数学（乙卷文科）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷附解析.pdf

2023年高考数学第一次模拟考试卷高三数学(文科)(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.本试卷分第1卷(选 择 题)和 第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.测试范围：高中全部知识点。5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。A.品 无B.%=而C.C 5.已知变量-y满足约束条件,则z=x-3 y的最小 值 为()J-1 S 0A.2 B.-4 C.-3 D.-26.已知抛物线。：9=2 3(0 0)的焦点尸到准线的距离为4,点M(X Q I),N(J%)在抛物线。上，若(/2%)(*+2)，2)=4 8,则 扁=().A.4 B.2 C.-47.执行如图的程序椎图，输出的S值 是()D第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.集合 A=x|V _ 5X+6 0,8=卜|六 /1&),卜/，则)与；的 夹 角 为()8.已知函数/(x)的部分图像如图，则函数/(x)的解析式可能为()4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据(单位：箱).已知这两组数据的平均数分别为7,曷，若这两组数据的中位数相等，则()B./(x)=(ev+e l)sinxD./(.)=(e1+e*)cos.9.已知正方体A8CO-AB。中，点P、Q、R分别是线段3片、AB.A。上的动点，观察直线。与RQ,C P 与 D M，得出下列结论:对于任意给定的点Q，存在点P，使得CPLRQ：对于任意给定的点P，存在点Q，使得A Q _ L C P：对于任意给定的点K，存在点。，使得C P _ L Q/：对于任意给定的点P，存在点R，使得R R _ L C P；其中正确的结论是（）1 3 .已知数列 因 二 是公差为I 的等差数列，且四=1 0，则q=.1 4 .某汽车4 s 店有甲、乙、丙、丁、戊 5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为1 5 .已知实数x,y 满足：（x+2）2+（y 1 尸=1,则|1 一 2 1+乂的 取 值 范 围 是.1 6.已知=/（.*）是R上的偶函数，对于任意的x eR,均 有/（工）=/（2 X）,当尺目。时，f（x）=（x-l）2,则函数g（X）=/一 l O g 皿卜一 1|的所有零点之和为:三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共 60 分.1 7.（1 2 分）在 48。中，内角 A,5,C的对边分别为a,6,c,且满足有c os A（c 8s b +b c os C）=a s i i M.求 A ；（2）己知。为边上一点，八。平分N 4,A5 D的面积是 AOC 的面积的2倍，若比）=2,求 4）.1 0.已知数列 满足对任意的GN,，总存在mcN,使得S n=a,“，则与可能等于（）70 9 9A.2 0 2 2 B.2 0 2 2 C.2 0 2 2/D.-n1 1.已知函数f（x）=co s-乖 0）在 借 上 单 调 递 增，且当X W 黑 时，上 0 恒成立，则”的取值范围为（）1 2.直 线/平 面 a,垂足是0,正四面体A 8 C Q 的棱长为4,点C 在平面a上运动，点8 在直线加上运动，则点。到直线AD的距离的取值范围是（）B.2&-2,D.3&-2.3 忘+2 1 8.（1 2 分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1 5 0 0 名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取2 0 0 名学生，并按成绩分为五组：50,6 0）,6 0,7 0）,7 0,80）,80,9 0）,9 0,1 0 0 ,得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占第n卷二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分.