线性代数习题集.pdf

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5 阶偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512.如 果 阶 排 列 力,的逆序数是左，则排列Z,%A的逆序数是().(A)k(B)n-k、加,(C)3 -k(D)出3.n阶行列式的展开式中含回2的项共有()项,(A)0(B)n-2(C)(-2)!(D)(n-1)!0 0 014.0 0 10 1 000=().1 0 0(A)00(B)-l(C)1(D)20 0 105.0 1 00 0 0()1=().1 0 0(A)00(B)-l(C)1(D)22x x-116.在函数/(x)=1 x 13 2-x23中d 项的系数是().ooo1(A)0(B)-l(C)1)2(D)-2(A)4(B)-4 (C)2(A)Aa(B)-ka(C)k2a(D)-k2a9.已知4 阶行列式中第1 行元依次是-4,0,1,3,第 3 行元的余子式依次为-2,5,l,x,则x=().(A)0(B)-3(C)3(D)2-8 7436-23-11 0.若 D=1 111 ,则。中第一行元的代数余子式的和为（）.4 3-75(A)-l(B)-2(C)-3(D)03 04 0ii.若 o=i 11 1，则。中第四行元的余子式的和为（）.0-10 05 3-2 2(A)-l(B)-2(C)-3(D)01 2.女 等于下列选项中哪个值时,X1+履3=0齐次线性方程组|/+5+%3=0有非零解kx+x2+x3=0)(A)-l(B)-2(C)-3(D)0二、填空题21.2”阶排列24(2”)13(2-1)的 逆 序 数 是.2.在六阶行列式中项的2。54。43a26所 带 的 符 号 是.3.四阶行列式中包含出2。43且 带 正 号 的 项 是.4.若一个阶行列式中至少有2一 +1个元素等于0,则这个行列式的值等于1 1 1 01 0 15.行列式0 1 1 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06.行列式.0 0 0 n-1/z 0 0 0a*an7.行 列 式 陶 明）00 a a2。1 3”133。2 3Q 28.如 果。=。2 1 a22。2 3,则 3 =Cl 2 3 3 22 3?22%2。3 3“3 1 。3 3 332 3。3 29.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为1 -11 -11 0.行列式1 x-1x+1-11 +21 x-1x+1 -11 -1-1 -11 1.I-J.11 1.”阶行列式=.1 1 1 +21 2.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则 该 行 列 式 的 值 为.1 2 3 41 3.设行列式4叮(/=1,2,3,4)为D 中第四行元的代数余子式,8 7 6 5贝 U 4A旬 +3A4 2 +2A4 3 +44=a1 4.已知O=,bab c ab a ba c cc h dD 中第四列元的代数余子式的和为1 5.设行列式D1311235134624472-6,均为。4/(/=1,2,3,4)的代数余子式,则Au+4=A 43+&=41 6.已知行列式。=11113 5 2 0 0 3 0 0 2/i-100n,D中第一行元的代数余子式的和为1 7.齐次线性方程组h2.q +2X2+x3=q +乜-0：o仅有零解的充要条件是3一 X2+X3=：01 8.若齐次线性方程组，x+2X2+2X2+x3=05七=0有非零解，贝1=_ 3xl-2X2+也=03.三、计算题a bcda2 b2c2d2a3 b3c3d3b+c+d a+c+da+h+dQ+/7+CXyx +y2.yx-yXx+yXy解方程1X10 1X10 1X二01 1 0X1 0Xa2 an-21%X电.an-21的X-,an-21 X1%a2,%15.%1 11 at 11 1 a21 1 1111（。产 Lj=O,l,a”1113 1-b1112-b11111111.1 +x；X/21 +%2 x/“9X/2 1 +广1-6!a000-1 1-aa00。=0-1-aa000-1-aa000-1-a10.2 1 0 0 01 21 0 00 1 2 0 00 0 0 2 10 0 0 1 262.3.4.