2022年八年级数学下《平行四边形的判定（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf

八年级数学下-专题:18.4平行四边形的判定（知识讲解）【学习目标】1 .理解平行四边形的定义,从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理;2 .能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算,特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；4.能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.【要点梳理】平行四边形的判定1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3 .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时,应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.（3）以上判定方法从边、角、对角线上进行识记.【典型例题】类型一、判断能否构成平行四边形C1.如图，在等边/8 C 中，8C=8cm,射线N G/8 C,点E 从点A 出发沿射线A G以lcm/s的速度运动;点尸从点8 出发沿射线8 C 以3cm/s的速度运动.设运动时间为，当/为 s 时，以A,C,E/为顶点的四边形是平行四边形.【答案】2 或 4【分析】分 别 从 当 点 1 在。的左侧时与当点F在C 的右侧时去分析，由当1 斤炉时，以4、a E、尸为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案.解：当点尸在，的左侧时，根据题意得:力gc m,1 c m,则 上 叱 止（8 3 ）c m,1第 1页 共 1 3 页：AG/B C,，当力后。,时，四边形山%尸是平行四边形，即 i=8-31,解得：尸2;当点尸在C 的右侧时，根 据 题 意 得 c m,B F=3 t c m,则 上 册 陷(3 t-8)c m,JAG/B C,当AE=CF,四边形4 5 7 Q 是平行四边形，即片3 L 8,解得：Q 4；综上可得：当夕2 或 4 s 时，以 尔a E、尸为顶点四边形是平行四边形.【点拨】本题考查/平行四边形的判定,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题.举一反三：【变式】在四边形/8 C O 中，对角线相交于点。，给出下列条件：=C D,A D =B C；力Z =A B,A D U B C AB I/CD,AD/B C;/。=C O,B O =D O.其中能够判定488是 平 行 四 边 形 的 有.【答案】【分析】根据平行四边形的判定方法判断即可.解:如图，AB =CD,A D =B C,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故正确；A D =AB,/O/8 C,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故错误；AB CD,R O/3 C,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故正确；4 =C,B O =D Ot根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,故正确；故答案为:【点拨】本题考察平四边形形的判定定理,正确掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.类型二、添加一个条件构成平行四边形2第 2页 共 1 3 页2.如图,在平行四边形”8 8 中，、/分 别 是/8、0 C 上的点，请添加一个条件,使得四边形E B F D为 平 行 四 边 形,则 添 加 的 条 件 是.（答案不唯一,添加一个即可）【答案】F OAE【分析】根据四边形口是平行四边形,CD/AB,CAAB,因此只需要证明怩用即可判断四边形段?/刃是平行四边形，由此求解即可.解:添加条件 四边形4 0?是平行四边形，：.CD/AB,CD=AB：C2AE、：.DF B E,.四边形砌刃是平行四边形，故答案为:陷【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定,解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件.举一反三：【变式】如图，在口”8 中,对角线AC、BD相交于点0,已知点E、F 分别是BD上的点，请你添加一个条件 使得四边形AFCE是一个平行四边形.3第 3 页 共 1 3 页【答案】DE=BF【分析】根据平行四边形的判定，可加一条件，答案不唯解:使四边形AECF也是平行四边形,则要证四边形的两组对边相等,或两组对边分别平行，可添加条件 DE=BF,；ADBC,.NEDA=NFBC,；AD=BC,DE=BF,.ADECBF,二施=尸&同理，AABFACED,.,.CE=AF,四边形AECF是平行四边形.故答案为:DE=BF.【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过证aADE丝CBF和aABF丝4CED,得到AE=FC和 CE=AF,再利用两组对边分别相等来判定平行四边形.类型三、数平行四边形的个数C3.