（1）求抽取的2 0 0 名学生的平均成绩7 （同一组数据用该组区间的中点值代替）；若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组,在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率：若比赛成绩x i +s（5 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1 50 0 名学生成绩优秀的人数.参考公式：$=疑-，（是第i 组的频率），参考数据：而。5.5试 题 第 3 页（共 6 页）试 题 第 4 页（共 6 页）1 9.(1 2分)如图，在四棱锥P A 8 C Q中，P A L P D,PA=P D,侧 面 皿 _ L底面A 5 C D,底面A 5C D为矩形，E为A 8上的动点(与A,B两点不重合).(1)判 断 平 面%E与平面尸DE是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由;若4)=4,A 8=40，当E为A 8的中点时，求点C到平面户 陀的距离.(-)选考题：共1 0分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修44坐标系与参数方程(1 0分)r -n在直角坐 标 系 即 中，曲线M的参数方程为 一 (，为参数若“第直朝坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 N的 旗*眄-程 为:0(其中，为常数)(1)若曲线N与曲线”只有一个公共点，求/的取值范围：I 4；2(2)当=-2时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0分)已知函数/(力=k+1卜卜一5|.求不等式f(M 3的解集；2若/(初皿=，且正数。力满足。+=机，证明：示 +2 0.(1 2 分)已知函数/(x)=e +Y(m G R).(1)若存在x0,使得x):1+1=1(“0)的左、右焦点，过鸟作倾斜角为:的直线交椭圆。于a b 3A,B两 点,写到直线A 8的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆。的方程；(2)已知点”(-1,0),设E是椭圆力上的一点，过 两 点 的 直 线/交 尸 轴 于 点c,若废=谢,求义的取值范围；(3)作直线4与椭圆。交于不同的两点R。，其中P点的坐标为(-2,0),若点N(0 j)是线段P Q垂直平分线上一点，且 满 足 而 而=4,求实数/的值.2023年高考数学第一次模拟考试卷文科数学-全解全析一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.集合 A=X|X2-5X+60,8=卜|告 3,8=卜 卷()=幻 0 0|=x|x2 x-J所以 4 n B =xOxl=(O,l).故选：A.2.已知复数4 与 z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则，=()1 +1【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解.【详解】解：复数为与 z=3-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，Z =3+2 i,.z,3+2i(3+2i)(l-i)5-i T+i-1 +i (l+i)(l-i)故选：D.3.已知向量瓶满足同=1,*=(V2,V2),a-h=y/7,则 与万的夹角为()7 1 c 兀 兀 2兀A.B.C.D.6 4 3 3【答案】D【分析】利用向量的坐标表示求忖，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律求解即可.【详解】由1=(3,&)可得W=J(何+(可=2,因为卜.=(a=忖 2 3+忖=7,解得%=-1,试 题 第7页(共38页)试 题 第8页(共38页)-r a b 1 1所以C 0 S =丽 而=一 万，乂因为 w0,7t,所以 与石的夹角为 年，故选：D4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5 天内的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为 反,和，若这两组数据的中位数相等，则（）A.