四、证明题a+bxa2+b2xa3+b3xaxx+ba2x+h2a3x+by(1 X)6?2仄b241aa2a41bb2b411dd2,/4=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b(d-c)(a +b+c+d).111a r2a；a/an屋=、n （。“3i=r2a：1 1 15.设a,仇c两两不等，证 明a bc=0的充要条件是a +h+c =O.参考答案.单项选择题A D A C C D A B C D B B二.填空题1.n;2.-;3.4 1 4 a 2 2 a 3 1 a 4 3 ;4.0 ;5.0 ;6.(-l)-ln!;7.(1)=I)%1；8.-3 M;9.-1 6 0;1 0.x4;1 1.(2 +n)Z-1;1 2.-2;“11 3.0;1 4.0;1 5.1 2,-9;16.H!(1-);1 7 W 2,3;1 8 =7k=k三.计算题1.-(a +b c +d)(b -a)(c -a)(d -a)(c-h)(d -b)(d -c)；2.-2,+y3)；3.x=-2,0,1;5.I X l +S-)；k=0 k=0 4-l7.(-1)立-%)；k=9.1 +tX；k=1 1.(1-)(1 +2 +4).四.证明题(略)n-14.n(x-4)k=l6._(2 +5)(l _ b)(_ 2)-6);8.(x +Z a*)n(x-4)；&=1 k=l1 0.+l;8第二章 矩阵一、单项选择题1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)同=|A (b)A2-B2=(A-B)(A+B)(c)(A-B)AA2-AB(d)(AB)T=ATBT2 .设方阵A、B、C 满足A B=A C,当A满足()时，B=C。(a)A B =B A (b)同工0 (c)方程组A X=O 有非零解(d)B、C 可逆3 .若A为n阶方阵，为非零常数，则 同=()0(a)4 A l (b)网川4.设A为 n阶方阵，且=0,则(a)A中两行(列)对应元素成比例(c)A中至少有一行元素全为零(c)(d)|硝山)0(b)A中任意一行为其它行的线性组合(d)A中必有一行为其它行的线性组合5.设A,B为n 阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是()。(a)|(4 +8)=,+忸 (b)(A 8)=W悯(c)(A T+8)=,+怛|(d)(A+By6 .设A为n 阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则()o(a)(a)=|*|(b)|A*|=|A|(C)|A*|=|A|n+1(d)=7 .设 A为 3 阶 方 阵，行 列 式 网=1 ,A*为 4的 伴 随 矩 阵，则行列式|(2 4 广-2 A*|=()o W$(c)、T27(d)58.设 A,8 为n 阶方矩阵,4=8 2,则下列各式成立的是（）o(a)A=B(b)A=-B(c)|A|=|B|(d)|A|2=|B|29.设 A,8 均为n 阶方矩阵，则 必 有()0(a)|A+M=|A|+|B|(b)ABBA(c)AB=BA(d)|A=|同210.设A为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（)o(a)|2A|=2|Ar|(b)(2A)-1=2A-(c)(A-yT(A7)7?,(d)(万)丁=(k)丁11.如果Aaal3I“12a22“32“13a23“3 3,-3a3 a2k a3%2-3432a22a32%3-3aa2333337(a)10-30100、0(b)0、0010-3、01 ,7112.已知A=2J321ro，则()o(c)00,1010-3、0(a)AT=A(b)A-1A*(c)A1 00 00 10、10,12、31013、2b(d)00 0、0 10、10,A123，则 A=(d)q0,001-3）。0、0b13.设A,8,C,1为同阶方阵,/为单位矩阵，若=则(a)ACB=I(b)CAB=I(c)CBA=I14.设A为”阶方阵，且|4 快0,则（)0101321、7)o(d)BAC=I10(a)A经列初等变换可变为单位阵/(b)由 A X =8A,可得 X =B(c)当(A|/)经有限次初等变换变为(/|8)时，有A T=B(d)以上(a)、(b)、(c)都不对1 5.设A为机x 阶矩阵，秩(4)=厂机“，则()(a)A中r 阶子式不全为零(b)A中阶数小于r 的子式全为零(I 0、(c)A经行初等变换可化为r(d)A为满秩矩阵(0 0；1 6.设A为机x 矩阵，。