如图,ABC,ACE,aECD都是等边三角形,则图中的平行四边形有哪些【答案】平行四边形ABCE,平行四边形ACDE解：/斤 6 0，/BAE=/BA个NC伤6Q+60=120,；.AEBD,VAE=BC=CD,四边形AECB,AEDC是平行四边形.故答案为：U ABCE,U ACDE.点拨:本题考查了平行四边形的判定,在应用判定定理判定平行四边形时,应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答,避免混用判定方法.举一反三：【变式】如图，在3BCD中,两条对角线相交于点0,点 E、F、G、H分别是0A、OB、0C、0D的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、0 中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个.4第 4 页 共 13页解:如图:即E F G H,D A B C D,D B E D G,O A F C H,故答案为4.类型四、求与已知三点构成平行四边形的个数C4.如图，在 5X5的方格纸中,每个小正方形的边长为1 个单位长度,U A B C 的顶点都在格点上.请回答下列问题：求 A C 的长;（2）在图中找一格点D,使得A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形.【答案】（1）如；（2）见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可.（2）根据平行四边形的判定画出图形即可.解：根据图形格点可得:A C=J 2?+3 2 =岳（2）如图，四边形A B C D 即为所求.5第 5 页 共 1 3 页D【点拨】本题考查勾股定理及平行四边形的判定，掌握网格图特点，正确结合勾股定理进行计算是解题关键.举一反三：【变式】在平面直角坐标系初中，已知4(-3,2),6(-1,-2),C(1,1),若以A B、C、为顶点的四边形是平行四边形，求点。的坐标.(在平面直角坐标系中画出平行第6页 共13页6以力、B、C、为顶点的四边形是平行四边形，.点。的坐标为：(-5,-1)或(-1,5)或(3,-3).【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.类型五、平行四边形的证明5.在 MOMO中，2 0/8 =9 0。，。=6,将四。绕 点。逆时针方向旋转9 0 得 到 4 4.则线段。4的长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,.(2)连 接 求 证 四 边 形。是平行四边形；(3)求四边形。*4 4 的面积？【答案】(1)6,1 3 5。；(2)见解析；(3)3 6.【分析】根据旋转的性质得出0 4 =a=6,4 3 =A A O B=4 5。404=9 0 由此可得答案；(2)根据题意可得0 4 “蜴，=4片=6,再根据平行四边形的判定即可得证；(3)利用平行四边形的面积公式求解.解：N O N 8 =9 0 ,0A=AB =6,/.A O A B是等腰直角三角形，.4 0 8 =4 5。,.将口 0/8 绕点0沿逆时针方向旋转9。得到口。44,.0 4=0 4 =6 ZAOB=Z A O B =4 5 ZAOAt=9 09 ,AAOB=A A O A A AOB=9 0+4 5 =1 3 5,故答案为：6,1 3 5。；(2)将O A B绕 点。沿逆时针方向旋转9 0 得到口0 4 与,N%B=9 0。，。/=8 =6,：.A=AB =6，ZAOA=9 0 =NOAB ，OA/A.B,1 OA=A,BX=6，7第 7页 共 1 3 页 四边形。(4 与是平行四边形.(3)四边形OAAiSi的面积3 6 X 6=3 6.，四 边 形 出 的 面 积 是 3 6.【点拨】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键,注意:旋转前后的两个图形全等.举一反三：【变式】如图，在 山始中，N 6 1 4 Q 9 O ,出=6,将始绕点0 沿逆时针方向旋转9 0得到物出.(1)线 段OAX的长是,NAO氏的度数是；(2)连接AAlt求证:四边形OAAi氏是平行四边形.【答案】(1)6,1 3 5。；(2)见详解.【分析】根 据%=/Q6,/以 4 9 0 得到N 4 6=4 5 ,根据旋转的性质得到办1=阱 6,及=/4 7 4=9 0 ,即 可 求 出 片=1 3 5 ;(2)由旋转的性质得到N/0 4=9 O ,1=4 瓦=%=6,进而得到N/。4 =/0小练OAMAB,从而得证四边形O A小瓦是平行四边形.解：宓=/8=6,/萩=9 0 ,4浙45 ,A O A B 绕点0沿逆时针方向旋转9 0 得到O A 1 B 1,/.O A 1=O A=6,Z B 0 B l =Z A 0 A l=9 0 ,.,.Z A O B 1 =Z A O B+Z B O B 1=45+9 0 =1 35,故答案为：6,1 35 .(2)证明：绕 点。沿逆时针方向旋转9 0 得到曲囹，A Z A O A 1 =9 0 ,Z O A 1 B 1=9 O ,O A 1=A 1 B 1=O A=6,Z A O A 1 =N O A 1 B 1,.,.0 A/A 1 B 1,V A 1 B 1=O A,四边形0 A A 1 B 1 是平行四边形.【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、平行四边形的判定定理，灵活应用旋转的性质得到相关的线段长度与角度大小是解题的关键.8第 8页 共 1 3 页类型六、利用平行四边形的性质和判定求解 6.己知 B F,AB DE,AC DF.（1）如 图 1,求证应；如 图 2,点 G 是DE上一点,连接AG,若ACLB F,份/圆=1 8 0 ,点 6 到初的距离与线段Z G 长度之比为5:4,AD=20,求场的长.