务 和 B.扁=互 C.当 D.鼎，亏.的大小关系不确定【答案】C【分析】根据中位数定义，结合平均数定义求解判断即可.【详解】因为这两组数据的中位数相等，所以x=3,_ 74+76+83+91+92/=-83.2,_ 70+y+82+83+90+93 1乙 5 5，因为 y=0,l,2,9,所以某五,故选：Cx+2y5.已知变量x,y 满足约束条件 x-y W 1,则 z=x-3 y 的最小值为（）y-l l【详解】作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域，y-l0）的焦点F 到准线的距离为4,点M（&x）,N（9,%）在抛物线C 上，若（%-2%）（%+2%）=4 8,则,=（）./VrA.4 B.2 C.-D.g4 2【答案】AMF r+2,、【分析】由焦准距求出p,结合抛物线第一定义得扇=建，（x-2），2）（y+2%）=48整理得y：-4 货=4 8,由y?=2px代换产 即可求解.【详解】抛物线C:y2=2px（p 0）的焦点厂到准线的距离为4,所以2=4,C:.y2=8x依题意，K-4 =4 8,而 城=8占,4父=328,故 8%-32%=48,即 8%+16=32%+64,则玉 +2=4(%+2),画|王+2/故 TATET=-o=4，|NF|X2+2故选：A.7.执行如图的程序框图，输出的S值 是()试 题 第11页（共38页）试 题 第12页（共38页）/输 出 5/，*、A.0 B.-C.D.-122【答案】A【分析】根据程序框图理解可得：输出的S 的值为有关余弦值求和问题，在解题的过程中，把握住余弦函数的周期性的应用，从而求得结果.【详解】根据题中所给的框图，可知输出的S 的值：c c 兀 2兀S=()+COS +COS 4+COS3 32022713八 c c r /兀 2兀 3兀 4兀 5兀 6兀、=0+337 x(cos+cos +cos-FCOS +cos +cos )3 3 3 3 3 3=337x(1+1)=02 2 2 2故选：A8.已知函数八 句 的部分图像如图，则函数“X）的解析式可能为（）C./(x)=(eA-e-v)cosxB./(x)=(ev+e-v)sinxD.7(x)=(ev+ev)cosx【答案】B【分析】由奇偶性可排除A D,由特殊点可排除C,即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所 以 为 奇 函 数，对于 A：由 “x)=(er-eT 卜inx得:/(一x)=(尸 e )s i n(-x)=(e，一e )s i n x =f(x),x)为偶函数，故可排除A；对于 D：由 /(x)=(e、+e-*卜o s x得：/(-x)=(e *+ev)c o s(-x)=(ex+e-v)c o s x =f(x),f（x）为偶函数，故可排除D；由图知/（x）图 象 不 经 过 点,而对于C：/图=-c o s =0,故可排除C；故选：B9.已知正方体4 B C Q-4 A G 中，点P、。、R分别是线段8 4、4 8、A。上的动点，观察直线C P与R Q,C尸与AR,得出下列结论：对于任意给定的点Q,存在点P,使得CP1R。；对于任意给定的点尸，存在点2,使得RQCP；对于任意给定的点R,存在点P,使得CP1R；对于任意给定的点P,存在点R,使得R R _ L C P；其中正确的结论是（）【答案】AC.D.【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论.【详解】对于，当点P与用重合时，C P 1 A B.C P 1 A D,且A 8 n A =A,二 C P _ L 平面 A 8 R,试 题 第15页（共3 8页）试 题 第16页（共3 8页）.对于任意给定的点。，都行D、Qu平面ABD,所以对于任意给定的点Q,存在点p,使得故正确.对于，只有平面BCGB-即D Q _ L 平面AORA时，才能满足对于任意给定的点尸，存在点Q,使得 RQLCP,：过。点与平面4。同垂直的直线只有一条口，而A G A B,故错误.对于，只有C P 垂 直 于 在 平 面 BCGB中的射影时，D,R 1 C P,故正确.对于，只有CP _L 平面AC R时，才正确，因为过C 点的平面AC R的垂线与B 用无交点，故错误.综上，正确的结论是，故选：A.【点睛】方法点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.1 0.