为阶可逆矩阵，B A C,则()o(a)秩(A)秩(B)(b)秩(4)=秩(B)(c)秩(A)秩(8)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C 而定1 7.A,8 为 n 阶非零矩阵，且A 3 =0,则秩(4)和秩(8)()0(a)有一个等于零(b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n,一个等于n1 8.n 阶方阵A可逆的充分必要条件是()o(a)r(A)=r n(b)A 的列秩为 n(c)A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在1 9.n 阶矩阵A可逆的充要条件是()0(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例(c)4的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n 维非零向量X ,均有A XKO二、填空题1 .设A为n阶方阵，/为n阶单位阵，且 设=/,则行列式网=Q a b2.行列式-a 0 c-b-c 0 1 0 1 3 .设2 A=0 2 0,则行列式|(4 +3/尸(屋一9/)|的值为、0 0 1 JT _叵4 .设4=击 2,且已知=/,则 行 列 式=8.设4为 1 0 0 阶矩阵，且对任何1 0 0 维非零列向量X ,均有AXW0,则A的秩为_ _ _ _ _ _9 .若A =(%)为 1 5阶矩阵，则A，A的第4 行第8 列的元素是1 0 .若方阵 A 与 4/相似，则 A =J _ 2 K、1 1 .l i m 2：K +l =_ _ _ _ _Ku 1 1(n-1 221 2.l i m 0 -1=_ _ _ _ _ _ _3三、计算题1.解下列矩阵方程(x为未知矩阵).121)21、T2 3、-1 02 1；X =r23W2、2-22)01、01000、0LX 3 1 0、1 0 r3)x(/-BC)TBT=/,其中8=4 0 4c =21 2、42%J21 1 0r4)A X=4+x /,其中 a =0 20J0b 4 2 3、5)A X =A +2X,其中 A=1 1 0、T 2 3,2.设4为阶对称阵，且4=0,求A.1 -13 .已知4=0 2J 00、1，求(A +2/)(K-4/尸4.设4 =:2、V、24、3,5.设4=2、31 2、2 4，求一秩为2 的方阵8,使A 3 =0.3 6)26.设4=11 1 (00 1 ,B=11 o J b1 1、2 1 ,求非奇异矩阵。，使4 =。8。.1 0)7.求非奇异矩阵P,使P A P 为对角阵./、(1-21(2 n1)A=2)A=1 -3 111 2I-2 08.已 知 三 阶 方 阵 A 的 三 个 特 征 根 为 1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,l)r,(-l,l,0)r,(-2,1,1/,求矩阵A.5-3 2、9.设A=6-4 4，求、4-4 5,四、证明题1.设 A、8 均为阶非奇异阵，求 证 可 逆.2.设 屋=0(%为整数)，求证/-A 可逆.3.设 q q,4为 实 数，且 如 果 见。0,如 果 方 阵 A 满 足Ak+aAk+-+ak_A+akI=0,求证 A 是非奇异阵.4.设n 阶方阵A与5 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。14第二章参考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；1 0.d；1 1.b；1 2.c；1 3.b；1 4.a；1 5.a；1 6.b；1 7.c；1 8.b；1 9.d.二.1.1 或 T；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.1 0 0；159.Eai 4i=l-ai8 ；1 0.I；1 2.0；1 1.002、三、1.1）、5)、5.-318.3-1-132-2-1 0-1 31 60-20；2）、J225-130；3）、11-1-4-56-3、-3 ；4)、4 20J030102,J-8-91 2-6、-6一 力2.0；3.0-103-311-1074.q00-21001-21001-217-110-1107不唯一；6.9120-10、0b;9.3+2(2,OO-1)2(2IO O+3IO O)_42(3*1)2 _ 21 0 0 _ 3 10 04-21 0 0-2(31 0 0)2(1-3 )3*1、2(3,0 0-1)2(3 。)第三章 向量一、单项选择题1.四,四都是四维列向量，且四阶行列式a2 a川=?