2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)04 基本不等式及其应用 (含详解).pdf

专题04基本不等式及其应用【考点预测】1.基本不等式如果a 0方 0,那么，当且仅当a =b时，等号成立.其中，土W叫作4、的算术平均数，万2 2叫作a,b的几何平均数.即正数4,6的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式1：若a,b G R,则。2+/22，当且仅当a =b时取等号；基本不等式2：若则空出之而（或a +6 2 2，石），当且仅当a =b时取等号.2注 意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）a2 0（a G R）,4 a 0（a 0）,|0（a e R）.（2）基本不等式：如果a,b e R+,则 竺2 2 疝（当且仅当“a =此 时取2特例：a 0,S+）（沟通两和。+人与两平方和a2+b2的不等关系式）2 a b W丝之（沟通两积a b与两平方和a1+h2的不等关系式）2。6 4（与2）（沟通两积而与两和a+b的不等关系式）重要不等式串：）依今产否（诉/?+）即a h调和平均值工几何平均值4算数平均值4平方平均值（注意等号成立的条件）.2.均值定理已知 x,y e R+.（1）如果x+y =S（定值），则 肛 2 y n m（i n 0,0）,当且仅当犬=时等号成立：xV t n模型二：mx+n=t n x-a）+Fm a 2 y mn +ma（m 0,M 0）,当 且 仅 当=时等号成立；x-a x-a V m模型三：=-一 0,C 0）,当 且 仅 当 时 等 号 成 立；ax+b x+c+b +2 y/ac 4-b V ax模士 甘型向 四r m ：x，（n-mx）、=-0八,/?八0八,0 x 2 B.a+b 2 abxc/a+b 丫、a-+厅 c 212c,C.-D.6/-2 ahI 2 J 2例 2.（2 0 2 2 黑龙江 哈九中三模（理）已 知 居 y 都是正数，且、工九 则下列选项不恒成立的是（）A.昼 而C.2孙例 3.（2 0 2 2 江苏高三专题练习）几何原本卷 2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径A 5上，且O产，A 5,设4C=，BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）a+b 2ah(aO,bO)B.a2+b2 2fab(a0,b0)C.-0,b 0)a+bD啖a ba 0,b 0)例4.（2022黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（文）下列不等式中一定成立的是（）A.r 1(X G R)f+1 I)B.sinx+手 k/r,kw Z)sinxC.In f x2+j In x(x 0)D.X2+1 2|A|(XGR)（多选题）例5.（2022全国高三专题练习）下列函数中最小值为6的 是（）9A.y=lnx+-nx3B-，=6|s in-r|+2MX2+2 5 7 7 7 1 6（多选题）例6.（2022江苏.扬州中学高三开学考试）设。0,b 0,下列结论中正确的是（）A.(4+29B.a2+b22(a-i-b+l)h2 a2.C,+a+ha bD.比乜疝a+b【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7.（2022全国模拟预测（文）若实数小满足则 曲 的 最 大 值 为（）c-7A.2B.1D.4例8.（2022甘肃酒泉模拟预测（理）若x,y为实数，且x+2y=6,则3、+9,的 最 小 值 为（）A.18B.27C.54D.90例9.（2022河南河南三模（理）已知二次函数/（力=加+2%+。（x e R）的值域为 0,+8）,则（+：的最 小 值 为（）A.-4 B.4 C.8 D.-8例 10.（2 0 2 2 湖北十堰三模）函数f（x）=1 6*+：+9的最小值为（）A.4 B.2&C.3 D.4 7 2（多选题）例 1 1.（2 0 2 2 广东汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知。，b是两个正数，4是2 与1 6 的等比中项，则下列说法正确的是（）A.必的最小值是1 B.而的最大值是1C.上1 +1；的最小值是Q；D.I上+1；的最大值是:9a b 4 a b 2例 12.（2 0 2 2.