2023年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第七节解三角形应用举例.pdf

第七节解三角形应用举例 最 新考纲掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考向预测考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.学科素养：通过利用正、余弦定理解决实际问题考查数学应用、数学建模的核心素养.积 累 必备知识基础落实 赢得良好开端一、必记3个知识点1.仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角.(如图所示)2.方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45,是指即东北方向.3.方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东a：指从正北方向顺时针旋转a到达目标方向.(2)东北方向：指北偏东45。或东偏北45.(3)其他方向角类似.二、必明2个常用结论1.坡角坡面与水平面的夹角.(如图所示)2.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i=9=tana（i 为坡比，a 为坡角）.三、必练4 类基础题（一）判断正误1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或“义”）.（1）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为。，=.（）（2）若点P 在点。的北偏东44。，则点。在点尸的东偏北46。.（）（3）方位角大小的范围是 0,兀），方向角大小的范围是 0,与.（）（二）教材改编2.必修5 pis练 习 T i改编 从/处 望 8 处的仰角为a,从 8 处望/处的俯角为夕，则 a,夕的关系为（）A.a夕 B.a=BC.a+A=90 D.a+在=180。3.必修 5 P u例 1 改编 如图所示,/：BA设 4 8 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C,测出A C 的距离为50 m,NACB=45。,NC/B=105。后，就 可 以 计 算 出 8 两点的距离为（）A.50/2 m B.50A/3 mC.25V2 m D.等 m（三）易错易混4.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75。，则这艘船的速度是每小时（）A.5 海里 B.5 g 海里C.10海里 D.10百 海里5.若点Z 在点C 的北偏东30。，点 8 在点C 的南偏东60。，且 Z C=8 C,则 点/在 点 8的 方向上.（四）走进高考6.2021 全国乙卷 魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点 E,H,G 在水平线Z C 上，D E和尸G 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，E G 称 为“表距”，G C 和 切 都 称 为“表目距”,GC与 E”的差称为 表目距的差”.则海岛的高4 8=（）AE H GA.表高X表 距|主 吉表 目 距 的 差+表1B.表高X表距 宏 吉表 目 距 的 差 衣 同C.磊1+表距D.米高X表距表目距的差表距提 升 关键能力考点突破 掌握类题通法考 点 一 解 三 角 形 应 用 举 例 应用性角 度1距离问题 例1 2022山东测试 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗 望岳：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将Z到。修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（4,B,C,D在同一水平面内），则4。间的距离为.听课笔记:反 思 感 悟 求解距离问题应注意（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解：若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.角度2高度问题 例2 2022辽宁高三月考 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世 称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年Q15年），历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年（1880年）重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作 岳阳楼记使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图，测得N D 4c=30。，Z D B C=45,/8=1 4米，则岳阳楼的高度CO约为（迎 心1.414,731.732）（）A.18米 B.19米C.20 米 D.21 米听课笔记：反 思 感 悟 求解高度问题应注意(1)在测量高度时，要理解仰痢、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度3角度问题/zzzzzzzzzzzz/z/z/z/zzzzzzzzzxzzzz/zzzz 例 3 2022河南琮西名校联考 当太阳光与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2 m 的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为()A.30 B.60C.45 D.90听课笔记：反 思 感 悟 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚哪一个点的方向角.【对点训练】1.甲船在4 处观察乙船，乙船在它的北偏东60。的方向，相距a 海里的8 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的旧倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东。方向前进，则。=()A.15 B.30 C.45 D.604ICRED2.如图，某景区欲在两山顶A,C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,8=3 km,在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30。