，ki入%|=，则行列式E 2%4+闵=()(。)机+(h)m-n(c)-m+(d)-m-n2.设A为阶方阵，且同=0,则()o(a)A 中两行(列)对应元素成比例(b)A 中任意一行为其它行的线性组合(c)A 中至少有一行元素全为零(d)A 中必有一行为其它行的线性组合3.设A为“阶方阵，r(A)=r ，则在A的个行向量中(a)必有 个行向量线性无关(b)任意r 个行向量线性无关(c)任意厂个行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被其它厂个行向量线性表示4 .阶方阵A可逆的充分必要条件是()(a)r(A)-r n)o(b)A 的列秩为“16(c)A的每一个行向量都是非零向量(d)A的伴随矩阵存在5.维 向 量 组，见线性无关的充分条件是()(a)at,a2,.,a，都不是零向量(6)%,。2,.，4中任一向量均不能由其它向量线性表示(c)a,(z2,.，见中任意两个向量都不成比例()ai,a2,.,as中有一个部分组线性无关6.w维向量组四,。2,，%(S 2 2)线性相关的充要条件是()(a)a,a2,.，见中至少有一个零向量(b)al,a2,.,a,中至少有两个向量成比例(c)a 1,a 2,.，4中任意两个向量不成比例(d)ai,a2,.,as中至少有一向量可由其它向量线性表示7.n维向量组药,a 2,4(3 s n)线性无关的充要条件是()(a)存在一组不全为零的数占,女2,.，田使得%+&2a 2 +.%。产03)%,0 2,见中任意两个向量都线性无关(c)a,a2,.,a5中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示(4)四,0 2,.,as中任一部分组线性无关8.设向量组,a 2,，见的秩为r,则()(a)at,a2,.,as中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关(&),(z2,.，4中存在由r +1个向量组成的部分组线性无关(c)a,a2,，见中由 个向量组成的部分组都线性无关3)%,。2,中个数小于 的任意部分组都线性无关9.设a”。2,.,a，均为“维向量，那么下列结论正确的是()(a)若占%+k2a2+.ksas=0,则%,%,.,a，线性相关3)若对于任意一组不全为零的数匕也,k,，都有kxax+k2a2+.ksas/0,则%,。2,.,a$线性无关(c)若%,a?,，见线性相关，则对任意不全为零的数匕,&，右，都有kiai+k2a2+.ksas=0(d)若 0%+0。2 +.0 a,=0,则%,0 2,.，见线性无关10.已知向量组%,。2，。3，。4线性无关，则向量组()()+a2,a2+ai,ai+a4,a4+a,线性无关(b)ai-a2,a2-a3,a3-a4,a4 一 四线性无关(c)a,+a2,a2+a3,a3+a4,a4-)(,a2,a4(c)a1 5 a2,as()%,a2,a4,a515.设a =(%,a2,aj ,0 =回 b2,6 3),%=(%,%)丁，=也,b2)T,下列正确的是()若a,线性相关，则名血也线性相关；(b)若a,殿性无关，则%,夕也线性无关；(c)若%,用线性相关，则a,夕 也线性相关；(4)以上都不对二、填空题1 .若%=(1,1,1)a2=(1,2,3)。3=(1，3,f)7线性相关，则1=_ _2 .嬴*向量一定线性 关。3 .向量a线性无关的充要条件是_ _ _ _ _ _。4 .若a”,a?线性相关，则名,%,.，见(s 3)线性_ _ _ _ _ _ _ _ 关。5 .n维单位向量组一定线性_ _ _ _ _ _。6 .设向量组a”%,.的秩为r,则ax,a2,.,a,中任意r个_ _ _ _ _ _ _ _ 的向量都是它的极大线性无关组。7 .设向量%=(1,0,I)，.与。2=(1,1,。尸正交,贝！J a=-。8.正交向量组一定线性_ _ _ _ _ _。9.若向量组%,火，.,a，与仇,人,.,以等价，则%,。2,.,a、的秩与八瓦,，力的秩-。1 0 .若向量组四,。2,，氏可由向量组笈，2 2,，力线性表示，则r()，2,.,as)-&.，4)。1 1 .向量组%=(%,1,0,0)，,a2=(a2,1,1,0)r,%=(%，L L 1)，的线性关系是_ _ _ _。1 2 .设 n 阶方阵 A =a2+%,贝-A|=-1 3.设 =(0,y,a2=(x,0,0)，若a和/?是标准正交向量，则x20和y的值_ _ _ _ _ _ _.1 4.两向量线性相关的充要条件是_ _ _ _ _ _ _.三、计算题1 .