四川广安二中二模（文）若为e R ,且1 +6=1,则丝的最大值是.aa例 13.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知正数x、丫满足+；=2,则上的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 y x【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14.（2 0 2 2 全国高三专题练习（理）若,则”/一21+2有（）2%-2A.最大值-1 B.最小值-1 C.最大值1 D.最小值1例 1 5.（2 0 2 2 全国高三专题练习）函数y =3 x+（*1）的最小值是（）X-A.4B.2 痒3C.2G D.2 6+3例 16.（2 0 2 2.全国.高三专题练习）若x 0,y 0 且*+）=孙，则一 +工 的最小值为（）x-1 y-A.3 B.；+瓜 C.3 +y/6 D.3 +2 5/2丫 2 _ v-_i_ 1例 17.（2 0 2 2.上海.高三专题练习）若x l,则函数丁=：的最小值为.x-l例 18.（2 0 2 1 江苏常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知孙=1,且0 1）的最小值及此时x的值；（2）已知函数y=x L+l,x e（-2,+）,求此函数的最小值及此时x的值.x+2【方法技巧与总结】1 .通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.2 .注意验证取得条件.题型四：消参法求最值例 20.（2022浙江绍兴模拟预测）若直线以-勿-3=0（a 0力0）过点（1,-1）,则6 7T+屈工的最大值为.例 21.（2022.全国高三专题练习）设正实数x,y,z满足f 一 3孙+4丁-z=0,则当值取得最大值时，Z2 1 2一 +-的最大值为（）x y z9A.0 B.3 C.-D.14例 22.（2022,全国高三专题练习（理）已知正实数m。满足他+2。-2=0,则 的 最 小 值 是（）A.2 B.472-2 C.4 6 2 D.6例 23.（2022浙江高三专题练习）若正实数a,b满足b+3a=2 a b,则 孚 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _.ab例 24.（2022全国高三专题练习）若x,yeR*,（x-y）2 =（孙儿 则+的最小值为.x y例 25.（2022浙江绍兴模拟预测）若a0,60,4/+82 2点=2,则半斗的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.2a+h【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等“这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例 26.（2022-浙江省江山中学高三期中）设。0,6 0,若/+62-6 。=1，贝 1 3 2-。的最大值为（）A.3+6 B.2后 C.1 +&D.2+6例 27.（2022.天津南开.一模）若a0,b 0,c 0,a+6+c=2,则2+史史的最小值为_ _ _ _ _.a+b c1 x例 28.（2022天津市蓟州区第一中学一模）已知x+y=L y 0,x 0,则三+百万的最小值为.例 29.（2022全国高三专题练习）已知”0,人0,a+2 Z =l,则:，取到最小值为.例 30.（2022全国高三专题练习）若x,ye R+,且x+2y=l,则 +三 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _x+1 y+24x2 v2例 31.（2022.全国高三专题练习）若正实数x,V满足2x+y=2,则 一+的 最 小 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.y+1 2x4-2【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.1 .代换变量，统一变量再处理.2.注意验证取得条件.题型六：“1”的代换求最值例 32.（2 0 2 2 辽宁模拟预测）已知正实数x,y 满足工+=1,贝 1 1 4 丫 丫-3 -6 丫的最小值为（）x yA.2 B.4 C.8 D.1 2例 33.（2 0 2 2 河南鹤壁高中模拟预测（文）设正项等差数列%的前 项和为S.，若 5 刈3 =2 0 1 3,则1 1-的最小值为（）02。