【答案】（1）见解析；（2）2 5【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同位角相等）得出两组角相等,然后等量代换即可得；（2）根据平行四边形的判定可得四边形4?磔为平行四边形，由垂直及四边形内角和可得A C D E 54 G =9 0。，点/到 的 距 离 为AC,根据平行四边形的等面枳法即可得出A G A D 4 再由已知条件即可得出应,长度.解：（1 厂欣 年AB/DE,：.N 4 B C =N B A M ,Z A D E =N B A M ,-,ZAB C=ZADE.（2）A A/B F,AB/D E y四边形A B E D为平行四边形，；ACLBF,.点 至1 人口的距离为A C,/N C/G +N C E G =1 8 0 根据四边形内角和可得：4 GE=9 0。，由平行四边形等面积法可得：N O*Z C =QEx/G,A C 5根据题意可得：A G 4tA C D E _ 5.前=而 北，3 2 0,9第 9页 共 1 3 页D =-x 2 0 =2 5/.4【点拨】题目主要考查平行线的性质及平行四边形的基本性质，利用平行四边形等面积法确定线段的比是解题关键.举一反三：【变式】如图，在四边形物8中，/历1 C=48 =9 0。，C D =2 A B,E是 C Q的中点.(1)求证:四边形A B C E是平行四边形；若 Z C =6,N D =1 0,求口 A B C E的面积.【答案】(1)见解析；(2)2 4【分析】根据平行线的判定定理得到/勿值再推出AB-CE,即可得出结论；(2)根据勾股定理得到CD=8,求得*4,再根据平行四边形的面积公式即可求解.解：(1)证明：:/血 年/少=9 0 ,；.A B CE,点E是 CD 的中点，.,.CD=2 CE,V CD=2 A B,.A B=E C,四边形A B CE 是平行四边形；(2)V Z A CD=9 0 ,A C=6,A D=1 0,；.C D=-/=8,V CD=2 A B,，A B=4,；.S 平行四边形 A B CE=A B A C=4X 6=2 4.【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理等知识,证出四边形AB CE为平行四边形是解题的关键.类型七、利用平行四边形的性质和判定证明7.已知:口的?的对角线阳切相交于a 是 的 中 点，是3的中点，求证：10第 1 0 页 共 1 3 页BM/DN,BM=DN.CD【分析】连 接 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可得 AO=OC,DO-OB,由 M是40的中点,1 是的中点,进而可得盼网进而即可证明四边形A18DN是平行四边形，即可得证.解:如图，连接 2 8N,；四边形/腼为平行四边形，：.AO=OC,DO-OB.材 为 的 中 点，”为 C0的中点，ON=-OC,OM =-OA即 2 2：.MO=ON.二四 边 形 是 平 行 四 边 形，DN,B.DN.【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.举一反三：【变式】如图，在平行四边形的?中，点 艮 尸 分 别 在 被 况 上，且 =密 求证：BE/DF.【分析】先求出DE=BR再证明四边形班方是平行四边形,即可得出结论.解:证明：.四边形ABCD是平行四边形II第 1 1 页 共 1 3 页：.AD=B C,AD/B C,:AE=CF,：.DE=B F,又,：DEI IB F、.四边形庞加是平行四边形，：.B E/DF.【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定方法,证明四边形是平行四边形是解决问题的关键.类型八、平行四边形的性质和判定的应用Cg.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A B、C、处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼,想使池塘的面积扩大一倍,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由.【分析】连 接 能 分 别 过4、B、C、D作B D、4C的两条平行线，相交于反 F、G、平行四边形以砌即为所求.解:能,如图所示,平行四边形由阳即为所求：理由如下：EH/B D,F G/B D,:.EH F G,EF/ACJIG/AC,：、EF H G,四边形7浏是平行四边形，四边形EB DH和都是平行四边形,12第1 2页 共1 3页.S A B D=3 S四边形 EBDH S CBO=5 S 四 边 形 G O，.S 四 边彩即=2 S ABCD.【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.举一反三：【变式】如图，的 皿 1 都是由呼平移得到的图形.4月三点在同一条直线上,NQ35。.(1)试 判 断 笫 4?之间的数量关系,并说明理由.(2)求N酗的度数.【答案】W A D=2 E C.理由见解析；(2)/砒=3 5 .【分析】(1)利用平移的性质解决问题即可.(2)利用平行四边形的性质求解即可.解：结论:/“=2 阳理由：由平移的性质可知,AB-EC,B D=CE,:.AA2CE.(2)：B C=EF,B C/EF,二四边形小硬是平行四边形，；./乃 小/4 3 5 .【点拨】本题主要考查平移的性质和平行四边形的判定和性质,解决本题的关键是熟练掌握平移的性质和平行四边形的判定和性质.13第 1 3 页 共 1 3 页