设%=(1 +丸，1,1尸，a2=(1,1+2,1)a3=(1,1,l+W，0 =(0,2,22)7,问(1)一为何值时,一能由%,a2，%唯一地线性表示?(2)4为何值时，4能由%,a2，%线性表示，但表达式不唯一？(3)4为何值时，不能由%,。2，。3线性表示？2 .设%=(1,0,2,3)7,a2=(1,1,3,5 y,%=(1,1,a+2,1尸,a4=(1,2,4,a+S)T,4=(1,1,b+3,5尸问:(1)。)为何值时，夕不能表示为四,。2,%，%的线性组合？(2)a,b为何值时，?能唯一地表示为名,。2，。3，。4的线性组合？3 .求向量组/=(1,-1,0,4)a2=(2,1,5,6)、a3=(1,2,5,2门,a4=(1,-1,-2,0尸，a5=(3,0,7,14)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4 .设q=(L L 1)/,G=(L 2 3)7,e=(L 3,t/,t为何值时%,%,出 线性相关，t为何值时%,%，。3线性无关？；.将向量组%=(1,2,0)1%=(-1，0，2)%=(0,1,2尸标准正交化。四、证明题1.设 夕|=%+%，62=312-4,63=2%-%，试证月|,2，63线性相关。2 .设%,a 2,.,%线性无关，证明%+。2，%+。3,.,a.+al在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。3 .设名,%,.，4,4线性相关，而%,%，.线性无关，证明力能由a,a2,.,a，线性表示且表示式唯一。4 .设%,%,出 线性相关，。2，%，。4线性无关，求证明不能由四，%，出线性表示。5 .证明：向量组囚0 2,，4(SN 2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6 .设向量组四,0 2,.，见中四力0,并且每一个.都不能由前”1个向量线性表示(i =2,3,-,5)求证名,a2，&线性无关。7 .证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8.设劭,%,a?，,凡是线性无关向量组，证明向量组%,%+%,4 +%丁,%)+。,也线性无关。22第三章向量参考答案一、单项选择l.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.6 7.6 8.a 9.b lO.c ll.c 12.d 13.a14.b 15.a二、填空题1.5 2.相 关3.a#0 4.相 关5.无 关6.线 性 无 关7.-18.无关 9.相等 10.11.线性无关 12.0 13.x=l,y=土 14.对应分量成比例三、解答题1.解:设 尸=X01+%2%+*3%(1+Xj+与=则对应方程组为 X 1 +(1+A)X2+X3=AX 1 +%2 +(1+4)尢3 丸 1 +2 1 1其系数行列式|A卜1 1 +A 1 =22(A+3)1 1 1 +A(1)当/L#O,/LH-3时，闾x 0,方程组有唯一解，所以夕可由四,%唯一地线性表示；q(2)当2=0时，方 程 组 的 增 广 阵1J1111110 p 10 3 0 0oj o 01 0、0 00 0,r(A)=r()=l 3,方程组有无穷多解，所 以/可 由 内,a 2 a 3线性表示，但表示式不唯一;(3)当几=一3时,方程组的增广阵(-2 11 0 A (-2A=1-211 -3-0-3-2 9)10 03-12,r(A)W r(N),方程组无解,0-18,所以不能由,a2 z3线性表示o2.解似a 1,%,。3,4,6为列构造矩阵 1 1 1 10 1 1 22 3 a+2 4、3 5 1 a+80 110 05)0 011101 1、2 1(1)当。=1且匕彳0时.，不能表示为药,。2，。3，。4的线性组合;(2)当a H 1,匕任意时，能唯一地表不为四.,%的线性组合。13.解：(%,a2,a?-1。4，5)=0、42 1 11 2 -15 5-26 2 03、(1 4；1 00 -11 10 00 00 20 11 -10 0%,%,。4为一个极大无关组，且%=-%+。2 +0%，。5=2%+%-。41 1 14.解：|,，0；2,3|=1 2 3 =t-5,1 3 t当f=5时%,%,出线性相关，当*5时a”%,出线性无关。5.解：先正交化：令四=%=(1,2,0)一 先 舟HVA =%一%,又P，BA，Z?2A-U26 _6再单位化:24%，72,73为标准正交向量组。四、证明题1.证：3 3+人）一4（2笈一 色）=0，一5笈 +3/72+4 e=0，一，外,网线性相关2.