已知数列 勺 满 足 对 任 意 的 总 存 在/n e N ,使得S“=a”,则。“可能 等 于()2 0 2 2A.2 0 2 2 B.2 0 2 2 C.2 0 2 2/D.-n【答案】B【分析】A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令=2时，得到2 0 2 2 =2 0 2 3,，不存在，A错误;B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程1 0 1 1，?(+1)=2 0 2 2?，取?=当 口 1即可，c 选项，利用 平 方 和 公 式 得 到DR 口)=加,当=2时，=5,不存在；D 选项，当=2时，1+1 =,62 mm不存在.【详解】对于选项A：当%=2 0 2 2 时，则%是等比数列，因为S“=q”所以 2 0 2 2(2 0 2 2 7)=2 0 2 2，”,当”=2 时，2 0 2 2 一 =2 0 2 3 ,?不存在，A 错误；2 0 2 1对于选项B：当q=2 0 2 2 时，4 是等差数列，因为S,=a,贝 U S“=2 0 2 2 x 当由=1 0 1+=2 0 2 2 m,取在=?(+即 可,B正确；2对于选项 C：当=2 0 2 2 时，S=am,则 S“=2 0 2 2 x(+2?+/)=2 0 2 2 x?力 +1)=2 0 2 2 m 2,当=2时，毋=5,不存在，C 错误；对于选项D：当为=公2 0 2上2 时，S=J IIJ 2 0 2 2(1 +1 -+1 -+.+1-A U20 2 2 ，当几=2时，1 +1 ：=1，加不存n V 2 3 n)m 2 m在，D 错误.故选：B.1 1.己知函数 X）=CO S （0 0）在 J,y上单调递增，且当X 时，/对 恒成立，则”的k 3）|_6 4 J|_4 3 取值范围为（）（八 5 ,1 2 2 1 7 （八 4 1 fo 1 7 1 （八 4 1 J。2 8 （八 5 1,1 2 2。A.0,-U B.0,-U 8,C.0,-U 8,D,0,-U12 3 2 （3|_ 2 （3 1 3 （2 3【答案】B【分析】由已知，分别根据函数/（X）在 区 间 U上单调递增，在X 时，/（X）上 0 恒成立，列出不O 4 J|_4 3 _等关系，通过赋值，并结合。的本身范围进行求解.【详解】由己知，函数/（x）=co s（0 xj（0 ）在 篙 上单调递增，所以2 匕 兀 一 兀 Ms 巴0）在x w 上/（力2 0 恒成立，所以兀 一网 兀+（&Z）,解得：等一看答+言（自 2）,0)Q2 5,解得：8 2-y 6+(f c2e Z)4-4 0,当匕=%2=0 时,由可知:解得a)0当K=&=1时，由可知：,解得。w 8,所以。的取值范围为（0 q4 U 8,1y7.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.1 2.直线2,平面。，垂足是。，正四面体A 8 Q 9 的棱长为4,点C在平面a上运动，点3 在直线加上运动,则点0到直线A D的距离的取值范围是（）试 题 第19页（共38页）试 题 第20页（共38页）4夜-5 4应+5,B.2 0-2,2 0 +23-2血3+2夜2-，-D.3五-2,3五+2【答案】B【分析】先将问题转化为点。在以BC为直径的球上运动，再去求球心到直线AD的距离，进而求得点。到宜线AD的距离的取值范围【详解】在正四面体ABCD中，分别取BC,AQ的中点M,N ,连接则 AMJ.3CA J.B C,又 AWcME =M，AW u平面 AMD,M Du平面AMD则8CJ,平面4 Q,又M N u平面4W D,则MNq BCRtABM 中，AW=y/AB2-B M2=收-22=2 6等腰 A M D中，MN 1 AD,MN=JAM2-AN2=4 2国-2?=2应若固定正四面体A8C3的位置，则点。在以BC为直径的球上运动，球半径为2,则点。到直线AD的距离的最小值为球心到直线AD的距离减去半径即2&-2，最大值为球心到直线AO的距离加上半径即2&+2则点0到直线A D的距离的取值范围是2/2-2,272+2故选：B第n卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知数列 生 皆 是公差为1的等差数列，且 的=1 0,则%=.