2012A.1 B.2 C.4 D.8例 34.（2 0 2 2.安徽.南陵中学模拟预测（理）若实数。，6 满足2 a +8 =3（a 4,6 l ,则凸+的 最I 2）2（7-1 b-小 值 为（）A.6 B.4 C.3 D.22 1例 3 5.（2 0 2 2 安徽 南陵中学模拟预测（文）已知。0/0,6。+1=1,则 丁+6 的最小值为（）b 2 aA.1 3 B.1 9 C.2 1 D.2 7例 36.（2 0 2 2 四川 石室中学三模（文）已知a 0,6 0 且 a+b =l,则的最小值是（）A.4 9 B.5 0 C.5 1 D.5 2例 37.（2 0 2 2 河南宝丰县第一高级中学模拟预测（文）已知正数a,b 满足曲-a-b =。,则4 a+6 的最小值为.X2 4-1例 38.（2 0 2 2 天津南开中学模拟预测）设x 0,y 0,x+y=l,则=-的 最 小 值 为 _ _ _ _ _.2 xy例 39.（2 0 2 2 新疆阿勒泰三模（理）函数y=a*T+i 图象过定点A,点A在 直 线 如+3（?1,0）上，则1 7 +?最小值为.m-n【方法技巧与总结】1 的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.1 .根据条件,凑出“1”,利用乘 1”法.2 .注意验证取得条件.题型七：齐次化求最值例 40.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知a 0,b 0 ,满足3 万 2 a2 3 h2+9 =0,则 :F 的最小值是（）a bA.2 7 6 B.4 /3 C.4 7 6 D.66例 41.（2 0 2 2 浙江嘉兴二模）已知函数+反+03 0,b 0,且 a+处=1,则，+的最小值为b 2a+b例 45.（2022浙江高三专题练习）己知x,y,z 为正实数，且 x+2 y-4 z=o,则m 的最大值为例 46.（2022全国高三专题练习）若 x 0,y 0 且 log2 3+log,9V=log4 r-1-3 V48 1,则一+y 的最小值为【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解.题型八：利用基本不等式证明不等式例 47.（2022安徽马鞍山二中模拟预测（理）已知。0,b 0.23（1）若 2。+。=1,证明：一 4a+3从 l0+46.例 48.（2022陕西渭南二模（文）设函数/（x）=k+l|2x4.求不等式/（x）2 x-3 的解集.若/（x）的 最 大 值 为 +从+d，证 明:ab+bc+ca 3abc.例 50.（2022.安徽省芜湖市教育局高三期末（理）设 a,b,c 为正实数，且 a+6+c=l.证明:八 1 1 1 、9(1)-+-1-2-；a+b b+c c+a 2、a 鼻、ab+be+ca-3abe(2)a b3+c3-例 51.（2022河南洛阳一 模（文）已知a,6,c 都是正数.(1)证明：a+h +c ah +b c+ac；(2)若a+b+c=3,证明:J J，鹿.a+b b+c c+a 2【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.题型九：利用基本不等式解决实际问题例51.（2021全国高三专题 练 习（理）设计用32加 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2加，则车厢的最大容积是（）A.（383折）m3 B.16m3 C.472 m3 D.14 m3例53.（2021全国高三专题练习）如图，将一矩形花坛A8CO扩 建 成 一 个 更 大 的 矩 形 花 坛 要 求 点8在AAf上，点。在AN上，且对角线M V过点C,已知A3=4,A D =3,那么当3河=时，矩形花坛的AMPN面积最小，最 小 面 积 为.例54.（2022全国高二课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型.如图所示的空心模型是体积为亚亘乃c 尸 的球挖去一个三6棱锥P-4 3 C后得到的几何体，其中8C_L平面抬B,B C =cm.不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长.例55.（2022.全国高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举U依二二力行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（G0）万元满足x=4-（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万 件.