证：设 k（+%）+（%+%）T-卜 左“（%+%）=0则（占 +%.）%+（匕 +k2）a2+_i+kn）an=0V ax,a2,.,a“线性无关卜+绘=0.匕 +&=Vki+%=。当n为偶数时，匕儿,，攵可以不全为零，四,%,a”线性相关。1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 0 02,为奇数其系数行列式=1+（-1 严=J0,为偶数0 0 0 1 00 0 0 1 1二当n为奇数时，匕,2,.，匕，只能为零，四,。2，一,明线性无关;3.i i E：at,a2,.,as,/3线性相关，存在不全为零的数占，k 2,k、,k 使得+k2a2+.+k5as+k/3=0若k =0,贝必2a 2 +.+儿%=。，（左”左2,.，儿不全为零）与%,。2,.,a,线性无关矛盾所以k 0 0于是夕=一一勺二2 一,-一等k K K，能由四,。2，,凡线性表示o设 =/%+&%+.+ksas P=/|,+l2a2+.+lsas 则-得（占 -4）%+（&2 -4）0 2 +（右一/、）=0%,%，.，见线性无关二%=/；,（/=1,2,s）即表示法唯一4.证：假 设 能 由 四，。2，。3线性表示V a2,a3,a4线性无关，a2,出线性无关 ，2,四线性相关，%可由%，。3线性表示，/e r,能由。2，。3线性表示，从而a 2，a 3，a 4线性相关，矛盾26，不能由明，。2，。3线性表示。5.证：必要性设向量组。1，。2,，4线性相关则存在不全为零的数匕,.，右，使得匕s +A 2a 2 +.+ksas=0不妨设儿N O,则氏=_&%_%_-冬*T，h k s ks即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组四,。2,.，4中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设 a =k (X i+k2a2+.+ks_las_i则 kia+k2a2+.+ks Aas_1-as=0 ,所以四,。2,线性相关。6.证：用数学归纳法当s=l时，/HO,线性无关，当s=2时，不能由线性表示，%，%线性无关，设s=i-1时，4,4，.，线性无关则s=i时，假设%.,%线性相关，,4t线性无关，%可由四,。2,.,4 _|线性表示，矛盾，所以%,。2,.,%线性无关。得证7.证：若向量组,。2,.，见中有一部分组线性相关，不妨设%,ar(r s)线性相关，则存在不全为零的数匕,也，使得kjal+攵 2a 2 +.-krar=0于是 klai+k2a2+.+krar+Oar+I+Oas=0因为，左2,.,k,0,0 不全为零所以%,%，,a，线性相关。8.证：设即。0+&(4+4)+&2(4+&2)+儿(4 +见)=0则(勺+k +k2+-+ks)a0+kia+k2a2+-+ksas=0因a。,a*线性无关，k0+&1+&2+,+&$=0%=0所以，女2=0 解得攵0=%=攵2=0ks=0所以向量组a。,4+a”为+%/,4+见线性无关。28第四章线性方程组一、单项选择题1.设元齐次线性方程组4X=0的系数矩阵的秩为，则AX=O有非零解的充分必要条件是()(A)r=n(B)r n(D)rn2.设A是mx”矩阵，则线性方程组4X=b有无穷解的充要条件是()(A)r(A)m(B)r(A)n(C)r(Ab)=r(A)m(D)r(Ab)=r(A)n3.设A是机x矩阵，非齐次线性方程组AX=b 的导出组为AX=0,若?，贝 U()(A)4乂=。必有无穷多解(B)4乂=匕必有唯一解(C)AX=0必有非零解(D)AX=0必有唯一解X +2X2-X3=44.方程组“x2+2X3-2 无解的充分条件是几=()(2-2)X3=-(A-3)(2-4)(/1-1)(A)1 (B)2(C)3(D)45.方程组 +X f=%12X2-X3-2 有唯一解的充分条件是=()x3=2-4(4 1)七=(4 3)(4 1)(A)1 (B)2(C)3(D)4%1 +2%2 =A 16.方程组 3X2-X3=A-2 有无穷解的充分条件是/I=()AX2-x3=(2-3)(2-4)+(2-2)(A)1 (B)2(C)3(D)47.已知以，河是非齐次线性方程组AX=8 的两个不同的解，a”的是导出组AX=0的基本解系，配灯为任意常数，则AX=b的 通 解 是()(A)kxa+k2(a+a2)+(C)勺%+&(四+夕2)+22(B)(D)8.设A为机xn矩阵，则下列结论正确的是(4 0 +&(11%)+3 1 +&(夕1 -夕2)+)6 +世2尸 1 +凤2(A)若AX=O仅有零解，则AX=6有唯一解(B)若AX=O有非零解，则AX=b有无穷多解(C)若AX=8有无穷多解,则AX=O仅有零解(D)若AX=8有无穷多解，则AX=O有非零解9 .