b C.AA D.a-lb+2,：ab,/a+2/?+2,故A 选项符合题意；B.-3。-3b,ah,/._ 3QV-3b,故 8选项不符合题意;C.A A,4 4.ah,.包 电,4 4故 C 选项符合题意;D.a-h,：.a-b-1,故。选项不符合题意；故选：AC.（多选）1 0.（3分）依 据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过9 0 分钟.某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数 据 分 成 3组：0 V%W3 0,3 0 V%W6 0,6 0%W 9 0）.则下列说法正确的是（）A.该班有40名学生B.该班学生当天完成作业时长在30%W60分钟的人数最多C.该班学生当天完成作业时长在0%W30分钟的频数是5D.该班学生当天完成作业时长在0V%W60分钟的人数占全班人数的80%【解答】解：A选项，10+25+5=40（名），故该选项符合题意；8选项,该班学生当天完成作业时长在30V%W60分钟的人数最多,故该选项符合题意；C选项，该班学生当天完成作业时长在0%W30分钟的频数是10,故该选项不符合题意；D选项，该班学生当天完成作业时长在0 0,则y 随增大而增大，.只需写出一个攵 0 的一次函数表达式即可，比如：y=x-2,故答案为：y=x-2 （答案不唯一）.15.（3 分）2022年 6 月 5 日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米用科学记数法表示为 4X105 米.【解答】解：400000米用科学记数法表示为4X105米，故答案为：4X105.16.（3 分）如图，一束光沿CQ方向，先后经过平面镜08、OA反射后，沿族方向射出，已知NAOB=120,ZCDB=20,则ZAEF=40【解答】解：一束光沿CQ方向，先后经过平面镜08、OA反射后，沿历方向射出,:./EDO=/CDB=20 ,/AE F=/O E D,在 O O E 中，N O E 0=1 8 O -ZAOB-Z E D O=1 8 0 -1 2 0 -2 0 =40 ,A Z A E F=ZOED=40.故答案为：40 .四、解答题(本大题共10个小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上)1 7.(6分)如 图，在平面直角坐标系中，已知 A B C的三个顶点的坐标分别为A (-1,1),8(-4,0),C(-2,2).将 A B C绕原 点O顺时针旋转9 0 后得到 A B G.(1)请写出A、8、G三点的坐标：A.(1,1),B(0,4),C.(2,2)；(2)求 点B旋转到点B的弧长.【解答】解：(1)由图知，A i (1,1),Bi(0,4),C i (2,2),故答案为:(1,1),(0,4),(2,2)；(2)由题意知，点 8旋转到点8的弧所在的圆的半径为4,弧所对的圆心角为9 0 ,.弧长为：9 0 X 4=2 n.1 8 091 8.(6 分)先化简，再求值：一+二 -工 J 区，其中=2.x-3 x2 _ g x+1 x2【解答】解：原式=_(%+3)(%-3)-上 x(x+l)X-3 x+1 x2=x+3 -1=%+2,当=2 时，原式=2+2=4.1 9.(6 分)如图，在。中，直径A B 与弦CQ相交于点E,连接A C、BD.(1)求证：X N E C s(2)连接A。，若A Q=3,Z C=3 0 ,求。的半径.【解答】(1)证明：T N C=N B,ZAEC=ZDEB,：.AECSDEB；(2)解：Z C=ZB,Z C=3 0 ,：.ZB=30，AB是。的直径，A D=3,A ZADB=90,：.AB=6,.。0的半径为3.2 0.（6分）5月3 0日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级（一）班由4、A 2、A 3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛.（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若A、A 2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由4随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由4随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求4、A 2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概 率（请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.C ”航天之父”钱学森A”杂交水稻之父”袁隆平B 天眼之父”南仁东【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：AH A 2、A 3;AI、A 3、4；A 2、A i、A 3；A 2、A 3、A i；4、A i、A2；A 3、A 2、A；共 6种等可能的情况数;（2）根据题意画图如下：开始A B C/K /N /TA B C A B C A B C共有9 种等可能的情况数，其中A i、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3 种，则A、4两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是旦=工9 32 1.