,山顶C 的仰角为60,NBED=120,则两山顶4 C 之间的距离为（）A.2V2 km B.VTo kmC.V13 km D.3V3 km3.2022福建漳州市月考 为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为0 7,同学们先在地面选择 一 点 在 该点处测得这座山在西偏北21.7。方向，且山顶7 处的仰角为30。；然后从力处向正西方向走140米后到达地面8处，测得该山在西偏北81.7。方向，山 顶 T 处的仰角为60。.同学们建立了如图模型，则山高。7 为（）A.20yH米 B.25近 米C.20怎米 D.25&I米考 点 二 正、余弦定理在平面几何中的应用 综合性 例4 2022广东广州市高三模拟 如图，在四边形ABCD中，8CD 是等腰直角三角形，/BC D=90,NADB=90,sinZABD=-,BD=2,4 c 与 BD 交于点 E.求 sin NACD；（2）求18 E 的面积.听课笔记：反 思 感 悟 平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.【对点训练】2022广东湛江市高三模拟 如图，在 平 面 四 边 形 中，ZDAB=,ZADC=,AB=2AC=2y/2,CD=.6 4 求 cos N/C O 的值；(2)求 S C 的值.微专题2 0 渗透智育教育激活思维潜能五育并举 例 2022河南高三模拟”欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的 登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面。点看楼顶点/的 仰 角 为 30。，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45。，若BC=2AC,则 楼 高 约 为()A.65 米 B.74米C.83 米 D.92 米解析：设N C的高度为x,则由已知可得力B=3x,BC=BE=2x,B D=-=3V3x,tan zADB所以 DE=BDBE=36X-2X=1 9,解得 x=-七24.7,3v3 2所 以 楼 高 弋3X24.7=74.174（米）.答案：B名师点评 本题以“鹳雀楼”为背景设计试题，考查解三角形等知识，体现了智育的素养导向.破解此类题的关键是准确获取有效信息，合理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理运用平面几何相关知识进行求解.变式训练 2022东北三省四市教斫联考 如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物A B,高为(15次一 15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,。三点共线)处测得楼顶/、该建筑物顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶4处测得该建筑物C的仰角为30。，则小明估算该建筑物的高度为()A.20 m B.30 mC.20V3 m D.30V3 m第七节 解三角形应用举例积累必备知识1.上 方 下方2.北偏东45。、1.答案：(1)X(2)X(3)X2.解析：由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则a=.视线q-水平线A答案：B3.解析：由 正 弦 定 理 得 缶=，又由题意得N C 8 Q 3 0。，所以/“端詈50X乎 /-=-5-=5072(111).3答案：A4.解析：如图所示，依题意有NA4C=60。，/B A D=7 5。,所以NC4D=NCD4=15。，从而 8=。=10（海里），在 RtZ4BC中，得4 8=5（海里），于是这艘船的速度是京=10（海里/时）.答案：C解析：如图所示，ZJCB=90,又 AC=BC,：.ZCBA=45,而夕=30。，.,.=90o-4 5o-3 0o=15.点/在 点 2 的北偏西15.答 案:北偏西156.解析：因为F G/A B,所以需=普，所 以 GC=M，C 4 因为DE/A B,所以警=当，AB CA AB AB AH所以 =塔/又 D E=F G,所以 G C E H=m C A A H）=X H C=喋 X（H G+G C）=X（E G-E H+G C）.由题设中信息可得，表目距的差为G C-E H,表高为D E,表距为EG,则上式可化为，表目距的差=X（表距+表目距的差），所以/8=2 1tl X（表距+表目距AB 表 目 距 的 差的差）=1 B|+表 高,故 选 儿答案：A提升关键能力考点一例 1解析：如图，连接8。,在8C D 中，由余弦定理得，BD2=BC1+CD2-2B C CD cos/8 C D=9+2 5-2 X 3义5X(一 =4 9,所以8 0=7,由正弦定理得，即?=-2 ,sinzDBC sinz.BCD sinzDBC sin 120解得 sin ZDBC=,14因为 ZABD=Z A B C-NDBC,所以 cos ZABD=cos(90 ZDBC)=sin NDBC=*,在&4BD 中，AD2=AB2+BD2-2A B BD cos ZyiSZ)=1 6+4 9-2 X 4 X 7 X =6 5-1 2 7 3,所以4)=/6 5-1 2 虑,即 4。间的距离为J 6 5-1 2 8km.答案：V65-12V3 km例 2 解析：RtZXZOC 中，ZD A C=30,贝 U ZC=gC Z),RtZSBDC 中，N O 3c=45。,则 BC=CD,由/C 8 C=8 得乃C D-C D=14=C O=：=7(6+D%19.124,CD 约为 19 米.v 3-1答案：B例 3解析:设竹竿与地面所成的角为a,影子长为x m.由正弦定理得sin 60 sin(120-a)所以 x=#sin (1 2 0 -a),因为 30120-a120,所以当 1 2 0-a=9 0,即 a=30。时,x有最大值.故竹竿与地面所成的角为30。时，影子最长.故选A 项.答案：A对点训练AB1 .解析：如图，设两船在C处相遇，则由题意得N/8C=1 80。-60。=1 2 0。，且铁=次,由正弦定理 得 黑=我 端=百，BC smzBAC所以 s i n Z B A C .又因为 0。/8/。0,所以解得=1 4 0 Xg=20面;即山OT的高度为2 0 企 1(米).答案：C考点二例 4 解析：(1)因为 B C D 是等腰直角三角形，N B C D=9 0。,BD=2,所以N C 3 O=Z C D B=4 5 ,B C=C D=B D s i n 4 5=V2；在力8。中，ZADB=90,s i n Z A B D=-,所以 cos J l-等，因此 A B=V 5,则 J Z=VA B2-B D2=1；cos z A B D记NZ CO=。，则 N C A D=1 80 -/A DC-0=4 5-6,0 6=/WCsin/CM Z)=60X苧=306.故选D.答案：D