设A为机x矩阵，齐次线性方程组AX=O仅有零解的充要条件为()(A)A的列向量线性无关(C)A的行向量线性无关玉+=11 0 .线性方程组 X,+2X2+3X3=04网 +7X2+10X3=1(B)A的列向量线性相关(D)A的行向量线性相关()(A)无解有零解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其导出组只二、填空题1 .设A为 100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X,均有AXRO,则A的秩为.kx、+2X2+/=2 .线性方程组 2占+日2=0 仅有零解的充分必要条件是.玉 一+工 3 =3.设 X1,X2,X,和3+2*2+q X,均为非齐次线性方程组A X=b的解(q q,q 为常数)，则q+c?+q=.4,若线性方程组AX=b 的导出组与BX=O(r(B)=r)有相同的基础解系，则r(A)=.305 .若线性方程组4,冈3=匕的系数矩阵的秩为?，则其增广矩阵的秩为.6 .设1 0 x 1 5矩阵的秩为8,则4 X =0的 解 向 量 组 的 秩 为.7.如果阶方阵A的各行元素之和均为0,且r(A)=-1,则线性方程组A X=0的通解为.8,若元齐次线性方程组A X=0有 个线性无关的解向量，则4 =19 .设4=2,123a贝 i j a=.1 21 0 .设 A=2 3J a1 r ra +2,b =3 ,x=-2 )S若齐次线性方程组AX =0只有零解,若线性方程组A X =b无解，则1 1 .”阶方阵A,对于A X=0,若每个“维向量都是解，则”A)=.1 2 .设5 x 4矩阵A 的秩为3,%是非齐次线性方程组AX=8的三个不同的解向量，若%+%+2%=(2,0,0,0 1,3%+%=(2,4,6,8/，则A X=b的通解为.1 3 .设A为z n x矩阵，r(A)=r m i n(m,n),则AX=0有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1.已 知a a2,a3是 齐 次 线 性 方 程 组A X =0的 一 个 基 础 解 系，问+%,。2 +。30+%是否是该方程组的一个基础解系？为什么？性方程组4 X=0的解，试问8的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？5 4 3 3 -I-I -2 0 1 0-0 1 2 2 65 -6 0 0 1设A二，B=,已知8的行向量都是线3 2 1 1-31-2 1 0 0111111-2 3 -2 0 _3.设四元齐次线性方程组为（I）：=:x2-x4=01）求（I）的一个基础解系2）如果（0,1,1,0）7+&（-1,2,2,是某齐次线性方程组（I I）的通解，问方程组（I）和（I I）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4.问。力为何值时，下列方程组无解？有唯一懈？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。再 +a x2+%3 =。j 玉 +=41 )QX +工2+工3=1 2)-X,+b x2+x3=/72百 +x2+a x3=a2 x x2+2X3=-45,求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为-3 .（q9为任意实数）2-2 1 36.设4=，求4 x 2 一个矩阵3,使得A 5 =0,且r(5)=2。9-52 832参考答案一、单项选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空题1.100 2.-2.k 3 3.1 4.r 5.m 6.77.41,1,1尸 为 任 意 实 数)8.0 9.aw 1或3 10.a=l 11.012.(；,0,0,0)7+/0,2,3,4),4任意实数 13.无穷，n-r三、计算题1.是 2.不能3.1)%=(0,0,1,0)7,%=(-1,1,0,以 2)1(-1,1,1,1)7(其 中 人 为 任 意非零常数)4.1)当a=-2时，无解；当aw-2且a w l时有唯一解：(-,-7；2+。2+。2+。