已 知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（1）将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【方法技巧与总结】1.理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.2.注意定义域，验证取得条件.3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.【过关测试】一、单选题1.（2022.甘肃省武威第一中学模拟预测（文）已知点E 是的中线3。上的一点（不包括端点）.若_ 2 1AE=xAB+yAC,则一+一的最小值为（）x A.4 B.6 C.8 D.91 92.（2022河南安阳模拟预测（文）已知力为正实数，S.a+b =6+-+-,则 匕 的 最 小 值 为（）a bA.6 B.8 C.9 D.123.（2022安徽马鞍山三模（理）若a0,b 0,lga+lg/?=lg（a+3Z?）,贝必+人的最小值为（）A.46B.4+2 6 C.6 D.3+3 64.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知不，贰为平面的单位向量，且其夹角为与，若+=则 2x+y 的最大值为（）A.2-3 B.2/2 C./3 D.2/34 15.（2022.天津红桥.一模）设。0,b ,若a+b =2,则一 +的最小值为（）a b-A.6 B.9 C.3亚 D.186.（2022 山 西运城,模拟预测（理）已知等比数列%的公比为q,且 牝=1，则下列选项不正确的是（）1 1A.生 +%22 B.%+422 C.-2d!6+1 0 D.+=4+4a%7.（2022河南鹤壁高中模拟预测（文）已知a,bwR,满足e e l,则下列错误的是（）A.a+b-2 1 n 2 B.+/?D.2（e2fl+e2Z,）l8.（2022河北保定二模）已知”，匕 0,+oo）,且/+3 他+4=7,则a+2b的最大值为（）A.2 B.3 C.2近 D.3五二、多选题9.（2022河北张家口三模）己知 x+y=？（是 常 数），则下列结论正确的是（）14A.若一+-;的最小值为m+1,则6=3x y+1B.若My+D 的最大值为4,则机=3C.若 五 十 J 7 的最大值为加，则加=2D.若m=4,则 立 12的最小值为2X10.（2022河北模拟预测）已知。0/0,您+於=2,则以下不等式成立的是（）A.a+b 2 B.3+2 C.I a+y|/+-|4 D.-+-2I b）a）a b11.（2022.山东荷泽二模）设”，6 为两个正数，定义a,b 的算术平均数为A（a,b）=,几何平均数为G（a ）=/.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Leh mer提出了“Leh mer均值”,即L ja,b）=，其中P 为有理数.下列结论正确的是（）A.4.5（。力）4（4，6）B.4（a,A）4G（a,A）C.4（a,A）4A（a,A）D.J i（a,6）M 4（a,b）12.（2022湖北荆门市龙泉中学二模）已知函数x）=|log2X，且正实数“，力满足/（。）+/S）=1,则下列结论可能成立的是（）3A.a=2 b B.2 j+2-的最大值为二C.ab 2 D.的最小值为2&三、填空题13.（2022黑龙江齐齐哈尔三模（理）已知正实数x,y 满足则y+空+土的最小值为x y414.（2022吉林模拟预测（理）已知x 2,则 一 +x 的最小值是_ _ _ _ _.x-215.（2022重庆三模）已知a0,b 0,&a2b+3 ah2=3 a+h,则a+36的最小值为.2 x 216.（2022浙江模拟预测）己知正实数x,y 满足：x2+xy+=2,则3x+2y+-的最小值为.y y四、解答题17.（2022江西二模（理）已知函数/（x）=|2x+6|+|x-3.解不等式 x）2 10的解集；设 g（x）=/（x）-|x+3|到的最小值为乙若正数皿，满足2m+=f,求 丁 二+的最小值.2机 +1 7 1 +11 8.(2 0 2 2 江西南昌三模(理)已知函数/(x)=k-2|+|x-4|,已知不等式化 0)恒成立.(1)求左的最大值即；a b 、1 设 a 0,b 0,求证：.a+2 b 2 a+b 3 k01 9.(2 0 2 2 江西九江三模(文)设函数/(x)=|x-a|(a e R).