【答案】rr+n+2#n+n2+2#2n+n+n2【分析】利用等差数列通项公式的性质即%=0+5 -1）=4 =%+（-2）”即可得【详解】由数列 九二差 是公差为1的等差数列，且牝=10可 得 主 名=二 竺+（-2）x l=n+l,n J n 2所以 a“=n2+”+2.故答案为：n2+n+2.1 4.某汽车4s店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为.2【答案】-#0.4【分析】列出随机试验的样本空间，再确定事件甲车型被选到所包含的基本事件数，利用古典概型概率公式求随机事件甲车型被选到的概率.【详解】随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共 含10个基本事件，其中随机事件甲车型被选到包含基本事件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以4 2随机事件甲车型被选到的概率P=正=不2故答案为：j.1 5.已知实数x,y满足：（x+2 y+（y-l）2=l,则|l-2 x+y|的 取 值 范 围 是.【答案】6-百6+6【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；方法二：利用”2 x+y|的几何意义：可以看作圆心（-2,1）到直线2 x-y-l=0距离的逃 倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解法一：因为（x+2）2 +（y-l）2 =1 ,所以令x+2=cos。，y-l=sin。，则x=-2+cos。，y=l+sin，故 11 -2x+y|=|6+sin 6-2 cos 6 1=|6+石 i n 6一|=|6+/5sin(0-)|,sin展望，因为-A 6 s i n（。-s）（逐,所以6-6 4 6 +氐 皿。-9）46+逐，所以6-百 工6+氐 皿6-0)|4 6 +6,试 题 第23页（共38页）试 题 第24页（共38页）故|l-2 x+y|的取值范围为 6-6 6 +石 .1-4-1-11 6 r解法二：因为圆心(-2,1)到直线2*-)，-1=0 的距离,所以圆心上的点到直线2 x-y-1 =0 的距离的取值范围为|/5-1,15+1 ,又因为I2 x-y-l|=石2尸片-1|75所以|2 x-y-l|的取值范围是 6-石,6+括 .故答案为：俗-石,6+BL1 6.已知y=x)是 R上的偶函数，对于任意的x e R,均有 x)=/(2-x),当x e 0,l 时，/(x)=(-l)2,则函数g(x)=/(x)-lo g 2022 k-1|的 所 有 零 点 之 和 为;【答案】4042【分析】本题首先分析出函数/(x)的周期性为2,同时其关于直线x=l对称，由其在PM 的图像，得到其一系列解析式，画出其在区间 0,2024 的图像，再画出y=log2022lx-l|的图像，根据图像的交点的横坐标得到其零点之和.【详解】图像关于y 轴对称的偶函数yW og IX向右平移一个单位得到函数y=log2022|x-l|.因为函数f(x)是偶函数，所以/(x)=/(2 x)=/(x),令x 替换-x,则有x)=/(x +2),所以函数/*)的周期为2,且函数关于直线x=l 对称，又当X G 0,1时 0 0 =口 _1)2,当 工 1,2 时，2-x e 0,l),/(x)=/(2-x)=(2-x-l)2=(x-l)2,当xe(2,3 时，x-2e(O,l,/(x)=/(x-2)=(x-2-l)2=(x-3)2依次类推，可以求出，当xw 2022,2024 时，/(x)=(x-2023)2由此可在同一平面直角坐标系下作出函数y=/(X)与y=log 20221X T I的部分图象.函数g(x)的零点，即为函数y=f (x)与iog20221X-11的交点横坐标,当x 2023时,y=log2022 k T|喔 皿|2023-l|=l,两函数图像无交点，又两函数在0,2023上有2021个交点,由对称性知它们在-2023,0)上也有2021个交点，且它们关于直线x=l 对称，则对称两零点和为2,所以函数g(x)的所有零点之和为4042.故答案为：4042.【点睛】本题综合考察了函数的对称性，奇偶性，函数的图像，函数的零点等，对于这类推广到2022的函数问题，大多数情况下具有周期性或类周期性，将 g(x)的零点和问题转化为两函数交点的横坐标之和，这也是一种常见的处理方法.四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.1 7.