当a=1时有无穷多解：c1(-l,l,0)r+c2(-l,0,l)7+(l,0,0/(其中q,C 2为任意常数)2)当b=l时，无 解；当bw 1且b*4时 有 唯 一 解：(b(b+2 b2+2b+4 2 b)T；当匕=4 时有无穷多解：b+b+b+c(-3,-1,1尸+(0,4,0)7(其中c为任意常数)5.9X 1+5X2-3X3-56.1011/21-5/211/21/2J第五章 特征值与特征向量一、单项选择题0 o r1.设4=0 1 0，则A的特征值是()。J 0 0,(a)-1,1,1 (b)0,1,1 (c)-1,1,2(d)1,1,2 1 1 0、2.设A=1 0 1 ,则A的特征值是()。、。1 L(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,13 .设A为阶方阵，4 2=/,则()。(a)|A|=1(b)A的特征根都是1 (c)r(A)=(d)A一定是对称阵4 .若 为 分 别 是 方 阵 A的两个不同的特征值对应的特征向量，则4 田+卷也是A的特征向量的充分条件是()。(a)占=0 且&=0 (b)女 尸 0 且 女 2*0 (c)kxk2=0 (d)女 尸 0 且&=05 .若阶方阵A,6的特征值相同，则()。34(a)A=B(b)|A|=|S I(c)A 与 B 相似(d)A与3合同6 .设A为阶可逆矩阵，4是A的特征值，则A*的特征根之一是()。(a)储 4|(b)r|A|(c)2|A|(d)A A 7 .设2 是非奇异阵A的一个特征值,则(；A?/至少有一个特征值等于()0(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2(d)1/48 .设阶方阵A的每一行元素之和均为。(a w 0),则2A T +E 有一特征值为()o2(a)a (b)2a (c)2a+l (d)+1a9 .矩阵A的属于不同特征值的特征向量()0(a)线性相关(b)线性无关(c)两两相交(d)其和仍是特征向量10 .|A|=|5|是阶矩阵A与8相似的(兀(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件11.阶方阵A有个不同的特征根是A与对角阵相似的()。(a)充要条件(c)必要而非充分条件13.设A,8为相似的阶方阵，则(1 a r 012.设矩阵A =a 1 0 与B=0、0(a)0,0(b)0,1(c)(b)充分而非必要条件(d)既不充分也不必要条件0 0、1 0相似，则a,2 的值分别为()0 2,1,0 (d)1,1)o(a)存在非奇异阵P，使P-AP=B(b)存在对角阵。，使A与3都相似于D(c)存在非奇异阵P，使p p =B(d)A与8 有相同的特征向量14.若 阶方阵A与某对角阵相似,则()o(a)r(A)-n(c)A有个线性无关的特征向量15.若A相似于8,则()。(a)(c)A及3 与同一对角阵相似(b)A有个不同的特征值(d)A必为对称阵(b)12/-A|=|2/-5|(d)A和8 有相同的伴随矩阵1 0 0、16.设 A=0 1 0,则与A相似的矩阵是()。I。0 2)门1 0、1 0 0、1 0 1、2 0 0、(a)0 1 0(b)0 2 0(c)0 2 0(d)0 1 10 0 2)、0 o b、0 0、0 0 2J17.下列说法不妥的是()(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵18.若 A B,则下列结论错误的是()(a)A E-A A E-B 同=忸|(c)存在可逆矩阵尸，使PTAP=8(d)trA=trB二、填空题1.n 阶零矩阵的全部特征值为_ _ _ _ _。2.设A 为n 阶方阵，且 屋=/，则A 的全部特征值为一363.设A为n阶方阵，且4 =0（m是自然数），则A的特征值为4 .若 屋=A,则A的全部特征值为_ _ _ _ _o5 .若方阵A与4/相似，则4=o6.若n阶矩阵A有n个相应于特征值4的线性无关的特征向量，则A =7 .设三阶矩阵A的特征值分别为7,0,2,则行列式W+A+/卜 o8 .设二阶矩阵A满足屋3 A +2E=。，则A的特征值为 o9 .特征值全为1的正交阵必是 阵。10.若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为!，则忸7-同=_ _ _ _ _ _02 3 4 5 1 1什 22 3 n/1 2）,11.若A=8,则=,y=oU 4J-三、计算题1.若阶方阵A的每一行元素之和都等于a ,试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2 .求非奇异矩阵P，使P-AP为对角阵.3 .已知三阶 方 阵A的三个 特 征 根 为1,1,2,其相应的特征