(1)若关于x的不等式/(x)+/(2 -x)2 4 恒成立，求。的取值范围；(2)在平面直角坐标系x O y 中，.r(x)+W 1 所围成的区域面积为S,若正数b,c,4 满足仍+4)(c+d)=S,求b+2c+%的最小值.2 0.(2 0 2 2 陕西模拟预测(理)设函数力=卜-5+.1 +：-4 万(4 0)(1)当a =l 时，求不等式/(x)4|的解集；19 2 已 知 不 等 式 X+-的解集为 x l x W l ,m 0,n 0,m+n =a,求一+-的最小值.a m n2 1.(2 0 2 2,河南模拟预测(文)设 m 5 为正数，且a+=L 证明：(1)。+b a 0方 0,那么，当且仅当a =b时，等号成立.其中，土W叫作4、的算术平均数，万2 2叫作a,b的几何平均数.即正数4,6的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式1：若a,b G R,则。2+/22，当且仅当a =b时取等号；基本不等式2：若则空出之而（或a +6 2 2，石），当且仅当a =b时取等号.2注 意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）a2 0（a G R）,4 a 0（a 0）,|0（a e R）.（2）基本不等式：如果a,be R+,则 竺2 2 疝（当且仅当“a =此 时取2特例：a 0,S+）（沟通两和。+人与两平方和a2+b2的不等关系式）2 a b W丝之（沟通两积a b与两平方和a1+h2的不等关系式）2。6 4（与2）（沟通两积而与两和a+b的不等关系式）重要不等式串：）依今产否（诉/?+）即a h调和平均值工几何平均值4算数平均值4平方平均值（注意等号成立的条件）.2.均值定理已知 x,y e R+.（1）如果x+y =S（定值），则 肛 0,M 0),当且仅当犬=时等号成立：xV t n模型二：mx+n=m(x-a)+Fm a 2 y mn +ma(m 0,n 0),当且仅当=时等号成立；x-a x-a V m模型三：=-4 (0,c 0),当且仅当x-E 时等号成立；ax+b x+c+b+2 y/ac+b V ax模士 甘型向四r m ：x(，n-mx)、=mx(-n-m-x-)-0八,n 0八,八Q x 2 B.a+b 2 fabxc/a+b 丫、a +b c 2,，c,C.-D.a+b 2 ahI 2 )2【答案】D【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当x yxy B.+22y xC.-2x+yxy【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式判断.【详解】x,y都是正数，由基本不等式，”2日,x+-2,三.苧=而，这三个不等式都是当且仅当X=y时等号成2 x y x+y 24xy立，而题中x w y,因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；孙+J-2 2中当且仅当孙=1时取等号，如x=:,y =2即可取等号，D中不等式不恒成立.孙2故选：D.例3.（2022江苏高三专题练习）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径4 8上，S.O F L A B,A C =a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）a +fah(a0,b0)Q.a2+h2 2fah(a 0,h 0)C.型箍(aQb0)a+b(6 f 0,Z;0)【答案】D【解析】【分析】设 AC3 Cm得到。八啜OC咛,在直角 比/中,利用勾股定理，求得上=亨结合尸0 4 F C,即可求解.【详解】设AC=a,8C=可得圆0 的半径为r=0 F=，AB=色吆2 2又由 0 c=08-B C =a+b,a-b-h=-22在直角 如 尸中，可得9=g+。尸=4）2+（空六子因为bO W FC,所 以 竺 22,当且仅当a=b时取等号.故选：D.例 4.（2022黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（文）下列不等式中一定成立的是（）A.r l(x e R)r+1 I)B.sinx+2(x 工 k 7 i,kw Z)sinxC.In(x2+j In x(x 0)D,x2+l2|(xeR)【答案】D【解析】【分析】由得出的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较/+；与X的大小可判断C；作差比较产+1与2凶的大小可判断D.