在丁 ABC中,内角 A,8,C 的对边分别为a,0,c,且满足百cosA(ccosB+Z cosC)=asinA.求 A；(2)已知。为边上一点，AO平分NA,A3D的面积是 AOC的面积的2 倍，若B D=2,求 AO.【答案】(1)A=9；2.【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果：(2)根据(1)中所求A,结 合 即 长度，求得B C,再在 ABC中利用余弦定理求得A C,再结合NC=9(尸,由勾股定理求得AO即可.【详解】(1)V cosA(ccosB+/cosC)=asin A,/.-cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sin2 A,即 6 c o s 4sin 4=sin?A,0 A/3 A=,(2)平分NA,A=J,A ZBAD=ZCAD=,3 6ABO的面枳是ZVIOC的面积的2 倍，设4 4 3 c 底边3 c 上的高为,S LliD.fl-ABAD-sin ZBAD则 ABD_=2-=2-=2,:.BD=2CD,AB=2AC,S 4ADC-CDh -A CADs i n Z CA D2 2乂 ：BD=2,：.CD=,在 ABC中,cos A=AB2+AC2-BC22AB AC5 4 c2-9 14AC2 2解得4C=石,AB=2/3)AB2=AC2+BC2，C=,AD=，3+1=2.18.(12分)为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如试 题 第2 7页(共3 8页)试 题 第2 8页(共38页)3下频率分布直方图，且第五组中高三学生占力（1）求抽取的2 0 0 名学生的平均成绩嚏（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；（3）若比赛成绩x 1+s。为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1 5 0 0 名学生成绩优秀的人数.参考公式：5 =，加可/，（工是第i 组的频率），参考数据：而“5.5【详解】（1）依题意，得x=（5 5 xO.O l 1 +6 5 x0.0 2 +7 5 x 0.0 3 4 +8 5 x0.0 2 8 +9 5 x0.0 0 7）x1 0 =7 5,所以抽取的2 0 0 名学生的平均成绩1 =7 5 .（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占3;，所以抽到的高三学生应该有7 x3 =3 人，7 7设 7人中，高三学生三人是a、b、c,其余非高三学生标记为数字1,2,3,4.则抽取2人共有以下2 1 种组合l a,l b,l c,2 a,2 b,2 c,3 a,3 b,3 c,4 a,4 b,4 c,ab,ac,b e,1 2,1 3 4 4,2 3,2 4,3 4.其中都是高三学生的共有以下3种组合:ab,ac,b c.所以由占典概型可得这2人都是高三学生的概率为3 1 .2 1-7（3）依题意，得.V =（5 5 -7 5）2 x 0.1 1 +（6 5 -7 5）2 x 0.2 +（7 5 -7 5）2 x 0.3 4 +（8 5 -7 5）2 x 0.2 8 +（9 5 -7 5）2 x 0.0 7=J 4 4 +2 0 +0 +2 8 +2 8 =7 1 2 0 =2 而 1 1 ,所以优秀的比赛成绩应该x I+s=7 5 +l l =8 6，而比赛成绩在 8 6,1 0 0 的频率为：（9 0 8 6）x0.0 2 8 +0.0 0 7 x1 0 =0.1 8 2 ,而1 5 0 0 x0.1 8 2 =2 7 3,故参赛的1 5 0 0 名学生成绩优秀的人数为2 7 3 人.1 9.如图，在四棱锥中，P A r P D,PA=P D,侧 面 皿 _L 底面A B C D,底面A 3 C D 为矩形，E为 A B 上的动点（与 A,B两点不重合）.pA E B(1)判断平面R4E与 平 面 是 否 互 相 垂 直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若 40=4,AB=4 6,当E 为4?的中点时，求点C到平面PDE的距离.【答案】(1)垂直，证明见解析(2)4【分析】(1)由 面 面 垂 直 的 性 质 到 得 平 面 R4。，再 由 线 面 垂 直 的 判 定 得 到 平 面 E 4 B,从而证明出平面尸4EJ_平面P0E；(2)取 A。