（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中也-0.6 1 8）：伞柄A”始A H终平分N R 4 C,A B=A C=2 Q c m,当N B 4 C=1 2 0 时，伞完全打开，此时N 3 Q C=9 0。.请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：7 3 1.7 3 2）H【解答】解：作 3 E L 4”于点E,AVZSAC=120,4 平分N84C,：.ZBAE=60,：.AE=AB*cos60=20X 1=10(cm),2B=AB sin60=20X1=107317.32(cm),2：BD=CD,/BDC=90,：.ZBDE=45,:.DE=BE=17.32cm,：.AD=AE+DE 10+17.32=27.32(cm),二喏=0.6 1 8，A H即 华 产=0.6 1 8，A H解得A H F 2,最少需要准备72cm长的伞柄.22.(6分)百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神.某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级2 0名学生读书数量(单位：本)，并进行了以下数据的整理与分析：数据收集25354615343675834734数据整理2组别 A频数 2本 数0%W 2%W44V%W6BCm66 D G的长为4m；(2)设 3 c 长为m7,则 CO长度为21-3%,.二 总种植面积为(21-3%)=-3(%2-7x)-3(.x-)2+-liL,2 4：-30,/.当=工时，总种植面积有最大值为物,，2 4即3 c 应设计为工加总种植面积最大，此时最大面积为迎2 424.(8 分)已 知 A(3,0)、B(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接AB.(1)如图，点 P 在线段A 8上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点尸的反比例函数表达；(2)如图，点N 是线段0 8 上一点，连接A N,将AON沿AN翻折，使得点O 与线段A3上的点M 重合，求经过A、N 两点的一次函数表达式.【解答】解：(1)作尸C J _ x轴 于C,P O L y轴 于D,则四边形O C P Q是矩形，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切,:.PC=PD,矩 形O C P D是正方形，设 PD=PC=x,V A (3,0)、B(0,4),：.OA=3,08=4,BD=4-x,PD/OA,P-D =-B-D,A O B O:3 4解得=丝,7设过点P的函数表达式为y=K,X.kx y=l L x.1 2.=.1 4 4,7 7 4 94 9 x(2)二,将 AON沿4 V 翻折，使得点O 与线段AB上的点M 重合,：.ON=NM,M N LAB,由勾股定理得，AB=5,e S 4AOB=S 凶0机 S&ABN，-y X3X4=-X 3 X 0N+y X 5 X M N 解 得,ON=1,2:.N(0,3),2设直线4 V 的函数解析式为y=fwc+l,则 3z+g=0,2m-A,2直线4 V 的函数解析式为 尸-产 右25.(10 分)在ABC 中，ZBAC=90,A B A C,直线/经过点 A,过 点 氏 C 分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.(1)特例体验：如图，若直线/3C,A B=A C=4 2,分别求出线段30、CE和。E 的长；(2)规律探究：(I)如图，若直线/从图状态开始绕点A旋转a(0Va45),请探究线段8 0、CE和 OE的数量关系并说明理由；(I I)如图，若直线I从图状态开始绕点A 顺时针旋转a(45a90),与 线 段 相 交 于 点”，请再探线段BD、和 QE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图中，延长线段B D 交线段AC于点尸，若CE=3,D E=1,求 SBFC.【解答】解：(1)在ABC 中，ZBAC=90,AB=AC,：.ZABC=ZACB=45,JI/BC,：.ZDAB=ZABC=90,ZCAE=ZACB=45,：.ZDAB=ZABD=45,ZEAC=ZACE=45,：.AD=BD,AE=CE,：AB=AC=42,：.AD=BD=AE=CE=,：.DE=2；(2)(I)DE=BD+CE.理由如下:在 RtzXAOB 中，ZABD+ZBAD=90,V ZBAC=90,A Z5AD+ZCAE=90 ,ZABD=ZCAE,在AB和CAE中，Z A B D=Z C A E2当时，y=(A)2-2 X A -3=-至,2 2 2 4：.P(1,)，2 4综上所述：P(2,-3)或(L -至)；2 4.抛物线 y=x2+bx+c 过点 D (-3,0),I.(-3)2-3b+c=0,：.c=3b-9,.,.y=x2+bx+(3 b-9),把=-3,y=0 代入旷=9 乂+/7 得，30=|x (-3)+%o：.OC=4,VZC O)=90o,0 0=3,0 C=4,：.CD=5,四边形C Z)总是菱形，:.CE=CD=5,：.E(5,4),当-电V O 时，即力 0时，2当=0 时，y3h-9,：.G(0,3b-9),.该抛物线与线段C E 没有交点,.3b-94,乌3当8 V 0 时 一，当=5 时，y=2 5+5h+38-9=86+16,：.H(5,汕+16),抛物线与C E 没有交点，88+16 4,：.b型或bv-W.3 2