【详解】因为“E R,所以炉+1 所以0时才成立，故 B 错误；因为一 一 工+！=sinx4212。，所以丁+产，所以lnL2+l j l n x,故 C 错误;因为f+i 2国=（凶1）2 0,所以犬+122此 故 D 正确.故选：D.（多选题）例 5.（2022全国高三专题练习）下列函数中最小值为6 的 是（）9A.y=lnx+-Inx3B-卜 山 小 丽回C.y=3，+32TX2+25D.y=-1-VX2+16【答 案】BC【解 析】【分 析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等“，逐一验证可得选项.【详 解】9解：对 于A选 项，当xw（O,l）时，lnx 0 此 时Inxd-=6卜山X+疏622囱=6,当且仅当6卜inx|=万 氏 不，即卜=g时取=，故B正确.对 于C选 项，y=y+32x 2 =6 当且仅当3、=32一 即x=l时取=,故C正确.对于 D 选 项，y=6+9.=7x2+16+,=：2次=6,J d +6 VX2+16i-9当且仅当Jx?+16=j,+6即 炉=_7无 解，故D不正确.故选：BC.（多选题）例6.（2022.江苏.扬州中学高三开学考试）设a0,b 0,下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.（+2m卜9C.+a +ba b【答 案】ACD【解 析】【分 析】B.a2+b2 2（a+h+）D.痴a+b利用基本不等式可判断A CD选项的正误，利 用 特 殊 值法可判断B选项的正误.【详 解】对 于A选 项，（+2 3（，+2=5+丝+2 2 5 +2、=9,a b）a b a b当且仅 当。=6时，等号成立，A对；对 B 选 项，取a=Z?=l,则a?+3 v 2（。+/?+1）,B 错；对于 C 选 项，*/+6/2.-a=2 b +b 2 j-b =2 a a V a b V b1 2 2 1 2 2所 以，+a+b 2 a +2 b,HP+&,当且仅 当。=。时，等号成立，C对;a b a b对丁 D 选 项，因 为/+从之 2。，贝 12（。2+）之。2+/+2。b=（。+/?）2,所以，七 42 惟织=孚2 区，当且仅当。=6时，两个等号同时成立，D 对.a+b 2（a+b）2故选：ACD.【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例 7.（2022 全国模拟预测（文）若实数。，匕满足a+b=l,则他的最大值为（）A.2 B.1 C.工 D.-24【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解积的最大值.【详解】岁），4+6=1,./;22斤 斤 =2x 27=54，当且仅当3*=32 时，即x=2y等号成立.故选：C.例 9.（2022河南河南 三 模（理）已 知 二 次 函 数 刈=加+2+，（x eR）的值域为 0,+8）,则的最小值为（）A.-4 B.4 C.8 D.-8【答案】B【解析】【分析】根据/（%）的值域求得公=1,结合基本不等式求得：+的最小值.【详解】由于二次函数/（力=加+2 1+。（x w R ）的值域为 0,+电，f0所以L 4 7 所以a c =l,c 0,A =4-4 a c =0所 以,+32 2.1 =4 ,c a c a1 4 1当且仅当一二一即。=2,c =时等号成立.c a 2故选：B例10.（2 0 2 2湖北十堰三模）函数f（x）=1 6+9的最小值为（）A.4 B.2夜 C.3 D.40【答案】A【解析】【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解.【详解】因为1 6、+*2 2佟=2 x 2 3当且仅当1 6 =*,即x=0时等号成立，2 x2、+击=2 x2，+翥2 2a=4,2当且仅当2 x2,=（,即x=0时等号成立，所以/（%）的最小值为4.故选：A（多选题）例H.（2 0 2 2 广 东 汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知“，分是两个正数，4是2”与1 6 的等比中项，则下列说法正确的是（）A.的最小值是1 B.灿 的最大值是1C.上1 +1 1的最小值是9；D.上1+；1 的最大值是，9a b 4 a b 2【答案】B C【解析】【分 析】根据等比中项整理得a +4 A =4,直接由基本不等式可得 油 的 最大值，可 判 断A B；由，+4与；展开后使用基本不等式可判断C D.