的中点。，连接。尸，利用等体积法由匕 一 叨 如=匕 yE，即可求解.【详解】(1)平面？4E 与平 面 尸 垂直.证明如下：因为底面ABCD为矩形，所以AB_LA).又侧面P4)J_底面ABC。，且平面P 4D c平面43a=4 D，A B u 平面A8CO所 以 平 面 PA).又 D u 平面P A D,所以AB_LP).又包且以flA8=A,/A,A8u平面R W,所以PD J_平面八48.又 P D u平面尸D E,所以平面PZ)E_L平面R4B,即平面P 4 E,平面(2)当E 为A 3的中点时，取 AD 的中点。，连接0P.因为P4=P Z),所以尸O,A D.因为侧 面 皿 _L底面ABC。，且平面M D c 平面71BC=A ,尸 O u 平面PA),所以P 0/底面ABCO.因为R4-LPD，A D=4,所以尸4=P=2 0，P 0 =2.在 RSAAE 中，AE =-A B =2y/2,PA=2-Ji，所以 PE=4.2由(1)知PO_L平面上4B，又 P E u 平面E 4 B,所以P D L P E.所以 PD=；PD.PE=；X2&X4=46.因为以 血=-CD A D =-x4y/2x4=8y/2,所以/8E=!SA8E.P0=X8V5X2=rC zc 3 ZiClzC 3 3试 题 第31页(共38页)试 题 第32页(共38页)设点C 到平面PDE的距离为，则由一PD E =SN D E-h=Vp_cDE，得 4同=盛，解得人=4.33所以点C 到平面P 0 E 的距离为4.2 0.己知函数 x)=e*+3 x 2(”?eR).(1)若存在犬 0,使得/(x)0 时成立，即彳机0,使得f(x)=e+x 2 o 成立，N 1 ex 则一团 在工,。时成立，故xz 2,22 I L令g(x)=-0,则 g，(x)=(2：)e,JTX当0 x 0,g(x)函数单调递增，当x 2 时，g)0,g(x)函数单调递减，屋 1故 g(x L x=g =二所以机 0,因为p(2)=0,所以当x 2 时，(幻 0,万单调递增，当0 x 2 时，”(幻 0 时，/i(2)=e2,由题意得加 :，2故机的取值范围为(ge?,+8).2_21.设耳，用分别是椭圆6，+当=1(。6 0)的左、右焦点，过工作倾斜角为3 的直线交椭圆。于 A,8两点，a b 3F、到直线A B的距离为3,连接椭圆。的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆。的方程；(2)已知点V(-1,0),设 E是椭圆。上的一点，过 两 点 的 直 线/交 y 轴于点C,若 屈=/丽，求2 的取值范围；(3)作直线4 与椭圆力交于不同的两点P,Q,其中尸点的坐标为(-2,0),若点N(0 j)是线段P Q 垂直平分线上一点，且 满 足 而 而=4,求实数：的值.【答案】三+丁=142(2)4 4 2 或 2 2 2也土当【分析】(1)根据点到直线的距离和菱形的面积建立方程组，求解。力即可；(2)根据向量坐标运算表示出E的坐标，代入椭圆方程，利用那 2 0 求出；I 的范围;(3)求出P Q 垂宜平分线的方程，把 N(0 j)代入，结 合 而.而=4 可求答案.【详解】(1)设 耳 熊 的坐标分别为(-C,0)，(G0),其中C0；由题意得A B的方程为y=瓜x-c).因为6到直线AB 的距离为3,所以喙3=二解得cS所以。2 从 力=3 因为连接椭圆。的四个顶点得到的菱形面积为4,所以gx 2x 2%=4,即原=2 联立解得：。=22=1.2所求椭圆。的方程为t+V=1.4(2)由(1)知椭圆的方程为土+V =1,设以4 y)C(0,M,试 题 第35页(共38页)试 题 第36页(共38页)因 为 丽=/丽,所以(知，-%)=-1-,-凶),J m (_ _ _ _ _)2所以=$5=3,代入椭圆的方程(1 +公加 y-1 +x 1 +X -+(7)=14 1 +2雨 I”2 (32 4-2)(2+2)的j 俎-2 所以 Z =-NO,解 彳4 2-或 丸0 2.(3)由P(-2,0),设。(冷弘)根据题意可知直线人 的斜率存在，可设直线斜率为3则直线4的方程为y=A(x+2),把它代入椭圆O的方程，消去y整理得：(1+4公*+6人+(1 6公4)=0士十、J 何归 c 1 6攵2 2-8k2 7/。4 由韦达定理得-2 +k-，则再=T 7T y=g+2)=7T所以线段P Q的中点坐标为(-、，二).1 +4 k-1 +4攵(i)当A =0时，则。