【详 解】因 为2 /6 =4 2,所 以2 +=2 所 以”+4/,=4.2屈，可 得 她,1,当且仅当4 =4 6时等号成立，所 以 外 的 最 大 值 为1,故A错 误，B正确.因 为（+：）.（“+砌 ；=；（1 +4 +?+令;（5+24）=,故 工+工的最小值为：，无最大值，故C正 确，D错误.故选：B C例12.（2 0 2 2四川广安二中二模（文）若 ,O e R+,且,+6 =1,则竺的最大值是.a a【答 案】1#0.5.【解 析】【分 析】利用基本不等式可直接求得结果.【详 解】va,b e R+,0,b 0,.+b =l2.,a a v a即（当且仅 当=b,即a =2,b 时取等号），.殳即”的最大值为;.a 4 a 2 a 2 a 2故答案为：y.1 v例13.（2 0 2 2全国高三专题练习）己知正数X、，满 足x+石=2,则:的 最 小值是.【答 案】74【解 析】【分 析】利用基本不等式可求得上的最小值.X【详 解】因为X、y为 正 数，由基本不等式可得2 =x+-22,m=、B，所以，2之：,4 y y x 4当且仅当4 孙=1v1,1。时，即当x=4 y=l时，等号成立，故）的最小值为）.x+=2 x 44 y故答案为：4【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例 14.（2 0 2 2 全国高三专题 练 习（理）若,则 y=-2+2 有（）2 x-2A.最大值-1 B.最小值-1 C.最大值1 D.最小值1【答案】A【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因一1 vxvl,则 0 1-工 D的最小值是（）x-1A.4B.2 百-3C.2+D.26+3【答案】D【解析】由y=3（x-l）+1+3,利用基本不等式求最小值即可.X-I【详解】因为 x l,所以 y =3（x-l）+-5-+3 2 2 j 3（x-l）x-!-+3 =26+3,当且仅当 3（x 7）=-,即X =1 +3 时等号成立.3所以函数y=3x4-（x 1）的最小值是2+3.x-l故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.Y 2 y例 16.（2022全国高三专题练习）若x 0,y 0 且工+=孙，则一;+一 的最小 值 为（）x-1 y-1A.3 B.q+底 C.3+瓜 D.3+25/2【答案】D【解析】【分析】利用给定条件确定x 1,y 1,变形 7 并借助均值不等式求解即得.x-1 y-【详解】因x 0,y 0 且x+y=孙，则取=x+y y,即有x l,同理y l,由x+尸 孙 得：（-1）=1,于是得*+2=1+工+2+乌=3+（工+3）N3+2,P =3+2 0,当且仅当一=二,%1 y-x_ 1 y _ 1 x y-1 y x 1 y-l x y-1HPx=l+,y =l+V2 时取所以-7 +的最小值为3+2亚.x-l y-故选：D例 17.（2022.上海.高三专题练习）若x l,则函数丫 =反 言 1 的最小值为.【答案】3【解析】【分析】由y=_x+l=x_+l,及x l,利用基本不等式可求出最小值.x-1 x-l【详解】由题意，/=/.+1 =卜2 21+1）+（1）+1=口1）2+（尤 1）+=,7 +，+,%-1 x x 1 x 1因为x l,所以y=x-l+!+122）（彳-1一+1 =3,当且仅当x l=1，即x=2时等号成立.x-1 V 尤 一 1 x-2 所以函数y=的最小值为3.故答案为：3.例 18.（2021江苏常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知孙=1,且0 y；,则 d）最大值为【答案】坐8【解析】【分析】._1_由孙=1且0 2）,可得x-4 y 0,再将二二 丁化为 好）I 8 后利用基本不-x-4y等式求解即可.【详解】1 1 4解：由冲=1 且0 y 2）,代入x_4），=x_ _ 0,2 x xx-4y _ x-4y _ 1 =诋时,不等式取等，即二 二?二的最大值为，x+16y 8故答案为：坐.84例 19.（2022全国高三专题练习）（1）求函数y=x+；（*1）的最小值及此时x 的值；（2）已知函数 =立生W,x e（-2,依），求此函数的最小值及此时x 的值.x+2【答案】（1）函数的最小值为5,此时无=3；（2）函数V的最小值为5,此时x=（）.【解析】（1）整理y=x+7=x-l+t7+l,利用基本不等式求解即可；（2）令，=x+2（f 0）,将x=f-2 代入x-l x-14整理得J=r+y+l,利用基本不等式求解即可；【详解】（I）-：x,4 4 4y=x+-=x-+-+1 2.(x-1)-+1 =4+1 =5 ,x-1 x-i v )x-当且仅当X-1 =:一4即 x=3 时，等号成立.x-1故函数y的最小值为5,此时x=3；(2)令f =x+2(r 0),将 x=2代入得：广(一2+5(-2)+1。=”+,t tVr 0,4 4/.y=r +-+l 2 Jr-+l =4+l =5,4当且仅当，=一，t4即x+2 =，x+2即x=0 时，等号成立.故函数y的最小值为5,此时x=o.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】i .通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.2 .注意验证取得条件.题型四：消参法求最值例 2 0.(2 0 2 2 浙 江 绍 兴 模 拟 预 测)若 直 线 勿-3 =0(a 0,b 0)过点(1,-1),则&TT+而立的最大值为.【答案】【解析】【分析】将 点 代 入 直 线 方 程 可 得 a+h =3,将 而 T +屈I平方，结合均值不等式可得答案.【详解】直线以一刀一3 =0 过点(1,-1),则。+匕=3又设r =。+1+”+2 ,则/0/=a +l +2 +2 j(a +l)(+2)=6 +2 j(a +D伍+2)由(4 +1)9+2)2)=9,当且仅当4 +1 =)+2,即。=2,b =1 时等号成立.所以产=6+2 j（a+l）（b+2）W 12,即.4 2 6所 以 而 T+屈I 的最大值为2港，当且仅当。=2力=1时等号成立.故答案为：例 21.（2022全国高三专题练习）设正实数x,，z满足f-3 孙+4）2-z =0,则当取得最大值时，Z2 1 2一 +-的最大值为（）x y zC 9A.0 B.3 C.-D.14【答案】D【解析】【分析】xy _ 1利用f 3孙+4y2 z=0可 得 丁 ,4 2 _ 3,根据基本不等式最值成立的条件可得工=2、z=，代入y%2 1 2一+可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.x y z【详解】由正实数无，y,Z满足f-3 x y +4y2-z=0,/.z=x2-3盯+4y2.当且仅当x=2y 0时取等号，此时z=2V.2 1 2 2 1 2 1-+=+-=当且仅当y=l 时取等号，x y z 2y y 2y y2 1 2即一+的最大值是1.x y z故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例 22.（2022.全国高三专题练习（理）已知正实数”，6满足他+2。-2=0,则4+匕的最小值是（）A.2 B.45/2-2 C.40-2 D.6【答案】B【解析】【分析】2 X根 据+幼-2=。变形得进而转化为4 +八百+。,用凑配方式得出+S+2）-2,再利用基本不等式即可求解.b+2【详 解】由 uh+2a 2=0,得 a-,匕+2所以 4a+b=-+b=-+S +2)-2.2j-S+2)-2=4Vi 2,b+2 b+2 7 b+2当且仅当。=,=。+2,即 =/=2痣 一2取等号.b+2 b+2 2故选：B.例23.（2022.浙江高三专题练习）若正实数方满足6 +3。=2,心，则安的最大值为【答 案】g【解 析】【分 析】由已知得=2b-3h b十 八a+b 2b-3ah2b32 2 日齐+广 一2然后结合二次函数的性质可b 2 2b,代入2b-3求.【详 解】因 为 正 实 数Ch b满 足b+3 a=2,所 以=A，Zb 5.b.h H-C则B=2b 3 =一2丁 厂2 一c22b-3z1 1、(-)b 2后，当冷，即4 2时取得最大值巳故答案为：g.【点 睛】思路点睛：H 3 a=2“乩 可 解 出。，采用二元化一元的方法减少变量，转化为l的一元二次函数，利用一元b二次函数的性质求最值.例24.（2022全国高三专题练习）若x,”R+,。-=（孙H，则4+的最小值为.%y【答案】2【解析】【分析】根据题中所给等式可化为（-1）2=孙，再 通 过 平 方 关 系 将 其 与,联系起来，运用基本不等式求解最小y x x y值即可.【详解】因为（x-y）2 =（冲）3且 则 两 边 同 除 以（孙）2,得（上）2=xy,y x又因为（1+工尸=（_1一 _1）2+4 _ 1 =孙+4-1 2 2,卜4 1-=4,当且仅当冲=4-,即x =2 +&,y =2-0时x y y x xy 孙，孙 xy等号成立，所以x