(2,0),线段P Q垂直平分线为y轴，于 是 而=(-2,T),而=(2,-f),由 而 而=-4 +/=4,解得r =2&.(i i)当上片0时，则线段尸。垂直平分线的方程为y-1=-(x +-r).1 +4 k 1 +4 攵-由点N(0,f)是线段尸。垂直平分线的一点，令x =0,得r =-记；于 是 丽=(一2,-。,而=。,另一。由 而 而=_ 2 x/f(y T)=-4 +1 6 2 2 6k(1 0k )1 +文2 +1 +4/1 +4/)4(1 6/+1 5公-1)(1 +4/)2=4 ,解得半，所以=半,综上可得实数，的值为2&,土 半.【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系等，求解方程的关键是建立关于待定系数的方程组；参数求值的关健是向量条件的转化，主要是利用向量的坐标运算，结合韦达定理进行求解.(-)选考题：共1 0分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0分)在直角坐标系叼中，曲线M的参数方程为 x=s jn 8+c o s 6附/参数公业).1A若以该直角坐标系的原点O为y =sin 2极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：p 6-=-t（其中r为常数）（1）若曲线N与曲线只有一个公共点，求f的取值范围；（2）当f =-2时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离-血+1 4&+域 =-之 述【答案】（1）4；（2）8【详解】试题分析：（1）将曲线M的参数方程化为直角坐标方程为抛物线的一部分，将曲线N的极坐标方程化为直角坐标方程为一条直线，通过平移直线观察曲线N与曲线M只有一个公共点时r的取值范围；（2）当，=-2时，曲线N为x+y =-2,设曲线M上的点坐标，利用点到直线距离公式表示目标函数，进而转化为求函数最值问题求解.试题解析：解：对 于 曲 线 消 去 参 数，得普通方程为了 =/-L|x|W五.曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N,化成直角方程为x+y=,曲线N是一条直线.（1）若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点Q历）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点Q、历1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以一 打+1C4a+1满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由-1，得/+“一1一 =0，A=l+4（l+/）=0,求得=一.综合可求得/的取值范围是：一 血+1 3的解集；（2）若f（x）3=m,且正数a力满足a+6 =m,证明：a b 9【答案】（l）x l（2）证明见解析试 题 第 39页（共 38页）试 题 第 4 0 页（共 38页）【分析】(1)根据去绝对值，对x进行分类讨论，求出解集；(2)根据绝对值不等式求出最小值，再构造，利用均值不等式进行求解.(1)-6,用，1,解:由题意知 x)=k +l H x-5|=2 x-4,-l x 3不成立；7 7当一 1工 3,解得x 5，所以5 V x 3恒成立.然卜.所述，不等式/(x)3的解集为(2)方法一：证 明:由(1)知f(X)ma x=6,所以a +1=6.因 为:+L堂+2a b1.X6也xa b+2/23当且仅当a =6 =3时取等号,所以-V+1建(1+1)lxf-=2,当且仅当a =6 =3时取等号.a2 b2 2a b 2(3J 92-.91济+1-2a有故证明：由(1)知/(X)ma x=6,所以 a +b =6.因 为 抬+(+)=黑+*母+田中；看+焉 卜3焉，当且仅当。=。=3时取等号，2 1 2 2 2又因为-=-,当且仅当。=6 =3时取等号，3-Jah 3 a+b 9所以-L +-L 1 a2 b2 9方法三：证明：由(1)知/)皿=6,所以。+6=6.所以：+，=7+(i+4V)S 6-1 (bah2 a2.-x|2 x-+2 x-+-+-3 6、8 2+2 .-x(4+2+2)=-=-,当且仅当=匕=3时取等号.试 题 第43页（共38页）试 题 第44页（共38页）